Analityczne rozwiązanie oscylatora harmonicznego (The Harmonic Oscillator)

TL;DR

• Jeśli amplituda jest dostatecznie mała, dowolne drgania można przybliżyć jako drgania harmoniczne proste (simple harmonic oscillation); dlatego drgania harmoniczne proste mają w fizyce duże znaczenie
• Oscylator harmoniczny: $V(x) = \cfrac{1}{2}kx^2 = \cfrac{1}{2}m\omega^2 x^2$
• Wprowadzamy bezwymiarową zmienną $\xi$ oraz energię $K$ wyrażoną w jednostkach $\cfrac{1}{2}\hbar\omega$:
  • $\xi \equiv \sqrt{\cfrac{m\omega}{\hbar}}x$
  • $K \equiv \cfrac{2E}{\hbar\omega}$
  • $ \cfrac{d^2\psi}{d\xi^2} = \left(\xi^2-K \right)\psi $
• Gdy $|\xi|^2 \to \infty$, fizycznie dopuszczalne rozwiązanie asymptotyczne ma postać $\psi(\xi) \to Ae^{-\xi^2/2}$, zatem

\[\begin{gather*} \psi(\xi) = h(\xi)e^{-\xi^2/2} \quad \text{(przy czym }\lim_{\xi\to\infty}h(\xi)=A\text{)}, \\ \frac{d^2h}{d\xi^2}-2\xi\frac{dh}{d\xi}+(K-1)h = 0 \end{gather*}\]

• Jeśli rozwiązanie powyższego równania zapiszemy w postaci szeregu $ h(\xi) = a_0 + a_1\xi + a_2\xi^2 + \cdots = \sum_{j=0}^{\infty}a_j\xi^j$, to

\[a_{j+2} = \frac{(2j+1-K)}{(j+1)(j+2)}a_j\]

• Aby rozwiązanie było znormalizowane, szereg $\sum a_j$ musi być skończony, tj. musi istnieć pewna „największa” wartość $j$ równa $n\in \mathbb{N}$, taka że dla $j>n$ mamy $a_j=0$, więc
  • $ K = 2n + 1 $
  • $ E_n = \left(n+\cfrac{1}{2} \right)\hbar\omega, \quad n=0,1,2,\dots $
• Ogólnie $h_n(\xi)$ jest wielomianem $n$-tego stopnia w $\xi$, a część poza współczynnikiem wiodącym ($a_0$ lub $a_1$) nazywa się wielomianem Hermite’a (Hermite polynomials) $H_n(\xi)$

\[h_n(\xi) = \begin{cases} a_0 H_n(\xi), & n=2k & (k=0,1,2,\dots) \\ a_1 H_n(\xi), & n=2k+1 & (k=0,1,2,\dots) \end{cases}\]

• Znormalizowane stany stacjonarne oscylatora harmonicznego:

\[\psi_n(x) = \left(\frac{m\omega}{\pi\hbar} \right)^{1/4} \frac{1}{\sqrt{2^n n!}}H_n(\xi)e^{-\xi^2/2}\]

• Cechy oscylatora kwantowego
  • Funkcje własne na przemian są parzyste i nieparzyste
  • Prawdopodobieństwo znalezienia cząstki nie jest równe $0$ nawet w obszarach klasycznie niedostępnych (tj. dla $x$ większych niż klasyczna amplituda dla danego $E$); jest ono małe, ale niezerowe
  • Dla wszystkich stanów stacjonarnych o nieparzystym $n$ prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w centrum wynosi $0$
  • Im większe $n$, tym zachowanie bardziej przypomina klasyczny oscylator

Wymagania wstępne

• Metoda rozdzielenia zmiennych
• Równanie Schrödingera i funkcja falowa
• Twierdzenie Ehrenfesta
• Niezależne od czasu równanie Schrödingera
• Jednowymiarowa nieskończona studnia kwadratowa
• Algebraiczne rozwiązanie oscylatora harmonicznego

Ustalenie modelu

Sposób opisu oscylatora harmonicznego w mechanice klasycznej oraz znaczenie tego zagadnienia omówiono w poprzednim wpisie.

