Obliczenia równowagi promieniotwórczej

TL;DR

Aktywność w dowolnej chwili t

\[\begin{align*} \alpha (t) &= \lambda n(t) \\ &= \alpha_0 e^{-\lambda t} \\ &= \alpha_0 e^{-0.693t/T_{1/2}} \end{align*}\]

Zależność między stałą rozpadu, okresem połowicznego zaniku i średnim czasem życia

\[\begin{align*} T_{1/2}&=\frac {\ln 2}{\lambda} = \frac {0.693}{\lambda} \\ \\ \overline{t}&=\frac {1}{\lambda} \\ &=\frac {T_{1/2}}{0.693}=1.44T_{1/2} \end{align*}\]

Stała rozpadu (Decay Constant)

• prawdopodobieństwo, że dane jądro rozpadnie się w jednostce czasu
• stała niezależna od czasu, wyznaczona wyłącznie przez nuklid
• oznaczana symbolem $\lambda$

Aktywność (Radioactivity)

Jeśli przez $n(t)$ oznaczymy liczbę jąder, które w chwili $t$ jeszcze się nie rozpadły, to w przedziale czasu $dt$ między $t$ i $t+dt$ średnio $\lambda n(t)$ jąder ulega rozpadowi. Tę szybkość rozpadu nazywa się aktywnością (radioactivity) próbki i oznacza symbolem $\alpha$. Zatem aktywność w chwili $t$ wynosi:

\[\alpha (t)=\lambda n(t) \tag{1}\]

Jednostki aktywności

Kiur (Curie, Ci)

• jednostka tradycyjnie stosowana przed wprowadzeniem bekerela
• aktywność 1 g radu-226
• $3.7\times 10^{10}$ rozpadów jądrowych na sekundę ($3.7\times 10^{10}\text{Bq}$)

Bekerel (Becquerel, Bq)

• jednostka międzynarodowa (SI)
• 1 rozpad jądrowy na sekundę
• $1 \text{Bq} = 2.703\times 10^{-11}\text{Ci} = 27\text{pCi}$

Obliczanie zmian aktywności w czasie

Ponieważ w czasie $dt$ rozpada się $\lambda n(t)$ jąder, spadek liczby jąder, które pozostają nierozpadłe w próbce w czasie $dt$, można zapisać następująco:

\[-dn(t)=\lambda n(t)dt\]

Całkując, otrzymujemy

\[n(t)=n_0e^{-\lambda t} \tag{2}\]

Mnożąc obie strony przez $\lambda$, dostajemy aktywność:

\[\alpha (t)=\alpha_0e^{-\lambda t} \tag{3}\]

Ponieważ w czasie okresu połowicznego zaniku (half-life) aktywność maleje o połowę,

\[\alpha (T_{1/2})=\alpha_0/2\]

Podstawiając to do (3), dostajemy

\[\alpha_0/2=\alpha_0e^{-\lambda T_{1/2}}\]

Biorąc logarytm po obu stronach i rozwiązując względem okresu połowicznego zaniku $T_{1/2}$:

\[T_{1/2}=\frac {\ln 2}{\lambda}=\frac {0.693}{\lambda} \tag{4}\]

Rozwiązując powyższe równanie względem $\lambda$ i podstawiając do (3), otrzymujemy

\[\alpha (t)=\alpha_0e^{-0.693t/T_{1/2}} \tag{5}\]

Równanie (5) bywa często wygodniejsze w obliczeniach rozpadu promieniotwórczego niż (3), ponieważ częściej podaje się okres połowicznego zaniku niż stałą rozpadu.

Średni czas życia (mean-life) jądra promieniotwórczego $\overline{t}$ jest odwrotnością stałej rozpadu:

\[\overline{t}=1/\lambda\]

Z równania (3) widać, że w czasie jednego średniego czasu życia aktywność spada do $1/e$ wartości początkowej. Z równania (4) wynika następująca zależność między średnim czasem życia a okresem połowicznego zaniku:

\[\overline{t}=\frac {T_{1/2}}{0.693}=1.44T_{1/2} \tag{6}\]

※ Wyprowadzenie średniego czasu życia $\overline{t}$

\[\begin{align*} \overline{t}&=\frac {\int_0^\infty t\alpha(t)}{\int_0^\infty t} = \frac {\int_0^\infty t\alpha(t)}{n_0} \\ &= \frac {\int_0^\infty n_0 \lambda te^{-\lambda t}}{n_0} \\ &= \int_0^\infty \lambda te^{-\lambda t} \\ &= \left[-te^{-\lambda t}\right]_0^\infty +\int_0^\infty e^{-\lambda t} \\ &=\left[-\frac {1}{\lambda} e^{-\lambda t}\right]_0^\infty \\ &=\frac {1}{\lambda} \end{align*}\]

Przykład: łańcuch rozpadu promieniotwórczego 1

Załóżmy, że pewien radionuklid jest wytwarzany z szybkością $R$ atom/s. Jądro to, zaraz po powstaniu, natychmiast ulega rozpadowi promieniotwórczemu. Wyznacz aktywność tego nuklidu w dowolnej chwili $t$.

flowchart LR
	Start[?] -- R --> A[model matematyczny]
	A -- α --> End[?]

