Wektory i kombinacje liniowe

TL;DR

• Definicja wektora
  • Wektor w wąskim sensie (wektor euklidesowy): wielkość fizyczna mająca jednocześnie moduł i kierunek
  • Wektor w szerokim sensie, w algebrze liniowej: element przestrzeni wektorowej
• Sposoby zapisu wektora
  • Zapis strzałkowy: moduł wektora przedstawia długość strzałki, a kierunek wektora — kierunek strzałki. Zaletą jest łatwa wizualizacja i intuicyjność, jednak trudno w ten sposób przedstawiać wektory wysokowymiarowe (≥4) lub nieeuklidesowe.
  • Zapis współrzędnych (składowych): ustawiamy początek wektora w początku układu współrzędnych i opisujemy wektor współrzędnymi punktu końcowego.
• Podstawowe działania na wektorach
  • Suma: $(a_1, a_2, \cdots, a_n) + (b_1, b_2, \cdots, b_n) := (a_1+b_1, a_2+b_2, \cdots, a_n+b_n)$
  • Iloczyn przez skalar: $c(a_1, a_2, \cdots, a_n) := (ca_1, ca_2, \cdots, ca_n)$
• Kombinacja liniowa wektorów
  • Dla skończonej liczby wektorów $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n$ oraz skalarów $a_1, a_2, \dots, a_n$ wektor $\mathbf{v}$ spełniający $\mathbf{v} = a_1\mathbf{u}_1 + a_2\mathbf{u}_2 + \cdots + a_n\mathbf{u}_n$ nazywamy kombinacją liniową (linear combination) wektorów $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n$
  • Wtedy $a_1, a_2, \dots, a_n$ nazywamy współczynnikami (coefficient) tej kombinacji liniowej
• Rozpiętość
  • Dla niepustego podzbioru $S$ przestrzeni wektorowej $\mathbb{V}$: zbiór wszystkich kombinacji liniowych utworzonych z wektorów z $S$, oznaczany $\mathrm{span}(S)$
  • Definiujemy $\mathrm{span}(\emptyset) = \{0\}$
  • Jeśli dla podzbioru $S \subset \mathbb{V}$ zachodzi $\mathrm{span}(S) = \mathbb{V}$, to mówimy, że $S$ generuje (generate lub span) przestrzeń $\mathbb{V}$

Prerequisites

• płaszczyzna/ przestrzeń współrzędnych
• ciało (field)

Czym jest wektor?

Wektor w wąskim sensie: wektor euklidesowy

Siła, prędkość, przyspieszenie i wiele innych wielkości fizycznych ma nie tylko moduł, lecz także informację o kierunku. Taką wielkość fizyczną mającą zarówno moduł, jak i kierunek nazywa się wektorem (vector).

Powyższa definicja to definicja wektora znana z mechaniki w fizyce lub z matematyki na poziomie szkoły średniej. Wektor w wąskim sensie — mający geometryczne znaczenie „długości i kierunku zorientowanego odcinka” oraz oparty na fizycznej intuicji — nazywa się ściślej wektorem euklidesowym (Euclidean vector).

Wektor w szerokim sensie: element przestrzeni wektorowej

W algebrze liniowej wektor definiuje się jako bardziej abstrakcyjną strukturę algebraiczną o szerszym znaczeniu niż powyższy wektor euklidesowy:

Definicja
Przestrzeń wektorowa (vector space) lub przestrzeń liniowa (linear space) $\mathbb{V}$ nad ciałem $F$ jest zbiorem wyposażonym w dwa działania, dodawanie oraz mnożenie przez skalar, spełniające poniższe 8 warunków. Elementy ciała $F$ nazywamy skalarami (scalar), a elementy przestrzeni $\mathbb{V}$ — wektorami (vector).

• Suma (sum): dla dwóch elementów $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{V}$ jest to działanie przyporządkowujące jednoznacznie element $\mathbf{x} + \mathbf{y} \in \mathbb{V}$. Element $\mathbf{x} + \mathbf{y}$ nazywamy sumą $\mathbf{x}$ i $\mathbf{y}$.
• Mnożenie przez skalar (scalar multiplication): dla elementu $a \in F$ i elementu $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$ jest to działanie przyporządkowujące jednoznacznie element $a\mathbf{x} \in \mathbb{V}$. Element $a\mathbf{x}$ nazywamy wielokrotnością skalarną (scalar multiple) wektora $\mathbf{x}$.

