Jednorodne liniowe równania różniczkowe zwyczajne drugiego rzędu (Homogeneous Linear ODEs of Second Order)
Poznaj definicję i cechy liniowych równań różniczkowych zwyczajnych 2. rzędu; omówimy zasadę superpozycji dla równań jednorodnych oraz wynikające z niej pojęcie bazy (basis).
TL;DR
- Postać standardowa 2. rzędu liniowego równania różniczkowego zwyczajnego: $y^{\prime\prime} + p(x)y^{\prime} + q(x)y = r(x)$
- współczynniki (coefficients): funkcje $p$, $q$
- wejście (input): $r(x)$
- wyjście (output) lub odpowiedź (response): $y(x)$
- Jednorodne i niejednorodne
- jednorodne (homogeneous): w postaci standardowej $r(x)\equiv0$
- niejednorodne (nonhomogeneous): w postaci standardowej $r(x)\not\equiv 0$
- zasada superpozycji (superposition principle): dla jednorodnego liniowego RÓZ $y^{\prime\prime} + p(x)y^{\prime} + q(x)y = 0$ dowolna kombinacja liniowa dwóch rozwiązań na otwartym przedziale $I$ również jest rozwiązaniem. Innymi słowy, suma dowolnych rozwiązań danego jednorodnego liniowego RÓZ oraz ich mnożenie przez stałą także daje rozwiązanie tego równania.
- baza (basis) lub układ fundamentalny (fundamental system): para $(y_1, y_2)$ rozwiązań jednorodnego liniowego RÓZ liniowo niezależnych na przedziale $I$
- redukcja rzędu (reduction of order): dla jednorodnego RÓZ 2. rzędu, jeśli potrafimy znaleźć jedno rozwiązanie, to drugie rozwiązanie liniowo niezależne (czyli bazę) można wyznaczyć, rozwiązując RÓZ 1. rzędu; metodę tę nazywa się redukcją rzędu
- Zastosowania redukcji rzędu: ogólne RÓZ 2. rzędu $F(x, y, y^\prime, y^{\prime\prime})=0$ (liniowe lub nieliniowe) można w następujących przypadkach sprowadzić do równania 1. rzędu:
- gdy $y$ nie występuje jawnie
- gdy $x$ nie występuje jawnie
- gdy jest jednorodne liniowe i znamy już jedno rozwiązanie
Prerequisites
- Podstawowe pojęcia modelowania (Modeling)
- Metoda rozdzielania zmiennych (Separation of Variables)
- Rozwiązywanie liniowych równań różniczkowych zwyczajnych 1. rzędu
Liniowe równania różniczkowe zwyczajne 2. rzędu
Równanie różniczkowe zwyczajne 2. rzędu
\[y^{\prime\prime} + p(x)y^{\prime} + q(x)y = r(x) \label{eqn:standard_form}\tag{1}\]nazywa się liniowym (linear), jeśli można je zapisać w tej postaci; w przeciwnym razie jest nieliniowe (nonlinear).
Gdy $p$, $q$, $r$ są funkcjami zmiennej $x$, równanie to jest liniowe względem $y$ oraz jego pochodnych.
Postać jak w ($\ref{eqn:standard_form}$) nazywa się postacią standardową (standard form) liniowego RÓZ 2. rzędu. Jeśli pierwszy wyraz danego liniowego RÓZ 2. rzędu ma postać $f(x)y^{\prime\prime}$, to dzieląc obie strony równania przez $f(x)$, można otrzymać postać standardową.
Funkcje $p$, $q$ nazywa się współczynnikami (coefficients), $r(x)$ — wejściem (input), a $y(x)$ — wyjściem (output) lub odpowiedzią (response) na wejście i warunki początkowe.
Jednorodne liniowe równania różniczkowe zwyczajne 2. rzędu
Niech $J$ oznacza pewien przedział $a<x<b$, na którym chcemy rozwiązać ($\ref{eqn:standard_form}$). Jeśli w ($\ref{eqn:standard_form}$) na przedziale $J$ zachodzi $r(x)\equiv 0$, to
\[y^{\prime\prime} + p(x)y^{\prime} + q(x)y = 0 \label{eqn:homogeneous_linear_ode}\tag{2}\]i takie równanie nazywa się jednorodnym (homogeneous).
Niejednorodne liniowe równania różniczkowe zwyczajne
Jeśli na przedziale $J$ zachodzi $r(x)\not\equiv 0$, to równanie nazywa się niejednorodnym (nonhomogeneous).
Zasada superpozycji
\[y = c_1y_1 + c_2y_2 \quad \text{(}c_1, c_2\text{ są dowolnymi stałymi)}\tag{3}\]Funkcję tej postaci nazywa się kombinacją liniową (linear combination) funkcji $y_1$ i $y_2$.
