Jednorodne liniowe równanie różniczkowe zwyczajne 2. rzędu o stałych współczynnikach

TL;DR

• Jednorodne liniowe RÓZ 2. rzędu o stałych współczynnikach: $y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = 0$
• Równanie charakterystyczne (characteristic equation): $\lambda^2 + a\lambda + b = 0$
• W zależności od znaku wyróżnika równania charakterystycznego $a^2 - 4b$ postać rozwiązania ogólnego można podzielić na trzy przypadki (jak w tabeli)

Przypadek	Rozwiązania równania charakterystycznego	Baza rozwiązań RÓZ	Rozwiązanie ogólne RÓZ
I	Dwa różne pierwiastki rzeczywiste $\lambda_1$, $\lambda_2$	$e^{\lambda_1 x}$, $e^{\lambda_2 x}$	$y = c_1e^{\lambda_1 x} + c_2e^{\lambda_2 x}$
II	Podwójny pierwiastek rzeczywisty $\lambda = -\cfrac{1}{2}a$	$e^{-ax/2}$, $xe^{-ax/2}$	$y = (c_1 + c_2 x)e^{-ax/2}$
III	Sprzężone pierwiastki zespolone $\lambda_1 = -\cfrac{1}{2}a + i\omega$, $\lambda_2 = -\cfrac{1}{2}a - i\omega$	$e^{-ax/2}\cos{\omega x}$, $e^{-ax/2}\sin{\omega x}$	$y = e^{-ax/2}(A\cos{\omega x} + B\sin{\omega x})$

Wymagania wstępne

• Równanie Bernoulliego (Bernoulli Equation)
• Jednorodne liniowe równania różniczkowe zwyczajne drugiego rzędu (Homogeneous Linear ODEs of Second Order)
• wzór Eulera

Równanie charakterystyczne (characteristic equation)

Rozważmy jednorodne liniowe równanie różniczkowe zwyczajne 2. rzędu o stałych współczynnikach $a$ i $b$

\[y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = 0 \label{eqn:ode_with_constant_coefficients}\tag{1}\]

Równania tej postaci mają istotne zastosowania m.in. w drganiach mechanicznych i elektrycznych.

Wcześniej, w poście Równanie Bernoulliego (Bernoulli Equation), wyznaczyliśmy rozwiązanie ogólne równania logistycznego; wynika z tego, że rozwiązaniem jednorodnego liniowego RÓZ 1. rzędu o stałym współczynniku $k$

\[y^\prime + ky = 0\]

jest funkcja wykładnicza $y = ce^{-kx}$. (względem równania (4) z tamtego wpisu: przypadek $A=-k$, $B=0$)

Zatem dla równania o podobnej postaci, tj. ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$), również możemy najpierw spróbować rozwiązania w postaci

\[y=e^{\lambda x}\label{eqn:general_sol}\tag{2}\]

Oczywiście jest to jedynie hipoteza i nie ma żadnej gwarancji, że rozwiązanie ogólne rzeczywiście będzie miało taką postać. Jednak niezależnie od tego, wystarczy znaleźć dwa liniowo niezależne rozwiązania, a wtedy — jak widzieliśmy w poście Jednorodne liniowe RÓZ 2. rzędu — na mocy zasady superpozycji można otrzymać rozwiązanie ogólne.
Jak za chwilę zobaczymy, zdarzają się też sytuacje, w których trzeba szukać rozwiązania innej postaci.

Podstawiając ($\ref{eqn:general_sol}$) oraz jego pochodne

\[y^\prime = \lambda e^{\lambda x}, \quad y^{\prime\prime} = \lambda^2 e^{\lambda x}\]

do równania ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$), otrzymujemy

\[(\lambda^2 + a\lambda + b)e^{\lambda x} = 0\]

Zatem jeśli $\lambda$ jest rozwiązaniem równania charakterystycznego (characteristic equation)

\[\lambda^2 + a\lambda + b = 0 \label{eqn:characteristic_eqn}\tag{3}\]

to funkcja wykładnicza ($\ref{eqn:general_sol}$) jest rozwiązaniem RÓZ ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$). Rozwiązując równanie kwadratowe ($\ref{eqn:characteristic_eqn}$), dostajemy

\[\begin{align*} \lambda_1 &= \frac{1}{2}\left(-a + \sqrt{a^2 - 4b}\right), \\ \lambda_2 &= \frac{1}{2}\left(-a - \sqrt{a^2 - 4b}\right) \end{align*}\label{eqn:lambdas}\tag{4}\]

a stąd dwie funkcje

\[y_1 = e^{\lambda_1 x}, \quad y_2 = e^{\lambda_2 x} \tag{5}\]

są rozwiązaniami równania ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$).