1. Dla wszystkich $\mathbf{x},\mathbf{y} \in \mathbb{V}$ zachodzi $\mathbf{x} + \mathbf{y} = \mathbf{y} + \mathbf{x}$. (przemienność dodawania)
2. Dla wszystkich $\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z} \in \mathbb{V}$ zachodzi $(\mathbf{x}+\mathbf{y})+\mathbf{z} = \mathbf{x}+(\mathbf{y}+\mathbf{z})$. (łączność dodawania)
3. Dla każdego $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$ istnieje $\mathbf{0} \in \mathbb{V}$ takie, że $\mathbf{x} + \mathbf{0} = \mathbf{x}$. (wektor zerowy, element neutralny dodawania)
4. Dla każdego $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$ istnieje $\mathbf{y} \in \mathbb{V}$ takie, że $\mathbf{x}+\mathbf{y}=\mathbf{0}$. (element przeciwny względem dodawania)
5. Dla każdego $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$ zachodzi $1\mathbf{x} = \mathbf{x}$. (element neutralny mnożenia)
6. Dla wszystkich $a,b \in F$ oraz wszystkich $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$ zachodzi $(ab)\mathbf{x} = a(b\mathbf{x})$. (łączność mnożenia przez skalar)
7. Dla wszystkich $a \in F$ oraz wszystkich $\mathbf{x},\mathbf{y} \in \mathbb{V}$ zachodzi $a(\mathbf{x}+\mathbf{y}) = a\mathbf{x} + a\mathbf{y}$. (rozdzielność 1 mnożenia przez skalar względem dodawania)
8. Dla wszystkich $a,b \in F$ oraz wszystkich $\mathbf{x},\mathbf{y} \in \mathbb{V}$ zachodzi $(a+b)\mathbf{x} = a\mathbf{x} + b\mathbf{x}$. (rozdzielność 2 mnożenia przez skalar względem dodawania)

Taka definicja wektora w algebrze liniowej jest definicją o szerszym zakresie, obejmującą również wspomniany wcześniej wektor euklidesowy. Można sprawdzić, że wektor euklidesowy także spełnia powyższe 8 własności.

Geneza i rozwój pojęcia wektora są ściśle związane z różnymi praktycznymi problemami stawianymi przez fizykę — próbami ilościowego opisu takich pojęć jak siła, ruch ciała, obrót czy pole. Z potrzeby fizycznej, by matematycznie opisywać zjawiska przyrodnicze, początkowo zaproponowano pojęcie wektora jako wektora euklidesowego. Następnie matematyka uogólniała i formalizowała te idee, ustanawiając struktury takie jak przestrzenie wektorowe, iloczyn skalarny i wektorowy, co doprowadziło do współczesnej definicji wektora. Innymi słowy, wektor to pojęcie „wymagane przez fizykę i ugruntowane przez matematykę” — produkt interdyscyplinarny rozwijany przez ścisłą współpracę matematyków i fizyków, a nie wyłącznie wytwór czystej matematyki.

Wektory euklidesowe używane w klasycznej mechanice można matematycznie opisać w bardziej uogólnionych ramach. Współczesna fizyka aktywnie wykorzystuje nie tylko wektory euklidesowe, lecz także bardziej abstrakcyjne pojęcia zdefiniowane w matematyce, takie jak przestrzenie wektorowe czy przestrzenie funkcji, nadając im interpretację fizyczną. Dlatego niewłaściwe jest rozumienie tych dwóch definicji wyłącznie jako „definicji fizycznej” i „definicji matematycznej”.

O przestrzeniach wektorowych powiemy więcej później; na razie skupimy się na wąskim sensie wektora — wektorach euklidesowych, które da się geometrycznie przedstawić w przestrzeni współrzędnych. Najpierw warto zobaczyć intuicyjne przykłady wektorów euklidesowych, bo ułatwia to późniejsze uogólnienia na inne rodzaje wektorów.

Sposoby zapisu wektora

Zapis strzałkowy

To najczęściej spotykany zapis, najlepiej oddający intuicję geometryczną. Moduł wektora przedstawia się jako długość strzałki, a kierunek wektora — jako kierunek strzałki.

Źródło obrazu

• autor: użytkownik Wikipedii Nguyenthephuc
• licencja: CC BY-SA 3.0

Taki zapis jest intuicyjny, jednak dla wektorów wysokowymiarowych (co najmniej 4-wymiarowych) ma oczywiste ograniczenia. Co więcej, później trzeba będzie rozważać także wektory nieeuklidesowe, których nie da się wygodnie przedstawić geometrycznie, dlatego warto oswoić się z omówionym niżej zapisem współrzędnych.

Zapis współrzędnych (składowych)

Wektory o takim samym module i kierunku uznaje się za identyczne, niezależnie od tego, gdzie „leżą”. Zatem, gdy dana jest przestrzeń współrzędnych, jeśli umocujemy początek wektora w początku układu, to wektor $n$-wymiarowy odpowiada dowolnemu punktowi w przestrzeni $n$-wymiarowej, a wtedy wektor można opisać współrzędnymi punktu końcowego. Taki zapis nazywamy zapisem współrzędnych (składowych) wektora.

\[(a_1, a_2, \cdots, a_n) \in \mathbb{R}^n \text{ lub } \mathbb{C}^n\]

Źródło obrazu

• autor: użytkownik Wikimedia Acdx
• licencja: CC BY-SA 3.0

Podstawowe działania na wektorach

Podstawowe działania na wektorach to dwa: suma oraz mnożenie przez skalar. Wszystkie operacje wektorowe da się wyrazić jako złożenie tych dwóch podstawowych działań.

