1-wymiarowa nieskończona studnia potencjału (The 1D Infinite Square Well)

TL;DR

• Problem 1D nieskończonej studni: \(V(x) = \begin{cases} 0, & 0 \leq x \leq a,\\ \infty, & \text{w przeciwnym razie} \end{cases}\)
• Warunki brzegowe: $ \psi(0) = \psi(a) = 0 $
• Poziomy energii $n$-tego stanu stacjonarnego: $E_n = \cfrac{n^2\pi^2\hbar^2}{2ma^2}$

• Rozwiązanie równania Schrödingera niezależnego od czasu wewnątrz studni:

  \[\psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{a}}\sin\left(\frac{n\pi}{a}x\right)\]
• Interpretacja fizyczna poszczególnych stanów stacjonarnych $\psi_n$:
  • postać fali stojącej na strunie o długości $a$
  • stan podstawowy (ground state): stan stacjonarny $\psi_1$ o najniższej energii
  • stany wzbudzone (excited states): pozostałe stany dla $n\geq 2$, których energia rośnie proporcjonalnie do $n^2$
• 4 ważne własności matematyczne $\psi_n$:
  1. jeśli potencjał $V(x)$ ma symetrię, to względem środka studni na przemian pojawiają się funkcje parzyste i nieparzyste
  2. im większa energia, tym każdy kolejny stan ma o jeden więcej węzeł (node)

  3. spełniają ortonormalność (orthonormality)

     \[\begin{gather*} \int \psi_m(x)^*\psi_n(x)dx=\delta_{mn} \\ \delta_{mn} = \begin{cases} 0, & m\neq n \\ 1, & m=n \end{cases} \end{gather*}\]

  4. spełniają zupełność (completeness)

     \[f(x) = \sum_{n=1}^{\infty}c_n\psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{a}}\sum_{n=1}^{\infty} c_n\sin\left(\frac{n\pi}{a}x\right)\]

• Rozwiązanie ogólne równania Schrödingera (kombinacja liniowa stanów stacjonarnych):

  \[\begin{gather*} \Psi(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n\sqrt{\frac{2}{a}}\sin{\left(\frac{n\pi}{a}x \right)}e^{-i(n^2\pi^2\hbar/2ma^2)t}, \\ \text{gdzie współczynniki }c_n = \sqrt{\frac{2}{a}}\int_0^a \sin{\left(\frac{n\pi}{a}x \right)}\Psi(x,0) dx. \end{gather*}\]

Wymagania wstępne

• ciągłe rozkłady prawdopodobieństwa i gęstość prawdopodobieństwa
• ortogonalność i normalizacja (algebra liniowa)
• szeregi Fouriera i zupełność (algebra liniowa)
• Równanie Schrödingera i funkcja falowa
• Twierdzenie Ehrenfesta
• Równanie Schrödingera niezależne od czasu

Zadany potencjał

Jeśli potencjał jest równy

\[V(x) = \begin{cases} 0, & 0 \leq x \leq a,\\ \infty, & \text{w przeciwnym razie} \end{cases} \tag{1}\]

to cząstka wewnątrz tego potencjału jest w zakresie $0<x<a$ cząstką swobodną, natomiast na obu końcach ($x=0$ oraz $x=a$) działa na nią nieskończenie wielka siła, przez co nie może uciec. W klasycznym modelu interpretuje się to jako ruch tam i z powrotem z doskonale sprężystymi zderzeniami, bez udziału sił niezachowawczych — czyli nieskończony ruch wahadłowy. Choć taki potencjał jest skrajnie sztuczny i uproszczony, właśnie dlatego może stanowić użyteczny punkt odniesienia przy analizie innych sytuacji fizycznych w dalszej nauce mechaniki kwantowej, więc warto go uważnie prześledzić.

Źródło obrazu

• autor: użytkownik Wikimedia Benjamin ESHAM
• licencja: CC BY-SA 3.0

Model i warunki brzegowe

Poza studnią prawdopodobieństwo znalezienia cząstki wynosi $0$, więc $\psi(x)=0$. Wewnątrz studni $V(x)=0$, zatem równanie Schrödingera niezależne od czasu ma postać

\[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2} = E\psi \label{eqn:t_independent_schrodinger_eqn}\tag{2}\]

czyli

\[\frac{d^2\psi}{dx^2} = -k^2\psi,\text{ gdzie } k\equiv \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar} \tag{3}\]

Przyjmujemy tu założenie $E\geq 0$.

