Ciągi i szeregi
Omawiamy podstawowe pojęcia analizy matematycznej: definicje ciągów i szeregów, zbieżność i rozbieżność ciągów oraz szeregów, a także definicję liczby e jako podstawy logarytmu naturalnego.
Ciągi
W analizie matematycznej ciąg (sequence) oznacza najczęściej ciąg nieskończony. Innymi słowy, ciąg to funkcja określona na zbiorze wszystkich liczb naturalnych (natural number)
\[\mathbb{N} := \{1,2,3,\dots\}\].* Jeśli wartościami tej funkcji są liczby rzeczywiste (real number), mówimy o „ciągu rzeczywistym”, jeśli zespolone (complex number) — o „ciągu zespolonym”, jeśli punkty (point) — o „ciągu punktów”, jeśli macierze (matrix) — o „ciągu macierzy”, jeśli funkcje (function) — o „ciągu funkcji”, jeśli zbiory (set) — o „ciągu zbiorów” itd.; wszystkie te przypadki można jednak zbiorczo nazywać po prostu „ciągiem”.
Zwykle, dla ciała liczb rzeczywistych (the field of real numbers) $\mathbb{R}$, dla ciągu $\mathbf{a}: \mathbb{N} \to \mathbb{R}$ przyjmuje się oznaczenia
\[a_1 := \mathbf{a}(1), \quad a_2 := \mathbf{a}(2), \quad a_3 := \mathbf{a}(3)\]itd., a sam ciąg zapisuje się jako
\[a_1,\, a_2,\, a_3,\, \dots\]albo
\[\begin{gather*} (a_1,a_2,a_3,\dots), \\ (a_n: n=1,2,3,\dots), \\ (a_n)_{n=1}^{\infty}, \qquad (a_n) \end{gather*}\]itd.
*W procesie definiowania ciągu, zamiast dziedziny będącej zbiorem wszystkich liczb naturalnych $\mathbb{N}$, można przyjąć zbiór liczb całkowitych nieujemnych
\[\mathbb{N}_0 := \{0\} \cup \mathbb{N} = \{0,1,2,\dots\}\]albo
\[\{2,3,4,\dots \}\]itd. Na przykład w teorii szeregów potęgowych bardziej naturalne jest, by dziedziną było $\mathbb{N}_0$.
Zbieżność i rozbieżność
Jeśli ciąg $(a_n)$ jest zbieżny do liczby rzeczywistej $l$, to piszemy
\[\lim_{n\to \infty} a_n = l\]a liczbę $l$ nazywamy granicą ciągu $(a_n)$.
Ścisła definicja z użyciem argumentu epsilon-delta (epsilon-delta argument) jest następująca.
\[\lim_{n\to \infty} a_n = l \overset{def}\Longleftrightarrow \forall \epsilon > 0,\, \exists N \in \mathbb{N}\ (n > N \Rightarrow |a_n - l| < \epsilon)\]
To znaczy: dla dowolnie małego dodatniego $\epsilon$, jeśli zawsze istnieje taka liczba naturalna $N$, że dla $n>N$ zachodzi $ a_n-l <\epsilon$, to dla dostatecznie dużych $n$ różnica między $a_n$ i $l$ staje się dowolnie mała; wówczas definiujemy, że ciąg $(a_n)$ jest zbieżny do liczby rzeczywistej $l$.
Ciąg, który nie jest zbieżny, nazywamy rozbieżnym. Zbieżność lub rozbieżność ciągu nie zmienia się, nawet jeśli zmienimy skończoną liczbę jego wyrazów.
Jeśli kolejne wyrazy ciągu $(a_n)$ rosną bez ograniczeń, to piszemy
\[\lim_{n\to \infty} a_n = \infty\]i mówimy, że ciąg jest rozbieżny do dodatniej nieskończoności. Analogicznie, jeśli wyrazy ciągu $(a_n)$ maleją bez ograniczeń, to piszemy
\[\lim_{n\to \infty} a_n = -\infty\]i mówimy, że ciąg jest rozbieżny do ujemnej nieskończoności.
