Zależność liniowa i niezależność liniowa, baza i wymiar

Wymagania wstępne

• Wektory i kombinacje liniowe
• Przestrzenie wektorowe, podprzestrzenie i macierze

Zależność liniowa i niezależność liniowa

Dla pewnej przestrzeni wektorowej $\mathbb{V}$ oraz podprzestrzeni $\mathbb{W}$ załóżmy, że chcemy znaleźć możliwie mały skończony podzbiór $S$, który generuje (rozpina) $\mathbb{W}$.

Jeśli dla zbioru $S = \{\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \mathbf{u}_3, \mathbf{u}_4 \}$ zachodzi $\mathrm{span}(S) = \mathbb{W}$, to jak rozstrzygnąć, czy nie istnieje właściwy podzbiór $S$, który również generuje $\mathbb{W}$? Jest to to samo, co problem sprawdzenia, czy jeden z wektorów wybranych z $S$ da się wyrazić jako kombinację liniową pozostałych. Na przykład, warunkiem koniecznym i wystarczającym, aby wyrazić $\mathbf{u}_4$ jako kombinację liniową pozostałych trzech wektorów, jest istnienie skalarów $a_1, a_2, a_3$ spełniających:

\[\mathbf{u}_4 = a_1\mathbf{u}_1 + a_2\mathbf{u}_2 + a_3\mathbf{u}_3\]

Jednak za każdym razem konstruowanie układu równań liniowych osobno dla $\mathbf{u}_1$, $\mathbf{u}_2$, $\mathbf{u}_3$, $\mathbf{u}_4$ i sprawdzanie, czy istnieje rozwiązanie, jest uciążliwe, więc nieco przekształćmy równanie.

\[a_1\mathbf{u}_1 + a_2\mathbf{u}_2 + a_3\mathbf{u}_3 + a_4\mathbf{u}_4 = \mathbf{0}\]

Jeżeli pewien wektor z $S$ jest kombinacją liniową pozostałych wektorów, to wówczas przy zapisie wektora zerowego jako kombinacji liniowej elementów $S$ istnieje reprezentacja, w której co najmniej jeden współczynnik spośród $a_1, a_2, a_3, a_4$ jest różny od $0$. Odwrotność tego stwierdzenia również jest prawdziwa: jeśli istnieje sposób wyrażenia wektora zerowego jako kombinacji liniowej wektorów należących do $S$, w którym co najmniej jeden ze współczynników $a_1, a_2, a_3, a_4$ jest różny od $0$, to pewien wektor z $S$ jest kombinacją liniową pozostałych.

Uogólniając, definiujemy następująco zależność liniową i niezależność liniową.

Definicja
Dla podzbioru $S$ przestrzeni wektorowej $\mathbb{V}$, jeżeli istnieje skończona liczba parami różnych wektorów $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n \in S$ oraz skalary $a_1, a_2, \dots, a_n$, z których co najmniej jeden jest różny od $0$, takie że $a_1\mathbf{u}_1 + a_2\mathbf{u}_2 + \cdots + a_n\mathbf{u}_n = \mathbf{0}$, to zbiór $S$ (i jego wektory) nazywa się liniowo zależnym (linearly dependent). W przeciwnym razie nazywa się go liniowo niezależnym (linearly independent).

Dla dowolnych wektorów $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n$, jeśli $a_1 = a_2 = \cdots = a_n = 0$, to $a_1\mathbf{u}_1 + a_2\mathbf{u}_2 + \cdots + a_n\mathbf{u}_n = \mathbf{0}$; nazywamy to trywialnym przedstawieniem (trivial representation of $\mathbf{0}$) wektora zerowego.

Poniższe trzy stwierdzenia o zbiorach liniowo niezależnych są zawsze prawdziwe w każdej przestrzeni wektorowej. W szczególności Stwierdzenie 3, jak widzieliśmy, jest bardzo użyteczne przy sprawdzaniu, czy dany zbiór skończony jest liniowo niezależny.

• Stwierdzenie 1: Zbiór pusty jest liniowo niezależny. Aby zbiór był liniowo zależny, nie może być pusty.
• Stwierdzenie 2: Zbiór złożony z jednego niezerowego wektora jest liniowo niezależny.
• Stwierdzenie 3: Warunkiem koniecznym i wystarczającym, aby dany zbiór był liniowo niezależny, jest to, że jedynym sposobem wyrażenia $\mathbf{0}$ jako kombinacji liniowej tego zbioru jest przedstawienie trywialne.

Ważne są również następujące twierdzenia.

Twierdzenie 1
Niech $\mathbb{V}$ będzie przestrzenią wektorową oraz $S_1 \subseteq S_2 \subseteq \mathbb{V}$. Jeśli $S_1$ jest liniowo zależny, to $S_2$ również jest liniowo zależny.

