Przekształcenia liniowe, jądro i obraz

Prerequisites

• Wektory i kombinacje liniowe
• Przestrzenie wektorowe, podprzestrzenie i macierze
• Zależność liniowa i niezależność liniowa, baza i wymiar
• funkcja injektywna, funkcja surjektywna

Przekształcenia liniowe

Szczególną funkcję, która zachowuje strukturę przestrzeni wektorowej, nazywamy przekształceniem liniowym (linear transformation). Jest to kluczowe pojęcie, bardzo często pojawiające się w czystej matematyce, matematyce stosowanej, naukach społecznych, przyrodniczych oraz w inżynierii.

Definicja
Niech $\mathbb{V}$ oraz $\mathbb{W}$ będą $F$-przestrzeniami wektorowymi. Funkcję $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ nazywamy przekształceniem liniowym (linear transformation) z $\mathbb{V}$ do $\mathbb{W}$, jeśli dla wszystkich $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{V}$ oraz $c \in F$ spełnione są dwa warunki:

1. $T(\mathbf{x}+\mathbf{y}) = T(\mathbf{x}) + T(\mathbf{y})$
2. $T(c\mathbf{x}) = cT(\mathbf{x})$

Stwierdzenie, że $T$ jest przekształceniem liniowym, skraca się często do „$T$ jest liniowe (linear)”. Przekształcenie liniowe $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ spełnia następujące cztery własności.

1. $T$ jest liniowe $\quad \Rightarrow \quad $ $T(\mathbf{0}) = \mathbf{0}$
2. $T$ jest liniowe $\quad \Leftrightarrow \quad $ $T(c\mathbf{x} + \mathbf{y}) = cT(\mathbf{x}) + T(\mathbf{y}) \; \forall \, \mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{V},\, c \in F$
3. $T$ jest liniowe $\quad \Rightarrow \quad $ $T(\mathbf{x} - \mathbf{y}) = T(\mathbf{x}) - T(\mathbf{y}) \; \forall \, \mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{V}$
4. $T$ jest liniowe $\quad \Leftrightarrow \quad $ $T\left( \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{x}_i \right) = \sum_{i=1}^n a_i T(\mathbf{x}_i)$

Przy wykazywaniu liniowości danej funkcji zazwyczaj najwygodniej jest użyć własności 2.

Algebrę liniową można szeroko i różnorodnie stosować także w geometrii, ponieważ wiele ważnych przekształceń geometrycznych jest liniowych. W szczególności trzy kluczowe przekształcenia geometryczne — obrót, symetria, rzut — są przekształceniami liniowymi.

Szczególnie często pojawiają się dwa następujące przekształcenia liniowe.

Przekształcenie identycznościowe i przekształcenie zerowe
Dla $F$-przestrzeni wektorowych $\mathbb{V}, \mathbb{W}$:

• przekształcenie identycznościowe (identity transformation): funkcja $I_\mathbb{V}: \mathbb{V} \to \mathbb{V}$ zdefiniowana przez $I_\mathbb{V}(\mathbf{x}) = \mathbf{x}$ dla wszystkich $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$
• przekształcenie zerowe (zero transformation): funkcja $T_0: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ zdefiniowana przez $T_0(\mathbf{x}) = \mathbf{0}$ dla wszystkich $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$

Poza tym wiele innych pojęć również jest przykładami przekształceń liniowych.

Przykłady przekształceń liniowych

• obrót
• symetria
• rzut
• transpozycja
• pochodna funkcji różniczkowalnej
• całka funkcji ciągłej

Jądro i obraz

Definicje jądra i obrazu

Definicja
Dla przestrzeni wektorowych $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ oraz przekształcenia liniowego $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$:

• jądro (kernel), czyli przestrzeń zerowa (null space): zbiór tych $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$, dla których $T(\mathbf{x}) = \mathbf{0}$; oznaczamy $\mathrm{N}(T)$

  \[\mathrm{N}(T) = \{ \mathbf{x} \in \mathbb{V}: T(\mathbf{x}) = \mathbf{0} \}\]