Wtedy zachodzi następujące twierdzenie.
zasada superpozycji (superposition principle)
Dla jednorodnego liniowego RÓZ ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) dowolna kombinacja liniowa dwóch rozwiązań na otwartym przedziale $I$ jest również rozwiązaniem równania ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$). Innymi słowy, suma dowolnych rozwiązań danego jednorodnego liniowego RÓZ oraz ich mnożenie przez stałą także daje rozwiązanie tego równania.
Dowód
Niech $y_1$ oraz $y_2$ będą rozwiązaniami równania ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) na przedziale $I$. Podstawiając $y=c_1y_1+c_2y_2$ do ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$), otrzymujemy
\[\begin{align*} y^{\prime\prime} + py^{\prime} + qy &= (c_1y_1+c_2y_2)^{\prime\prime} + p(c_1y_1+c_2y_2)^{\prime} + q(c_1y_1+c_2y_2) \\ &= c_1y_1^{\prime\prime} + c_2y_2^{\prime\prime} + p(c_1y_1^{\prime} + c_2y_2^{\prime}) + q(c_1y_1+c_2y_2) \\ &= c_1(y_1^{\prime\prime} + py_1^{\prime} + qy_1) + c_2(y_2^{\prime\prime} + py_2^{\prime} + qy_2) \\ &= 0 \end{align*}\]co jest tożsamością. Zatem $y$ jest rozwiązaniem równania ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) na przedziale $I$. $\blacksquare$
Należy zauważyć, że zasada superpozycji zachodzi wyłącznie dla jednorodnych liniowych równań różniczkowych zwyczajnych; nie jest spełniona dla liniowych równań niejednorodnych ani dla równań nieliniowych.
Baza i rozwiązanie ogólne
Przypomnienie kluczowych pojęć z równań 1. rzędu
Jak widzieliśmy wcześniej w Podstawowe pojęcia modelowania (Modeling), zagadnienie początkowe (Initial Value Problem) dla RÓZ 1. rzędu składa się z równania różniczkowego oraz warunku początkowego (initial condition) $y(x_0)=y_0$. Warunek początkowy jest potrzebny do wyznaczenia dowolnej stałej $c$ w rozwiązaniu ogólnym danego równania, a tak wyznaczone rozwiązanie nazywa się rozwiązaniem szczególnym. Rozszerzmy teraz te pojęcia na równania 2. rzędu.
Zagadnienie początkowe i warunki początkowe
Zagadnienie początkowe (initial value problem) dla jednorodnego RÓZ 2. rzędu ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) składa się z danego równania różniczkowego ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) oraz dwóch warunków początkowych (initial conditions)
\[y(x_0) = K_0, \quad y^{\prime}(x_0)=K_1 \label{eqn:init_conditions}\tag{4}\]Warunki te są potrzebne do wyznaczenia dwóch dowolnych stałych $c_1$ oraz $c_2$ w rozwiązaniu ogólnym (general solution)
\[y = c_1y_1 + c_2y_2 \label{eqn:general_sol}\tag{5}\]Niezależność i zależność liniowa
Na chwilę przyjrzyjmy się pojęciom niezależności i zależności liniowej. Aby zdefiniować bazę, potrzebujemy je rozumieć.
Jeżeli dla dwóch funkcji $y_1$ i $y_2$ zdefiniowanych na przedziale $I$, w każdym punkcie tego przedziału zachodzi
to mówimy, że $y_1$ i $y_2$ są liniowo niezależne (linearly independent) na przedziale $I$. W przeciwnym razie są liniowo zależne (linearly dependent).
Jeśli $y_1$ oraz $y_2$ są liniowo zależne (tj. gdy zdanie ($\ref{eqn:linearly_independent}$) nie jest prawdziwe), to można podzielić obie strony równania w ($\ref{eqn:linearly_independent}$) przez $k_1 \neq 0$ lub $k_2 \neq 0$ i zapisać
\[y_1 = - \frac{k_2}{k_1}y_2 \quad \text{lub} \quad y_2 = - \frac{k_1}{k_2}y_2\]co pokazuje, że $y_1$ i $y_2$ są proporcjonalne.
Baza, rozwiązanie ogólne, rozwiązanie szczególne
Wracając: aby ($\ref{eqn:general_sol}$) było rozwiązaniem ogólnym, $y_1$ i $y_2$ muszą być rozwiązaniami równania ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) oraz jednocześnie nie mogą być proporcjonalne na przedziale $I$, tzn. muszą być liniowo niezależne (linearly independent). Parę $(y_1, y_2)$ rozwiązań równania ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$), liniowo niezależnych na przedziale $I$, nazywa się na przedziale $I$ bazą (basis) lub układem fundamentalnym (fundamental system) rozwiązań równania ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$).
Wykorzystując warunki początkowe, wyznaczamy dwie stałe $c_1$ oraz $c_2$ w rozwiązaniu ogólnym ($\ref{eqn:general_sol}$), otrzymując jedyne rozwiązanie przechodzące przez punkt $(x_0, K_0)$ i o nachyleniu stycznej w tym punkcie równym $K_1$. Rozwiązanie to nazywa się rozwiązaniem szczególnym (particular solution) równania ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$).