Jest to równanie opisujące klasyczny oscylator harmoniczny (simple harmonic oscillator), a rozwiązanie ogólne ma postać

\[\psi(x) = A\sin{kx} + B\cos{kx} \label{eqn:psi_general_solution}\tag{4}\]

gdzie $A$ i $B$ są dowolnymi stałymi. Przy wyznaczaniu rozwiązania szczególnego odpowiadającego sytuacji z zadania stałe te są typowo wyznaczane z warunków brzegowych. W przypadku $\psi(x)$ zwykle warunkiem brzegowym jest ciągłość zarówno $\psi$, jak i $d\psi/dx$, jednak w punktach, gdzie potencjał staje się nieskończony, ciągła jest tylko $\psi$.

Wyznaczenie rozwiązania równania Schrödingera niezależnego od czasu

Ponieważ $\psi(x)$ jest ciągła, musi zachodzić

\[\psi(0) = \psi(a) = 0 \label{eqn:boundary_conditions}\tag{5}\]

aby rozwiązanie dało się połączyć z rozwiązaniem na zewnątrz studni. W równaniu ($\ref{eqn:psi_general_solution}$) dla $x=0$ mamy

\[\psi(0) = A\sin{0} + B\cos{0} = B\]

zatem po podstawieniu ($\ref{eqn:boundary_conditions}$) musi być $B=0$.

\[\therefore \psi(x)=A\sin{kx} \label{eqn:psi_without_B}. \tag{6}\]

Wtedy $\psi(a)=A\sin{ka}$, więc aby spełnić $\psi(a)=0$ z ($\ref{eqn:boundary_conditions}$), trzeba mieć albo $A=0$ (rozwiązanie trywialne), albo $\sin{ka}=0$. Stąd

\[ka = 0,\, \pm\pi,\, \pm 2\pi,\, \pm 3\pi,\, \dots \tag{7}\]

Podobnie, $k=0$ daje rozwiązanie trywialne $\psi(x)=0$, którego nie da się znormalizować, więc nie jest to rozwiązanie, którego szukamy. Ponadto, ponieważ $\sin(-\theta)=-\sin(\theta)$, znak minus można wchłonąć w stałą $A$ z równania ($\ref{eqn:psi_without_B}$). Dlatego bez straty ogólności można rozważać wyłącznie przypadek $ka>0$. Zatem dopuszczalne wartości $k$ to

\[k_n = \frac{n\pi}{a},\ n\in\mathbb{N} \tag{8}\]

Wówczas $\psi_n=A\sin{k_n x}$ oraz $\cfrac{d^2\psi}{dx^2}=-Ak^2\sin{kx}$, więc po podstawieniu do ($\ref{eqn:t_independent_schrodinger_eqn}$) otrzymujemy możliwe wartości $E$:

\[A\frac{\hbar^2}{2m}k_n^2\sin{k_n x} = AE_n\sin{k_n x}\] \[E_n = \frac{\hbar^2 k_n^2}{2m} = \frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2ma^2}. \tag{9}\]

W ostrym kontraście do przypadku klasycznego, cząstka kwantowa w nieskończonej studni kwadratowej nie może mieć dowolnej energii — musi przyjmować jedną z dozwolonych wartości.

Energia ulega skwantowaniu wskutek warunków brzegowych nałożonych na rozwiązanie równania Schrödingera niezależnego od czasu.

Teraz możemy znormalizować $\psi$ i wyznaczyć $A$.

Formalnie normalizuje się $\Psi(x,t)$, ale na mocy równania (11) z posta Równanie Schrödingera niezależne od czasu jest to równoważne normalizacji $\psi(x)$.

\[\int_0^a |A|^2 \sin^2(kx)dx = |A|^2\frac{a}{2} = 1\] \[\therefore |A|^2 = \frac{2}{a}.\]

Ściśle rzecz biorąc wyznacza to tylko moduł $A$, ale faza $A$ nie ma żadnego znaczenia fizycznego, więc można po prostu przyjąć dodatni rzeczywisty pierwiastek jako $A$. Zatem rozwiązanie wewnątrz studni ma postać

\[\psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{a}}\sin\left(\frac{n\pi}{a}x\right) \label{eqn:psi_n}\tag{10}\]

Interpretacja fizyczna poszczególnych stanów stacjonarnych $\psi_n$

Jak w ($\ref{eqn:psi_n}$), z równania Schrödingera niezależnego od czasu otrzymaliśmy nieskończenie wiele rozwiązań odpowiadających kolejnym poziomom energii $n$. Jeśli narysujemy kilka pierwszych z nich, otrzymamy wykresy jak na poniższym rysunku.

Źródło obrazu

• autor: użytkownik Wikimedia Papa November
• licencja: CC BY-SA 3.0

Stany te mają postać fali stojącej na strunie o długości $a$. Stan $\psi_1$ o najniższej energii nazywa się stanem podstawowym (ground state), a pozostałe stany dla $n\geq 2$, których energia rośnie proporcjonalnie do $n^2$, nazywa się stanami wzbudzonymi (excited states).