Terminy równanie charakterystyczne (characteristic equation) oraz równanie pomocnicze (auxiliary equation) często są używane zamiennie, ale znaczą dokładnie to samo. Można stosować dowolne z tych określeń.

Teraz, w zależności od znaku wyróżnika równania charakterystycznego ($\ref{eqn:characteristic_eqn}$), tj. $a^2 - 4b$, można rozważyć trzy przypadki:

• $a^2 - 4b > 0$: dwa różne pierwiastki rzeczywiste
• $a^2 - 4b = 0$: podwójny pierwiastek rzeczywisty
• $a^2 - 4b < 0$: sprzężone pierwiastki zespolone

Postać rozwiązania ogólnego w zależności od znaku wyróżnika równania charakterystycznego

I. Dwa różne pierwiastki rzeczywiste $\lambda_1$ i $\lambda_2$

W tym przypadku na dowolnym przedziale bazą rozwiązań równania ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$) jest

\[y_1 = e^{\lambda_1 x}, \quad y_2 = e^{\lambda_2 x}\]

a odpowiadające rozwiązanie ogólne ma postać

\[y = c_1 e^{\lambda_1 x} + c_2 e^{\lambda_2 x} \label{eqn:general_sol_1}\tag{6}\]

II. Podwójny pierwiastek rzeczywisty $\lambda = -\cfrac{a}{2}$

Gdy $a^2 - 4b = 0$, równanie kwadratowe ($\ref{eqn:characteristic_eqn}$) ma tylko jedno rozwiązanie $\lambda = \lambda_1 = \lambda_2 = -\cfrac{a}{2}$, a więc rozwiązanie postaci $y = e^{\lambda x}$ jest tylko jedno:

\[y_1 = e^{-(a/2)x}\]

Aby otrzymać bazę, musimy znaleźć drugie rozwiązanie $y_2$ o innej postaci, liniowo niezależne od $y_1$.

W takiej sytuacji można wykorzystać poznaną wcześniej metodę redukcji rzędu. Przyjmijmy, że szukane drugie rozwiązanie ma postać $y_2=uy_1$. Wówczas

\[\begin{align*} y_2 &= uy_1, \\ y_2^{\prime} &= u^{\prime}y_1 + uy_1^{\prime}, \\ y_2^{\prime\prime} &= u^{\prime\prime}y_1 + 2u^{\prime}y_1^{\prime} + uy_1^{\prime\prime} \end{align*}\]

Po podstawieniu do równania ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$) otrzymujemy

\[(u^{\prime\prime}y_1 + 2u^\prime y_1^\prime + uy_1^{\prime\prime}) + a(u^\prime y_1 + uy_1^\prime) + buy_1 = 0\]

Grupując wyrazy przy $u^{\prime\prime}$, $u^\prime$, $u$, dostajemy

\[y_1u^{\prime\prime} + (2y_1^\prime + ay_1)u^\prime + (y_1^{\prime\prime} + ay_1^\prime + by_1)u = 0\]

Ponieważ $y_1$ jest rozwiązaniem równania ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$), wyrażenie w ostatnim nawiasie wynosi $0$, a ponadto

\[2y_1^\prime = -ae^{-ax/2} = -ay_1\]

więc także wyrażenie w pierwszym nawiasie jest równe $0$. Zostaje zatem tylko $u^{\prime\prime}y_1 = 0$, skąd $u^{\prime\prime}=0$. Całkując dwukrotnie, otrzymujemy $u = c_1x + c_2$. Ponieważ stałe całkowania $c_1$ i $c_2$ mogą być dowolne, możemy po prostu wybrać $c_1=1$, $c_2=0$ i przyjąć $u=x$. Wtedy $y_2 = uy_1 = xy_1$. Ponieważ $y_1$ i $y_2$ są liniowo niezależne, tworzą bazę. Zatem w przypadku, gdy równanie charakterystyczne ($\ref{eqn:characteristic_eqn}$) ma pierwiastek podwójny, bazą rozwiązań równania ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$) na dowolnym przedziale jest

\[e^{-ax/2}, \quad xe^{-ax/2}\]

a odpowiadające rozwiązanie ogólne to

\[y = (c_1 + c_2x)e^{-ax/2} \label{eqn:general_sol_2}\tag{7}\]

