Iloczyn wewnętrzny i norma

Wymagania wstępne

• Wektory i kombinacje liniowe

Iloczyn wewnętrzny

Definicja iloczynu wewnętrznego (inner product) w ogólnej $F$-przestrzeni wektorowej jest następująca.

Definicja iloczynu wewnętrznego (inner product) i przestrzeni z iloczynem wewnętrznym (inner product space)
Rozważmy $F$-przestrzeń wektorową $\mathbb{V}$. Iloczyn wewnętrzny (inner product) $\langle \mathbf{x},\mathbf{y} \rangle$ na $\mathbb{V}$ definiuje się jako funkcję, która każdej uporządkowanej parze dowolnych wektorów $\mathbf{x}$ i $\mathbf{y}$ z $\mathbb{V}$ przyporządkowuje skalar należący do $F$ i spełnia następujące warunki.

Dla dowolnych $\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z} \in \mathbb{V}$ oraz dowolnego $c \in F$ zachodzi:

1. $\langle \mathbf{x}+\mathbf{z}, \mathbf{y} \rangle = \langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle + \langle \mathbf{z}, \mathbf{y} \rangle$
2. $\langle c\mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = c \langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle$
3. $\overline{\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle} = \langle \mathbf{y}, \mathbf{x} \rangle$ ($\overline{\mathbf{z}}$ to sprzężenie zespolone liczby $\mathbf{z}$)
4. Gdy $\mathbf{x} \neq \mathbf{0}$, to $\langle \mathbf{x}, \mathbf{x} \rangle$ jest dodatnie.

$F$-przestrzeń wektorową $\mathbb{V}$ wyposażoną w iloczyn wewnętrzny nazywa się przestrzenią z iloczynem wewnętrznym (inner product space). W szczególności, gdy $F=\mathbb{C}$, mówimy o zespolonej przestrzeni z iloczynem wewnętrznym (complex inner product space), a gdy $F=\mathbb{R}$ — o rzeczywistej przestrzeni z iloczynem wewnętrznym (real inner product space).

W szczególności poniższy iloczyn wewnętrzny nazywa się standardowym iloczynem wewnętrznym (standard inner product). Można sprawdzić, że spełnia on wszystkie cztery warunki z powyższej definicji.

Definicja standardowego iloczynu wewnętrznego (standard inner product)
Dla dwóch wektorów $\mathbf{x}=(a_1, a_2, \dots, a_n)$ oraz $\mathbf{y}=(b_1, b_2, \dots, b_n)$ w $F^n$ definiujemy standardowy iloczyn wewnętrzny (standard inner product) na $F^n$ następująco:

\[\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = \sum_{i=1}^n a_i \overline{b_i}\]

Gdy $F=\mathbb{R}$, sprzężenie zespolone liczby rzeczywistej jest równe jej samej, więc standardowy iloczyn wewnętrzny ma wówczas postać $\sum_{i=1}^n a_i b_i$. W tym szczególnym przypadku standardowy iloczyn wewnętrzny zapisuje się często nie jako $\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle$, lecz jako $\mathbf{x} \cdot \mathbf{y}$, i nazywa iloczynem skalarnym (dot product) lub iloczynem skalarnym (scalar product).

Definicja iloczynu skalarnego (dot product)/iloczynu skalarnego (scalar product)
Dla $\mathbf{v}=(v_1, v_2, \dots, v_n)$ oraz $\mathbf{w}=(w_1, w_2, \dots, w_n)$ w $\mathbb{R}^n$ definiujemy iloczyn skalarny (dot product) lub iloczyn skalarny (scalar product) na $\mathbb{R}^n$ następująco:

\[\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = \sum_{i=1}^n v_i w_i = v_1 w_1 + v_2 w_2 + \cdots + v_n w_n\]

Wspomniany tu „iloczyn skalarny (scalar product)” jest działaniem między wektorami i jest czymś innym niż „mnożenie skalarne (scalar multiplication)” (działanie skalar–wektor) omawiane w Wektory i kombinacje liniowe. Ponieważ angielskie nazwy są do siebie dość podobne, a do tego w standardzie tłumaczeń przyjętym przez Koreańskie Towarzystwo Matematyczne oba terminy są w języku koreańskim identyczne, trzeba uważać, by ich nie pomylić.

Aby uniknąć nieporozumień, dalej będę możliwie konsekwentnie używać określenia iloczyn skalarny (dot product).

Ponieważ w przestrzeni euklidesowej iloczyn wewnętrzny (inner product) jest tym samym co iloczyn skalarny (dot product), często — jeśli z kontekstu nie wynika ryzyko pomyłki — iloczyn skalarny nazywa się po prostu iloczynem wewnętrznym. Ściśle rzecz biorąc, iloczyn wewnętrzny jest jednak pojęciem bardziej ogólnym, obejmującym iloczyn skalarny jako szczególny przypadek.

flowchart TD
    A["Iloczyn wewnętrzny (Inner Product)"] -->|zawiera| B["Standardowy iloczyn wewnętrzny (Standard Inner Product)"]
    B -->|"F = R (ciało liczb rzeczywistych)"| C["Iloczyn skalarny (Dot/Scalar Product)"]

    %% 포함(포함 관계) 표기
    C -. zawarte .-> B
    B -. zawarte .-> A

Długość/norma wektora

Dla wektora $\mathbf{v}=(v_1, v_2, \dots, v_n)$ w $\mathbb{R}^n$ długość euklidesową wektora $\mathbf{v}$ definiuje się za pomocą iloczynu skalarnego następująco:

\[\| \mathbf{v} \| = \sqrt{\mathbf{v} \cdot \mathbf{v}} = \left[ \sum_{i=1}^n |v_i|^2 \right]^{1/2} = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + \cdots + v_n^2}\]

Bardziej ogólnie, w dowolnej przestrzeni z iloczynem wewnętrznym długość (length) lub normę (norm) wektora definiuje się następująco:

\[\| \mathbf{x} \| = \sqrt{\langle \mathbf{x}, \mathbf{x} \rangle}\]

W ogólnej przestrzeni z iloczynem wewnętrznym dla normy wektora zachodzą następujące ważne własności.

