Prawa ruchu Newtona

TL;DR

Prawa ruchu Newtona

1. O ile nie działa siła zewnętrzna, ciało pozostaje w spoczynku albo porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym.
2. Szybkość zmian pędu ciała w czasie jest równa sile działającej na to ciało.
   • $\vec{F} = \cfrac{d\vec{p}}{dt} = \cfrac{d}{dt}(m\vec{v}) = m\vec{a}$
3. Gdy dwa ciała oddziałują na siebie siłami, siły te mają jednakową wartość i przeciwny zwrot.
   • $\vec{F_1} = -\vec{F_2}$

Zasada równoważności (principle of equivalence)

• masa bezwładna: masa, która — dla zadanej siły — wyznacza przyspieszenie ciała
• masa grawitacyjna: masa, która wyznacza oddziaływanie grawitacyjne między danym ciałem a innym ciałem
• obecnie wiadomo, że masa bezwładna i grawitacyjna są jednoznacznie zgodne z dokładnością rzędu $10^{-12}$
• twierdzenie, że masa bezwładna i masa grawitacyjna są dokładnie równe, nazywa się zasadą równoważności

Prawa ruchu Newtona

Prawa ruchu Newtona to trzy zasady ogłoszone przez Isaaca Newtona (Issac Newton) w roku 11687 kalendarza holoceńskiego w dziele Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica (matematyczne zasady filozofii przyrody, w skrócie „Principia”); stanowią one fundament mechaniki newtonowskiej (Newtonian mechanics).

1. O ile nie działa siła zewnętrzna, ciało pozostaje w spoczynku albo porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym.
2. Szybkość zmian pędu ciała w czasie jest równa sile działającej na to ciało.
3. Gdy dwa ciała oddziałują na siebie siłami, siły te mają jednakową wartość i przeciwny zwrot.

Pierwsze prawo Newtona

I. O ile nie działa siła zewnętrzna, ciało pozostaje w spoczynku albo porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym.

Ciało, na które nie działa siła zewnętrzna, nazywa się ciałem swobodnym (free body) albo cząstką swobodną (free particle). Należy jednak zauważyć, że samo pierwsze prawo dostarcza jedynie jakościowego pojęcia siły.

Drugie prawo Newtona

II. Szybkość zmian pędu ciała w czasie jest równa sile działającej na to ciało.

Newton zdefiniował pęd (momentum) jako iloczyn masy i prędkości

\[\vec{p} \equiv m\vec{v} \label{eqn:momentum}\tag{1}\]

Z tego drugie prawo Newtona można zapisać następująco:

\[\vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt} = \frac{d}{dt}(m\vec{v}) = m\vec{a}. \label{eqn:2nd_law}\tag{2}\]

Pierwsze i drugie prawo Newtona — wbrew nazwie — są w istocie bliższe „definicji” siły niż „prawu”. Można też zauważyć, że definicja siły zależy od definicji „masy”.

Trzecie prawo Newtona

III. Gdy dwa ciała oddziałują na siebie siłami, siły te mają jednakową wartość i przeciwny zwrot.

Jest to prawo fizyczne znane również jako „zasada akcji i reakcji” i ma zastosowanie w przypadku, gdy siła wywierana przez jedno ciało na drugie jest skierowana wzdłuż prostej łączącej dwa punkty przyłożenia. Tego typu siłę nazywa się siłą centralną (central force); trzecie prawo zachodzi niezależnie od tego, czy siła centralna jest przyciągająca, czy odpychająca. Przykładami sił centralnych są grawitacja lub siła elektrostatyczna między dwoma spoczywającymi ciałami, a także siła sprężystości. Z kolei siły między poruszającymi się ładunkami, grawitacja między poruszającymi się ciałami itp., czyli siły zależne od prędkości dwóch oddziałujących obiektów, należą do sił niecentralnych — w takich przypadkach nie da się zastosować trzeciego prawa.

Uwzględniając omówioną wcześniej definicję masy, trzecie prawo można przeformułować następująco:

III$^\prime$. Jeżeli dwa ciała tworzą idealny układ izolowany, to ich przyspieszenia mają przeciwne zwroty, a stosunek ich wartości bezwzględnych jest równy odwrotnemu stosunkowi mas tych ciał.