Suma wektorów

Suma dwóch wektorów jest również wektorem, a składowe wektora wynikowego są sumami odpowiednich składowych.

\[(a_1, a_2, \cdots, a_n) + (b_1, b_2, \cdots, b_n) := (a_1+b_1, a_2+b_2, \cdots, a_n+b_n)\]

Mnożenie wektora przez skalar

Wektor można „powiększać” lub „pomniejszać”; opisuje to działanie mnożenia wektora przez stałą (skalar). Wynik mnożenia przez skalar odpowiada mnożeniu każdej składowej przez ten skalar.

\[c(a_1, a_2, \cdots, a_n) := (ca_1, ca_2, \cdots, ca_n)\]

Źródło obrazu

• autor: użytkownik Wikipedii Silly rabbit
• licencja: CC BY-SA 3.0

Kombinacje liniowe wektorów

Tak jak analiza matematyczna startuje od liczby $x$ i funkcji $f(x)$, tak algebra liniowa startuje od wektorów $\mathbf{v}, \mathbf{w}, \dots$ oraz kombinacji liniowych postaci $c\mathbf{v} + d\mathbf{w} + \cdots$. Wszystkie kombinacje liniowe wektorów są zbudowane jako złożenie dwóch podstawowych działań: sumy i mnożenia przez skalar.

Dla skończonej liczby wektorów $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n$ oraz skalarów $a_1, a_2, \dots, a_n$ wektor $\mathbf{v}$ spełniający

\[\mathbf{v} = a_1\mathbf{u}_1 + a_2\mathbf{u}_2 + \cdots + a_n\mathbf{u}_n\]

nazywamy kombinacją liniową (linear combination) wektorów $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n$.

Wtedy $a_1, a_2, \dots, a_n$ nazywamy współczynnikami (coefficient) tej kombinacji liniowej.

Dlaczego takie kombinacje liniowe są ważne? Rozważmy sytuację, w której $n$ wektorów w $m$-wymiarowej przestrzeni tworzy $n$ kolumn macierzy $m \times n$.

\[\begin{gather*} \mathbf{v}_1 = (a_{11}, a_{21}, \dots, a_{m1}), \\ \mathbf{v}_2 = (a_{12}, a_{22}, \dots, a_{m2}), \\ \vdots \\ \mathbf{v}_n = (a_{1n}, a_{2n}, \dots, a_{mn}) \\ \\ A = \Bigg[ \mathbf{v}_1 \quad \mathbf{v}_2 \quad \cdots \quad \mathbf{v}_n \Bigg] \end{gather*}\]

Kluczowe są tu dwa punkty:

1. Opisz wszystkie możliwe kombinacje liniowe $Ax = x_1\mathbf{v}_1 + x_2\mathbf{v}_2 + \cdots x_n\mathbf{v}_n$. Co tworzą?
2. Znajdź liczby $x_1, x_2, \dots, x_n$, które wytworzą żądany wektor wyjściowy $Ax = b$.

Do odpowiedzi na drugie pytanie wrócimy później, a teraz skupmy się na pierwszym. Aby uprościć rozważania, rozpatrzmy przykład dwóch niezerowych wektorów dwuwymiarowych ($m=2$) w liczbie dwóch ($n=2$).

Kombinacja liniowa $c\mathbf{v} + d\mathbf{w}$

Wektor $\mathbf{v}$ w przestrzeni 2D ma dwie składowe. Dla każdego skalara $c$ wektor $c\mathbf{v}$ jest równoległy do $\mathbf{v}$ i wyznacza w płaszczyźnie $xy$ nieskończenie długą prostą przechodzącą przez początek układu.

Jeżeli drugi dany wektor $\mathbf{w}$ nie leży na tej prostej (tj. wektory $\mathbf{v}$ i $\mathbf{w}$ nie są równoległe), to wektor $d\mathbf{w}$ wyznacza drugą prostą. Gdy połączymy te dwie proste, widać, że kombinacja liniowa $c\mathbf{v} + d\mathbf{w}$ wyznacza pewną płaszczyznę zawierającą początek układu.

Źródło obrazu

• autor: użytkownik Wikimedia Svjo
• licencja: CC BY-SA 4.0

Rozpinanie

W ten sposób kombinacje liniowe wektorów tworzą przestrzeń wektorową; nazywa się to rozpinaniem (span).

Definicja
Dla niepustego podzbioru $S$ przestrzeni wektorowej $\mathbb{V}$ zbiór wszystkich kombinacji liniowych utworzonych z wektorów z $S$ nazywamy rozpiętością (span) zbioru $S$ i oznaczamy $\mathrm{span}(S)$. Ponadto definiujemy $\mathrm{span}(\emptyset) = \{0\}$.

Definicja
Dla podzbioru $S$ przestrzeni wektorowej $\mathbb{V}$, jeśli $\mathrm{span}(S) = \mathbb{V}$, to mówimy, że $S$ generuje (generate lub span) przestrzeń $\mathbb{V}$.

Nie omawialiśmy jeszcze pojęć takich jak podprzestrzeń czy baza, jednak przywołanie tego przykładu pomaga w zrozumieniu samej idei przestrzeni wektorowej.