Przekazywanie energii wskutek zderzeń w plazmie

TL;DR

• Podczas zderzenia całkowita energia i pęd są zachowane
• Jony, które utraciły wszystkie elektrony i pozostało w nich tylko jądro, oraz elektrony mają wyłącznie energię kinetyczną ruchu
• Atomy obojętne oraz jony, które utraciły tylko część elektronów, posiadają energię wewnętrzną; w zależności od zmiany energii potencjalnej może zachodzić wzbudzenie (excitation), odwzbudzenie (deexcitation) lub jonizacja (ionization)
• Klasyfikacja typów zderzeń według zmiany energii kinetycznej przed i po zderzeniu:
  • zderzenie sprężyste (elastic collision): suma energii kinetycznej przed i po zderzeniu jest stała
  • zderzenie niesprężyste (inelastic collision): w trakcie zderzenia energia kinetyczna ulega stracie
    • wzbudzenie (excitation)
    • jonizacja (ionization)
  • zderzenie supersprężyste (superelastic collision): w trakcie zderzenia energia kinetyczna wzrasta
    • odwzbudzenie (deexcitation)
• Tempo przekazywania energii w zderzeniu sprężystym:
  • tempo przekazywania energii w pojedynczym zderzeniu: $\zeta_L = \cfrac{4m_1m_2}{(m_1+m_2)^2}\cos^2\theta_2$
  • średnie tempo przekazywania energii na zderzenie: $\overline{\zeta_L} = \cfrac{4m_1m_2}{(m_1+m_2)^2}\overline{\cos^2\theta_2} = \cfrac{2m_1m_2}{(m_1+m_2)^2}$
    • gdy $m_1 \approx m_2$: $\overline{\zeta_L} \approx \cfrac{1}{2}$, więc zachodzi efektywne przekazywanie energii i szybko osiąga się równowagę termiczną
    • gdy $m_1 \ll m_2$ lub $m_1 \gg m_2$: $\overline{\zeta_L} \approx 10^{-5}\sim 10^{-4}$, więc sprawność przekazywania energii jest bardzo mała i trudno osiągnąć równowagę termiczną. To wyjaśnia, dlaczego w słabo zjonizowanej plazmie zachodzi $T_e \gg T_i \approx T_n$, tj. temperatura elektronów znacznie różni się od temperatury jonów i atomów obojętnych.
• Tempo przekazywania energii w zderzeniu niesprężystym:
  • maksymalny udział konwersji na energię wewnętrzną w pojedynczym zderzeniu: $\zeta_L = \cfrac{\Delta U_\text{max}}{\cfrac{1}{2}m_1v_1^2} = \cfrac{m_2}{m_1+m_2}\cos^2\theta_2$
  • średni maksymalny udział konwersji na energię wewnętrzną: $\overline{\zeta_L} = \cfrac{m_2}{m_1+m_2}\overline{\cos^2\theta_2} = \cfrac{m_2}{2(m_1+m_2)}$
    • gdy $m_1 \approx m_2$: $\overline{\zeta_L} \approx \cfrac{1}{4}$
    • gdy $m_1 \gg m_2$: $\overline{\zeta_L} \approx 10^{-5}\sim 10^{-4}$
    • gdy $m_1 \ll m_2$: $\overline{\zeta_L} = \cfrac{1}{2}$, czyli najefektywniej można podnieść energię wewnętrzną obiektu zderzenia (jonu lub atomu obojętnego) i wprowadzić go w stan wzbudzony. To wyjaśnia, dlaczego łatwo zachodzą m.in. jonizacja przez elektrony (powstawanie plazmy), wzbudzenie (emisja światła) oraz dysocjacja (dissociation) cząsteczek (powstawanie rodników).

