Pole grawitacyjne i potencjał grawitacyjny

TL;DR

• Prawo powszechnego ciążenia Newtona: $\mathbf{F} = -G\cfrac{mM}{r^2}\mathbf{e}_r$
• Dla ciągłego rozkładu masy i ciał o skończonych rozmiarach: $\mathbf{F} = -Gm\int_V \cfrac{dM}{r^2}\mathbf{e}_r = -Gm\int_V \cfrac{\rho(\mathbf{r^\prime})\mathbf{e}_r}{r^2} dv^{\prime}$
  • $\rho(\mathbf{r^{\prime}})$: gęstość masy w punkcie o wektorze położenia $\mathbf{r^{\prime}}$ względem dowolnie wybranego początku układu
  • $dv^{\prime}$: element objętości w punkcie o wektorze położenia $\mathbf{r^{\prime}}$ względem dowolnie wybranego początku układu
• Wektor pola grawitacyjnego (gravitational field vector):
  • wektor opisujący siłę przypadającą na jednostkę masy, jakiej doświadcza cząstka w polu wytworzonym przez masę $M$
  • $\mathbf{g} = \cfrac{\mathbf{F}}{m} = - G \cfrac{M}{r^2}\mathbf{e}_r = - G \int_V \cfrac{\rho(\mathbf{r^\prime})\mathbf{e}_r}{r^2}dv^\prime$
  • ma wymiar siły na jednostkę masy albo przyspieszenia
• Potencjał grawitacyjny (gravitational potential):
  • $\mathbf{g} \equiv -\nabla \Phi$
  • ma wymiar $($siła na jednostkę masy $) \times ($odległość $)$ albo energia na jednostkę masy
  • $\Phi = -G\cfrac{M}{r}$
  • sens fizyczny ma jedynie różnica potencjałów, a nie bezwzględna wartość $\Phi$
  • zwykle arbitralnie przyjmuje się warunek $\Phi \to 0$ dla $r \to \infty$, aby usunąć niejednoznaczność (ambiguity)
  • $U = m\Phi, \quad \mathbf{F} = -\nabla U$
• Potencjał grawitacyjny wewnątrz i na zewnątrz powłoki sferycznej (twierdzenie o powłoce)
  • Gdy $R>a$:
    • $\Phi(R>a) = -\cfrac{GM}{R}$
    • przy wyznaczaniu potencjału grawitacyjnego w punkcie zewnętrznym od sferycznie symetrycznego rozkładu masy (spherical symmetric distribution) można traktować ciało jak masę punktową (point mass)
  • Gdy $R<b$:
    • $\Phi(R<b) = -2\pi\rho G(a^2 - b^2)$
    • wewnątrz sferycznie symetrycznej powłoki masy potencjał jest stały (niezależny od położenia), a działająca grawitacja wynosi $0$
  • Gdy $b<R<a$: $\Phi(b<R<a) = -4\pi\rho G \left( \cfrac{a^2}{2} - \cfrac{b^3}{3R} - \cfrac{R^2}{6} \right)$

Pole grawitacyjne

Prawo powszechnego ciążenia Newtona

Newton już przed 11666 HE usystematyzował prawo powszechnego ciążenia i zweryfikował je także ilościowo. Mimo to publikacja jego wyników w dziele Principia w 11687 HE zajęła mu kolejne 20 lat — ponieważ nie potrafił uzasadnić metody obliczeń wykonywanych przy założeniu, że Ziemia i Księżyc są masami punktowymi (point mass), tj. nie mają rozmiaru. Na szczęście, korzystając z rachunku różniczkowego i całkowego, który Newton wynalazł później, możemy dziś dużo łatwiej udowodnić to, co w 11600 latach nie było dla Newtona proste: że problem ten da się poprawnie rozwiązać.