III. Sprzężone pierwiastki zespolone $-\cfrac{1}{2}a + i\omega$ oraz $-\cfrac{1}{2}a - i\omega$

W tym przypadku $a^2 - 4b < 0$ i $\sqrt{-1} = i$, więc z ($\ref{eqn:lambdas}$) mamy

\[\cfrac{1}{2}\sqrt{a^2 - 4b} = \cfrac{1}{2}\sqrt{-(4b - a^2)} = \sqrt{-(b-\frac{1}{4}a^2)} = i\sqrt{b - \frac{1}{4}a^2}\]

Zdefiniujmy teraz liczbę rzeczywistą $\omega$ przez $\sqrt{b-\cfrac{1}{4}a^2} = \omega$.

Przy takiej definicji $\omega$ rozwiązaniami równania charakterystycznego ($\ref{eqn:characteristic_eqn}$) są sprzężone pierwiastki zespolone $\lambda = -\cfrac{1}{2}a \pm i\omega$, a odpowiadające im dwa zespolone rozwiązania równania ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$) to

\[\begin{align*} e^{\lambda_1 x} &= e^{-(a/2)x + i\omega x}, \\ e^{\lambda_2 x} &= e^{-(a/2)x - i\omega x} \end{align*}\]

Także w tym przypadku można jednak uzyskać bazę rozwiązań rzeczywistych (nieurojonych), jak poniżej.

Korzystając ze wzoru Eulera (Euler formula)

\[e^{it} = \cos t + i\sin t \label{eqn:euler_formula}\tag{8}\]

oraz z równania otrzymanego po podstawieniu $t \mapsto -t$,

\[e^{-it} = \cos t - i\sin t\]

a następnie dodając i odejmując stronami te dwa równania, dostajemy

\[\begin{align*} \cos t &= \frac{1}{2}(e^{it} + e^{-it}), \\ \sin t &= \frac{1}{2i}(e^{it} - e^{-it}). \end{align*} \label{eqn:cos_and_sin}\tag{9}\]

Dla liczby zespolonej $z = r + it$ (z częścią rzeczywistą $r$ i urojoną $it$) funkcję wykładniczą zespoloną $e^z$ można zdefiniować za pomocą funkcji rzeczywistych $e^r$, $\cos t$ i $\sin t$ następująco:

\[e^z = e^{r + it} = e^r e^{it} = e^r(\cos t + i\sin t) \label{eqn:complex_exp}\tag{10}\]

Podstawiając $r=-\cfrac{1}{2}ax$, $t=\omega x$, możemy napisać

\[\begin{align*} e^{\lambda_1 x} &= e^{-(a/2)x + i\omega x} = e^{-(a/2)x}(\cos{\omega x} + i\sin{\omega x}) \\ e^{\lambda_2 x} &= e^{-(a/2)x - i\omega x} = e^{-(a/2)x}(\cos{\omega x} - i\sin{\omega x}) \end{align*}\]

Z zasady superpozycji wynika, że suma tych rozwiązań zespolonych oraz ich mnożenie przez stałą także daje rozwiązanie. Dodając stronami oba równania i mnożąc obie strony przez $\cfrac{1}{2}$, otrzymujemy pierwsze rozwiązanie rzeczywiste $y_1$:

\[y_1 = e^{-(a/2)x} \cos{\omega x}. \label{eqn:basis_1}\tag{11}\]

Analogicznie, odejmując stronami drugie równanie od pierwszego i mnożąc obie strony przez $\cfrac{1}{2i}$, dostajemy drugie rozwiązanie rzeczywiste $y_2$:

\[y_2 = e^{-(a/2)x} \sin{\omega x}. \label{eqn:basis_2}\tag{12}\]

Ponieważ $\cfrac{y_1}{y_2} = \cot{\omega x}$ nie jest stałe, funkcje $y_1$ i $y_2$ są liniowo niezależne na każdym przedziale, a więc tworzą bazę rozwiązań rzeczywistych równania ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$). Stąd otrzymujemy rozwiązanie ogólne

\[y = e^{-ax/2}(A\cos{\omega x} + B\sin{\omega x}) \quad \text{(}A,\, B\text{ są dowolnymi stałymi)} \label{eqn:general_sol_3}\tag{13}\]