Cząstka swobodna (The Free Particle)

TL;DR

• Cząstka swobodna: $V(x)=0$, brak warunków brzegowych (dowolna energia)
• Rozwiązanie z rozdzielenia zmiennych $\Psi_k(x,t) = Ae^{i\left(kx-\frac{\hbar k^2}{2m}t \right)}$ po scałkowaniu kwadratu rozbiega do nieskończoności, więc nie da się go znormalizować, co sugeruje:
  • cząstka swobodna nie może istnieć jako stan stacjonarny
  • cząstka swobodna nie może mieć energii zdefiniowanej dokładnie jedną wartością (istnieje nieoznaczoność energii)
• Mimo to rozwiązanie ogólne zależnego od czasu równania Schrödingera jest kombinacją liniową rozwiązań z rozdzielenia zmiennych, więc te rozwiązania nadal mają istotne znaczenie matematyczne. Ponieważ nie ma tu ograniczeń, rozwiązanie ogólne ma postać całki ($\int$) po zmiennej ciągłej $k$, a nie sumy ($\sum$) po zmiennej dyskretnej $n$.
• Rozwiązanie ogólne równania Schrödingera:

\[\begin{gather*} \Psi(x,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} \phi(k)e^{i(kx-\frac{\hbar k^2}{2m}t)}dk, \\ \text{gdzie }\phi(k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\Psi(x,0)e^{-ikx}dx \end{gather*}\]

• Zależność między nieoznaczonością położenia i pędu:
  • gdy nieoznaczoność położenia maleje, nieoznaczoność pędu rośnie; odwrotnie, gdy nieoznaczoność pędu maleje, nieoznaczoność położenia rośnie
  • tzn. w mechanice kwantowej nie da się jednocześnie znać dokładnie położenia i pędu cząstki swobodnej
• Prędkość fazowa i grupowa funkcji falowej $\Psi(x,t)$:
  • prędkość fazowa: $v_\text{phase} = \cfrac{\omega}{k} = \cfrac{\hbar k}{2m}$
  • prędkość grupowa: $v_\text{group} = \cfrac{d\omega}{dk} = \cfrac{\hbar k}{m}$
• Sens fizyczny prędkości grupowej i porównanie z mechaniką klasyczną:
  • fizycznie prędkość grupowa odpowiada prędkości ruchu cząstki
  • gdy $\phi(k)$ jest bardzo „ostra” w pobliżu pewnej wartości $k_0$ (gdy nieoznaczoność pędu jest dostatecznie mała),

\[v_\text{group} = v_\text{classical} = \sqrt{\cfrac{2E}{m}}\]

Wymagania wstępne

• wzór Eulera
• transformata Fouriera (Fourier transform) i twierdzenie Plancherela (Plancherel’s theorem)
• Równanie Schrödingera i funkcja falowa
• Równanie Schrödingera niezależne od czasu
• 1-wymiarowa nieskończona studnia potencjału

Ustawienie modelu

Rozważmy najprostszy przypadek: cząstkę swobodną ($V(x)=0$). Klasycznie jest to po prostu ruch jednostajny, ale w mechanice kwantowej problem robi się ciekawszy.
Równanie Schrödingera niezależne od czasu dla cząstki swobodnej ma postać

\[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2}=E\psi \tag{1}\]

czyli

\[\frac{d^2\psi}{dx^2} = -k^2\psi \text{, gdzie }k\equiv \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar} \label{eqn:t_independent_schrodinger_eqn}\tag{2}\]

Do tego miejsca jest to identyczne jak wnętrze nieskończonej studni kwadratowej o potencjale $0$. Tyle że tym razem zapiszmy rozwiązanie ogólne w postaci wykładniczej:

\[\psi(x) = Ae^{ikx} + Be^{-ikx}. \tag{3}\]

$Ae^{ikx} + Be^{-ikx}$ oraz $C\cos{kx}+D\sin{kx}$ to równoważne sposoby zapisu tej samej funkcji zmiennej $x$. Z wzoru Eulera $e^{ix}=\cos{x}+i\sin{x}$ wynika

\[\begin{align*} Ae^{ikx}+Be^{-ikx} &= A[\cos{kx}+i\sin{kx}] + B[\cos{(-kx)}+i\sin{(-kx)}] \\ &= A(\cos{kx}+i\sin{kx}) + B(\cos{kx}-i\sin{kx}) \\ &= (A+B)\cos{kx} + i(A-B)\sin{kx}. \end{align*}\]

Zatem, gdy przyjmiemy $C=A+B$ oraz $D=i(A-B)$, to

\[Ae^{ikx} + Be^{-ikx} = C\cos{kx}+D\sin{kx}. \blacksquare\]

Odwrotnie, wyrażając $A$ i $B$ przez $C$ i $D$, dostajemy $A=\cfrac{C-iD}{2}$, $B=\cfrac{C+iD}{2}$.