Zgodnie z prawem powszechnego ciążenia Newtona (Newton’s law of universal gravitation), każda cząstka masy przyciąga każdą inną cząstkę we Wszechświecie siłą proporcjonalną do iloczynu ich mas i odwrotnie proporcjonalną do kwadratu odległości między nimi. Matematycznie:

\[\mathbf{F} = -G\frac{mM}{r^2}\mathbf{e}_r \label{eqn:law_of_gravitation}\tag{1}\]

Źródło obrazu

• autor: użytkownik Wikimedia Dennis Nilsson
• licencja: CC BY 3.0

Wektor jednostkowy $\mathbf{e}_r$ jest skierowany od $M$ w stronę $m$, a znak minus oznacza, że siła jest przyciągająca. Innymi słowy, $m$ jest przyciągane w stronę $M$.

Eksperyment Cavendisha

Eksperymentalna weryfikacja tego prawa oraz wyznaczenie wartości $G$ zostały dokonane w 11798 HE przez brytyjskiego fizyka Henry’ego Cavendisha (Henry Cavendish). Eksperyment Cavendisha wykorzystuje wagę skręceń (torsion balance) złożoną z dwóch małych kul przymocowanych do końców lekkiego pręta. Dwie małe kule są przyciągane przez dwie inne, duże kule znajdujące się w pobliżu. Oficjalna wartość $G$ wyznaczona dotychczas wynosi $6.673 \pm 0.010 \times 10^{-11} \mathrm{N\cdot m^2/kg^2}$.

Mimo że $G$ jest jedną z najdawniej znanych stałych fundamentalnych, znamy ją jedynie z mniejszą precyzją (precision) niż większość innych stałych, takich jak $e$, $c$ czy $\hbar$. Do dziś prowadzi się liczne badania mające na celu wyznaczenie $G$ z większą dokładnością.

Przypadek ciał o skończonych rozmiarach

Prawo z równania ($\ref{eqn:law_of_gravitation}$) ściśle rzecz biorąc można stosować tylko do cząstek punktowych (point particle). Jeżeli jedno z ciał (lub oba) ma skończone rozmiary, aby obliczyć siłę, trzeba dodatkowo założyć, że pole grawitacyjne (gravitational force field) jest polem liniowym (linear field). To znaczy: zakładamy, że całkowita grawitacja działająca na cząstkę o masie $m$ od wielu innych cząstek jest sumą wektorową poszczególnych sił. Dla ciągłego rozkładu materii zamieniamy sumę na całkę:

\[\mathbf{F} = -Gm\int_V \frac{dM}{r^2}\mathbf{e}_r = -Gm\int_V \frac{\rho(\mathbf{r^\prime})\mathbf{e}_r}{r^2} dv^{\prime} \label{eqn:integral_form}\tag{2}\]

• $\rho(\mathbf{r^{\prime}})$: gęstość masy w punkcie o wektorze położenia $\mathbf{r^{\prime}}$ względem dowolnego początku układu
• $dv^{\prime}$: element objętości w punkcie o wektorze położenia $\mathbf{r^{\prime}}$ względem dowolnego początku układu

Jeśli zarówno ciało o masie $M$, jak i ciało o masie $m$ mają skończone rozmiary i chcemy wyznaczyć całkowitą siłę grawitacyjną, potrzebna jest także druga całka objętościowa po objętości ciała $m$.

Wektor pola grawitacyjnego

Wektor pola grawitacyjnego (gravitational field vector) $\mathbf{g}$ definiuje się jako wektor siły przypadającej na jednostkę masy, jakiej doświadcza cząstka w polu wytworzonym przez ciało o masie $M$:

\[\mathbf{g} = \frac{\mathbf{F}}{m} = - G \frac{M}{r^2}\mathbf{e}_r \label{eqn:g_vector}\tag{3}\]

albo

\[\boxed{\mathbf{g} = - G \int_V \frac{\rho(\mathbf{r^\prime})\mathbf{e}_r}{r^2}dv^\prime} \tag{4}\]

Przy czym kierunek $\mathbf{e}_r$ zależy od $\mathbf{r^\prime}$.

