Wronskian, istnienie i jednoznaczność rozwiązań

TL;DR

Dla jednorodnego liniowego równania różniczkowego zwyczajnego 2. rzędu z dowolnymi ciągłymi współczynnikami zmiennymi $p$ i $q$ na przedziale $I$

\[y^{\prime\prime} + p(x)y^{\prime} + q(x)y = 0\]

oraz warunków początkowych

\[y(x_0)=K_0, \qquad y^{\prime}(x_0)=K_1\]

zachodzą następujące 4 twierdzenia.

1. Twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania zagadnienia początkowego: zagadnienie początkowe złożone z danego równania i warunków początkowych ma na przedziale $I$ jedyne rozwiązanie $y(x)$.
2. Rozstrzyganie zależności/niezależności liniowej rozwiązań za pomocą Wronskianu: dla dwóch rozwiązań $y_1$ i $y_2$ tego równania, jeśli istnieje $x_0$ na przedziale $I$ takie, że wartość Wronskianu $W(y_1, y_2) = y_1y_2^{\prime} - y_2y_1^{\prime}$ jest równa $0$, to rozwiązania są liniowo zależne. Ponadto, jeśli istnieje $x_1$ na $I$ takie, że $W\neq 0$, to rozwiązania są liniowo niezależne.
3. Istnienie rozwiązania ogólnego: dane równanie ma na przedziale $I$ rozwiązanie ogólne.
4. Brak rozwiązań osobliwych: to rozwiązanie ogólne obejmuje wszystkie rozwiązania równania (tzn. nie istnieją rozwiązania osobliwe).

Prerequisites

• Rozwiązywanie liniowych równań różniczkowych zwyczajnych 1. rzędu
• Jednorodne liniowe równania różniczkowe zwyczajne drugiego rzędu (Homogeneous Linear ODEs of Second Order)
• Jednorodne liniowe RÓZ 2. rzędu ze stałymi współczynnikami
• Równanie Eulera–Cauchy’ego
• macierz odwrotna i macierz osobliwa, wyznacznik

Jednorodne liniowe równanie różniczkowe zwyczajne z dowolnymi ciągłymi współczynnikami zmiennymi

Wcześniej poznaliśmy rozwiązania ogólne dla jednorodnych liniowych RÓZ 2. rzędu ze stałymi współczynnikami oraz równania Eulera–Cauchy’ego. W tym wpisie rozszerzymy rozważania na bardziej ogólny przypadek: jednorodne liniowe RÓZ 2. rzędu z dowolnymi ciągłymi współczynnikami zmiennymi (variable coefficient) $p$ i $q$

\[y^{\prime\prime} + p(x)y^{\prime} + q(x)y = 0 \label{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}\tag{1}\]

i omówimy istnienie oraz postać jego rozwiązania ogólnego. Dodatkowo zbadamy też jednoznaczność zagadnienia początkowego złożonego z równania różniczkowego ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$) i następujących dwóch warunków początkowych

\[y(x_0)=K_0, \qquad y^{\prime}(x_0)=K_1 \label{eqn:initial_conditions}\tag{2}\]

Mówiąc od razu, sednem jest fakt, że liniowe RÓZ o ciągłych współczynnikach nie mają rozwiązań osobliwych (singular solution) (tj. rozwiązań, których nie da się uzyskać z rozwiązania ogólnego).

Twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania zagadnienia początkowego

Twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania zagadnienia początkowego (Existence and Uniqueness Theorem for Initial Value Problems)
Jeśli $p(x)$ i $q(x)$ są funkcjami ciągłymi na pewnym otwartym przedziale $I$, a $x_0$ należy do $I$, to zagadnienie początkowe złożone z równań ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$) oraz ($\ref{eqn:initial_conditions}$) ma na $I$ jedyne rozwiązanie $y(x)$.

Dowodu istnienia tutaj nie omawiamy; przyjrzymy się wyłącznie dowodowi jednoznaczności. Zwykle udowodnienie jednoznaczności jest prostsze niż udowodnienie istnienia.
Jeśli dowód Cię nie interesuje, możesz pominąć tę część i przejść do zależności i niezależności liniowej rozwiązań.