• zbiór wartości (range), czyli obraz (image): podzbiór $\mathbb{W}$ złożony z wartości funkcji $T$; oznaczamy $\mathrm{R}(T)$

  \[\mathrm{R}(T) = \{ T(\mathbf{x}): \mathbf{x} \in \mathbb{V} \}\]

e.g. Dla przestrzeni wektorowych $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ oraz przekształcenia identycznościowego $I: \mathbb{V} \to \mathbb{V}$ i przekształcenia zerowego $T_0: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ zachodzi:

• $\mathrm{N}(I) = \{\mathbf{0}\}$
• $\mathrm{R}(I) = \mathbb{V}$
• $\mathrm{N}(T_0) = \mathbb{V}$
• $\mathrm{R}(T_0) = \{\mathbf{0}\}$

To będzie pojawiać się dalej wielokrotnie: jądro i obraz przekształcenia liniowego są podprzestrzeniami przestrzeni wektorowej.

Twierdzenie 1
Dla przestrzeni wektorowych $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ oraz przekształcenia liniowego $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ zbiory $\mathrm{N}(T)$ i $\mathrm{R}(T)$ są odpowiednio podprzestrzeniami $\mathbb{V}$ i $\mathbb{W}$.

Dowód
Oznaczmy wektory zerowe $\mathbb{V}$ oraz $\mathbb{W}$ odpowiednio przez $\mathbf{0}_\mathbb{V}, \mathbf{0}_\mathbb{W}$.

Ponieważ $T(\mathbf{0}_\mathbb{V}) = \mathbf{0}_\mathbb{W}$, mamy $\mathbf{0}_\mathbb{V} \in \mathrm{N}(T)$. Ponadto dla $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathrm{N}(T)$ oraz $c \in F$ zachodzi:

\[\begin{align*} T(\mathbf{x} + \mathbf{y}) &= T(\mathbf{x}) + T(\mathbf{y}) = \mathbf{0}_\mathbb{W} + \mathbf{0}_\mathbb{W} = \mathbf{0}_\mathbb{W}, \\ T(c\mathbf{x}) &= cT(\mathbf{x}) = c\mathbf{0}_\mathbb{W} = \mathbf{0}_\mathbb{W}. \end{align*}\]

$\therefore$ $\mathbf{0}_\mathbb{V} \in \mathrm{N}(T),\ \mathbf{x} + \mathbf{y} \in \mathrm{N}(T),\ c\mathbf{x} \in \mathrm{N}(T)$, więc $\mathrm{N}(T)$ jest podprzestrzenią $\mathbb{V}$.

Analogicznie, ponieważ $T(\mathbf{0}_\mathbb{V}) = \mathbf{0}_\mathbb{W}$, mamy $\mathbf{0}_\mathbb{W} \in \mathrm{R}(T)$ oraz $\forall \mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathrm{R}(T),\ c \in F \ (\exists \mathbf{v}, \mathbf{w} \in \mathbb{V} \ (T(\mathbf{v}) = \mathbf{x}\ \wedge \ T(\mathbf{w}) = \mathbf{y}))$, więc

\[\begin{align*} T(\mathbf{v} + \mathbf{w}) &= T(\mathbf{v}) + T(\mathbf{w}) = \mathbf{x} + \mathbf{y}, \\ T(c\mathbf{v}) &= cT(\mathbf{v}) = c\mathbf{x}. \end{align*}\]

$\therefore$ $\mathbf{0}_\mathbb{W} \in \mathrm{R}(T),\ \mathbf{x} + \mathbf{y} \in \mathrm{R}(T),\ c\mathbf{x} \in \mathrm{R}(T)$, więc $\mathrm{R}(T)$ jest podprzestrzenią $\mathbb{W}$. $\blacksquare$

Z kolei dla przestrzeni wektorowych $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ i przekształcenia liniowego $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$, jeśli znamy bazę $\beta = \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n \}$ przestrzeni $\mathbb{V}$, to zbiór generujący obrazu $\mathrm{R}(T)$ można znaleźć następująco.