Wielkość $\mathbf{g}$ ma wymiar siły na jednostkę masy albo przyspieszenia. W pobliżu powierzchni Ziemi moduł wektora pola grawitacyjnego $\mathbf{g}$ jest równy temu, co nazywamy stałą przyspieszenia grawitacyjnego (gravitational acceleration constant): $|\mathbf{g}| \approx 9.80\mathrm{m/s^2}$.

Potencjał grawitacyjny

Definicja

Wektor pola grawitacyjnego $\mathbf{g}$ zmienia się jak $1/r^2$, zatem spełnia warunek umożliwiający przedstawienie go jako gradientu pewnej funkcji skalarnej (potencjału), tj. ($\nabla \times \mathbf{g} \equiv 0$). Wobec tego można napisać:

\[\mathbf{g} \equiv -\nabla \Phi \label{eqn:gradient_phi}\tag{5}\]

Tutaj $\Phi$ nazywamy potencjałem grawitacyjnym (gravitational potential); ma on wymiar $($siła na jednostkę masy $) \times ($odległość $)$ albo energia na jednostkę masy.

Ponieważ $\mathbf{g}$ zależy tylko od promienia, $\Phi$ również zmienia się wraz z $r$. Z równań ($\ref{eqn:g_vector}$) i ($\ref{eqn:gradient_phi}$) wynika

\[\nabla\Phi = \frac{d\Phi}{dr}\mathbf{e}_r = G\frac{M}{r^2}\mathbf{e}_r\]

a po scałkowaniu:

\[\boxed{\Phi = -G\frac{M}{r}} \label{eqn:g_potential}\tag{6}\]

Ponieważ sens fizyczny ma tylko różnica potencjału grawitacyjnego, a nie jego wartość bezwzględna, stałą całkowania można pominąć. Zwykle arbitralnie narzuca się warunek $\Phi \to 0$ dla $r \to \infty$, aby usunąć niejednoznaczność (ambiguity); równanie ($\ref{eqn:g_potential}$) spełnia ten warunek.

Dla ciągłego rozkładu materii potencjał grawitacyjny ma postać:

\[\Phi = -G\int_V \frac{\rho(\mathbf{r\prime})}{r}dv^\prime \label{eqn:g_potential_v}\tag{7}\]

Jeśli masa jest rozłożona powierzchniowo na cienkiej powłoce:

\[\Phi = -G\int_S \frac{\rho_s}{r}da^\prime. \label{eqn:g_potential_s}\tag{8}\]

Natomiast dla liniowego źródła masy o gęstości liniowej $\rho_l$:

\[\Phi = -G\int_\Gamma \frac{\rho_l}{r}ds^\prime. \label{eqn:g_potential_l}\tag{9}\]

Znaczenie fizyczne

Rozważmy pracę na jednostkę masy $dW^\prime$, jaką wykonuje ciało, gdy przemieszcza się w polu grawitacyjnym o $d\mathbf{r}$.

\[\begin{align*} dW^\prime &= -\mathbf{g}\cdot d\mathbf{r} = (\nabla \Phi)\cdot d\mathbf{r} \\ &= \sum_i \frac{\partial \Phi}{\partial x_i}dx_i = d\Phi \label{eqn:work}\tag{10} \end{align*}\]

W tym równaniu $\Phi$ jest funkcją wyłącznie współrzędnych położenia: $\Phi=\Phi(x_1, x_2, x_3) = \Phi(x_i)$. Zatem, gdy przesuwamy ciało w polu grawitacyjnym z jednego punktu do drugiego, praca na jednostkę masy jest równa różnicy potencjałów między tymi punktami.