Podstawowe własności ciągów zbieżnych
Jeśli ciągi $(a_n)$ oraz $(b_n)$ są zbieżne (tj. mają granice), to ciągi $(a_n + b_n)$ oraz $(a_n \cdot b_n)$ również są zbieżne, przy czym
\[\lim_{n\to \infty} (a_n + b_n) = \lim_{n\to \infty} a_n + \lim_{n\to \infty} b_n \label{eqn:props_of_conv_series_1}\tag{1}\] \[\lim_{n\to \infty} (a_n \cdot b_n) = \left(\lim_{n\to \infty} a_n \right) \cdot \left(\lim_{n\to \infty} b_n \right) \label{eqn:props_of_conv_series_2}\tag{2}\]Ponadto dla dowolnej liczby rzeczywistej $t$ zachodzi
\[\lim_{n\to \infty} (t a_n) = t\left(\lim_{n\to \infty} a_n \right) \label{eqn:props_of_conv_series_3}\tag{3}\]Własności te nazywa się podstawowymi własnościami ciągów zbieżnych albo podstawowymi własnościami granic.
Podstawa logarytmu naturalnego $e$
Podstawę logarytmu naturalnego definiuje się jako
\[e := \lim_{n\to \infty} \left(1+\frac{1}{n} \right)^n \approx 2.718\]Jest to jedna z najważniejszych stałych w matematyce.
Co ciekawe, praktycznie tylko w Korei dość szeroko używa się określenia „stała naturalna”, jednak nie jest to termin standardowy. Oficjalnym terminem, umieszczonym w słowniku terminów matematycznych Koreańskiego Towarzystwa Matematycznego, jest ‘podstawa logarytmu naturalnego’, natomiast określenia „stała naturalna” nie da się w tym słowniku znaleźć. Co więcej, nawet w standardowym słowniku Narodowego Instytutu Języka Koreańskiego nie występuje hasło „stała naturalna”; w definicji słownikowej „logarytmu naturalnego” wspomina się jedynie o „pewnej liczbie, którą często oznacza się przez e”.
W krajach anglojęzycznych i w Japonii również nie funkcjonuje odpowiadający temu termin; po angielsku najczęściej mówi się „the base of the natural logarithm”, w skrócie „natural base”, albo „Euler’s number” czy po prostu „the number $e$”.
Ponieważ jest to określenie o niejasnym pochodzeniu, nigdy nieuznane za termin oficjalny przez Koreańskie Towarzystwo Matematyczne i nieużywane nigdzie na świecie poza Koreą, nie ma żadnego powodu, by się go upierać; dlatego także tutaj będę odtąd używać określenia „podstawa logarytmu naturalnego” lub po prostu zapisywać $e$.
Szeregi
Dla ciągu
\[\mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3, \dots)\]definiujemy inny ciąg, złożony z sum częściowych tego ciągu:
\[a_1, \quad a_1 + a_2, \quad a_1 + a_2 + a_3, \quad \dots\]Nazywa się go szeregiem ciągu $\mathbf{a}$. Szereg ciągu $(a_n)$ zapisuje się jako
\[\begin{gather*} a_1 + a_2 + a_3 + \cdots, \qquad \sum_{n=1}^{\infty}a_n, \\ \sum_{n\geq 1} a_n, \qquad \sum_n a_n, \qquad \sum a_n \end{gather*}\]itd.
Zbieżność i rozbieżność szeregów
Jeśli szereg otrzymany z ciągu $(a_n)$
\[a_1, \quad a_1 + a_2, \quad a_1 + a_2 + a_3, \quad \dots\]jest zbieżny do pewnej liczby rzeczywistej $l$, to zapisujemy
\[\sum_{n=1}^{\infty} a_n = l\]Wówczas granicę $l$ nazywa się sumą szeregu $\sum a_n$. Symbol
\[\sum a_n\]w zależności od kontekstu może oznaczać zarówno szereg, jak i sumę tego szeregu.
Szereg, który nie jest zbieżny, nazywamy rozbieżnym.
Podstawowe własności szeregów zbieżnych
Z podstawowych własności ciągów zbieżnych wynikają następujące podstawowe własności szeregów zbieżnych. Dla liczby rzeczywistej $t$ oraz dwóch zbieżnych szeregów $\sum a_n$, $\sum b_n$ zachodzi
\[\sum(a_n + b_n) = \sum a_n + \sum b_n, \qquad \sum ta_n = t\sum a_n \tag{4}\]Zbieżność szeregu nie zależy od zmiany skończonej liczby wyrazów. To znaczy: jeśli dla dwóch ciągów $(a_n)$ oraz $(b_n)$ zachodzi $a_n=b_n$ dla wszystkich $n$ z wyjątkiem skończonej ich liczby, to warunkiem koniecznym i wystarczającym zbieżności szeregu $\sum a_n$ jest zbieżność szeregu $\sum b_n$.