Dowód jednoznaczności

Załóżmy, że zagadnienie początkowe złożone z równania ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$) i warunków ($\ref{eqn:initial_conditions}$) ma na przedziale $I$ dwa rozwiązania: $y_1(x)$ oraz $y_2(x)$. Jeśli pokażemy, że ich różnica

\[y(x) = y_1(x) - y_2(x)\]

jest identycznie równa $0$ na $I$, to będzie to oznaczało, że $y_1 \equiv y_2$ na $I$, czyli że rozwiązanie jest jednoznaczne.

Ponieważ równanie ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$) jest jednorodnym liniowym RÓZ, funkcja $y$ będąca kombinacją liniową $y_1$ i $y_2$ także jest rozwiązaniem na $I$. Ponieważ $y_1$ i $y_2$ spełniają te same warunki początkowe ($\ref{eqn:initial_conditions}$), $y$ spełnia

\[\begin{align*} & y(x_0) = y_1(x_0) - y_2(x_0) = 0, \\ & y^{\prime}(x_0) = y_1^{\prime}(x_0) - y_2^{\prime}(x_0) = 0 \end{align*} \label{eqn:initial_conditions_*}\tag{3}\]

Rozważmy teraz funkcję

\[z(x) = y(x)^2 + y^{\prime}(x)^2\]

oraz jej pochodną

\[z^{\prime} = 2yy^{\prime} + 2y^{\prime}y^{\prime\prime}\]

Z równania różniczkowego mamy

\[y^{\prime\prime} = -py^{\prime} - qy\]

a po podstawieniu do wyrażenia na $z^{\prime}$ otrzymujemy

\[z^{\prime} = 2yy^{\prime} - 2p{y^{\prime}}^2 - 2qyy^{\prime} \label{eqn:z_prime}\tag{4}\]

Ponieważ $y$ i $y^{\prime}$ są rzeczywiste,

\[(y\pm y^{\prime})^2 = y^2 \pm 2yy^{\prime} + {y^{\prime}}^2 \geq 0\]

Stąd oraz z definicji $z$ wynikają dwie nierówności

\[(a)\ 2yy^{\prime} \leq y^2 + {y^{\prime}}^2 = z, \qquad (b)\ 2yy^{\prime} \geq -(y^2 + {y^{\prime}}^2) = -z \label{eqn:inequalities}\tag{5}\]

Z nich dostajemy $|2yy^{\prime}|\leq z$, a więc dla ostatniego wyrazu w ($\ref{eqn:z_prime}$) zachodzi

\[\pm2qyy^{\prime} \leq |\pm 2qyy^{\prime}| = |q||2yy^{\prime}| \leq |q|z.\]

Korzystając z tego oraz z faktu, że $-p \leq |p|$, i stosując ($\ref{eqn:inequalities}$a) do wyrazu $2yy^{\prime}$ w ($\ref{eqn:z_prime}$), otrzymujemy

\[z^{\prime} \leq z + 2|p|{y^{\prime}}^2 + |q|z\]

Ponieważ ${y^{\prime}}^2 \leq y^2 + {y^{\prime}}^2 = z$, stąd

\[z^{\prime} \leq (1 + 2|p| + |q|)z\]

Wprowadzając $h = 1 + 2|p| + |q|$, dostajemy

\[z^{\prime} \leq hz \quad \forall x \in I \label{eqn:inequality_6a}\tag{6a}\]

Analogicznie, z ($\ref{eqn:z_prime}$) i ($\ref{eqn:inequalities}$) wynika

\[\begin{align*} -z^{\prime} &= -2yy^{\prime} + 2p{y^{\prime}}^2 + 2qyy^{\prime} \\ &\leq z + 2|p|z + |q|z = hz \end{align*} \label{eqn:inequality_6b}\tag{6b}\]

Nierówności ($\ref{eqn:inequality_6a}$) i ($\ref{eqn:inequality_6b}$) są równoważne

\[z^{\prime} - hz \leq 0, \qquad z^{\prime} + hz \geq 0 \label{eqn:inequalities_7}\tag{7}\]

a czynnikami całkującymi dla lewych stron (por. czynnik całkujący) są

\[F_1 = e^{-\int h(x)\ dx} \qquad \text{oraz} \qquad F_2 = e^{\int h(x)\ dx}\]

Ponieważ $h$ jest ciągła, całka nieoznaczona $\int h(x)\ dx$ istnieje. Ponadto $F_1$ i $F_2$ są dodatnie, więc z ($\ref{eqn:inequalities_7}$) mamy

\[F_1(z^{\prime} - hz) = (F_1 z)^{\prime} \leq 0, \qquad F_2(z^{\prime} + hz) = (F_2 z)^{\prime} \geq 0\]