4 ważne własności matematyczne $\psi_n$

Wszystkie funkcje $\psi_n(x)$ mają następujące cztery istotne własności. Są one bardzo silne i nie ograniczają się wyłącznie do nieskończonej studni kwadratowej. Pierwsza własność zachodzi zawsze, gdy sam potencjał jest funkcją o symetrii, natomiast druga, trzecia i czwarta są własnościami ogólnymi, występującymi niezależnie od kształtu potencjału.

1. Względem środka studni na przemian pojawiają się funkcje parzyste i nieparzyste.

Dla dodatniej liczby całkowitej $n$ funkcja $\psi_{2n-1}$ jest parzysta, a $\psi_{2n}$ jest nieparzysta.

2. Im większa energia, tym każdy kolejny stan ma o jeden więcej węzłów.

Dla dodatniej liczby całkowitej $n$ funkcja $\psi_n$ ma $(n-1)$ węzłów (node).

3. Te stany mają ortogonalność (orthogonality).

\[\int \psi_m(x)^*\psi_n(x)dx=0, \quad (m\neq n) \tag{11}\]

czyli są wzajemnie ortogonalne (orthogonal).

W rozważanej nieskończonej studni kwadratowej $\psi$ jest rzeczywista, więc nie trzeba brać sprzężenia zespolonego ($^*$) dla $\psi_m$, ale warto wyrobić w sobie nawyk zawsze je zapisywać na wypadek ogólniejszych sytuacji.

Dowód

Dla $m\neq n$:

\[\begin{align*} \int \psi_m(x)^*\psi_n(x)dx &= \frac{2}{a}\int_0^a \sin{\left(\frac{m\pi}{a}x\right)}\sin(\frac{n\pi}{a}x)dx \\ &= \frac{1}{a}\int_0^a \left[\cos{\left(\frac{m-n}{a}\pi x\right)-\cos{\left(\frac{m+n}{a}\pi x \right)}} \right]dx \\ &= \left\{\frac{1}{(m-n)\pi}\sin{\left(\frac{m-n}{a}\pi x \right)} - \frac{1}{(m+n)\pi}\sin{\left(\frac{m+n}{a}\pi x \right)} \right\}\Bigg|^a_0 \\ &= \frac{1}{\pi}\left\{\frac{\sin[(m-n)\pi]}{m-n}-\frac{\sin[(m+n)\pi]}{m+n} \right\} \\ &= 0. \end{align*}\]

Dla $m=n$ całka ta wynosi $1$ na mocy normalizacji, a używając delty Kroneckera (Kronecker delta) $\delta_{mn}$ można jednocześnie zapisać ortogonalność i normalizację jako

\[\begin{gather*} \int \psi_m(x)^*\psi_n(x)dx=\delta_{mn} \label{eqn:orthonomality}\tag{12}\\ \delta_{mn} = \begin{cases} 0, & m\neq n \\ 1, & m=n \end{cases} \label{eqn:kronecker_delta}\tag{13} \end{gather*}\]

Wtedy mówi się, że $\psi$ jest ortonormalna (orthonormal).

4. Te funkcje mają zupełność (completeness).

W sensie, że dowolną inną funkcję $f(x)$ można zapisać jako kombinację liniową

\[f(x) = \sum_{n=1}^{\infty}c_n\psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{a}}\sum_{n=1}^{\infty} c_n\sin\left(\frac{n\pi}{a}x\right) \label{eqn:fourier_series}\tag{14}\]

funkcje te są zupełne (complete). Równanie ($\ref{eqn:fourier_series}$) jest szeregiem Fouriera (Fourier series) funkcji $f(x)$, a fakt, że dowolną funkcję można w ten sposób rozwinąć, nazywa się twierdzeniem Dirichleta (Dirichlet’s theorem).

Wyznaczenie współczynników $c_n$ metodą Fouriera (Fourier’s trick)

Gdy dana jest funkcja $f(x)$, to korzystając z powyższej zupełności (completeness) i ortonormalności (orthonormality) można wyznaczyć współczynniki $c_n$ następującą metodą, znaną jako metoda Fouriera (Fourier’s trick). Mnożąc obustronnie ($\ref{eqn:fourier_series}$) przez $\psi_m(x)^*$ i całkując, na mocy ($\ref{eqn:orthonomality}$) oraz ($\ref{eqn:kronecker_delta}$) otrzymujemy

\[\int \psi_m(x)^*f(x)dx = \sum_{n=1}^{\infty} c_n\int\psi_m(x)^*\psi_n(x)dx = \sum_{n=1}^{\infty} c_n\delta_{mn} = c_m \tag{15}\]

Zwróć uwagę, że dzięki delcie Kroneckera w sumie znikają wszystkie wyrazy poza tym z $n=m$.