Oscylator harmoniczny w mechanice kwantowej

Zagadnienie kwantowego oscylatora harmonicznego polega na rozwiązaniu równania Schrödingera dla potencjału

\[V(x) = \frac{1}{2}m\omega^2 x^2 \label{eqn: potential_omega}\tag{1}\]

Równanie Schrödingera niezależne od czasu dla oscylatora harmonicznego ma postać

\[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2} + \frac{1}{2}m\omega^2x^2\psi = E\psi \label{eqn:t_independent_schrodinger_eqn}\tag{2}\]

Istnieją dwa zupełnie różne podejścia do rozwiązania tego problemu. Pierwsze to analityczna metoda (analytic method) wykorzystująca szereg potęgowy (power series), drugie to metoda algebraiczna (algebraic method) wykorzystująca operatory drabinkowe (ladder operators). Metoda algebraiczna jest szybsza i prostsza, jednak warto też przestudiować rozwiązanie analityczne oparte o szereg potęgowy. Wcześniej omówiliśmy metodę algebraiczną; tutaj zajmiemy się metodą analityczną.

Przekształcenie równania Schrödingera

Wprowadzając bezwymiarową zmienną

\[\xi \equiv \sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x \label{eqn:xi}\tag{3}\]

możemy zapisać niezależne od czasu równanie Schrödingera ($\ref{eqn:t_independent_schrodinger_eqn}$) w prostszej postaci

\[\frac{d^2\psi}{d\xi^2} = \left(\xi^2-K \right)\psi. \label{eqn:schrodinger_eqn_with_xi}\tag{4}\]

gdzie $K$ jest energią wyrażoną w jednostkach $\cfrac{1}{2}\hbar\omega$:

\[K \equiv \frac{2E}{\hbar\omega}. \label{eqn:K}\tag{5}\]

Teraz wystarczy rozwiązać równanie przepisane w tej postaci ($\ref{eqn:schrodinger_eqn_with_xi}$). Dla bardzo dużych $\xi$ (tj. bardzo dużych $x$) mamy $\xi^2 \gg K$, więc

\[\frac{d^2\psi}{d\xi^2} \approx \xi^2\psi \label{eqn:schrodinger_eqn_approx}\tag{6}\]

a przybliżone rozwiązanie ma postać

\[\psi(\xi) \approx Ae^{-\xi^2/2} + Be^{\xi^2/2} \label{eqn:psi_approx}\tag{7}\]

Jednak składnik z $B$ rozbiega się przy $|x|\to \infty$ i nie da się go znormalizować, więc fizycznie dopuszczalne rozwiązanie asymptotyczne to

\[\psi(\xi) \to Ae^{-\xi^2/2} \label{eqn:psi_asymp}\tag{8}\]

Wydzielmy teraz część wykładniczą i zapiszmy

\[\psi(\xi) = h(\xi)e^{-\xi^2/2} \quad \text{(przy czym }\lim_{\xi\to\infty}h(\xi)=A\text{)} \label{eqn:psi_and_h}\tag{9}\]

Aby znaleźć czynnik wykładniczy $e^{-\xi^2/2}$, w trakcie wyprowadzenia użyliśmy przybliżeń, by odgadnąć postać rozwiązania asymptotycznego. Jednak otrzymany w ten sposób zapis ($\ref{eqn:psi_and_h}$) nie jest przybliżeniem, tylko dokładną postacią rozwiązania. Tego typu wydzielenie zachowania asymptotycznego jest standardowym pierwszym krokiem przy rozwiązywaniu równań różniczkowych metodą szeregu potęgowego.

Różniczkując ($\ref{eqn:psi_and_h}$) i wyznaczając $\cfrac{d\psi}{d\xi}$ oraz $\cfrac{d^2\psi}{d\xi^2}$, otrzymujemy

\[\begin{gather*} \frac{d\psi}{d\xi} = \left(\frac{dh}{d\xi}-\xi h \right)e^{-\xi^2/2}, \\ \frac{d^2\psi}{d\xi^2} = \left(\frac{d^2h}{d\xi^2}-2\xi\frac{dh}{d\xi}+(\xi^2-1)h \right)e^{-\xi^2/2} \end{gather*}\]

Zatem równanie Schrödingera ($\ref{eqn:schrodinger_eqn_with_xi}$) przyjmuje postać

\[\frac{d^2h}{d\xi^2}-2\xi\frac{dh}{d\xi}+(K-1)h = 0 \label{eqn:schrodinger_eqn_with_h}\tag{10}\]