Wniosek 1-1
Niech $\mathbb{V}$ będzie przestrzenią wektorową oraz $S_1 \subseteq S_2 \subseteq \mathbb{V}$. Jeśli $S_2$ jest liniowo niezależny, to $S_1$ również jest liniowo niezależny.

Twierdzenie 2
Rozważmy przestrzeń wektorową $\mathbb{V}$ oraz liniowo niezależny podzbiór $S$. Dla wektora $\mathbf{v} \in \mathbb{V}$, który nie należy do $S$, warunkiem koniecznym i wystarczającym, aby $S \cup \{\mathbf{v}\}$ było liniowo zależne, jest $\mathbf{v} \in \mathrm{span}(S)$.

Innymi słowy, jeśli żaden właściwy podzbiór $S$ nie jest w stanie wygenerować tej samej przestrzeni co $S$, to $S$ jest liniowo niezależny.

Baza i wymiar

Baza

Zbiór generujący $S$ podprzestrzeni $\mathbb{W}$, który jest liniowo niezależny, ma szczególną własność: każdy wektor należący do $\mathbb{W}$ można koniecznie wyrazić jako kombinację liniową wektorów z $S$, a ponadto to przedstawienie jest jednoznaczne (Twierdzenie 3). Dlatego liniowo niezależny zbiór generujący danej przestrzeni wektorowej definiuje się szczególnie jako bazę (basis).

Definicja bazy
Dla przestrzeni wektorowej $\mathbb{V}$ i jej podzbioru $\beta$, jeśli $\beta$ jest liniowo niezależny i generuje $\mathbb{V}$, to $\beta$ nazywa się bazą (basis) przestrzeni $\mathbb{V}$. Mówimy wtedy, że wektory z $\beta$ tworzą bazę $\mathbb{V}$.

$\mathrm{span}(\emptyset) = \{\mathbf{0}\}$, a $\emptyset$ jest liniowo niezależny. Zatem $\emptyset$ jest bazą przestrzeni punktowej.

W szczególności następującą szczególną bazę przestrzeni $F^n$ nazywa się bazą standardową (standard basis).

Definicja bazy standardowej
Dla przestrzeni wektorowej $F^n$ rozważmy następujące wektory.

\[\mathbf{e}_1 = (1,0,0,\dots,0),\ \mathbf{e}_2 = (0,1,0,\dots,0),\ \dots, \mathbf{e}_n = (0,0,0,\dots,1)\]

Wtedy zbiór $\{\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \dots, \mathbf{e}_n \}$ jest bazą $F^n$ i nazywa się go bazą standardową (standard basis) przestrzeni $F^n$.

Twierdzenie 3
Dla przestrzeni wektorowej $\mathbb{V}$ oraz $n$ parami różnych wektorów $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n \in \mathbb{V}$, zbiór $\beta = \{\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n \}$ jest bazą $\mathbb{V}$ wtedy i tylko wtedy, gdy „dowolny wektor $\mathbf{v} \in \mathbb{V}$ można przedstawić jako kombinację liniową wektorów z $\beta$, a przedstawienie to jest jednoznaczne”. To znaczy, dla jedynej uporządkowanej $n$-ki skalarów $(a_1, a_2, \dots, a_n)$ wektor $\mathbf{v}$ musi spełniać:

\[\mathbf{v} = a_1\mathbf{u}_1 + a_2\mathbf{u}_2 + \cdots + a_n\mathbf{u}_n\]

Z Twierdzenia 3 wynika, że jeśli $n$ parami różnych wektorów $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n$ tworzy bazę przestrzeni wektorowej $\mathbb{V}$, to w tej przestrzeni, dla danego wektora $\mathbf{v}$, jednoznacznie wyznaczona jest odpowiadająca mu uporządkowana $n$-ka skalarów $(a_1, a_2, \dots, a_n)$; i odwrotnie, jeśli dana jest uporządkowana $n$-ka skalarów, można odzyskać odpowiadający jej wektor $\mathbf{v}$. Później uporządkujemy to ponownie przy nauce o odwracalności i izomorfizmach, ale w tym przypadku przestrzenie $\mathbb{V}$ oraz $F^n$ są w istocie takie same.

Twierdzenie 4
Jeśli dla zbioru skończonego $S$ zachodzi $\mathrm{span}(S) = \mathbb{V}$, to wśród podzbiorów $S$ istnieje baza przestrzeni $\mathbb{V}$. To znaczy, w tym przypadku baza $\mathbb{V}$ jest zbiorem skończonym.

Wiele przestrzeni wektorowych spełnia założenia Twierdzenia 4, ale nie jest to konieczne. Baza nie musi być zbiorem skończonym.

