Rozwiązanie liniowego równania różniczkowego zwyczajnego 1. rzędu

Liniowe równanie różniczkowe zwyczajne 1. rzędu

Jeśli równanie różniczkowe zwyczajne 1. rzędu da się algebraicznie sprowadzić do postaci

\[y'+p(x)y=r(x) \tag{1}\]

to nazywamy je liniowym (linear), a jeśli nie — nieliniowym (nonlinear).

Postać jak w (1) nazywa się postacią standardową (standard form) liniowego ODE 1. rzędu. Jeżeli pierwszy wyraz danego liniowego ODE 1. rzędu ma postać $f(x)y’$, to dzieląc obie strony równania przez $f(x)$ można otrzymać postać standardową.

W inżynierii często $r(x)$ nazywa się wejściem (input), a $y(x)$ wyjściem (output) lub odpowiedzią (response) na wejście (oraz warunek początkowy).

Jednorodne liniowe równanie różniczkowe

Niech $J$ będzie pewnym przedziałem $a<x<b$, na którym chcemy rozwiązać (1). Jeżeli w (1) na przedziale $J$ zachodzi $r(x)\equiv 0$, to

\[y'+p(x)y=0 \tag{2}\]

i mówimy, że równanie jest jednorodne (homogeneous). W tym przypadku można użyć metody rozdzielania zmiennych.

\[\frac{dy}{y} = -p(x)dx\] \[\log |y| = -\int p(x)dx + c^*\] \[y(x) = ce^{-\int p(x)dx} \tag{3}\]

Dla $c=0$ otrzymujemy rozwiązanie trywialne (trivial solution) $y(x)=0$.

Niejednorodne liniowe równanie różniczkowe

Jeżeli na przedziale $J$ zachodzi $r(x)\not\equiv 0$, to równanie nazywamy niejednorodnym (nonhomogeneous). Wiadomo, że niejednorodne liniowe ODE (1) ma czynnik całkujący zależny wyłącznie od $x$. Ten czynnik całkujący $F(x)$ można wyznaczyć z wzoru (11) w sekcji metody wyznaczania czynnika całkującego, albo obliczyć bezpośrednio, jak poniżej.

Mnożąc (1) przez $F(x)$, dostajemy

\[Fy'+pFy=rF \tag{1*}\]

Jeśli

\[pF=F'\]

to lewa strona (1*) staje się pochodną $(Fy)’=F’y+Fy’$. Rozdzielając zmienne w równaniu $pF=F’$, mamy $dF/F=p\ dx$, a po scałkowaniu, pisząc $h=\int p\ dx$, otrzymujemy

\[\log |F|=h=\inf p\ dx\] \[F = e^h\]

Podstawiając do (1*), dostajemy

\[e^hy'+h'e^hy=e^hy'+(e^h)'=(e^hy)'=re^h\]

Całkując,

\(e^hy=\int e^hr\ dx + c\) a po podzieleniu przez $e^h$ otrzymujemy poszukiwany wzór na rozwiązanie:

\[y(x)=e^{-h}\left(\int e^hr\ dx + c\right),\qquad h=\int p(x)\ dx \tag{4}\]

Przy tym w $h$ stała całkowania nie stanowi problemu.

Ponieważ w (4) jedyną wielkością zależną od zadanego warunku początkowego jest $c$, zapisując (4) jako sumę dwóch składników

\[y(x)=e^{-h}\int e^hr\ dx + ce^{-h} \tag{4*}\]

możemy stwierdzić:

\[\text{całkowite wyjście}=\text{odpowiedź na wejście }r+\text{odpowiedź na warunek początkowy} \tag{5}\]

Przykład: obwód RL

Załóżmy, że pewien obwód $RL$ składa się z baterii o SEM $E=48\textrm{V}$, rezystora o oporze $R=11\mathrm{\Omega}$ oraz cewki o indukcyjności $L=0.1\text{H}$, a prąd początkowy wynosi 0. Wyznacz model tego obwodu $RL$ i rozwiąż otrzymane równanie różniczkowe względem prądu $I(t)$.

Prawo Ohma (Ohm’s law)
Prąd w obwodzie $I$ powoduje spadek napięcia (voltage drop) $RI$ na rezystorze.

Prawo indukcji elektromagnetycznej Faradaya (Faraday’s law of electromagnetic induction)
Prąd w obwodzie $I$ powoduje spadek napięcia $LI’=L\ dI/dt$ na cewce.

Prawo napięciowe Kirchhoffa (Kirchhoff’s Voltage Law;KVL)
SEM przyłożona do zamkniętego obwodu jest równa sumie spadków napięć na wszystkich pozostałych elementach obwodu.

Rozwiązanie

Z powyższych praw wynika, że model obwodu $RL$ ma postać $LI’+RI=E(t)$, a w postaci standardowej:

\[I'+\frac{R}{L}I=\frac{E(t)}{L} \tag{6}\]

W (4) podstawiamy $x=t, y=I, p=R/L, h=(R/L)t$, aby rozwiązać to liniowe równanie różniczkowe.

\[I=e^{-(R/L)t}\left(\int e^{(R/L)t} \frac{E(t)}{L}dt+c\right)\] \[I=e^{-(R/L)t}\left(\frac{E}{L}\frac{e^{(R/L)t}}{R/L}+c\right)=\frac{E}{R}+ce^{-(R/L)t} \tag{7}\]

Ponieważ $R/L=11/0.1=110$ oraz $E(t)=48$, mamy

\[I=\frac{48}{11}+ce^{-110t}\]

Z warunku początkowego $I(0)=0$ otrzymujemy $I(0)=E/R+c=0$, czyli $c=-E/R$. Stąd dostajemy następujące rozwiązanie szczególne:

\[I=\frac{E}{R}(1-e^{-(R/L)t}) \tag{8}\] \[\therefore I=\frac{48}{11}(1-e^{-110t})\]