Kryteria zbieżności/rozbieżności szeregu (Testing for Convergence or Divergence of a Series)

TL;DR

• Kryterium wyrazu ogólnego ($n$th-term test for divergence): $\lim_{n\to\infty} a_n \neq 0 \Rightarrow \text{szereg }\sum a_n \text{ jest rozbieżny}$
• Zbieżność/rozbieżność szeregu geometrycznego: szereg geometryczny $\sum ar^{n-1}$ jest
  • zbieżny, gdy $|r| < 1$
  • rozbieżny, gdy $|r| \geq 1$
• Zbieżność/rozbieżność $p$-szeregu: $p$-szereg $\sum \cfrac{1}{n^p}$ jest
  • zbieżny, gdy $p>1$
  • rozbieżny, gdy $p\leq 1$
• Test porównawczy (Comparison Test): gdy $0 \leq a_n \leq b_n$,
  • $\sum b_n < \infty \ \Rightarrow \ \sum a_n < \infty$
  • $\sum a_n = \infty \ \Rightarrow \ \sum b_n = \infty$
• Test porównawczy graniczny (Limit Comparison Test): jeśli $\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = c \text{ (}c\text{ jest skończoną liczbą dodatnią)}$, to oba szeregi $\sum a_n$ i $\sum b_n$ albo są zbieżne, albo oba są rozbieżne
• Dla szeregu o wyrazach dodatnich $\sum a_n$ i dodatniej liczby $\epsilon < 1$
  • jeśli dla każdego $n$ zachodzi $\sqrt[n]{a_n}< 1-\epsilon$, to szereg $\sum a_n$ jest zbieżny
  • jeśli dla każdego $n$ zachodzi $\sqrt[n]{a_n}> 1+\epsilon$, to szereg $\sum a_n$ jest rozbieżny
• Kryterium pierwiastkowe (Root Test): dla szeregu o wyrazach dodatnich $\sum a_n$, gdy istnieje granica $\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n} =: r$,
  • jeśli $r<1$, to szereg $\sum a_n$ jest zbieżny
  • jeśli $r>1$, to szereg $\sum a_n$ jest rozbieżny
• Kryterium ilorazowe (Ratio Test): dla dodatniego ciągu $(a_n)$ i $0 < r < 1$
  • jeśli dla każdego $n$ zachodzi $a_{n+1}/a_n \leq r$, to szereg $\sum a_n$ jest zbieżny
  • jeśli dla każdego $n$ zachodzi $a_{n+1}/a_n \geq 1$, to szereg $\sum a_n$ jest rozbieżny
• Jeśli dla dodatniego ciągu $(a_n)$ istnieje granica $\rho := \lim_{n\to\infty} \cfrac{a_{n+1}}{a_n}$, to
  • gdy $\rho < 1$, szereg $\sum a_n$ jest zbieżny
  • gdy $\rho > 1$, szereg $\sum a_n$ jest rozbieżny
• Kryterium całkowe (Integral Test): gdy funkcja ciągła $f: \left[1,\infty \right) \rightarrow \mathbb{R}$ jest malejąca i zawsze $f(x)>0$, warunkiem koniecznym i wystarczającym zbieżności szeregu $\sum f(n)$ jest zbieżność całki $\int_1^\infty f(x)\ dx := \lim_{b\to\infty} \int_1^b f(x)\ dx$
• Kryterium Leibniza dla szeregu naprzemiennego (Alternating Series Test): jeśli spełnione są warunki:
  1. dla każdego $n$ wyrazy $a_n$ i $a_{n+1}$ mają różne znaki,
  2. dla każdego $n$ zachodzi $|a_n| \geq |a_{n+1}|$,
  3. $\lim_{n\to\infty} a_n = 0$,

  to szereg naprzemienny $\sum a_n$ jest zbieżny

• Szereg zbieżny bezwzględnie jest zbieżny. Odwrotność nie zachodzi.

Wymagania wstępne

• Ciągi i szeregi

Wprowadzenie

Wcześniej, w tekście Ciągi i szeregi, omówiliśmy definicje zbieżności i rozbieżności szeregu. W tym wpisie porządkuję różne metody, których można użyć do rozstrzygania o zbieżności/rozbieżności szeregów. Zwykle sprawdzenie zbieżności/rozbieżności jest dużo łatwiejsze niż dokładne wyznaczenie sumy szeregu.