Wymiar

Twierdzenie 5: twierdzenie o zastępowaniu (replacement theorem)
Niech $G$ będzie zbiorem złożonym z $n$ wektorów oraz $\mathrm{span}(G) = \mathbb{V}$. Jeśli $L$ jest podzbiorem $\mathbb{V}$ złożonym z $m$ liniowo niezależnych wektorów, to $m\leq n$. Ponadto istnieje zbiór $H \subseteq G$ mający $n-m$ wektorów taki, że $\mathrm{span}(L \cup H) = \mathbb{V}$.

Stąd otrzymujemy dwa bardzo ważne wnioski.

Wniosek 5-1 z twierdzenia o zastępowaniu
Zakładając, że przestrzeń wektorowa $\mathbb{V}$ zawiera bazę będącą zbiorem skończonym, każda baza $\mathbb{V}$ jest zbiorem skończonym i wszystkie bazy mają tę samą liczbę wektorów.

Zatem liczba wektorów tworzących bazę $\mathbb{V}$ jest niezmienną, istotną własnością $\mathbb{V}$ i nazywa się ją wymiarem (dimension).

Definicja wymiaru
Przestrzeń wektorową, której baza jest zbiorem skończonym, nazywa się skończenie wymiarową (finite dimension). Wtedy liczbę elementów bazy $n$ nazywa się wymiarem (dimension) danej przestrzeni wektorowej i oznacza $\dim(\mathbb{V})$. Przestrzeń wektorowa, która nie jest skończenie wymiarowa, jest nieskończenie wymiarowa (infinite dimension).

• $\dim(\{\mathbf{0}\}) = 0$
• $\dim(F^n) = n$
• $\dim(\mathcal{M}_{m \times n}(F)) = mn$

Wymiar przestrzeni wektorowej może zależeć od tego, nad jakim ciałem jest rozważana.

• Nad ciałem liczb zespolonych $\mathbb{C}$ wymiar przestrzeni wektorowej liczb zespolonych wynosi $1$, a bazą jest $\{1\}$
• Nad ciałem liczb rzeczywistych $\mathbb{R}$ wymiar przestrzeni wektorowej liczb zespolonych wynosi $2$, a bazą jest $\{1,i\}$

W skończenie wymiarowej przestrzeni wektorowej $\mathbb{V}$ każdy podzbiór zawierający więcej wektorów niż $\dim(\mathbb{V})$ nie może być liniowo niezależny.

Wniosek 5-2 z twierdzenia o zastępowaniu
Niech $\mathbb{V}$ będzie przestrzenią wektorową o wymiarze $n$.

1. Każdy skończony zbiór generujący $\mathbb{V}$ musi zawierać co najmniej $n$ wektorów, a zbiór generujący $\mathbb{V}$ składający się z $n$ wektorów jest bazą $\mathbb{V}$.
2. Podzbiór $\mathbb{V}$ złożony z $n$ wektorów, który jest liniowo niezależny, jest bazą $\mathbb{V}$.
3. Każdy liniowo niezależny podzbiór $\mathbb{V}$ można rozszerzyć do bazy. To znaczy, jeśli $L \subseteq \mathbb{V}$ jest liniowo niezależny, to istnieje baza $\beta$ przestrzeni $\mathbb{V}$ taka, że $\beta \supseteq L$.

Wymiar podprzestrzeni

Twierdzenie 6
Dla skończenie wymiarowej przestrzeni wektorowej $\mathbb{V}$ podprzestrzeń $\mathbb{W}$ jest skończenie wymiarowa oraz $\dim(\mathbb{W}) \leq \dim(\mathbb{V})$. W szczególności, $\dim(\mathbb{W}) = \dim(\mathbb{V}) \quad \Rightarrow \quad \mathbb{V} = \mathbb{W}.$

Wniosek 6-1
Dla podprzestrzeni $\mathbb{W}$ skończenie wymiarowej przestrzeni wektorowej $\mathbb{V}$ dowolną bazę $\mathbb{W}$ można rozszerzyć do bazy $\mathbb{V}$.

Z Twierdzenia 6 wynika, że wymiar podprzestrzeni $\mathbb{R}^3$ może wynosić $0,1,2,3$.

• wymiar 0: przestrzeń punktowa $\{\mathbf{0}\}$ zawierająca wyłącznie początek układu współrzędnych ($\mathbf{0}$)
• wymiar 1: prosta przechodząca przez początek układu współrzędnych ($\mathbf{0}$)
• wymiar 2: płaszczyzna zawierająca początek układu współrzędnych ($\mathbf{0}$)
• wymiar 3: cała euklidesowa przestrzeń trójwymiarowa