Równanie Eulera–Cauchy’ego

TL;DR

• Równanie Eulera–Cauchy’ego: $x^2y^{\prime\prime} + axy^{\prime} + by = 0$
• Równanie pomocnicze (auxiliary equation): $m^2 + (a-1)m + b = 0$
• W zależności od znaku wyróżnika równania pomocniczego $(1-a)^2 - 4b$ postać rozwiązania ogólnego można podzielić na trzy przypadki, jak w tabeli

Przypadek	Rozwiązania równania pomocniczego	Baza rozwiązań równania Eulera–Cauchy’ego	Rozwiązanie ogólne równania Eulera–Cauchy’ego
I	dwa różne pierwiastki rzeczywiste $m_1$, $m_2$	$x^{m_1}$, $x^{m_2}$	$y = c_1 x^{m_1} + c_2 x^{m_2}$
II	podwójny pierwiastek rzeczywisty $m = \cfrac{1-a}{2}$	$x^{(1-a)/2}$, $x^{(1-a)/2}\ln{x}$	$y = (c_1 + c_2 \ln x)x^m$
III	sprzężone pierwiastki zespolone $m_1 = \cfrac{1}{2}(1-a) + i\omega$, $m_2 = \cfrac{1}{2}(1-a) - i\omega$	$x^{(1-a)/2}\cos{(\omega \ln{x})}$, $x^{(1-a)/2}\sin{(\omega \ln{x})}$	$y = x^{(1-a)/2}[A\cos{(\omega \ln{x})} + B\sin{(\omega \ln{x})}]$

Wymagania wstępne

• Jednorodne liniowe równania różniczkowe zwyczajne drugiego rzędu (Homogeneous Linear ODEs of Second Order)
• Jednorodne liniowe RÓZ 2. rzędu o stałych współczynnikach
• wzór Eulera

Równanie pomocnicze (auxiliary equation)

Równanie Eulera–Cauchy’ego (Euler–Cauchy equation) jest równaniem różniczkowym zwyczajnym postaci

\[x^2y^{\prime\prime} + axy^{\prime} + by = 0 \label{eqn:euler_cauchy_eqn}\tag{1}\]

z danymi stałymi $a$ i $b$ oraz niewiadomą funkcją $y(x)$.

Podstawiając do równania ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$)

\[y=x^m, \qquad y^{\prime}=mx^{m-1}, \qquad y^{\prime\prime}=m(m-1)x^{m-2}\]

otrzymujemy

\[x^2m(m-1)x^{m-2} + axmx^{m-1} + bx^m = 0,\]

czyli

\[[m(m-1) + am + b]x^m = 0.\]

Stąd dostajemy równanie pomocnicze

\[m^2 + (a-1)m + b = 0 \label{eqn:auxiliary_eqn}\tag{2}\]

a warunek konieczny i wystarczający na to, by $y=x^m$ było rozwiązaniem równania Eulera–Cauchy’ego ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$), jest taki, że $m$ jest pierwiastkiem równania pomocniczego ($\ref{eqn:auxiliary_eqn}$).

Rozwiązania równania kwadratowego ($\ref{eqn:auxiliary_eqn}$) wynoszą

\[\begin{align*} m_1 &= \frac{1}{2}\left[(1-a) + \sqrt{(1-a)^2 - 4b} \right], \\ m_2 &= \frac{1}{2}\left[(1-a) - \sqrt{(1-a)^2 - 4b} \right] \end{align*}\label{eqn:m1_and_m2}\tag{3}\]

i stąd dwie funkcje

\[y_1 = x^{m_1}, \quad y_2 = x^{m_2}\]

są rozwiązaniami równania ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$).

Podobnie jak w poście Jednorodne liniowe RÓZ 2. rzędu o stałych współczynnikach, w zależności od znaku wyróżnika $(1-a)^2 - 4b$ równania pomocniczego ($\ref{eqn:auxiliary_eqn}$) można rozważyć trzy przypadki:

• $(1-a)^2 - 4b > 0$: dwa różne pierwiastki rzeczywiste
• $(1-a)^2 - 4b = 0$: podwójny pierwiastek rzeczywisty
• $(1-a)^2 - 4b < 0$: sprzężone pierwiastki zespolone

Postać rozwiązania ogólnego zależnie od znaku wyróżnika równania pomocniczego

I. Dwa różne pierwiastki rzeczywiste $m_1$ i $m_2$

W tym przypadku na dowolnym przedziale baza rozwiązań równania ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$) ma postać

\[y_1 = x^{m_1}, \quad y_2 = x^{m_2}\]

a odpowiadające jej rozwiązanie ogólne to

\[y = c_1 x^{m_1} + c_2 x^{m_2} \label{eqn:general_sol_1}\tag{4}\]

.