Kryterium wyrazu ogólnego

Dla szeregu $\sum a_n$ wyraz $a_n$ nazywa się wyrazem ogólnym tego szeregu.

Z poniższego twierdzenia wynika, że dla pewnych szeregów bardzo łatwo stwierdzić ich rozbieżność. Dlatego, oceniając zbieżność/rozbieżność danego szeregu, rozsądnie jest zacząć właśnie od tego sprawdzenia — pozwala to uniknąć marnowania czasu.

Kryterium wyrazu ogólnego ($n$th-term test for divergence)
Jeśli szereg $\sum a_n$ jest zbieżny, to

\[\lim_{n\to\infty} a_n=0\]

czyli

\[\lim_{n\to\infty} a_n \neq 0 \Rightarrow \text{szereg }\sum a_n \text{ jest rozbieżny}\]

.

Dowód

Niech suma pewnego zbieżnego szeregu $\sum a_n$ wynosi $l$, a suma częściowa do $n$-tego wyrazu będzie równa

\[s_n := a_1 + a_2 + \cdots + a_n\]

Wtedy

\[\forall \epsilon > 0,\, \exists N \in \mathbb{N}\ (n > N \Rightarrow |s_n - l| < \epsilon).\]

Zatem dla dostatecznie dużego ($>N$) $n$ zachodzi

\[|a_n| = |s_n - s_{n-1}| = |(s_n - l) - (s_{n-1} - l)| \leq |s_n - l| + |s_{n-1} - l| \leq \epsilon + \epsilon = 2\epsilon\]

a więc, z definicji zbieżności ciągu,

\[\lim_{n\to\infty} |a_n| = 0. \quad \blacksquare\]

Uwaga

Odwrotność tego twierdzenia na ogół nie jest prawdziwa. Klasycznym przykładem jest szereg harmoniczny (harmonic series).

Szereg harmoniczny jest szeregiem otrzymanym z ciągu harmonicznego, tj. z ciągu, którego wyrazy są odwrotnościami wyrazów ciągu arytmetycznego. Reprezentatywny przykład to

\[H_n := 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n} \quad (n=1,2,3,\dots)\]

Można pokazać, że jest to szereg rozbieżny, np. tak:

\[\begin{align*} \lim_{n\to\infty} H_n &= 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} + \frac{1}{9} + \cdots + \frac{1}{16} + \cdots \\ &> 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \cdots + \frac{1}{16} + \cdots \\ &= 1 + \frac{1}{2} \qquad\, + \frac{1}{2} \qquad\qquad\qquad\ \ + \frac{1}{2} \qquad\qquad\quad + \frac{1}{2} + \cdots \\ &= \infty. \end{align*}\]

Widzimy więc, że mimo iż szereg $H_n$ jest rozbieżny, jego wyraz ogólny $1/n$ dąży do $0$.

Jeśli $\lim_{n\to\infty} a_n \neq 0$, to szereg $\sum a_n$ na pewno jest rozbieżny, ale samo $\lim_{n\to\infty} a_n = 0$ nie gwarantuje zbieżności szeregu $\sum a_n$. W takim przypadku należy użyć innych metod oceny zbieżności/rozbieżności.

Szereg geometryczny

Szereg geometryczny (geometric series) otrzymany z ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie równym 1 i ilorazie $r$:

\[1 + r + r^2 + r^3 + \cdots \label{eqn:geometric_series}\tag{5}\]

jest najważniejszym i najbardziej podstawowym szeregiem. Z tożsamości

\[(1-r)(1+r+\cdots + r^{n-1}) = 1 - r^n\]

wynika

\[1 + r + \cdots + r^{n-1} = \frac{1-r^n}{1-r} = \frac{1}{1-r} - \frac{r^n}{1-r} \qquad (r \neq 1) \label{eqn:sum_of_geometric_series}\tag{6}\]

Ponieważ

\[\lim_{n\to\infty} r^n = 0 \quad \Leftrightarrow \quad |r| < 1\]

to warunkiem koniecznym i wystarczającym zbieżności szeregu geometrycznego ($\ref{eqn:geometric_series}$) jest $|r| < 1$.