W mechanice kwantowej przy $V=0$ funkcje wykładnicze opisują falę biegnącą i są najwygodniejsze przy analizie cząstki swobodnej. Z kolei funkcje sinus i cosinus łatwo opisują falę stojącą i naturalnie pojawiają się w nieskończonej studni kwadratowej.

W odróżnieniu od nieskończonej studni kwadratowej, tym razem nie ma warunków brzegowych ograniczających $k$ i $E$. To znaczy: cząstka swobodna może mieć dowolną dodatnią energię.

Rozwiązanie z rozdzielenia zmiennych i prędkość fazowa

Jeśli do $\psi(x)$ dołączymy zależność czasową $e^{-iEt/\hbar}$, to dostajemy

\[\Psi(x,t) = Ae^{ik\left(x-\frac{\hbar k}{2m}t \right)} + Be^{-ik\left(x+\frac{\hbar k}{2m}t \right)} \label{eqn:Psi_seperated_solution}\tag{4}\]

W ogólności dowolna funkcja $x$ i $t$ zależna od szczególnej postaci $(x\pm vt)$ opisuje falę, która nie zmienia kształtu i porusza się z prędkością $v$ w kierunku $\mp x$. Zatem pierwszy wyraz w ($\ref{eqn:Psi_seperated_solution}$) opisuje falę biegnącą w prawo, a drugi — falę o tej samej długości i prędkości fazowej, lecz o innej amplitudzie, biegnącą w lewo. Ponieważ różnią się jedynie znakiem przy $k$, możemy pisać

\[\Psi_k(x,t) = Ae^{i\left(kx-\frac{\hbar k^2}{2m}t \right)} \tag{5}\]

a kierunek propagacji w zależności od znaku $k$ jest następujący:

\[k \equiv \pm\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar},\quad \begin{cases} k>0 \Rightarrow & \text{ruch w prawo}, \\ k<0 \Rightarrow & \text{ruch w lewo}. \end{cases} \tag{6}\]

„Stan stacjonarny” cząstki swobodnej jest ewidentnie falą biegnącą*, o długości $\lambda = 2\pi/|k|$, a ze wzoru de Broglie’a (de Broglie formula) wynika, że ma pęd

\[p = \frac{2\pi\hbar}{\lambda} = \hbar k \label{eqn:de_broglie_formula}\tag{7}\]

*„Stan stacjonarny”, a jednak fala biegnąca — fizycznie to oczywista sprzeczność. Powód zaraz się pojawi.

Ponadto prędkość tej fali wynosi

\[v_{\text{phase}} = \left|\frac{\omega}{k}\right| = \frac{\hbar|k|}{2m} = \sqrt{\frac{E}{2m}}. \label{eqn:phase_velocity}\tag{8}\]

(tutaj $\omega$ to współczynnik przy $t$, czyli $\cfrac{\hbar k^2}{2m}$.)

Jednak tej funkcji falowej nie da się znormalizować, bo po scałkowaniu kwadratu rozbiega do nieskończoności:

\[\int_{-\infty}^{\infty}\Psi_k^*\Psi_k dx = |A|^2\int_{-\infty}^{\infty}dx = \infty. \tag{9}\]

Czyli dla cząstki swobodnej rozwiązanie z rozdzielenia zmiennych nie jest fizycznie dopuszczalnym stanem. Cząstka swobodna nie może istnieć jako stan stacjonarny ani nie może mieć jednej, ściśle określonej wartości energii. Zresztą intuicyjnie: skoro na obu końcach nie ma żadnych warunków brzegowych, to bardziej „dziwne” byłoby właśnie to, gdyby powstawała fala stojąca.