Twierdzenie
Dla $F$-przestrzeni z iloczynem wewnętrznym $\mathbb{V}$, dowolnych wektorów $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{V}$ oraz skalaru $c \in F$ zachodzi:

1. $\|c\mathbf{x}\| = |c| \cdot \|\mathbf{x}\|$
2. Zachodzą dwa fakty:
   • $\|\mathbf{x}\| = 0 \iff \mathbf{x}=\mathbf{0}$
   • $\|\mathbf{x}\| \geq 0 \ \forall \mathbf{x}$
3. Nierówność Cauchy’ego-Schwarza (Cauchy-Schwarz inequality): $| \langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle | \leq \|\mathbf{x}\| \cdot \|\mathbf{y}\|$ (równość zachodzi, gdy jeden z wektorów $\mathbf{x}$ i $\mathbf{y}$ jest stałą wielokrotnością drugiego)
4. Nierówność trójkąta (triangle inequality): $\| \mathbf{x} + \mathbf{y} \| \leq \|\mathbf{x}\| + \|\mathbf{y}\|$ (równość zachodzi, gdy jeden z wektorów $\mathbf{x}$ i $\mathbf{y}$ jest stałą wielokrotnością drugiego oraz mają ten sam zwrot)

Kąt między wektorami i wektor jednostkowy

Wektor o długości $1$ nazywa się wektorem jednostkowym (unit vector). Ponadto dla dwóch wektorów $\mathbf{v}=(v_1, v_2, \dots, v_n)$ oraz $\mathbf{w}=(w_1, w_2, \dots, w_n)$ w $\mathbb{R}^n$ zachodzi zależność $\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = \|\mathbf{v}\| \cdot \|\mathbf{w}\| \cos\theta$, skąd można wyznaczyć kąt $\theta$ ($0 \leq \theta \leq \pi$) między $\mathbf{v}$ i $\mathbf{w}$.

\[\theta = \arccos{\frac{\mathbf{v} \cdot \mathbf{w}}{\|\mathbf{v}\| \cdot \|\mathbf{w}\|}}\]

Jeśli $\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = 0$, to dwa wektory są prostopadłe (perpendicular) lub ortogonalne (orthogonal).

Gdy dwa wektory $\mathbf{v}$ i $\mathbf{w}$ są prostopadłe,

\[\begin{align*} \| \mathbf{v} + \mathbf{w} \|^2 &= (\mathbf{v} + \mathbf{w}) \cdot (\mathbf{v} + \mathbf{w}) \\ &= \mathbf{v} \cdot \mathbf{v} + \mathbf{v} \cdot \mathbf{w} + \mathbf{w} \cdot \mathbf{v} + \mathbf{w} \cdot \mathbf{w} \\ &= \mathbf{v} \cdot \mathbf{v} + \mathbf{w} \cdot \mathbf{w} \\ &= \|\mathbf{v}\|^2 + \|\mathbf{w}\|^2. \end{align*}\]

Uogólnienie tego na dowolną przestrzeń z iloczynem wewnętrznym wygląda następująco.

Definicja
Rozważmy przestrzeń z iloczynem wewnętrznym $\mathbb{V}$. Dla wektorów $\mathbf{x}, \mathbf{y}$ z $\mathbb{V}$, jeśli $\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = 0$, to definiujemy, że dwa wektory są ortogonalne (orthogonal) lub prostopadłe (perpendicular). Ponadto:

1. Dla podzbioru $S$ przestrzeni $\mathbb{V}$, jeśli dowolne dwa różne wektory należące do $S$ są ortogonalne, to zbiór $S$ nazywa się zbiorem ortogonalnym (orthogonal set).
2. Wektor $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$ spełniający $\|\mathbf{x}\|=1$ nazywa się wektorem jednostkowym (unit vector).
3. Jeśli podzbiór $S$ przestrzeni $\mathbb{V}$ jest zbiorem ortogonalnym i składa się wyłącznie z wektorów jednostkowych, to zbiór $S$ nazywa się zbiorem ortonormalnym (orthonormal set).

Warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, by zbiór $S = { \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots }$ był zbiorem ortonormalnym, jest $\langle \mathbf{v}_i, \mathbf{v}_j \rangle = \delta_{ij}$. Pomnożenie wektora przez niezerowy skalar nie wpływa na ortogonalność.

Dla dowolnego niezerowego wektora $\mathbf{x}$, wektor $\cfrac{\mathbf{x}}{\|\mathbf{x}\|}$ jest wektorem jednostkowym. Proces otrzymywania wektora jednostkowego poprzez pomnożenie niezerowego wektora przez skalar równy odwrotności jego długości nazywa się normalizacją (normalizing).