1. Ustalenie modelu

\[\text{tempo zmiany liczby jąder w czasie} = \text{szybkość produkcji}-\text{szybkość strat}\]

W zapisie matematycznym:

\[dn/dt = -\lambda n + R\]

2. Rozwiązanie ogólne

Przenieśmy wszystkie wyrazy z $n$ na lewą stronę i pomnóżmy obie strony przez $e^{\lambda t}$.

\[\frac {dn}{dt} + \lambda n = R\] \[e^{\lambda t}\frac {dn}{dt} + \lambda e^{\lambda t}n = Re^{\lambda t}\]

Ponieważ $\lambda e^{\lambda t}=\frac {d}{dt} e^{\lambda t}$, możemy to uporządkować następująco:

\[e^{\lambda t}\frac {dn}{dt}+\left(\frac {d}{dt} e^{\lambda t}\right)n = Re^{\lambda t}\]

Całkując obie strony, otrzymujemy rozwiązanie ogólne:

\[e^{\lambda t}n=\frac {R}{\lambda}e^{\lambda t}+c\] \[n=ce^{-\lambda t}+\frac {R}{\lambda}\]

3. Rozwiązanie szczególne

Niech w chwili $t=0$ liczba jąder tego nuklidu wynosi $n_0$. Wyznaczmy wartość stałej $c$.

\[n(0)=c+\frac {R}{\lambda}=n_0\] \[c=n_0-\frac {R}{\lambda}\]

Zatem rozwiązanie szczególne dla zadanej sytuacji ma postać:

\[n = n_0e^{-\lambda t}+\frac {R}{\lambda}(1-e^{-\lambda t}) \tag{7}\]

Mnożąc obie strony przez $\lambda$, możemy wyznaczyć aktywność tego nuklidu:

\[\alpha = \alpha_0e^{-\lambda t}+R(1-e^{-\lambda t}) \tag{8}\]

Czyli dla $t\to\infty$ mamy granice: $\alpha_{\text{max}}=R$ oraz $n_{\text{max}}=R/\lambda$.

Przykład: łańcuch rozpadu promieniotwórczego 2

Dla poniższego łańcucha rozpadu oblicz aktywność radionuklidu B.

flowchart LR
	A --> B
	B --> C

1. Ustalenie modelu

\[\text{tempo zmiany liczby jąder B}=\text{szybkość produkcji z rozpadu A}-\text{szybkość rozpadu B do C}\] \[\frac {dn_B}{dt} = -\lambda_B n_B + \lambda_A n_A\]

Podstawiając do powyższego $n_A$ z równania (2), otrzymujemy następujące równanie różniczkowe dla $n_B$:

\[\frac {dn_B}{dt} = -\lambda_B n_B + \lambda_A n_{A0}e^{-\lambda_A t} \tag{9}\]

2. Rozwiązanie ogólne

Aby rozwiązać równanie różniczkowe, przenieśmy wszystkie wyrazy z $n_B$ na lewą stronę i pomnóżmy obie strony przez $e^{\lambda_B t}$.

\[\frac {dn_B}{dt} + \lambda_B n_B = n_{A0}\lambda_A e^{-\lambda_A t}\] \[e^{\lambda_B t}\frac {dn_B}{dt} + \lambda_B e^{\lambda_B t}n_B = n_{A0}\lambda_A e^{(\lambda_B-\lambda_A)t}\]

Ponieważ $\lambda_B e^{\lambda_B t}=\frac {d}{dt} e^{\lambda_b t}$, możemy to zapisać w postaci:

\[e^{\lambda_B t}\frac {dn_B}{dt} + \left(\frac {d}{dt} e^{\lambda_B t}\right)n_B = n_{A0}\lambda_A e^{(\lambda_B-\lambda_A)t}\]

Całkując obie strony, dostajemy:

\[e^{\lambda_B t}n_B = \frac {n_{A0}\lambda_A}{\lambda_B-\lambda_A}e^{(\lambda_B-\lambda_A)t}+c\]

Dzieląc obie strony przez $e^{\lambda_B t}$, otrzymujemy rozwiązanie ogólne:

\[n_B = \frac {n_{A0}\lambda_A}{\lambda_B-\lambda_A}e^{-\lambda_A t}+ce^{-\lambda_B t}\]

3. Rozwiązanie szczególne

Niech w chwili $t=0$ liczba jąder pierwiastka B wynosi $n_{B0}$. Wyznaczmy wartość stałej $c$.

\[n_B(0)=\frac {n_{A0}\lambda_A}{\lambda_B-\lambda_A}+c=n_{B0}\] \[c=n_{B0}-\frac{n_{A0}\lambda_A}{\lambda_B-\lambda_A}\]

Zatem rozwiązanie szczególne dla zadanej sytuacji jest następujące:

\[n_B = n_{B0}e^{-\lambda_B t} + \frac {n_{A0}\lambda_A}{\lambda_B - \lambda_A} (e^{-\lambda_A t} - e^{-\lambda_B t}) \tag{10}\] \[\therefore \alpha_B = \alpha_{B0} e^{-\lambda_B t} + \frac {\alpha_{A0}\lambda_A}{\lambda_B - \lambda_A} (e^{-\lambda_A t} - e^{-\lambda_B t}) \tag{11}\]