II. Podwójny pierwiastek rzeczywisty $m = \cfrac{1-a}{2}$

Gdy $(1-a)^2 - 4b = 0$, czyli $b=\cfrac{(1-a)^2}{4}$, równanie kwadratowe ($\ref{eqn:auxiliary_eqn}$) ma tylko jedno rozwiązanie $m = m_1 = m_2 = \cfrac{1-a}{2}$. Zatem jedyne rozwiązanie postaci $y = x^m$, jakie można stąd uzyskać, to

\[y_1 = x^{(1-a)/2}\]

a równanie Eulera–Cauchy’ego ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$) przyjmuje postać

\[y^{\prime\prime} + \frac{a}{x}y^{\prime} + \frac{(1-a)^2}{4x^2}y = 0 \label{eqn:standard_form}\tag{5}\]

Teraz wyznaczmy inne, liniowo niezależne rozwiązanie $y_2$, korzystając z metody redukcji rzędu.

Jeśli szukane drugie rozwiązanie zapiszemy jako $y_2=uy_1$, to otrzymujemy

\[u = \int U, \qquad U = \frac{1}{y_1^2}\exp\left(-\int \frac{a}{x}\ dx \right).\]

Ponieważ $\exp \left(-\int \cfrac{a}{x}\ dx \right) = \exp (-a\ln x) = \exp(\ln{x^{-a}}) = x^{-a}$, mamy

\[U = \frac{x^{-a}}{y_1^2} = \frac{x^{-a}}{x^{(1-a)}} = \frac{1}{x},\]

a po scałkowaniu dostajemy $u = \ln x$.

Zatem $y_2 = uy_1 = y_1 \ln x$, a ponieważ ich iloraz nie jest stały, $y_1$ i $y_2$ są liniowo niezależne. Rozwiązanie ogólne odpowiadające bazie $y_1$, $y_2$ wynosi

\[y = (c_1 + c_2 \ln x)x^m \label{eqn:general_sol_2}\tag{6}\]

.

III. Sprzężone pierwiastki zespolone

W tym przypadku rozwiązania równania pomocniczego ($\ref{eqn:auxiliary_eqn}$) mają postać $m = \cfrac{1}{2}(1-a) \pm i\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}$. Odpowiadające im dwa zespolone rozwiązania równania ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$) można, korzystając z faktu $x=e^{\ln x}$, zapisać następująco:

\[\begin{align*} x^{m_1} &= x^{(1-a)/2 + i\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}} \\ &= x^{(1-a)/2}(e^{\ln x})^{i\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}} \\ &= x^{(1-a)/2}e^{i(\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}\ln x)}, \\ x^{m_2} &= x^{(1-a)/2 - i\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}} \\ &= x^{(1-a)/2}(e^{\ln x})^{-i\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}} \\ &= x^{(1-a)/2}e^{i(-\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}\ln x)}. \end{align*} \tag{7}\]

Kładąc $t=\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}\ln x$ i stosując wzór Eulera $e^{it} = \cos{t} + i\sin{t}$, otrzymujemy

\[\begin{align*} x^{m_1} &= x^{(1-a)/2}\left[\cos\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right) + i\sin\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right) \right], \\ x^{m_2} &= x^{(1-a)/2}\left[\cos\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right) - i\sin\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right) \right] \end{align*} \tag{8}\]

a stąd dwa rozwiązania rzeczywiste

\[\begin{align*} \frac{x^{m_1} + x^{m_2}}{2} &= x^{(1-a)/2}\cos\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right), \\ \frac{x^{m_1} - x^{m_2}}{2i} &= x^{(1-a)/2}\sin\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right) \end{align*} \tag{9}\]

.

Ponieważ ich iloraz $\cos\left(\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right)$ nie jest stały, powyższe dwa rozwiązania są liniowo niezależne, a więc na mocy zasady superpozycji tworzą bazę rozwiązań równania Eulera–Cauchy’ego ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$). Stąd dostajemy następujące rzeczywiste rozwiązanie ogólne:

\[y = x^{(1-a)/2} \left[ A\cos\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right) + B\sin\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right) \right]. \label{eqn:general_sol_3}\tag{10}\]

Należy jednak zauważyć, że przypadek sprzężonych pierwiastków zespolonych w równaniu Eulera–Cauchy’ego nie ma zwykle szczególnie dużego znaczenia praktycznego.

Sprowadzenie do jednorodnego liniowego RÓZ 2. rzędu o stałych współczynnikach

Równanie Eulera–Cauchy’ego można przez podstawienie zmiennej sprowadzić do jednorodnego liniowego RÓZ 2. rzędu o stałych współczynnikach.

Podstawiając $x = e^t$, dostajemy

\[\frac{d}{dx} = \frac{1}{x}\frac{d}{dt}, \quad \frac{d^2}{dx^2} = \frac{1}{x^2}\left(\frac{d^2}{dt^2} - \frac{d}{dt} \right),\]

więc równanie Eulera–Cauchy’ego ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$) przechodzi w następujące jednorodne liniowe równanie różniczkowe zwyczajne o stałych współczynnikach względem $t$:

\[y^{\prime\prime}(t) + (a-1)y^{\prime}(t) + by(t) = 0. \label{eqn:substituted}\tag{11}\]

Rozwiązując równanie ($\ref{eqn:substituted}$) metodami dla jednorodnych liniowych RÓZ 2. rzędu o stałych współczynnikach względem $t$, a następnie przechodząc z powrotem do zmiennej $x$, używając $t = \ln{x}$, otrzymamy dokładnie ten sam wynik co wcześniej.