Jeśli zdefiniujemy potencjał grawitacyjny w nieskończoności jako $0$, to $\Phi$ w dowolnym punkcie można interpretować jako pracę na jednostkę masy potrzebną do przemieszczenia ciała z nieskończoności do tego punktu. Energia potencjalna ciała jest równa iloczynowi jego masy i potencjału grawitacyjnego $\Phi$, więc dla energii potencjalnej $U$:

\[U = m\Phi. \label{eqn:potential_e}\tag{11}\]

W konsekwencji siłę grawitacyjną działającą na ciało otrzymujemy jako ujemny gradient jego energii potencjalnej:

\[\mathbf{F} = -\nabla U \label{eqn:force_and_potential}\tag{12}\]

Gdy obiekt znajduje się w polu grawitacyjnym wytworzonym przez pewną masę, zawsze pojawia się pewna energia potencjalna. Ściśle rzecz biorąc, ta energia jest „w polu”, ale zwyczajowo mówi się o niej jako o energii potencjalnej danego obiektu.

Przykład: potencjał grawitacyjny wewnątrz i na zewnątrz powłoki sferycznej (twierdzenie o powłoce)

Ustalenie układu współrzędnych i zapis potencjału grawitacyjnego w postaci całki

Wyznaczmy potencjał grawitacyjny wewnątrz i na zewnątrz jednorodnej powłoki sferycznej (spherical shell) o promieniu wewnętrznym $b$ i zewnętrznym $a$. Grawitację od powłoki można otrzymać, licząc bezpośrednio składowe siły działającej na jednostkę masy, ale metoda potencjałowa jest prostsza.

Policzmy potencjał w punkcie $P$, oddalonym od środka o $R$. Przy założeniu jednorodnego rozkładu masy powłoki mamy $\rho(r^\prime)=\rho$, a ze względu na symetrię osiową względem prostej łączącej środek kuli z punktem $P$ (symetria względem kąta azymutalnego $\phi$):

\[\begin{align*} \Phi &= -G\int_V \frac{\rho(r^\prime)}{r}dv^\prime \\ &= -\rho G \int_0^{2\pi} \int_0^\pi \int_b^a \frac{1}{r}(dr^\prime)(r^\prime d\theta)(r^\prime \sin\theta\, d\phi) \\ &= -\rho G \int_0^{2\pi} d\phi \int_b^a {r^\prime}^2 dr^\prime \int_0^\pi \frac{\sin\theta}{r}d\theta \\ &= -2\pi\rho G \int_b^a {r^\prime}^2 dr^\prime \int_0^\pi \frac{\sin\theta}{r}d\theta. \label{eqn:spherical_shell_1}\tag{13} \end{align*}\]

Z prawa cosinusów:

\[r^2 = {r^\prime}^2 + R^2 - 2r^\prime R \cos\theta \label{eqn:law_of_cosines}\tag{14}\]

a ponieważ $R$ jest stałe, różniczkując to równanie po $r^\prime$, otrzymujemy:

\[2rdr = 2r^\prime R \sin\theta d\theta\] \[\frac{\sin\theta}{r}d\theta = \frac{dr}{r^\prime R} \tag{15}\]

Po podstawieniu do ($\ref{eqn:spherical_shell_1}$):

\[\Phi = -\frac{2\pi\rho G}{R} \int_b^a r^\prime dr^\prime \int_{r_\mathrm{min}}^{r_\mathrm{max}} dr. \label{eqn:spherical_shell_2}\tag{16}\]

Gdzie $r_\mathrm{max}$ i $r_\mathrm{min}$ zależą od położenia punktu $P$.

Gdy $R>a$

\[\begin{align*} \Phi(R>a) &= -\frac{2\pi\rho G}{R} \int_b^a r^\prime dr^\prime \int_{R-r^\prime}^{R+r^\prime} dr \\ &= - \frac{4\pi\rho G}{R} \int_b^a {r^\prime}^2 dr^\prime \\ &= - \frac{4}{3}\frac{\pi\rho G}{R}(a^3 - b^3). \label{eqn:spherical_shell_outside_1}\tag{17} \end{align*}\]

Masa powłoki sferycznej wynosi:

\[M = \frac{4}{3}\pi\rho(a^3 - b^3) \label{eqn:mass_of_shell}\tag{18}\]

więc potencjał:

\[\boxed{\Phi(R>a) = -\frac{GM}{R}} \label{eqn:spherical_shell_outside_2}\tag{19}\]