Twierdzenie 2
Dla przestrzeni wektorowych $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ oraz przekształcenia liniowego $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ i bazy $\beta = \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n \}$ przestrzeni $\mathbb{V}$ zachodzi:

\[\mathrm{R}(T) = \mathrm{span}(\{T(\mathbf{v}): \mathbf{v} \in \beta \}) = \mathrm{span}(\{T(\mathbf{v}_1), T(\mathbf{v}_2), \dots, T(\mathbf{v}_n) \})\]

Dowód

\[T(\mathbf{v}_i) \in \mathrm{R}(T) \quad \forall \mathbf{v}_i \in \beta.\]

Ponieważ $\mathrm{R}(T)$ jest podprzestrzenią, na mocy Twierdzenia 2 z tekstu Przestrzenie wektorowe, podprzestrzenie i macierze mamy

\[\mathrm{span}(\{T(\mathbf{v}_1), T(\mathbf{v}_2), \dots, T(\mathbf{v}_n) \}) = \mathrm{span}(\{T(\mathbf{v}_i): \mathbf{v}_i \in \beta \}) \subseteq \mathrm{R}(T).\]

Ponadto,

\[\forall \mathbf{w} \in \mathrm{R}(T) \ (\exists \mathbf{v} \in \mathbb{V} \ (\mathbf{w} = T(\mathbf{v}))).\]

Ponieważ $\beta$ jest bazą $\mathbb{V}$,

\[\mathbf{v} = \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{v}_i \quad \text{(gdzie } a_1, a_2, \dots, a_n \in F \text{)}.\]

A ponieważ $T$ jest liniowe,

\[\mathbf{w} = T(\mathbf{v}) = \sum_{i=1}^n a_i T(\mathbf{v}_i) \in \mathrm{span}(\{T(\mathbf{v}_i): \mathbf{v}_i \in \beta \})\] \[\mathrm{R}(T) \subseteq \mathrm{span}(\{T(\mathbf{v}_i): \mathbf{v}_i \in \beta \}) = \mathrm{span}(\{T(\mathbf{v}_1), T(\mathbf{v}_2), \dots, T(\mathbf{v}_n) \}).\]

$\therefore$ $\mathrm{R}(T) \supseteq \mathrm{span}({T(\mathbf{v}_i): \mathbf{v}_i \in \beta })$ i jednocześnie $\mathrm{R}(T) \subseteq \mathrm{span}({T(\mathbf{v}_i): \mathbf{v}_i \in \beta })$, zatem $\mathrm{R}(T) = \mathrm{span}({T(\mathbf{v}): \mathbf{v} \in \beta })$. $\blacksquare$

Twierdzenie to pozostaje prawdziwe także wtedy, gdy baza $\beta$ jest zbiorem nieskończonym.

Twierdzenie o rządzie i defekcie

Ponieważ jądro i obraz są bardzo ważnymi podprzestrzeniami, wyróżnia się także ich wymiary specjalnymi nazwami.

Dla przestrzeni wektorowych $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ oraz przekształcenia liniowego $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ załóżmy, że $\mathrm{N}(T)$ i $\mathrm{R}(T)$ są skończenie wymiarowe.

• wymiar jądra (nullity): wymiar $\mathrm{N}(T)$, oznaczany $\mathrm{nullity}(T)$
• rząd (rank): wymiar $\mathrm{R}(T)$, oznaczany $\mathrm{rank}(T)$

W przekształceniu liniowym, im większy jest wymiar jądra, tym mniejszy jest rząd; i odwrotnie, im większy jest rząd, tym mniejszy jest wymiar jądra.

Twierdzenie 3: twierdzenie o wymiarze (dimension theorem)
Dla przestrzeni wektorowych $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ oraz przekształcenia liniowego $T: \mathbb{V}\to \mathbb{W}$, jeśli $\mathbb{V}$ jest skończenie wymiarowa, to zachodzi:

\[\mathrm{nullity}(T) + \mathrm{rank}(T) = \dim(\mathbb{V})\]

Dowód

Niech $\dim(\mathbb{V}) = n$, $\mathrm{nullity}(T) = \dim(\mathrm{N}(T)) = k$ oraz niech bazą $\mathrm{N}(T)$ będzie $\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_k \}$.