Zbieżność/rozbieżność szeregu geometrycznego
Szereg geometryczny $\sum ar^{n-1}$ jest

• zbieżny, gdy $|r| < 1$
• rozbieżny, gdy $|r| \geq 1$

Stąd otrzymujemy

\[1 + r + r^2 + r^3 + \cdots = \frac{1}{1-r} \qquad (|r| < 1) \label{eqn:sum_of_inf_geometric_series}\tag{7}\]

Szereg geometryczny i wartości przybliżone

Tożsamość ($\ref{eqn:sum_of_geometric_series}$) jest użyteczna do znajdowania przybliżeń $\cfrac{1}{1-r}$, gdy $|r| < 1$.

Podstawiając $r=-\epsilon$, $n=2$, otrzymujemy

\[\frac{1}{1+\epsilon} - (1 - \epsilon) = \frac{\epsilon^2}{1 + \epsilon}\]

Zatem dla $0 < \epsilon < 1$ zachodzi

\[0 < \frac{1}{1 + \epsilon} - (1 - \epsilon) < \epsilon^2\]

a więc

\[\frac{1}{1 + \epsilon} \approx (1 - \epsilon) \pm \epsilon^2 \qquad (0 < \epsilon < 1)\]

Wynika z tego, że dla dostatecznie małego dodatniego $\epsilon$ można przybliżać $\cfrac{1}{1 + \epsilon}$ przez $1 - \epsilon$.

Kryterium $p$-szeregu ($p$-Series Test)

Dla dodatniej liczby rzeczywistej $p$ szereg postaci

\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}\]

nazywa się $p$-szeregiem.

Zbieżność/rozbieżność $p$-szeregu
$p$-szereg $\sum \cfrac{1}{n^p}$ jest

• zbieżny, gdy $p>1$
• rozbieżny, gdy $p\leq 1$

Dla $p=1$ otrzymujemy szereg harmoniczny, o którym już pokazaliśmy, że jest rozbieżny.
Problem obliczenia wartości $p$-szeregu dla $p=2$, tj. $\sum \cfrac{1}{n^2}$, nazywa się „problemem bazylejskim” (Bazylea, Basel) — od nazwy miejsca związanego z rodziną Bernoullich, która odegrała znaczącą rolę w historii tego zagadnienia. Wiadomo, że odpowiedź wynosi $\cfrac{\pi^2}{6}$.

Co więcej, w ujęciu ogólniejszym, dla $p$-szeregu z $p>1$ mówi się o funkcji dzeta (zeta function). Jest to jedna z funkcji szczególnych wprowadzona przez Leonharda Eulera w erze holoceńskiej w roku 11740 HE, a później nazwana przez Riemanna:

\[\zeta(s) := \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} \qquad (s>1)\]

Temat ten nieco odbiega od głównego wątku, a poza tym — szczerze mówiąc — jestem studentem kierunku inżynierskiego, nie matematykiem, więc sam też nie znam go dobrze i nie będę go tu rozwijał. Warto jednak wspomnieć, że Euler pokazał możliwość przedstawienia funkcji dzeta jako nieskończonego iloczynu po liczbach pierwszych, znanego jako iloczyn Eulera (Euler Product), a sama funkcja dzeta zajmuje dziś kluczowe miejsce w wielu działach analitycznej teorii liczb. Jednym z najsłynniejszych przykładów jest funkcja dzeta Riemanna (Riemann zeta function) (rozszerzenie dziedziny na liczby zespolone) oraz ważny nierozwiązany problem: hipoteza Riemanna (Riemann hypothesis).

Wracając do tematu: do dowodu kryterium $p$-szeregu potrzebujemy omówionego niżej testu porównawczego i kryterium całkowego. Jednak zbieżność/rozbieżność $p$-szeregu jest (obok szeregu geometrycznego) szczególnie użyteczna w samym teście porównawczym, dlatego celowo umieszczam ją wcześniej.

Dowód

i) Gdy $p>1$

Całka

\[\int_1^\infty \frac{1}{x^p}\ dx = \left[\frac{1}{-p+1}\frac{1}{x^{p-1}} \right]^\infty_1 = \frac{1}{p-1}\]

jest zbieżna, więc na mocy kryterium całkowego szereg $\sum \cfrac{1}{n^p}$ także jest zbieżny.

ii) Gdy $p\leq 1$

W tym przypadku

\[0 \leq \frac{1}{n} \leq \frac{1}{n^p}\]

Ponieważ wiemy, że szereg harmoniczny $\sum \cfrac{1}{n}$ jest rozbieżny, to z testu porównawczego wynika, że $\sum \cfrac{1}{n^p}$ również jest rozbieżny.