Jeśli ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) jest ciągłe na otwartym przedziale $I$, to ma koniecznie rozwiązanie ogólne, które obejmuje wszystkie możliwe rozwiązania szczególne. Innymi słowy, w tym przypadku równanie ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) nie ma rozwiązań osobliwych (singular solution), których nie dałoby się otrzymać z rozwiązania ogólnego.
Redukcja rzędu (reduction of order)
Dla jednorodnego RÓZ 2. rzędu, jeśli potrafimy znaleźć jedno rozwiązanie, to drugie rozwiązanie liniowo niezależne od niego, czyli bazę, można wyznaczyć w następujący sposób przez rozwiązanie RÓZ 1. rzędu. Metodę tę nazywa się redukcją rzędu (reduction of order).
Dla jednorodnego liniowego RÓZ 2. rzędu w postaci standardowej, tj. z $y^{\prime\prime}$ (a nie $f(x)y^{\prime\prime}$),
\[y^{\prime\prime} + p(x)y^\prime + q(x)y = 0\]załóżmy, że znamy jedno rozwiązanie $y_1$ na otwartym przedziale $I$.
Niech szukane drugie rozwiązanie ma postać $y_2 = uy_1$. Wówczas
\[\begin{align*} y &= y_2 = uy_1, \\ y^{\prime} &= y_2^{\prime} = u^{\prime}y_1 + uy_1^{\prime}, \\ y^{\prime\prime} &= y_2^{\prime\prime} = u^{\prime\prime}y_1 + 2u^{\prime}y_1^{\prime} + uy_1^{\prime\prime} \end{align*}\]Po podstawieniu do równania otrzymujemy
\[(u^{\prime\prime}y_1 + 2u^{\prime}y_1^{\prime} + uy_1^{\prime\prime}) + p(u^{\prime}y_1 + uy_1^{\prime}) + quy_1 = 0 \tag{7}\]Grupując wyrazy przy $u^{\prime\prime}$, $u^{\prime}$ i $u$, dostajemy
\[y_1u^{\prime\prime} + (py_1+2y_1^{\prime})u^{\prime} + (y_1^{\prime\prime} + py_1^{\prime} + qy_1)u = 0\]Ponieważ $y_1$ jest rozwiązaniem danego równania, wyrażenie w ostatnim nawiasie wynosi $0$, więc wyraz z $u$ znika i zostaje równanie różniczkowe względem $u^{\prime}$ oraz $u^{\prime\prime}$. Dzieląc obie strony przez $y_1$ oraz podstawiając $u^{\prime}=U$, $u^{\prime\prime}=U^{\prime}$, otrzymujemy równanie 1. rzędu
\[U^{\prime} + \left(\frac{2y_1^{\prime}}{y_1} + p \right) U = 0.\]Stosując rozdzielanie zmiennych i całkując, dostajemy
\[\begin{align*} \frac{dU}{U} &= - \left(\frac{2y_1^{\prime}}{y_1} + p \right) dx \\ \ln|U| &= -2\ln|y_1| - \int p dx \end{align*}\]a po podniesieniu obu stron do wykładnika otrzymujemy ostatecznie
\[U = \frac{1}{y_1^2}e^{-\int p dx} \tag{8}\]Ponieważ wcześniej przyjęliśmy $U=u^{\prime}$, mamy $u=\int U dx$, a zatem drugie rozwiązanie $y_2$ wynosi
\[y_2 = uy_1 = y_1 \int U dx\]Ponieważ $\cfrac{y_2}{y_1} = u = \int U dx$ nie może być stałą (o ile $U>0$), $y_1$ oraz $y_2$ tworzą bazę rozwiązań.
Zastosowania redukcji rzędu
Ogólne RÓZ 2. rzędu $F(x, y, y^\prime, y^{\prime\prime})=0$ — niezależnie od tego, czy jest liniowe czy nieliniowe — można sprowadzić do równania 1. rzędu metodą redukcji rzędu, gdy $y$ nie występuje jawnie, gdy $x$ nie występuje jawnie albo (jak wyżej) gdy jest to równanie jednorodne liniowe i znamy już jedno rozwiązanie.
Gdy $y$ nie występuje jawnie
Jeśli w $F(x, y^\prime, y^{\prime\prime})=0$ podstawimy $z=y^{\prime}$, to możemy sprowadzić problem do RÓZ 1. rzędu względem $z$: $F(x, z, z^{\prime})$.
Gdy $x$ nie występuje jawnie
Jeśli w $F(y, y^\prime, y^{\prime\prime})=0$ podstawimy $z=y^{\prime}$, to
$y^{\prime\prime} = \cfrac{d y^{\prime}}{dx} = \cfrac{d y^{\prime}}{dy}\cfrac{dy}{dx} = \cfrac{dz}{dy}z$,
więc możemy sprowadzić problem do RÓZ 1. rzędu względem $z$, w którym $y$ pełni rolę zmiennej niezależnej zamiast $x$: $F(y,z,z^\prime)$.