Tłumienie neutronów (Neutron Attenuation) i średnia droga swobodna (Mean Free Path)

Tłumienie neutronów (Neutron Attenuation)

Rozważmy monoenergetyczną wiązkę neutronów o natężeniu $I_0$, padającą na tarczę (materiał) o grubości $X$, a w pewnej odległości za tarczą znajduje się detektor neutronów. Załóżmy, że zarówno tarcza, jak i detektor są bardzo małe, a detektor ma mały kąt bryłowy, przez co może zarejestrować jedynie część neutronów wychodzących z tarczy. Wówczas wszystkie neutrony, które zderzą się w tarczy, zostaną pochłonięte albo rozproszone i odchylą się w innym kierunku, więc do detektora docierają tylko neutrony, które nie weszły w reakcję w tarczy.

Niech $I(x)$ oznacza natężenie wiązki neutronów, które pozostaje po przejściu przez odcinek $x$ w tarczy bez zderzenia. Gdy wiązka przechodzi przez bardzo cienką warstwę tarczy o grubości $\tau$, liczba zderzeń na jednostkę powierzchni wynosi $\Delta I = \sigma_t I\tau N = \Sigma_t I\tau \ \text{[neutrons/cm}^2\cdot\text{s]}$ (zob. wzory (1) i (8) we wpisie Oddziaływania neutronów i przekroje czynne reakcji), zatem ubytek natężenia wiązki podczas przejścia przez $dx$ w tarczy spełnia:

\[-dI = \sigma_t IN dx = \Sigma_t I dx \tag{1}\]

Po scałkowaniu otrzymujemy:

\[\frac{dI}{I} = -\Sigma_t dx\] \[I(x) = I_0e^{-\Sigma_t x} \tag{2}\]

Widać więc, że natężenie wiązki neutronów maleje wykładniczo wraz ze wzrostem drogi przebytej w tarczy.

Średnia droga swobodna (Mean Free Path)

• średnia droga, jaką neutron przebywa od zderzenia z jednym jądrem do kolejnego zderzenia z innym jądrem
• czyli średnia odległość, jaką neutron pokonuje bez zderzeń
• oznaczana symbolem $\lambda$

Wyrażenie $I(x)/I_0=e^{-\Sigma_t x}$ oznacza prawdopodobieństwo, że neutron nie zderzy się z jądrem podczas przebycia w ośrodku drogi $x$. Zatem prawdopodobieństwo $p(x)dx$, że neutron dotrze bez zderzeń do odległości $x$, a następnie zderzy się w przedziale $dx$, wynosi:

\[\begin{align*} p(x)dx &= \frac{I(x)}{I_0} \Sigma_t dx \\ &= e^{-\Sigma_t x}\times \Sigma_t dx \\ &= \Sigma_t e^{-\Sigma_t x}dx \end{align*}\]

Stąd średnią drogę swobodną (mean free path) $\lambda$ można obliczyć następująco:

\[\begin{align*} \lambda &= \int_0^\infty xp(x)dx \\ &= \Sigma_t \int_0^\infty xe^{-\Sigma_t x}dx \\ &= \Sigma_t \left(\left[-\frac{1}{\Sigma_t}xe^{-\Sigma_t x} \right]_0^\infty +\int_0^\infty \frac{1}{\Sigma_t}e^{-\Sigma_t x} \right) \\ &= \left[-\frac{1}{\Sigma_t}e^{-\Sigma_t x} \right]_0^\infty \\ &= 1/\Sigma_t \label{eqn:mean_free_pass}\tag{3} \end{align*}\]

Makroskopowy przekrój czynny jednorodnej mieszaniny (Homogeneous Mixture)

Rozważmy mieszaninę, w której dwa nuklidy $X$ i $Y$ są równomiernie wymieszane. Niech gęstości atomowe tych nuklidów wynoszą odpowiednio $N_X$ i $N_Y$ $\text{atom/cm}^3$, a mikroskopowe przekroje czynne dla pewnej reakcji neutron–jądro niech będą odpowiednio $\sigma_X$, $\sigma_Y$.

Wtedy prawdopodobieństwa zderzenia neutronu z jądrami $X$ i $Y$ na jednostkę długości wynoszą odpowiednio $\Sigma_X=N_X\sigma_X$, $\Sigma_Y=N_Y\sigma_Y$ (zob. Makroskopowy przekrój czynny), więc całkowite prawdopodobieństwo reakcji na jednostkę długości z tymi dwoma jądrami jest równe:

\[\Sigma = \Sigma_X + \Sigma_Y = N_X\sigma_X + N_Y\sigma_Y \label{eqn:cross_section_of_mixture}\tag{4}\]

Równoważny przekrój czynny cząsteczki (Equivalent Cross-section)

Jeśli rozważane wyżej jądra występują w postaci cząsteczek, to dzieląc makroskopowy przekrój czynny mieszaniny wyznaczony ze wzoru ($\ref{eqn:cross_section_of_mixture}$) przez liczbę cząsteczek w jednostce objętości, można zdefiniować równoważny przekrój czynny (equivalent cross-section) danej cząsteczki.

Jeśli w jednostce objętości znajduje się $N$ cząsteczek $X_mY_n$, to $N_X=mN$, $N_Y=nN$, a z równania ($\ref{eqn:cross_section_of_mixture}$) przekrój czynny tej cząsteczki można wyznaczyć jako:

\[\sigma = \frac{\Sigma}{N}=m\sigma_X + n\sigma_Y \label{eqn:equivalent_cross_section}\tag{5}\]

Równania ($\ref{eqn:cross_section_of_mixture}$) i ($\ref{eqn:equivalent_cross_section}$) są prawdziwe przy założeniu, że jądra $X$ i $Y$ reagują z neutronami niezależnie od siebie, i są poprawne dla wszystkich typów reakcji neutronowych z wyjątkiem rozpraszania sprężystego. Ponieważ w rozpraszaniu sprężystym neutronów na cząsteczkach i ciałach stałych (zwłaszcza w zakresie niskich energii) nie można zastosować powyższego założenia, przekrój rozpraszania trzeba wyznaczyć doświadczalnie.