Wymagania wstępne

• Cząstki subatomowe i składniki atomu

Zderzenia między cząstkami w plazmie

• Podczas zderzenia całkowita energia i pęd są zachowane
• Jony, które utraciły wszystkie elektrony i pozostało w nich tylko jądro, oraz elektrony mają wyłącznie energię kinetyczną ruchu
• Atomy obojętne oraz jony, które utraciły tylko część elektronów, posiadają energię wewnętrzną; w zależności od zmiany energii potencjalnej może zachodzić wzbudzenie (excitation), odwzbudzenie (deexcitation) lub jonizacja (ionization)
• Klasyfikacja typów zderzeń według zmiany energii kinetycznej przed i po zderzeniu:
  • zderzenie sprężyste (elastic collision): suma energii kinetycznej przed i po zderzeniu jest stała
  • zderzenie niesprężyste (inelastic collision): w trakcie zderzenia energia kinetyczna ulega stracie
    • wzbudzenie (excitation)
    • jonizacja (ionization)
  • zderzenie supersprężyste (superelastic collision): w trakcie zderzenia energia kinetyczna wzrasta
    • odwzbudzenie (deexcitation)

Przekazywanie energii w zderzeniu sprężystym

Tempo przekazywania energii w pojedynczym zderzeniu

W zderzeniu sprężystym pęd i energia kinetyczna są zachowane przed i po zderzeniu.

Zapisując równania zachowania pędu względem osi $x$ oraz $y$, otrzymujemy

\[\begin{gather*} m_1v_1 = m_1v_1^{\prime}\cos\theta_1 + m_2v_2^{\prime}\cos\theta_2, \label{eqn:momentum_conservation_x}\tag{1} \\ m_1v_1^{\prime}\sin\theta_1 = m_2v_2^{\prime}\sin\theta_2 \label{eqn:momentum_conservation_y}\tag{2} \end{gather*}\]

oraz z zachowania energii

\[\frac{1}{2}m_1v_1^2 = \frac{1}{2}m_1{v_1^{\prime}}^2 + \frac{1}{2}m_2{v_2^{\prime}}^2\] \[v_1^2 = {v_1^{\prime}}^2 + \frac{m_2}{m_1}{v_2^{\prime}}^2 \label{eqn:energy_conservation}\tag{3}\]

Z równania ($\ref{eqn:momentum_conservation_x}$) mamy

\[m_1 v_1^{\prime} \cos \theta_1 = m_1v_1 - m_2v_2^{\prime} \cos \theta_2 \label{eqn:momentum_conservation_x_2}\tag{4}\]

a po podniesieniu do kwadratu obu stron równań ($\ref{eqn:momentum_conservation_y}$) i ($\ref{eqn:momentum_conservation_x_2}$) oraz ich zsumowaniu

\[\begin{align*} (m_1v_1^{\prime})^2 &= (m_2 v_2^\prime \sin \theta_2)^2 + (m_1 v_1 - m_2 v_2^\prime \cos \theta_2)^2 \\ &= m_1^2 v_1^2 - 2 m_1 m_2 v_1 v_2^\prime \cos \theta_2 + m_2^2 {v_2^\prime}^2 \tag{5} \end{align*}\]

Dzieląc obie strony przez $m_1^2$, dostajemy

\[{v_1^{\prime}}^2 = v_1^2 - 2 \frac{m_2}{m_1} v_1 v_2^\prime \cos \theta_2 + \left(\frac{m_2}{m_1}\right)^2 {v_2^\prime}^2 \label{eqn:momentum_conservation}\tag{6}\]

Po podstawieniu do tego równania wyrażenia ($\ref{eqn:energy_conservation}$) można je uporządkować do postaci

\[\begin{gather*} \left( \frac{m_2}{m_1} \right) {v_2^\prime}^2 = 2 \left( \frac{m_2}{m_1} \right) v_1 v_2^\prime \cos \theta_2 - \left( \frac{m_2}{m_1} \right)^2 {v_2^\prime}^2 \\ 2v_1 \cos \theta_2 = \left(\frac{m_1 + m_2}{m_1} \right) v_2^\prime \\ v_2^{\prime} = \frac{2m_1v_1\cos\theta_2}{m_1 + m_2}. \label{eqn:v_2_prime}\tag{7} \end{gather*}\]

Stąd otrzymujemy tempo przekazywania energii $\zeta_L$:

\[\begin{align*} \therefore \zeta_L &= \frac{\cfrac{1}{2}m_2{v_2^\prime}^2}{\cfrac{1}{2}m_1v_1^2} = \frac{m_2}{m_1v_1^2} {\left(\frac{2m_1v_1\cos\theta_2}{m_1 + m_2} \right)}^2 \\ &= \frac{4m_1m_2}{(m_1+m_2)^2}\cos^2\theta_2. \quad \blacksquare \label{eqn:elastic_E_transfer_rate}\tag{8} \end{align*}\]