Z trzeciego prawa Newtona wynika

\[\vec{F_1} = -\vec{F_2} \label{eqn:3rd_law}\tag{3}\]

a podstawiając do tego drugie prawo ($\ref{eqn:2nd_law}$), otrzymujemy

\[\frac{d\vec{p_1}}{dt} = -\frac{d\vec{p_2}}{dt} \label{eqn:3rd-1_law}\tag{4}\]

Stąd widać, że w izolowanym oddziaływaniu dwóch cząstek pęd jest zachowany.

\[\frac{d}{dt}(\vec{p_1}+\vec{p_2}) = 0 \label{eqn:conservation_of_momentum}\tag{5}\]

Ponadto w równaniu ($\ref{eqn:3rd-1_law}$) mamy $\vec{p}=m\vec{v}$, a masa $m$ jest stała, zatem

\[m_1\left(\frac{d\vec{v_1}}{dt} \right) = m_2\left(-\frac{d\vec{v_2}}{dt} \right) \tag{6a}\] \[m_1(\vec{a_1}) = m_2(-\vec{a_2}) \tag{6b}\]

co prowadzi do

\[\frac{m_2}{m_1} = -\frac{a_1}{a_2}. \tag{7}\]

Trzecie prawo Newtona opisuje sytuację, w której dwa ciała tworzą układ izolowany, jednak w praktyce zrealizowanie tak idealnych warunków jest niemożliwe — dlatego twierdzenie Newtona w ramach trzeciego prawa można uznać za dość zuchwałe. Mimo że wniosek ten został wyprowadzony z ograniczonych obserwacji, dzięki głębokiej intuicji fizycznej Newtona mechanika newtonowska przez niemal 300 lat utrzymywała mocną pozycję i nie wykazywała błędów w weryfikacjach eksperymentalnych. Dopiero w latach 11900. stały się możliwe na tyle precyzyjne pomiary, by wykazać różnice między przewidywaniami teorii Newtona a rzeczywistością — co doprowadziło do narodzin teorii względności i mechaniki kwantowej.

Masa bezwładna i masa grawitacyjna

Jednym ze sposobów wyznaczania masy ciała jest użycie narzędzia takiego jak waga szalkowa i porównanie ciężaru badanego obiektu ze wzorcem. Metoda ta wykorzystuje fakt, że ciężar ciała w polu grawitacyjnym jest równy wartości siły grawitacji działającej na to ciało; w tym przypadku drugie prawo $\vec{F}=m\vec{a}$ przyjmuje postać $\vec{W}=m\vec{g}$. Metoda ta opiera się na podstawowym założeniu, że masa $m$ zdefiniowana w III$^\prime$ jest równa masie $m$ występującej w równaniu grawitacji. Te dwie masy nazywa się odpowiednio masą bezwładną (inertial mass) i masą grawitacyjną (gravitational mass) i definiuje następująco:

• masa bezwładna: masa, która — dla zadanej siły — wyznacza przyspieszenie ciała
• masa grawitacyjna: masa, która wyznacza oddziaływanie grawitacyjne między danym ciałem a innym ciałem

Choć jest to opowieść wymyślona później i niezwiązana bezpośrednio z Galileuszem (Galileo Galilei), eksperyment myślowy zrzucania ciał z wieży w Pizie był pierwszym, który sugerował, że masa bezwładna i masa grawitacyjna mogą być równe. Newton również próbował wykazać brak różnic między tymi masami, mierząc okresy wahadeł o tej samej długości, lecz o różnych masach ciężarków; jednak ze względu na prymitywną metodę i niewystarczającą dokładność nie udało mu się tego jednoznacznie potwierdzić.

Później, pod koniec lat 11800., węgierski fizyk Eötvös Loránd Ágoston przeprowadził eksperyment Eötvösa, aby precyzyjnie zmierzyć różnicę między masą bezwładną a grawitacyjną, i potwierdził ich równość z dość dużą dokładnością (błąd nie większy niż 1 na 20 milionów).

W jeszcze nowszych eksperymentach, przeprowadzanych m.in. przez Roberta Henry’ego Dicke’a (Robert Henry Dicke), dokładność tę dodatkowo poprawiono; obecnie wiadomo, że masa bezwładna i masa grawitacyjna są jednoznacznie zgodne w granicach błędu rzędu $10^{-12}$. Wynik ten ma ogromne znaczenie w ogólnej teorii względności, a twierdzenie, że masa bezwładna i masa grawitacyjna są dokładnie równe, nazywa się zasadą równoważności (principle of equivalence).