Wniosek

Z punktów i), ii) wynika, że $p$-szereg $\sum \cfrac{1}{n^p}$ jest zbieżny dla $p>1$ i rozbieżny dla $p \leq 1$. $\blacksquare$

Test porównawczy

Przy rozstrzyganiu zbieżności/rozbieżności szeregu o wyrazach nieujemnych, czyli szeregu o wyrazach dodatnich (series of positive terms), użyteczny jest test porównawczy (Comparison Test) autorstwa Jakoba Bernoulliego.

Ponieważ szereg o wyrazach dodatnich $\sum a_n$ ma sumy częściowe tworzące ciąg rosnący, to jeśli nie jest rozbieżny do nieskończoności ($\sum a_n = \infty$), musi być zbieżny. Dlatego w przypadku szeregu o wyrazach dodatnich zapis

\[\sum a_n < \infty\]

oznacza po prostu, że jest on zbieżny.

Test porównawczy (Comparison Test)
Gdy $0 \leq a_n \leq b_n$,

• $\sum b_n < \infty \ \Rightarrow \ \sum a_n < \infty$
• $\sum a_n = \infty \ \Rightarrow \ \sum b_n = \infty$

W szczególności, wśród szeregów o wyrazach dodatnich takich jak $\sum \cfrac{1}{n^2 + n}$, $\sum \cfrac{\log n}{n^3}$, $\sum \cfrac{1}{2^n + 3^n}$, $\sum \cfrac{1}{\sqrt{n}}$, $\sum \sin{\cfrac{1}{n}}$ itp. — czyli mających postać podobną do omawianych wcześniej szeregu geometrycznego $\sum ar^{n-1}$ lub $p$-szeregu $\sum \cfrac{1}{n^p}$ — warto aktywnie próbować właśnie testu porównawczego.

Wiele innych kryteriów zbieżności/rozbieżności można wyprowadzić z testu porównawczego; w tym sensie jest to najważniejsze z nich.

Test porównawczy graniczny

Dla szeregów o wyrazach dodatnich $\sum a_n$ i $\sum b_n$ załóżmy, że w ilorazie $a_n/b_n$ dominujące składniki (dominant term) w liczniku i mianowniku się redukują, tak że $\lim_{n\to\infty} \cfrac{a_n}{b_n}=c \text{ (}c\text{ jest skończoną liczbą dodatnią)}$. Jeśli znamy zbieżność/rozbieżność szeregu $\sum b_n$, możemy zastosować poniższy test porównawczy graniczny (Limit Comparison Test).

Test porównawczy graniczny (Limit Comparison Test)
Jeśli

\[\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = c \text{ (}c\text{ jest skończoną liczbą dodatnią)}\]

to oba szeregi $\sum a_n$ i $\sum b_n$ albo są zbieżne, albo oba są rozbieżne. Tzn. $ \sum a_n < \infty \ \Leftrightarrow \ \sum b_n < \infty$.

Kryterium pierwiastkowe

Twierdzenie
Dla szeregu o wyrazach dodatnich $\sum a_n$ oraz dodatniej liczby $\epsilon < 1$

• jeśli dla każdego $n$ zachodzi $\sqrt[n]{a_n}< 1-\epsilon$, to szereg $\sum a_n$ jest zbieżny
• jeśli dla każdego $n$ zachodzi $\sqrt[n]{a_n}> 1+\epsilon$, to szereg $\sum a_n$ jest rozbieżny

Wniosek: kryterium pierwiastkowe (Root Test)
Załóżmy, że dla szeregu o wyrazach dodatnich $\sum a_n$ istnieje granica

\[\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n} =: r\]

Wtedy

• jeśli $r<1$, to szereg $\sum a_n$ jest zbieżny
• jeśli $r>1$, to szereg $\sum a_n$ jest rozbieżny

W powyższym wniosku przypadek $r=1$ nie pozwala rozstrzygnąć zbieżności/rozbieżności, więc trzeba użyć innych metod.