Zgodnie z Wnioskiem 6-1 z tekstu „Zależność liniowa i niezależność liniowa, baza i wymiar”, zbiór $\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_k \}$ można rozszerzyć do bazy $\mathbb{V}$, tj. otrzymać bazę $\beta = \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n \}$.

Pokażemy teraz, że $S = \{T(\mathbf{v}_{k+1}), T(\mathbf{v}_{k+2}), \dots, T(\mathbf{v}_n) \}$ jest bazą $\mathrm{R}(T)$. Ponieważ dla $1 \leq i \leq k$ mamy $T(\mathbf{v}_i) = 0$, z Twierdzenia 2 wynika:

\[\begin{align*} \mathrm{R}(T) &= \mathrm{span}(\{T(\mathbf{v}_1), T(\mathbf{v}_2), \dots, T(\mathbf{v}_n) \}) \\ &= \mathrm{span}(\{T(\mathbf{v}_{k+1}), T(\mathbf{v}_{k+2}), \dots, T(\mathbf{v}_n) \}) \\ &= \mathrm{span}(S). \end{align*}\]

Zatem $S$ jest zbiorem generującym $\mathrm{R}(T)$. Teraz, na mocy Wniosku 5-2 z twierdzenia o zastępowaniu, jeśli pokażemy, że $S$ jest liniowo niezależny, to udowodnimy, że $S$ jest bazą $\mathrm{R}(T)$.

Załóżmy, że $\sum_{i=k+1}^n b_i T(\mathbf{v}_i) = 0$ (gdzie $b_{k+1}, b_{k+2}, \dots, b_n \in F$). Ponieważ $T$ jest liniowe,

\[\sum_{i=k+1}^n b_i T(\mathbf{v}_i) = 0 \Leftrightarrow T\left(\sum_{i=k+1}^n b_i \mathbf{v}_i \right) = 0 \Leftrightarrow \sum_{i=k+1}^n b_i \mathbf{v}_i \in \mathrm{N}(T).\]

Stąd

\[\begin{align*} &\exists c_1, c_2, \dots, c_k \in F, \\ &\sum_{i=k+1}^n b_i \mathbf{v}_i = \sum_{i=1}^k c_i \mathbf{v}_i \\ \Leftrightarrow &\sum_{i=1}^k (-c_i)\mathbf{v}_i + \sum_{i=k+1}^n b_i \mathbf{v}_i = 0. \end{align*}\]

Ponieważ $\beta$ jest bazą $\mathbb{V}$, jedynym rozwiązaniem równania $\sum_{i=1}^k (-c_i)\mathbf{v}_i + \sum_{i=k+1}^n b_i \mathbf{v}_i = 0$ jest

\[c_1 = c_2 = \cdots = c_k = b_{k+1} = b_{k+2} = \cdots = b_n = 0\]

a zatem

\[\sum_{i=k+1}^n b_i T(\mathbf{v}_i) = 0 \quad \Rightarrow \quad b_i = 0.\]

Czyli $S$ jest liniowo niezależny i jest bazą $\mathrm{R}(T)$.

\[\therefore \mathrm{rank}(T) = n - k = \dim{\mathbb{V}} - \mathrm{nullity}(T). \blacksquare\]

Przekształcenia liniowe a iniekcje i surjekcje

W przypadku przekształceń liniowych własności bycia iniekcją (injection) i surjekcją (surjection) są ściśle powiązane z rzędem i wymiarem jądra.

Twierdzenie 4
Dla przestrzeni wektorowych $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ oraz przekształcenia liniowego $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$:

\[T\text{ jest iniekcją.} \quad \Leftrightarrow \quad \mathrm{N}(T) = \{\mathbf{0}\}.\]

Twierdzenie 5
Jeżeli skończenie wymiarowe przestrzenie wektorowe $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ mają ten sam wymiar, to dla przekształcenia liniowego $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ następujące cztery zdania są równoważne:

1. $T$ jest iniekcją.
2. $\mathrm{nullity}(T) = 0$
3. $\mathrm{rank}(T) = \dim(\mathbb{V})$
4. $T$ jest surjekcją.