Średnie tempo przekazywania energii na zderzenie

Dla kątów od $0$ do $2\pi$ zachodzi $\sin^2{\theta_2}+\cos^2{\theta_2}=1$ oraz $\overline{\sin^2{\theta_2}}=\overline{\cos^2{\theta_2}}$, zatem

\[\begin{align*} \overline{\cos^2{\theta_2}} &= \overline{(1-\sin^2{\theta_2})} = 1 - \overline{\sin^2{\theta_2}} \\ &= 1 - \overline{\cos^2{\theta_2}} \end{align*}\] \[\begin{gather*} 2 \cdot \overline{\cos^2{\theta_2}} = 1 \\ \overline{\cos^2{\theta_2}} = \frac{1}{2}. \end{gather*}\]

Podstawiając to do wcześniej uzyskanego wyrażenia ($\ref{eqn:elastic_E_transfer_rate}$), dostajemy

\[\overline{\zeta_L} = \frac{4m_1m_2}{(m_1+m_2)^2}\overline{\cos^2\theta_2} = \frac{2m_1m_2}{(m_1+m_2)^2}. \quad \blacksquare \label{eqn:elastic_E_mean_transfer_rate}\tag{9}\]

Gdy $m_1 \approx m_2$

Dotyczy to zderzeń elektron–elektron, jon–jon, atom obojętny–atom obojętny oraz jon–atom obojętny. W takim przypadku

\[\overline{\zeta_L} = \frac{2m_1m_2}{(m_1+m_2)^2} \approx \frac{1}{2} \label{eqn:elastic_similar_m}\tag{10}\]

czyli zachodzi efektywne przekazywanie energii i szybko osiąga się równowagę termiczną.

Gdy $m_1 \ll m_2$ lub $m_1 \gg m_2$

Dotyczy to zderzeń elektron–jon, elektron–atom obojętny, jon–elektron oraz atom obojętny–elektron. Wtedy

\[\overline{\zeta_L} = \frac{2m_1m_2}{(m_1+m_2)^2} \approx \frac{2m_1}{m_2}\text{ (dla }m_1 \ll m_2\text{)} \approx 10^{-5}\sim 10^{-4} \label{eqn:elastic_different_m}\tag{11}\]

a więc sprawność przekazywania energii jest bardzo niska i niełatwo osiągnąć równowagę termiczną. To jest powód, dla którego w słabo zjonizowanej plazmie występuje $T_e \gg T_i \approx T_n$, tzn. temperatura elektronów znacząco różni się od temperatury jonów i atomów obojętnych.

Przekazywanie energii w zderzeniu niesprężystym

Maksymalny udział konwersji na energię wewnętrzną w pojedynczym zderzeniu

Zachowanie pędu (równanie [$\ref{eqn:momentum_conservation}$]) pozostaje w tym przypadku takie samo, jednak ponieważ jest to zderzenie niesprężyste, energia kinetyczna nie jest zachowana. Utracona w zderzeniu niesprężystym energia kinetyczna zostaje przekształcona w energię wewnętrzną $\Delta U$, więc

\[\Delta U = \frac{1}{2} m_1 v_1^2 - \left( \frac{1}{2} m_1 {v_1^{\prime}}^2 + \frac{1}{2} m_2 {v_2^{\prime}}^2 \right) \label{eqn:delta_U}\tag{12}\]

Po podstawieniu tutaj równania ($\ref{eqn:momentum_conservation}$) i uporządkowaniu otrzymujemy

\(\begin{align*} \Delta U &= \frac{1}{2} m_1 v_1^2 - \left[ \frac{1}{2} m_1 \left( v_1^2 - 2 \frac{m_2}{m_1} v_1 v_2^{\prime} \cos \theta_2 + \left( \frac{m_2}{m_1} v_2^{\prime} \right)^2 \right) + \frac{1}{2} m_2 {v_2^{\prime}}^2 \right] \\ &= \frac{1}{2} m_1 v_1^2 - \left[ \frac{1}{2} m_1 v_1^2 - m_2 v_1 v_2^{\prime} \cos \theta_2 + \frac{1}{2} \frac{m_2^2}{m_1} {v_2^{\prime}}^2 + \frac{1}{2} m_2 {v_2^{\prime}}^2 \right] \\ &= m_2 v_1 v_2^{\prime} \cos \theta_2 - \frac{1}{2}m_2{v_2^{\prime}}^2\left(\frac{m_1 + m_2}{m_1}\right) \label{eqn:delta_U_2}\tag{13} \end{align*}\).