Kryterium ilorazowe

Kryterium ilorazowe (Ratio Test)
Dla dodatniego ciągu $(a_n)$ oraz $0 < r < 1$

• jeśli dla każdego $n$ zachodzi $a_{n+1}/a_n \leq r$, to szereg $\sum a_n$ jest zbieżny
• jeśli dla każdego $n$ zachodzi $a_{n+1}/a_n \geq 1$, to szereg $\sum a_n$ jest rozbieżny

Wniosek
Załóżmy, że dla dodatniego ciągu $(a_n)$ istnieje granica $\rho := \lim_{n\to\infty} \cfrac{a_{n+1}}{a_n}$. Wtedy

• jeśli $\rho < 1$, to szereg $\sum a_n$ jest zbieżny
• jeśli $\rho > 1$, to szereg $\sum a_n$ jest rozbieżny

Kryterium całkowe

Za pomocą całek można rozstrzygać zbieżność/rozbieżność szeregu utworzonego z dodatnich wyrazów ciągu malejącego.

Kryterium całkowe (Integral Test)
Gdy funkcja ciągła $f: \left[1,\infty \right) \rightarrow \mathbb{R}$ jest malejąca i zawsze $f(x)>0$, to warunkiem koniecznym i wystarczającym zbieżności szeregu $\sum f(n)$ jest zbieżność całki

\[\int_1^\infty f(x)\ dx := \lim_{b\to\infty} \int_1^b f(x)\ dx\]

.

Dowód

Ponieważ $f(x)$ jest funkcją ciągłą i malejącą oraz zawsze dodatnią, zachodzi nierówność

\[f(n+1) \leq \int_n^{n+1} f(x)\ dx \leq f(n)\]

Sumując stronami tę nierówność od $n=1$ do dowolnego wyrazu, otrzymujemy

\[f(2) + \cdots + f(n+1) \leq \int_1^{n+1} f(x)\ dx \leq f(1) + \cdots + f(n)\]

Teraz, stosując test porównawczy, dostajemy żądany wynik. $\blacksquare$

Szereg naprzemienny

Szereg $\sum a_n$, w którym wyraz ogólny jest niezerowy, a znaki kolejnych wyrazów $a_n$ i $a_{n+1}$ są różne (tzn. wyrazy dodatnie i ujemne występują na przemian), nazywa się szeregiem naprzemiennym (alternating series).

Dla szeregu naprzemiennego można z pożytkiem użyć następującego twierdzenia odkrytego przez niemieckiego matematyka Gottfrieda Wilhelma Leibniza.

Kryterium Leibniza dla szeregu naprzemiennego (Alternating Series Test)
Jeśli

1. dla każdego $n$ wyrazy $a_n$ i $a_{n+1}$ mają różne znaki,
2. dla każdego $n$ zachodzi $|a_n| \geq |a_{n+1}|$,
3. $\lim_{n\to\infty} a_n = 0$,

to szereg naprzemienny $\sum a_n$ jest zbieżny.

Szeregi zbieżne bezwzględnie

Dla szeregu $\sum a_n$ mówimy, że „szereg $\sum a_n$ jest zbieżny bezwzględnie (converge absolutely)”, jeśli szereg $\sum |a_n|$ jest zbieżny.

Wtedy zachodzi następujące twierdzenie.

Twierdzenie
Szereg zbieżny bezwzględnie jest zbieżny.

Odwrotność powyższego twierdzenia nie zachodzi.
Jeśli szereg jest zbieżny, ale nie jest zbieżny bezwzględnie, to mówimy, że jest „zbieżny warunkowo (converge conditionally)”.

Dowód

Dla liczby rzeczywistej $a$ zdefiniujmy

\[\begin{align*} a^+ &:= \max\{a,0\} = \frac{1}{2}(|a| + a), \\ a^- &:= -\min\{a,0\} = \frac{1}{2}(|a| - a) \end{align*}\]

Wtedy

\[a = a^+ - a^-, \qquad |a| = a^+ + a^-\]

Ponieważ $0 \leq a^\pm \leq |a|$, to na mocy testu porównawczego, jeżeli szereg $\sum |a_n|$ jest zbieżny, to oba szeregi $\sum a_n^+$ oraz $\sum a_n^-$ również są zbieżne. W konsekwencji, na mocy podstawowych własności szeregów zbieżnych,

\[\sum a_n = \sum (a_n^+ - a_n^-) = \sum a_n^+ - \sum a_n^-\]

też jest zbieżny. $\blacksquare$