Zatem przy rozwinięciu $f(x)$ współczynnik rzędu $n$ wynosi

\[c_n = \int \psi_n(x)^*f(x)dx \label{eqn:coefficients_n}\tag{16}\]

Wyznaczenie rozwiązania ogólnego $\Psi(x,t)$ równania Schrödingera zależnego od czasu

Każdy stan stacjonarny nieskończonej studni kwadratowej, na mocy równania (10) z posta „Równanie Schrödingera niezależne od czasu” oraz wcześniej otrzymanego ($\ref{eqn:psi_n}$), ma postać

\[\Psi_n(x,t) = \sqrt{\frac{2}{a}}\sin{\left(\frac{n\pi}{a}x \right)}e^{-i(n^2\pi^2\hbar/2ma^2)t} \tag{17}\]

Ponadto w Równaniu Schrödingera niezależnym od czasu widzieliśmy, że rozwiązanie ogólne równania Schrödingera można wyrazić jako kombinację liniową stanów stacjonarnych. Zatem

\[\Psi(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n\sqrt{\frac{2}{a}}\sin{\left(\frac{n\pi}{a}x \right)}e^{-i(n^2\pi^2\hbar/2ma^2)t} \label{eqn:general_solution}\tag{18}\]

Pozostaje jedynie znaleźć współczynniki $c_n$ spełniające warunek

\[\Psi(x,0) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n\psi_n(x).\]

Dzięki zupełności $\psi$ współczynniki $c_n$ spełniające powyższe równanie zawsze istnieją i można je wyznaczyć podstawiając $\Psi(x,0)$ za $f(x)$ w ($\ref{eqn:coefficients_n}$):

\[\begin{align*} c_n &= \int \psi_n(x)^*\Psi(x,0)dx \\ &= \sqrt{\frac{2}{a}}\int_0^a \sin{\left(\frac{n\pi}{a}x \right)}\Psi(x,0) dx. \end{align*} \label{eqn:calc_of_cn}\tag{19}\]

Gdy zadany jest warunek początkowy $\Psi(x,0)$, korzystamy z ($\ref{eqn:calc_of_cn}$), aby znaleźć współczynniki rozwinięcia $c_n$, a następnie podstawiamy je do ($\ref{eqn:general_solution}$), otrzymując $\Psi(x,t)$. Potem, zgodnie z procedurą z posta o twierdzeniu Ehrenfesta, można obliczyć dowolną interesującą wielkość fizyczną. Metoda ta działa nie tylko dla nieskończonej studni kwadratowej, ale dla dowolnego potencjału — zmienia się jedynie postać funkcji $\psi$ oraz wzory na dozwolone poziomy energii.

Wyprowadzenie zasady zachowania energii ($\langle H \rangle=\sum|c_n|^2E_n$)

Korzystając z ortonormalności $\psi(x)$ (równania [$\ref{eqn:orthonomality}$]-[$\ref{eqn:kronecker_delta}$]) wyprowadźmy zachowanie energii, które krótko omawialiśmy wcześniej w poście Równanie Schrödingera niezależne od czasu. Ponieważ $c_n$ nie zależą od czasu, wystarczy wykazać to dla $t=0$.

\[\begin{align*} \int|\Psi|^2dx &= \int \left(\sum_{m=1}^{\infty}c_m\psi_m(x)\right)^*\left(\sum_{n=1}^{\infty}c_n\psi_n(x)\right)dx \\ &= \sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}c_m^*c_n\int\psi_m(x)^*\psi_n(x)dx \\ &= \sum_{n=1}^{\infty}\sum_{m=1}^{\infty}c_m^*c_n\delta_{mn} \\ &= \sum_{n=1}^{\infty}|c_n|^2 \end{align*}\] \[\therefore \sum_{n=1}^{\infty}|c_n|^2 = 1. \quad (\because \int|\Psi|^2dx=1)\]

Ponadto, ponieważ

\[\hat{H}\psi_n = E_n\psi_n\]

otrzymujemy

\[\begin{align*} \langle H \rangle &= \int \Psi^*\hat{H}\Psi dx = \int \left(\sum c_m\psi_m \right)^*\hat{H}\left(\sum c_n\psi_n \right) dx \\ &= \sum\sum c_m c_n E_n\int \psi_m^*\psi_n dx \\ &= \sum\sum c_m c_n E_n\delta_{mn} \\ &= \sum|c_n|^2E_n. \ \blacksquare \end{align*}\]