Porównując wzór na potencjał grawitacyjny od masy punktowej $M$ — równanie ($\ref{eqn:g_potential}$) — z dopiero co uzyskanym wynikiem ($\ref{eqn:spherical_shell_outside_2}$), widzimy, że są identyczne. Oznacza to, że wyznaczając potencjał grawitacyjny w dowolnym punkcie zewnętrznym od sferycznie symetrycznego rozkładu masy (spherical symmetric distribution), możemy bez szkody traktować całą masę jak skupioną w centrum. Dotyczy to większości obiektów astronomicznych o kształcie zbliżonym do kuli i dostatecznie dużych rozmiarach, takich jak Ziemia czy Księżyc; można je traktować jak matrioszki: niezliczone powłoki sferyczne o wspólnym środku i różnych promieniach, nałożone jedna na drugą. Stanowi to uzasadnienie przyjętego na początku tego tekstu założenia, że ciała niebieskie takie jak Ziemia czy Księżyc można traktować jak masy punktowe.

Gdy $R<b$

\[\begin{align*} \Phi(R<b) &= -\frac{2\pi\rho G}{R} \int_b^a r^\prime dr^\prime \int_{r^\prime - R}^{r^\prime + R}dr \\ &= -4\pi\rho G \int_b^a r^\prime dr^\prime \\ &= -2\pi\rho G(a^2 - b^2). \label{eqn:spherical_shell_inside}\tag{20} \end{align*}\]

Wewnątrz sferycznie symetrycznej powłoki masy potencjał grawitacyjny jest stały (niezależny od położenia), a działająca grawitacja wynosi $0$.

Jest to też jedna z głównych przesłanek, że popularna pseudonauka w rodzaju „teorii pustej Ziemi” to kompletna bzdura. Gdyby Ziemia miała postać powłoki sferycznej z pustym wnętrzem — jak głosi ta teoria — wówczas na wszystkie obiekty znajdujące się w tej pustce nie działałaby grawitacja Ziemi. Patrząc na masę i objętość Ziemi, nie ma zresztą miejsca na taką „pustkę”; a nawet gdyby istniała, hipotetyczne istoty żywe nie chodziłyby po „wewnętrznej powierzchni” powłoki jak po ziemi, tylko unosiłyby się w stanie nieważkości jak na stacji kosmicznej.
Mikroorganizmy mogą co prawda żyć głęboko pod powierzchnią, na głębokości kilku km, ale przynajmniej w formie postulowanej przez teorię pustej Ziemi jest to niemożliwe. Bardzo lubię powieść Juliusza Verne’a Podróż do wnętrza Ziemi (Voyage au centre de la Terre) i film „Podróż do wnętrza Ziemi (Journey to the Center of the Earth)”, ale fikcję trzeba traktować jako fikcję — nie wierzmy w nią na serio.

Gdy $b<R<a$

\[\begin{align*} \Phi(b<R<a) &= -\frac{4\pi\rho G}{3R}(R^3 - b^3) - 2\pi\rho G(a^2 - R^2) \\ &= -4\pi\rho G \left( \frac{a^2}{2} - \frac{b^3}{3R} - \frac{R^2}{6} \right) \label{eqn:within_spherical_shell}\tag{21} \end{align*}\]

Wyniki

Wykresy potencjału grawitacyjnego $\Phi$ w trzech obszarach oraz odpowiadającego mu modułu wektora pola $|\mathbf{g}|$ jako funkcji odległości $R$ wyglądają następująco:

• Kod wizualizacji w Pythonie: repozytorium yunseo-kim/physics-visualizations
• Licencja: Zobacz tutaj

Widać, że potencjał grawitacyjny i moduł wektora pola grawitacyjnego są funkcjami ciągłymi. Gdyby potencjał grawitacyjny był w jakimś punkcie nieciągły, wówczas gradient potencjału — czyli wartość grawitacji — byłby w tym punkcie nieskończony, co jest fizycznie nieuzasadnione; zatem funkcja potencjału musi być ciągła w każdym punkcie. Natomiast pochodna wektora pola grawitacyjnego jest nieciągła na wewnętrznej i zewnętrznej powierzchni powłoki.