Wyznaczenie rozwiązania ogólnego $\Psi(x,t)$ dla zależnego od czasu równania Schrödingera

Mimo to to rozwiązanie z rozdzielenia zmiennych nadal ma ważne znaczenie: niezależnie od interpretacji fizycznej, rozwiązanie ogólne zależnego od czasu równania Schrödingera jest kombinacją liniową rozwiązań z rozdzielenia zmiennych. Ponieważ w tym przypadku nie ma ograniczeń, rozwiązanie ogólne ma postać całki ($\int$) po zmiennej ciągłej $k$, zamiast sumy ($\sum$) po zmiennej dyskretnej $n$:

\[\Psi(x,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} \phi(k)e^{i(kx-\frac{\hbar k^2}{2m}t)}dk. \label{eqn:Psi_general_solution}\tag{10}\]

Tutaj $\cfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\phi(k)dk$ pełni tę samą rolę co $c_n$ w równaniu (21) z posta „Równanie Schrödingera niezależne od czasu”.

Tę funkcję falową można znormalizować dla odpowiedniego $\phi(k)$, ale wtedy musi istnieć pewien zakres wartości $k$, a więc i zakres energii oraz prędkości. Nazywa się to pakietem falowym (wave packet).

Fala sinusoidalna jest nieskończenie rozciągnięta w przestrzeni, więc nie da się jej znormalizować. Jednak superpozycja wielu takich fal może — na skutek interferencji — ulec lokalizacji i stać się normalizowalna.

Wyznaczenie $\phi(k)$ z twierdzenia Plancherela (Plancherel theorem)

Skoro znamy postać $\Psi(x,t)$ (równanie [$\ref{eqn:Psi_general_solution}$]), to pozostaje jedynie wyznaczyć $\phi(k)$ spełniające warunek na początkową funkcję falową:

\[\Psi(x,0) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} \phi(k)e^{ikx}dk \label{eqn:Psi_at_t_0}\tag{11}\]

Jest to typowy problem analizy Fouriera (Fourier analysis), a odpowiedź daje twierdzenie Plancherela (Plancherel’s theorem):

\[f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} F(k)e^{ikx}dk \Longleftrightarrow F(k)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-ikx}dx. \label{eqn:plancherel_theorem}\tag{12}\]

$F(k)$ nazywa się transformatą Fouriera (Fourier transform) funkcji $f(x)$, a $f(x)$ — odwrotną transformatą Fouriera (inverse Fourier transform) funkcji $F(k)$. Z ($\ref{eqn:plancherel_theorem}$) łatwo widać, że różnią się tylko znakiem w wykładniku. Oczywiście istnieje ograniczenie: dopuszczalne są tylko takie funkcje, dla których całka istnieje.

Warunkiem koniecznym i wystarczającym istnienia $f(x)$ jest to, aby $\int_{-\infty}^{\infty}|f(x)|^2dx$ było skończone. Wtedy $\int_{-\infty}^{\infty}|F(k)|^2dk$ także jest skończone oraz zachodzi

\[\int_{-\infty}^{\infty}|f(x)|^2 dx = \int_{-\infty}^{\infty}|F(k)|^2 dk\]

Czasem to właśnie powyższe równanie (a nie ($\ref{eqn:plancherel_theorem}$)) nazywa się twierdzeniem Plancherela (tak jest to opisane również w Wikipedii).

W naszym przypadku z fizycznego warunku normalizacji $\Psi(x,0)$ wynika, że odpowiednia całka musi istnieć. Zatem kwantowomechaniczne rozwiązanie dla cząstki swobodnej to ($\ref{eqn:Psi_general_solution}$), gdzie

\[\phi(k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\Psi(x,0)e^{-ikx}dx \label{eqn:phi}\tag{13}\]

W praktyce jednak rzadko da się analitycznie obliczyć całkę w ($\ref{eqn:Psi_general_solution}$). Zwykle wartości wyznacza się numerycznie na komputerze.

Obliczenie prędkości grupowej pakietu falowego i interpretacja fizyczna

W swej istocie pakiet falowy jest superpozycją bardzo wielu fal sinusoidalnych, których amplitudy wyznacza $\phi$. Innymi słowy: wewnątrz „obwiedni (envelope)” pakietu znajdują się „zmarszczki (ripples)”.