Różniczkując $\Delta U$ względem $v_2^\prime$ i wyznaczając ekstremum, dla którego pochodna wynosi $0$, oraz wartość maksymalną w tym punkcie, dostajemy

\[\cfrac{d \Delta U}{d v_2^{\prime}} = m_2 v_1 \cos \theta_2 - m_2 v_2^{\prime} \left( \frac{m_1 + m_2}{m_1} \right) = 0 \tag{14}\] \[\begin{gather*} v_2^{\prime} \left( \frac{m_1 + m_2}{m_1} \right) = v_1 \cos \theta_2 \\ v_2^\prime = \frac{m_1v_1\cos\theta_2}{m_1+m_2}. \end{gather*}\] \[\therefore v_2^{\prime} = \frac{m_1v_1\cos\theta_2}{m_1+m_2} \text{ gdy } \Delta U_\text{max} = \frac{1}{2}\frac{m_1m_2 v_1^2 \cos^2\theta_2}{m_1 + m_2}. \label{eqn:delta_U_max}\tag{15}\]

Stąd maksymalny możliwy udział konwersji energii kinetycznej na energię wewnętrzną w pojedynczym zderzeniu niesprężystym, $\zeta_L$, wynosi

\[\zeta_L = \frac{\Delta U_\text{max}}{\cfrac{1}{2}m_1v_1^2} = \frac{m_2}{m_1+m_2}\cos^2\theta_2. \quad \blacksquare \label{eqn:inelastic_E_transfer_rate}\tag{16}\]

Średni maksymalny udział konwersji na energię wewnętrzną

Analogicznie, podstawiając $\overline{\cos^2{\theta_2}} = \cfrac{1}{2}$ do ($\ref{eqn:inelastic_E_transfer_rate}$), otrzymujemy

\[\overline{\zeta_L} = \frac{m_2}{m_1+m_2}\overline{\cos^2\theta_2} = \frac{m_2}{2(m_1+m_2)}. \label{eqn:inelastic_E_mean_transfer_rate}\tag{17}\]

Gdy $m_1 \approx m_2$

Dotyczy to zderzeń jon–jon, jon–atom obojętny oraz atom obojętny–atom obojętny.

\[\overline{\zeta_L} = \frac{m_2}{2(m_1+m_2)} = \frac{1}{4}. \label{eqn:inelastic_similar_m}\tag{18}\]

Gdy $m_1 \gg m_2$

Dotyczy to zderzeń jon–elektron oraz atom obojętny–elektron.

\[\overline{\zeta_L} = \frac{m_2}{2(m_1+m_2)} \approx \frac{m_2}{2m_1} \approx 10^{-5}\sim 10^{-4}. \label{eqn:inelastic_ion_electron}\tag{19}\]

Gdy $m_1 \ll m_2$

Dotyczy to zderzeń elektron–jon oraz elektron–atom obojętny. Dwa poprzednie przypadki nie różniły się zasadniczo od sytuacji w zderzeniu sprężystym, natomiast ten trzeci przypadek wykazuje istotną różnicę. Wtedy

\[\overline{\zeta_L} = \frac{m_2}{2(m_1+m_2)} \approx \frac{m_2}{2m_2} = \frac{1}{2} \label{eqn:inelastic_electron_ion}\tag{20}\]

czyli można najefektywniej podnieść energię wewnętrzną obiektu zderzenia (jonu lub atomu obojętnego) i wprowadzić go w stan wzbudzony. Jak zostanie omówione później, to właśnie dlatego łatwo zachodzą m.in. jonizacja przez elektrony (powstawanie plazmy), wzbudzenie (emisja światła) oraz dysocjacja (dissociation) cząsteczek (powstawanie rodników).