Korzystając z twierdzenia o wymiarze, własności 1 i 3 przekształceń liniowych oraz Twierdzenia 6 z tekstu „Zależność liniowa i niezależność liniowa, baza i wymiar”, można udowodnić Twierdzenie 4 i Twierdzenie 5.

Te dwa twierdzenia są przydatne przy rozstrzyganiu, czy dane przekształcenie liniowe jest iniekcją albo surjekcją.

Dla nieskończenie wymiarowej przestrzeni wektorowej $\mathbb{V}$ i przekształcenia liniowego $T: \mathbb{V} \to \mathbb{V}$ iniektywność i surjektywność nie są równoważne.

Ponadto, jeśli pewne przekształcenie liniowe jest iniekcją, to w zależności od sytuacji przydatne może być następujące twierdzenie do sprawdzania, czy dany podzbiór przestrzeni jest liniowo niezależny.

Twierdzenie 6
Dla przestrzeni wektorowych $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ oraz iniektywnego przekształcenia liniowego $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ i podzbioru $S \subseteq \mathbb{V}$ zachodzi:

\[S\text{ jest liniowo niezależny.} \quad \Leftrightarrow \quad \{T(\mathbf{v}): \mathbf{v} \in S \}\text{ jest liniowo niezależny.}\]

Przekształcenia liniowe a baza

Ważną cechą przekształceń liniowych jest to, że ich „zachowanie” jest wyznaczone przez wartości na bazie.

Twierdzenie 7
Dla $F$-przestrzeni wektorowych $\mathbb{V}, \mathbb{W}$, bazy $\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n \}$ przestrzeni $\mathbb{V}$ oraz wektorów $\mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2, \dots, \mathbf{w}_n \in \mathbb{W}$ istnieje dokładnie jedno przekształcenie liniowe $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ spełniające warunek:

\[i = 1, 2, \dots, n \text{ oraz } T(\mathbf{v}_i) = \mathbf{w}_i\]

Dowód
Dla $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$ następujące przedstawienie jako kombinacja liniowa jest jednoznaczne:

\[\mathbf{x} = \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{v}_i \text{ (}a_1, a_2, \dots, a_n \in F \text{)}\]

Zdefiniujmy przekształcenie liniowe $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ przez

\[T(\mathbf{x}) = T\left( \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{v}_i \right) = \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{w}_i.\]

i) Dla $i = 1, 2, \dots, n$ mamy $T(\mathbf{v}_i) = \mathbf{w}_i$.

ii)

Jeśli założymy, że inne przekształcenie liniowe $U: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ spełnia $U(\mathbf{v}_i) = \mathbf{w}_i$ dla $i = 1, 2, \dots, n$, to dla $\mathbf{x} = \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{v}_i \in \mathbb{V}$ zachodzi

\[U(\mathbf{x}) = \sum_{i=1}^n a_i U(\mathbf{v}_i) = \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{w}_i = T(\mathbf{x}_i).\] \[\therefore U = T.\]

Z punktów i), ii) wynika, że przekształcenie liniowe spełniające $T(\mathbf{v}_i) = \mathbf{w}_i$ dla $i = 1, 2, \dots, n$ jest jedyne i ma postać

\[T(\mathbf{x}) = T\left( \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{v}_i \right) = \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{w}_i.\]

$\blacksquare$

Wniosek 7-1
Dla dwóch przestrzeni wektorowych $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ załóżmy, że $\mathbb{V}$ zawiera skończoną bazę $\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n \}$. Jeśli dwa przekształcenia liniowe $U, T: \mathbb{V} \to \mathbf{W}$ spełniają $U(\mathbf{v}_i) = T(\mathbf{v}_i)$ dla $i = 1, 2, \dots, n$, to $U = T$.
Innymi słowy, jeśli wartości funkcji są takie same na bazie, to jest to to samo przekształcenie liniowe.