Informacja o licencji obrazu i źródle oryginału

• kod źródłowy generowania obrazu (Python3): yunseo-kim/physics-visualizations
• kod źródłowy generowania obrazu (gnuplot): yunseo-kim/physics-visualizations
• licencja: Mozilla Public License 2.0
• autor oryginału: Ph.D. Youjun Hu
• oryginalna informacja o licencji: MIT License

Fizycznie prędkością cząstki nie jest prędkość pojedynczych „zmarszczek”, którą wyznaczyliśmy wcześniej w ($\ref{eqn:phase_velocity}$) (prędkość fazowa, phase velocity), lecz prędkość zewnętrznej obwiedni (prędkość grupowa, group velocity).

Zależność między nieoznaczonością położenia i pędu

Spójrzmy na związek między nieoznaczonością położenia i nieoznaczonością pędu, wyodrębniając same części całkowe: $\int\phi(k)e^{ikx}dk$ z ($\ref{eqn:Psi_at_t_0}$) oraz $\int\Psi(x,0)e^{-ikx}dx$ z ($\ref{eqn:phi}$).

Gdy nieoznaczoność położenia jest mała

Jeśli w przestrzeni położeń $\Psi$ jest skupiona w bardzo wąskim obszarze wokół pewnej wartości $x_0$, tj. w przedziale $[x_0-\delta, x_0+\delta]$, a poza nim jest bliska 0 (gdy nieoznaczoność położenia jest mała), to $e^{-ikx} \approx e^{-ikx_0}$ jest prawie stałe względem $x$, zatem

\[\begin{align*} \int_{-\infty}^{\infty} \Psi(x,0)e^{-ikx}dx &\approx \int_{x_0-\delta}^{x_0+\delta} \Psi(x,0)e^{-ikx_0}dx \\ &= e^{-ikx_0}\int_{x_0-\delta}^{x_0+\delta} \Psi(x,0)dx \\ &= e^{-ipx_0/\hbar}\int_{x_0-\delta}^{x_0+\delta} \Psi(x,0)dx \quad (\because \text{eqn. }\ref{eqn:de_broglie_formula}) \end{align*}\tag{14}\]

Wyraz z całką oznaczoną jest stały względem $p$, więc przez czynnik $e^{-ipx_0/\hbar}$ funkcja $\phi$ przyjmuje w przestrzeni pędów postać sinusoidalną względem $p$, czyli rozkłada się na szeroki zakres pędów (nieoznaczoność pędu jest duża).

Gdy nieoznaczoność pędu jest mała

Analogicznie, jeśli w przestrzeni pędów $\phi$ jest skupiona w bardzo wąskim obszarze wokół pewnej wartości $p_0$, tj. w przedziale $[p_0-\delta, p_0+\delta]$, a poza nim jest bliska 0 (gdy nieoznaczoność pędu jest mała), to na mocy ($\ref{eqn:de_broglie_formula}$) mamy $e^{ikx}=e^{ipx/\hbar} \approx e^{ip_0x/\hbar}$ (prawie stałe względem $p$), oraz $dk=\frac{1}{\hbar}dp$, więc

\[\begin{align*} \int_{-\infty}^{\infty} \phi(k)e^{ikx}dk &= \frac{1}{\hbar}\int_{p_0-\delta}^{p_0+\delta} \phi(p)e^{ip_0x/\hbar}dp \\ &= \frac{1}{\hbar}e^{ip_0x/\hbar}\int_{p_0-\delta}^{p_0+\delta} \phi(p)dp \end{align*}\tag{15}\]

Przez czynnik $e^{ip_0x/\hbar}$ funkcja $\Psi$ w przestrzeni położeń przyjmuje postać sinusoidalną względem $x$, czyli rozkłada się na szeroki zakres położeń (nieoznaczoność położenia jest duża).

Wniosek

Gdy nieoznaczoność położenia maleje, nieoznaczoność pędu rośnie; odwrotnie, gdy nieoznaczoność pędu maleje, nieoznaczoność położenia rośnie. Dlatego w mechanice kwantowej nie jest możliwe jednoczesne dokładne poznanie położenia i pędu cząstki swobodnej.

Źródło obrazu

• autor: użytkownik anglojęzycznej Wikipedii Maschen
• licencja: public domain

W rzeczywistości, na mocy zasady nieoznaczoności (uncertainty principle), dotyczy to nie tylko cząstki swobodnej, ale wszystkich przypadków. Zasadę nieoznaczoności omówię w osobnym poście.