Przykład: krzywe rotacji galaktyk

Z obserwacji astronomicznych wynika, że w wielu galaktykach spiralnych obracających się wokół centrum — takich jak Droga Mleczna czy Galaktyka Andromedy — większość obserwowalnej masy jest silnie skoncentrowana w pobliżu centrum. Jednak prędkości orbitalne mas w tych galaktykach, jak widać na poniższym wykresie, znacząco odbiegają od wartości teoretycznie przewidywanych na podstawie obserwowalnego rozkładu masy i po pewnej odległości pozostają prawie stałe.

Źródło obrazu

• autor: użytkownik Wikipedii PhilHibbs
• licencja: Public Domain

Po lewej: rotacja galaktyki przewidziana na podstawie obserwowalnej masy | Po prawej: rotacja galaktyki faktycznie obserwowana.

Źródło wideo

• link do pliku źródłowego (Ogg Theora video): https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Galaxy_rotation_under_the_influence_of_dark_matter.ogv
• autor: Ingo Berg
• licencja: CC BY-SA 3.0
• wykorzystana metoda symulacji i kod: https://beltoforion.de/en/spiral_galaxy_renderer/

Poprzednio osadzony na tej stronie plik obrazu Rotation curve of spiral galaxy Messier 33 (Triangulum).png został usunięty z Wikimedia Commons, ponieważ użytkownik Wikimedia Mario De Leo okazał się opublikować go jako utwór zależny powstały w wyniku plagiatu nie-wolnego utworu należącego do prof. Marka Whittle’a z University of Virginia, bez właściwego cytowania; w związku z tym usunąłem go również z tej strony: https://commons.wikimedia.org/wiki/Commons:Deletion_requests/File:Rotation_curve_of_spiral_galaxy_Messier_33_(Triangulum).png.

Przewidźmy prędkość orbitalną w funkcji odległości w przypadku, gdy masa galaktyki jest skoncentrowana w centrum, i sprawdźmy, że taka prognoza nie zgadza się z obserwacjami. Następnie pokażmy, że aby wyjaśnić wyniki obserwacji, masa $M(R)$ rozłożona wewnątrz promienia $R$ od centrum galaktyki musi być proporcjonalna do $R$.

Najpierw, jeśli masa galaktyki $M$ jest skupiona w centrum, prędkość orbitalna w odległości $R$ wynosi:

\[\frac{GMm}{R^2} = \frac{mv^2}{R}\] \[v = \sqrt{\frac{GM}{R}} \propto \frac{1}{\sqrt{R}}.\]

W tym przypadku, jak pokazuje linia przerywana na wykresach powyżej, przewidujemy spadek prędkości orbitalnej jak $1/\sqrt{R}$. Jednak obserwacje wskazują, że prędkość orbitalna $v$ jest prawie stała niezależnie od odległości $R$, więc teoria i obserwacje nie są zgodne. Takie wyniki obserwacyjne można wyjaśnić tylko wtedy, gdy $M(R)\propto R$.

Wprowadzając stałą proporcjonalności $k$ i przyjmując $M(R) = kR$, dostajemy:

\[v = \sqrt{\frac{GM(R)}{R}} = \sqrt{Gk}\ \text{(stała)}.\]

Na tej podstawie astrofizycy wnioskują, że w wielu galaktykach musi istnieć nieodkryta jeszcze „ciemna materia (dark matter)” i że taka ciemna materia powinna stanowić ponad 90% masy Wszechświata. Jednak natura ciemnej materii nadal nie jest jednoznacznie wyjaśniona; istnieją też próby wyjaśnienia obserwacji bez zakładania jej istnienia — niebędące jednak teorią dominującą — takie jak zmodyfikowana dynamika Newtonowska (Modified Newtonian Dynamics, MOND). Obecnie jest to jedna z najbardziej „frontowych” dziedzin badań w astrofizyce.