Rozwinięcie w szereg potęgowy

Z twierdzenia Taylora (Taylor’s theorem) wynika, że dowolną gładką funkcję można przedstawić jako szereg potęgowy, więc poszukajmy rozwiązania równania ($\ref{eqn:schrodinger_eqn_with_h}$) w postaci szeregu względem $\xi$:

\[h(\xi) = a_0 + a_1\xi + a_2\xi^2 + \cdots = \sum_{j=0}^{\infty}a_j\xi^j \label{eqn:h_series_exp}\tag{11}\]

Różniczkując kolejne wyrazy tego szeregu, dostajemy:

\[\begin{gather*} \frac{dh}{d\xi} = a_1 + 2a_2\xi + 3a_3\xi^2 + \cdots = \sum_{j=0}^{\infty}ja_j\xi^{j-1}, \\ \frac{d^2 h}{d\xi^2} = 2a_2 + 2\cdot3a_3\xi + 3\cdot4a_4\xi^2 + \cdots = \sum_{j=0}^{\infty} (j+1)(j+2)a_{j+2}\xi^j. \end{gather*}\]

Podstawiając te wyrażenia do równania Schrödingera (równanie [$\ref{eqn:schrodinger_eqn_with_h}$]), otrzymujemy

\[\sum_{j=0}^{\infty}[(j+1)(j+2)a_{j+2} - 2ja_j + (K-1)a_j]\xi^j = 0. \label{eqn:schrodinger_eqn_power_series}\tag{12}\]

Z jednoznaczności rozwinięcia w szereg potęgowy wynika, że współczynnik przy każdej potędze $\xi$ musi być równy $0$, więc

\[(j+1)(j+2)a_{j+2} - 2ja_j + (K-1)a_j = 0\] \[\therefore a_{j+2} = \frac{(2j+1-K)}{(j+1)(j+2)}a_j. \label{eqn:recursion_formula}\tag{13}\]

Ta formuła rekurencyjna (recursion formula) jest równoważna równaniu Schrödingera. Gdy dane są dwie dowolne stałe $a_0$ oraz $a_1$, można wyznaczyć współczynniki wszystkich wyrazów rozwiązania $h(\xi)$.

Jednak nie zawsze da się znormalizować rozwiązanie otrzymane w ten sposób. Jeśli szereg $\sum a_j$ jest nieskończony (tj. gdy $\lim_{j\to\infty} a_j\neq0$), to dla bardzo dużych $j$ formuła rekurencyjna w przybliżeniu daje

\[a_{j+2} \approx \frac{2}{j}a_j\]

a przybliżone rozwiązanie ma postać

\[a_j \approx \frac{C}{(j/2)!} \quad \text{(}C\text{ jest dowolną stałą)}\]

Wtedy dla dużych wartości $\xi$, gdzie dominują wyrazy wysokiego rzędu,

\[h(\xi) \approx C\sum\frac{1}{(j/2)!}\xi^j \approx C\sum\frac{1}{j!}\xi^{2j} \approx Ce^{\xi^2}\]

Zatem jeśli $h(\xi)$ zachowuje się jak $Ce^{\xi^2}$, to z ($\ref{eqn:psi_and_h}$) wynika, że $\psi(\xi)$ ma postać $Ce^{\xi^2/2}$ i rozbiega się dla $\xi \to \infty$. Odpowiada to nienormalizowalnemu rozwiązaniu z ($\ref{eqn:psi_approx}$) o własnościach $A=0, B\neq0$.

Dlatego szereg $\sum a_j$ musi być skończony. Musi istnieć pewna „największa” wartość $j$ równa $n\in \mathbb{N}$ taka, że dla $j>n$ mamy $a_j=0$. Aby tak było, dla niezerowego $a_n$ musi zachodzić $a_{n+2}=0$, więc z ($\ref{eqn:recursion_formula}$) wynika warunek

\[K = 2n + 1\]

Podstawiając to do ($\ref{eqn:K}$), otrzymujemy fizycznie dopuszczalne energie

\[E_n = \left(n+\frac{1}{2} \right)\hbar\omega, \quad n=0,1,2,\dots \label{eqn:E_n}\tag{14}\]

W ten sposób, stosując zupełnie inną metodę, uzyskaliśmy dokładnie ten sam warunek kwantyzacji energii co w równaniu (21) we wpisie Algebraiczne rozwiązanie oscylatora harmonicznego.