Prędkość grupowa pakietu falowego

Jeśli w ($\ref{eqn:Psi_general_solution}$) podstawimy — jak w ($\ref{eqn:phase_velocity}$) — $\omega \equiv \cfrac{\hbar k^2}{2m}$, to

\[\Psi(x,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} \phi(k)e^{i(kx-\omega t)}dk \tag{16}\]

Zapis $\omega = \cfrac{\hbar k^2}{2m}$, czyli $\omega$ jako funkcja $k$, nazywa się relacją dyspersji (dispersion relation). Poniższe rozumowanie stosuje się ogólnie do wszystkich pakietów falowych, niezależnie od konkretnej relacji dyspersji.

Załóżmy teraz, że $\phi(k)$ ma bardzo ostry kształt w pobliżu pewnej wartości $k_0$. (Można dopuścić też szeroki rozkład po $k$, ale wtedy pakiet bardzo szybko się „rozmywa” i zmienia postać. Składowe o różnych $k$ poruszają się z różnymi prędkościami, więc cała „grupa” przestaje mieć dobrze zdefiniowaną prędkość; tzn. rośnie nieoznaczoność pędu.)
Ponieważ wkład spoza okolic $k_0$ można zaniedbać, możemy rozwinąć $\omega(k)$ w szereg Taylora wokół $k_0$ i zatrzymać się na wyrazie liniowym:

\[\omega(k) \approx \omega_0 + \omega_0^\prime(k-k_0)\]

Podstawiając $s=k-k_0$ i całkując względem środka $k_0$, dostajemy

\[\begin{align*} \Psi(x,t) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\phi(k_0+s)e^{i[(k_0+s)x-(\omega_0+\omega_0^\prime s)t]}ds \\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{i(k_0x-\omega_0t)}\int_{-\infty}^{\infty}\phi(k_0+s)e^{is(x-\omega_0^\prime t)}ds. \end{align*}\tag{17}\]

Czynnik $e^{i(k_0x-\omega_0t)}$ z przodu opisuje falę sinusoidalną („zmarszczki”) poruszającą się z prędkością $\omega_0/k_0$, natomiast całka (opisująca „obwiednię”, czyli amplitudę tej fali) porusza się — przez składnik $e^{is(x-\omega_0^\prime t)}$ — z prędkością $\omega_0^\prime$. Zatem prędkość fazowa w punkcie $k=k_0$ wynosi

\[v_\text{phase} = \frac{\omega_0}{k_0} = \frac{\omega}{k} = \frac{\hbar k}{2m} \tag{18}\]

co zgadza się z ($\ref{eqn:phase_velocity}$), a prędkość grupowa to

\[v_\text{group} = \omega_0^\prime = \frac{d\omega}{dk} = \frac{\hbar k}{m} \label{eqn:group_velocity}\tag{19}\]

czyli jest dwukrotnie większa od prędkości fazowej.

Porównanie z mechaniką klasyczną

Wiemy, że w skali makro obowiązuje mechanika klasyczna, więc wynik z mechaniki kwantowej powinien przechodzić w wynik klasyczny, gdy nieoznaczoności kwantowe są dostatecznie małe. Dla cząstki swobodnej oznacza to, że gdy $\phi(k)$ jest bardzo ostra w pobliżu pewnego $k_0$ (tzn. gdy nieoznaczoność pędu jest dostatecznie mała), to prędkość grupowa $v_\text{group}$ (odpowiadająca prędkości cząstki w opisie kwantowym) powinna być równa prędkości klasycznej $v_\text{classical}$ dla tej samej wartości $k$ i odpowiadającej jej energii $E$.

Podstawiając $k\equiv \cfrac{\sqrt{2mE}}{\hbar}$ z ($\ref{eqn:t_independent_schrodinger_eqn}$) do wyznaczonej przed chwilą prędkości grupowej (równanie [$\ref{eqn:group_velocity}$]), dostajemy

\[v_\text{quantum} = \sqrt{\frac{2E}{m}} \tag{20}\]

a w mechanice klasycznej prędkość cząstki swobodnej o energii kinetycznej $E$ również wynosi

\[v_\text{classical} = \sqrt{\frac{2E}{m}} \tag{21}\]

Zatem $v_\text{quantum}=v_\text{classical}$, co potwierdza, że otrzymany wynik jest fizycznie sensowny.