To oznacza, że na $I$ funkcja $F_1 z$ nie rośnie, a $F_2 z$ nie maleje. Ponieważ z ($\ref{eqn:initial_conditions_*}$) wynika $z(x_0) = 0$, otrzymujemy

\[\begin{cases} \left(F_1 z \geq (F_1 z)_{x_0} = 0\right)\ \& \ \left(F_2 z \leq (F_2 z)_{x_0} = 0\right) & (x \leq x_0) \\ \left(F_1 z \leq (F_1 z)_{x_0} = 0\right)\ \& \ \left(F_2 z \geq (F_2 z)_{x_0} = 0\right) & (x \geq x_0) \end{cases}\]

Na koniec dzielimy obie strony nierówności przez dodatnie $F_1$ i $F_2$, co daje jednoznaczność:

\[(z \leq 0) \ \& \ (z \geq 0) \quad \forall x \in I\] \[z = y^2 + {y^{\prime}}^2 = 0 \quad \forall x \in I\] \[\therefore y \equiv y_1 - y_2 \equiv 0 \quad \forall x \in I. \ \blacksquare\]

Zależność i niezależność liniowa rozwiązań

Przypomnijmy na chwilę treści z wpisu o jednorodnych liniowych RÓZ 2. rzędu. Rozwiązanie ogólne na otwartym przedziale $I$ buduje się z pary rozwiązań liniowo niezależnych $y_1$, $y_2$, czyli z bazy (basis) na $I$. To, że $y_1$ i $y_2$ są liniowo niezależne (linearly independent) na $I$, oznacza, że dla każdego $x$ z przedziału zachodzi

\[k_1y_1(x) + k_2y_2(x) = 0 \Leftrightarrow k_1=0\text{ i }k_2=0 \label{eqn:linearly_independent}\tag{8}\]

Jeśli powyższe nie zachodzi, tzn. istnieją współczynniki $k_1$, $k_2$ niezerowe (co najmniej jeden z nich) takie, że $k_1y_1(x) + k_2y_2(x) = 0$, to $y_1$ i $y_2$ są liniowo zależne (linearly dependent) na $I$. Wówczas dla każdego $x$ z $I$ mamy

\[\text{(a) } y_1 = ky_2 \quad \text{lub} \quad \text{(b) } y_2 = ly_1 \label{eqn:linearly_dependent}\tag{9}\]

czyli $y_1$ i $y_2$ są proporcjonalne.

Poznajmy teraz kryterium rozstrzygania zależności/niezależności liniowej.

Rozstrzyganie zależności/niezależności liniowej rozwiązań za pomocą Wronskianu
i. Jeśli równanie różniczkowe ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$) ma na otwartym przedziale $I$ ciągłe współczynniki $p(x)$ i $q(x)$, to warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, aby dwa rozwiązania $y_1$ i $y_2$ równania ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$) były liniowo zależne na $I$, jest to, by wyznacznik Wrońskiego (Wronski determinant), w skrócie Wronskian, tj.

\[W(y_1, y_2) = \begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\ y_1^{\prime} & y_2^{\prime} \\ \end{vmatrix} = y_1y_2^{\prime} - y_2y_1^{\prime} \label{eqn:wronskian}\tag{10}\]

zerował się w pewnym punkcie $x_0$ z przedziału $I$.

\[\exists x_0 \in I: W(x_0)=0 \iff y_1 \text{ i } y_2 \text{ są liniowo zależne}\]

ii. Jeśli w jednym punkcie $x=x_0$ z przedziału $I$ zachodzi $W=0$, to w całym $I$ zachodzi $W=0$.

\[\exists x_0 \in I: W(x_0)=0 \implies \forall x \in I: W(x)=0\]

Innymi słowy, jeżeli istnieje $x_1 \in I$ takie, że $W\neq 0$, to na całym $I$ rozwiązania $y_1$, $y_2$ są liniowo niezależne.

\[\begin{align*} \exists x_1 \in I: W(x_1)\neq 0 &\implies \forall x \in I: W(x)\neq 0 \\ &\implies y_1 \text{ i } y_2 \text{ są liniowo niezależne} \end{align*}\]

Wronskian został po raz pierwszy wprowadzony przez polskiego matematyka Józefa Marię Hoene-Wrońskiego, a obecną nazwę nadano mu pośmiertnie w 11882 HE przez szkockiego matematyka Sir Thomasa Muira.