Wielomiany Hermite’a (Hermite polynomials) $H_n(\xi)$ i stany stacjonarne $\psi_n(x)$

Wielomiany Hermite’a $H_n$

Ogólnie $h_n(\xi)$ jest wielomianem $n$-tego stopnia w $\xi$; jeśli $n$ jest parzyste, zawiera tylko parzyste potęgi, a jeśli $n$ jest nieparzyste, tylko nieparzyste. Część poza współczynnikiem wiodącym ($a_0$ lub $a_1$) nazywamy wielomianem Hermite’a (Hermite polynomials) $H_n(\xi)$.

\[h_n(\xi) = \begin{cases} a_0 H_n(\xi), & n=2k & (k=0,1,2,\dots) \\ a_1 H_n(\xi), & n=2k+1 & (k=0,1,2,\dots) \end{cases}\]

Tradycyjnie współczynniki dobiera się tak, aby współczynnik przy najwyższej potędze w $H_n$ był równy $2^n$.

Poniżej podano kilka pierwszych wielomianów Hermite’a:

\[\begin{align*} H_0 &= 1 \\ H_1 &= 2\xi \\ H_2 &= 4\xi^2 - 2 \\ H_3 &= 8\xi^3 - 12\xi \\ H_4 &= 16\xi^4 - 48\xi^2 + 12 \\ H_5 &= 32\xi^5 - 160\xi^3 + 120\xi \\ &\qquad\vdots \end{align*}\]

Stany stacjonarne $\psi_n(x)$

Znormalizowane stany stacjonarne oscylatora harmonicznego mają postać

\[\psi_n(x) = \left(\frac{m\omega}{\pi\hbar} \right)^{1/4} \frac{1}{\sqrt{2^n n!}}H_n(\xi)e^{-\xi^2/2}.\]

Jest to zgodne z wynikiem uzyskanym we wpisie Algebraiczne rozwiązanie oscylatora harmonicznego (równanie [27]).

Poniższa ilustracja przedstawia stany stacjonarne $\psi_n(x)$ oraz gęstości prawdopodobieństwa $|\psi_n(x)|^2$ dla pierwszych ośmiu wartości $n$. Widać, że funkcje własne oscylatora kwantowego na przemian są parzyste i nieparzyste.

Źródło obrazu

• Autor: użytkownik Wikimedia AllenMcC
• Licencja: CC BY-SA 3.0

Źródło obrazu

• Autor: użytkownik Wikimedia AllenMcC
• Licencja: Public Domain

Oscylator kwantowy istotnie różni się od odpowiadającego mu oscylatora klasycznego: nie tylko energia jest skwantowana, ale również rozkład prawdopodobieństwa położenia $x$ wykazuje osobliwe własności.

• Prawdopodobieństwo znalezienia cząstki nie jest równe $0$ nawet w obszarach klasycznie niedostępnych (tj. dla $x$ większych niż klasyczna amplituda dla danego $E$); jest ono małe, ale niezerowe
• Dla wszystkich stanów stacjonarnych o nieparzystym $n$ prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w centrum wynosi $0$

Im większe $n$, tym oscylator kwantowy upodabnia się do oscylatora klasycznego. Poniższy rysunek przedstawia klasyczny rozkład prawdopodobieństwa położenia $x$ (linia przerywana) oraz stan kwantowy $|\psi_{30}|^2$ (linia ciągła) dla $n=30$. Jeśli „wygładzimy” pofalowane fragmenty, oba wykresy są w przybliżeniu zgodne.

Źródło obrazu

• Autor: użytkownik Wikimedia AkanoToE
• Licencja: Public Domain

Interaktywna wizualizacja rozkładów prawdopodobieństwa oscylatora kwantowego

Poniżej znajduje się responsywna wizualizacja oparta o Plotly.js, którą przygotowałem. Za pomocą suwaka można zmieniać wartość $n$ i obserwować kształt klasycznego rozkładu prawdopodobieństwa położenia $x$ oraz $|\psi_n|^2$.

• Strona oryginalnej wizualizacji: https://www.yunseo.kim/physics-visualizations/quantum-harmonic-oscillator.html
• Kod źródłowy: repozytorium yunseo-kim/physics-visualizations
• Licencja: See here

Dodatkowo, jeśli możesz uruchamiać Pythona na swoim komputerze i masz zainstalowane biblioteki Numpy, Plotly oraz Dash, to możesz też uruchomić skrypt Pythona /src/quantum_oscillator.py w tym samym repozytorium, aby zobaczyć wyniki.