Dowód

i. (a)

Niech $y_1$ i $y_2$ będą liniowo zależne na $I$. Wtedy na $I$ zachodzi ($\ref{eqn:linearly_dependent}$a) lub ($\ref{eqn:linearly_dependent}$b). Jeśli zachodzi ($\ref{eqn:linearly_dependent}$a), to

\[W(y_1, y_2) = y_1y_2^{\prime} - y_2y_1^{\prime} = ky_2ky_2^{\prime} - y_2ky_2^{\prime} = 0\]

a analogicznie, gdy zachodzi ($\ref{eqn:linearly_dependent}$b), mamy

\[W(y_1, y_2) = y_1y_2^{\prime} - y_2y_1^{\prime} = y_1ly_1^{\prime} - ly_1y_1^{\prime} = 0\]

Zatem widzimy, że dla każdego $x$ z przedziału $I$ zachodzi $W(y_1, y_2)=0$.

i. (b)

Odwrotnie, załóżmy, że dla pewnego $x = x_0$ zachodzi $W(y_1, y_2)=0$. Pokażemy, że wtedy $y_1$ i $y_2$ są liniowo zależne na $I$. Rozważmy układ równań liniowych ze względu na niewiadome $k_1$, $k_2$:

\[\begin{gather*} k_1y_1(x_0) + k_2y_2(x_0) = 0 \\ k_1y_1^{\prime}(x_0) + k_2y_2^{\prime}(x_0) = 0 \end{gather*} \label{eqn:linear_system}\tag{11}\]

Można go zapisać w postaci równania wektorowego:

\[\left[\begin{matrix} y_1(x_0) & y_2(x_0) \\ y_1^{\prime}(x_0) & y_2^{\prime}(x_0) \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} k_1 \\ k_2 \end{matrix}\right] = 0 \label{eqn:vector_equation}\tag{12}\]

Macierzą współczynników jest

\[A = \left[\begin{matrix} y_1(x_0) & y_2(x_0) \\ y_1^{\prime}(x_0) & y_2^{\prime}(x_0) \end{matrix}\right]\]

a jej wyznacznik jest równy $W(y_1(x_0), y_2(x_0))$. Ponieważ $\det(A) = W=0$, macierz $A$ jest macierzą osobliwą (singular matrix), czyli nie ma macierzy odwrotnej (inverse matrix). Zatem układ ($\ref{eqn:linear_system}$) ma rozwiązanie inne niż wektor zerowy $(0,0)$: istnieje rozwiązanie $(c_1, c_2)$, gdzie przynajmniej jedna z liczb $c_1$, $c_2$ nie jest równa $0$. Wprowadźmy teraz funkcję

\[y(x) = c_1y_1(x) + c_2y_2(x)\]

Ponieważ równanie ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$) jest jednorodne liniowe, to na mocy zasady superpozycji funkcja ta jest rozwiązaniem ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$) na $I$. Z ($\ref{eqn:linear_system}$) wynika, że spełnia warunki początkowe $y(x_0)=0$ oraz $y^{\prime}(x_0)=0$.

Z drugiej strony istnieje rozwiązanie trywialne $y^* \equiv 0$, które spełnia te same warunki początkowe $y^*(x_0)=0$, ${y^*}^{\prime}(x_0)=0$. Ponieważ współczynniki $p$ i $q$ są ciągłe, z twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności zagadnienia początkowego wynika jednoznaczność rozwiązania, a więc $y \equiv y^*$. Innymi słowy, na $I$

\[c_1y_1 + c_2y_2 \equiv 0\]

Ponieważ przynajmniej jedno z $c_1$, $c_2$ jest niezerowe, warunek ($\ref{eqn:linearly_independent}$) nie jest spełniony. Zatem $y_1$ i $y_2$ są liniowo zależne na $I$.

ii.

Jeśli w pewnym punkcie $x_0 \in I$ zachodzi $W(x_0)=0$, to z i.(b) wynika, że $y_1$, $y_2$ są liniowo zależne na $I$, a wtedy z i.(a) dostajemy $W\equiv 0$. Zatem jeśli istnieje choć jeden punkt $x_1 \in I$ taki, że $W(x_1)\neq 0$, to $y_1$ i $y_2$ są liniowo niezależne. $\blacksquare$

Rozwiązanie ogólne obejmuje wszystkie rozwiązania

Istnienie rozwiązania ogólnego

Jeśli $p(x)$ i $q(x)$ są ciągłe na otwartym przedziale $I$, to równanie ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$) ma na $I$ rozwiązanie ogólne.

Dowód

Na mocy twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności zagadnienia początkowego, równanie ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$) ma na $I$ rozwiązanie $y_1(x)$ spełniające warunki początkowe

\[y_1(x_0) = 1, \qquad y_1^{\prime}(x_0) = 0\]

oraz rozwiązanie $y_2(x)$ spełniające na $I$ warunki

\[y_2(x_0) = 0, \qquad y_2^{\prime}(x_0) = 1\]

Wronskian tych dwóch rozwiązań w punkcie $x=x_0$ ma wartość niezerową:

\[W(y_1(x_0), y_2(x_0)) = y_1(x_0)y_2^{\prime}(x_0) - y_2(x_0)y_1^{\prime}(x_0) = 1\cdot 1 - 0\cdot 0 = 1\]

Zatem na mocy kryterium zależności i niezależności liniowej rozwiązań $y_1$ i $y_2$ są liniowo niezależne na $I$. W konsekwencji tworzą bazę rozwiązań równania ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$) na $I$, a więc rozwiązanie ogólne postaci $y = c_1y_1 + c_2y_2$ (dla dowolnych stałych $c_1$, $c_2$) istnieje na $I$. $\blacksquare$

Brak rozwiązań osobliwych

Jeśli równanie ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$) ma na pewnym otwartym przedziale $I$ ciągłe współczynniki $p(x)$ i $q(x)$, to każde jego rozwiązanie $y=Y(x)$ na $I$ ma postać

\[Y(x) = C_1y_1(x) + C_2y_2(x) \label{eqn:particular_solution}\tag{13}\]

gdzie $y_1$, $y_2$ tworzą bazę rozwiązań równania ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$) na $I$, a $C_1$, $C_2$ są pewnymi stałymi.
To znaczy, równanie ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$) nie ma rozwiązań osobliwych (singular solution), których nie dałoby się uzyskać z rozwiązania ogólnego.

Dowód

Niech $y=Y(x)$ będzie dowolnym rozwiązaniem równania ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$) na $I$. Z twierdzenia o istnieniu rozwiązania ogólnego wiemy, że równanie ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$) ma na $I$ rozwiązanie ogólne

\[y(x) = c_1y_1(x) + c_2y_2(x) \label{eqn:general_solution}\tag{14}\]

Musimy wykazać, że dla dowolnego $Y(x)$ istnieją stałe $c_1$, $c_2$ takie, że na $I$ zachodzi $y(x)=Y(x)$. Najpierw pokażmy, że dla dowolnie wybranego $x_0 \in I$ da się dobrać $c_1$, $c_2$ tak, aby $y(x_0)=Y(x_0)$ oraz $y^{\prime}(x_0)=Y^{\prime}(x_0)$. Z ($\ref{eqn:general_solution}$) wynika

\[\begin{gather*} \left[\begin{matrix} y_1(x_0) & y_2(x_0) \\ y_1^{\prime}(x_0) & y_2^{\prime}(x_0) \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} c_1 \\ c_2 \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} Y(x_0) \\ Y^{\prime}(x_0) \end{matrix}\right] \end{gather*} \label{eqn:vector_equation_2}\tag{15}\]

Ponieważ $y_1$ i $y_2$ tworzą bazę, wyznacznik macierzy współczynników, tj. $W(y_1(x_0), y_2(x_0))\neq 0$, a więc układ ($\ref{eqn:vector_equation_2}$) można rozwiązać względem $c_1$ i $c_2$. Oznaczmy rozwiązanie przez $(c_1, c_2) = (C_1, C_2)$. Po podstawieniu do ($\ref{eqn:general_solution}$) dostajemy rozwiązanie szczególne

\[y^*(x) = C_1y_1(x) + C_2y_2(x).\]

Ponieważ $C_1$, $C_2$ spełniają ($\ref{eqn:vector_equation_2}$),

\[y^*(x_0) = Y(x_0), \qquad {y^*}^{\prime}(x_0) = Y^{\prime}(x_0)\]

Z jednoznaczności w twierdzeniu o istnieniu i jednoznaczności zagadnienia początkowego wynika, że dla każdego $x \in I$ zachodzi $y^* \equiv Y$. $\blacksquare$