Fatores que determinam o desempenho da web

Ao otimizar a performance na web, os fatores que a determinam podem ser classificados em dois grandes grupos: desempenho de carregamento e desempenho de renderização.

Desempenho de carregamento do HTML

• Tempo desde a primeira solicitação da página ao servidor pela rede até o momento em que o navegador recebe o documento HTML e começa a renderizar
• Determina quão rápido a página começa a ser exibida
• Otimização por meio de minimizar redirecionamentos, cachear a resposta HTML, comprimir recursos e usar um CDN de forma adequada, entre outros

Desempenho de renderização

• Tempo que o navegador leva para desenhar a interface que o usuário vê e torná-la interativa
• Determina quão suave e rapidamente a tela é desenhada
• Otimização removendo CSS e JS desnecessários, evitando atraso no carregamento de fontes e miniaturas, separando operações pesadas em Web Workers para minimizar a ocupação da thread principal, e otimizando animações, entre outros

Métricas de desempenho da web (Web Vitals)

Com base no web.dev do Google e na documentação para desenvolvedores do Chrome. Em geral, salvo motivo específico, é melhor mirar melhorias holísticas do que focar em uma única métrica, identificando quais partes da página estão causando gargalos. Se você tiver estatísticas de dados reais de usuários, é recomendável observar valores do quartil inferior (Q1), em vez de médias ou topos, e garantir que, mesmo nesses casos, as metas sejam atingidas.

Métricas essenciais da web (Core Web Vitals)

Há várias métricas de Web Vitals. Entre elas, três têm relação direta com a experiência do usuário e podem ser medidas em campo (e não apenas em laboratório). O Google as considera especialmente importantes e as denomina Core Web Vitals. Como o Google também reflete essas métricas nos rankings de resultados de busca, administradores de sites devem observá-las atentamente sob a ótica de SEO.

• Maior exibição de conteúdo (LCP): reflete o desempenho de carregamento; deve ser de até 2,5 s
• Interação até a próxima pintura (INP): reflete a responsividade; deve ser ≤ 200 ms
• Mudança cumulativa de layout (CLS): reflete a estabilidade visual; deve permanecer ≤ 0,1

As Core Web Vitals são, por definição, métricas de campo. Porém, exceto pelo INP, as outras duas podem ser medidas em ambientes de laboratório como as DevTools do Chrome ou o Lighthouse. O INP requer entradas reais do usuário e, portanto, não é medido em laboratório. Nesses casos, como o TBT é altamente correlacionado ao INP e é uma métrica semelhante, pode ser usado como referência; em geral, ao melhorar o TBT, o INP também melhora.

Pesos da pontuação de desempenho no Lighthouse 10

A pontuação de desempenho do Lighthouse é calculada como a média ponderada das pontuações de cada métrica, seguindo os pesos da tabela a seguir.

FCP (Primeira exibição com conteúdo)

• Mede o tempo até a renderização do primeiro conteúdo do DOM após a solicitação da página
• Imagens na página, elementos <canvas> não brancos, SVG etc. são considerados conteúdo do DOM; conteúdo dentro de iframe não é considerado

Um dos fatores que mais impactam o FCP é o tempo de carregamento de fontes. Para otimizações a esse respeito, a documentação do Chrome para desenvolvedores recomenda consultar este post relacionado.

Critérios de avaliação do Lighthouse

De acordo com a documentação do Chrome para desenvolvedores, os critérios do Lighthouse são:

LCP (Maior exibição de conteúdo)

• Toma como referência a área visível inicial (viewport) quando a página é aberta e mede o tempo até a renderização do maior elemento exibido nessa área (imagem, bloco de texto, vídeo etc.)
• Quanto maior a área ocupada na tela, maior a probabilidade de o usuário percebê-lo como conteúdo principal
• Quando o LCP é uma imagem, o tempo pode ser decomposto em 4 subperíodos; identificar onde está o gargalo é fundamental:
  1. Time to first byte (TTFB): tempo do início do carregamento da página até o recebimento do primeiro byte da resposta do documento HTML
  2. Atraso de carregamento (Load delay): diferença entre o momento em que o navegador começa a carregar o recurso LCP e o TTFB
  3. Tempo de carregamento (Load time): tempo necessário para carregar o próprio recurso LCP
  4. Atraso de renderização (Render delay): tempo do término do carregamento do recurso LCP até a renderização completa do elemento LCP

Critérios de avaliação do Lighthouse

De acordo com a documentação do Chrome para desenvolvedores, os critérios do Lighthouse são:

TBT (Tempo total de bloqueio)

• Mede o tempo total em que a página não consegue responder a entradas do usuário (cliques, toques, teclado etc.)
• Entre o FCP e o TTI (Tempo até interativo, Time to Interactive), tarefas que executam por 50 ms ou mais são consideradas tarefas longas. De cada tarefa longa, subtrai-se 50 ms para obter a sua porção de bloqueio (blocking portion), e o TBT é a soma de todas as porções de bloqueio

O próprio TTI é excessivamente sensível a outliers de rede e a tarefas longas, apresentando baixa consistência e alta variabilidade; por isso, a partir do Lighthouse 10 foi removido da pontuação de performance.

Em geral, as causas mais comuns de tarefas longas são o carregamento, parsing e execução de JavaScript desnecessário ou ineficiente. A documentação do Chrome para desenvolvedores e o web.dev do Google recomendam usar code splitting para reduzir o payload de JS de modo que cada parte execute em ≤ 50 ms e, se necessário, mover trabalho para fora da thread principal, executando em múltiplas threads (por exemplo, em um Service Worker).

Critérios de avaliação do Lighthouse

De acordo com a documentação do Chrome para desenvolvedores, os critérios do Lighthouse são:

CLS (Mudança cumulativa de layout)

Exemplo de mudança inesperada de layout

Fonte do vídeo: Cumulative Layout Shift (CLS) | Articles | web.dev

Sinto uma fúria profunda no movimento do cursor

• Mudanças inesperadas de layout prejudicam a experiência do usuário de várias formas: o texto se desloca e você perde o ponto de leitura, clica no link ou botão errado, etc.
• O cálculo detalhado da pontuação de CLS está descrito no web.dev do Google
• Como se vê na imagem abaixo, a meta deve ser ≤ 0,1

Fonte da imagem: Cumulative Layout Shift (CLS) | Articles | web.dev

SI (Índice de Velocidade)

• Mede quão rapidamente o conteúdo é exibido visualmente durante o carregamento da página
• O Lighthouse grava em vídeo o processo de carregamento no navegador, analisa o progresso entre quadros e usa o Speedline (módulo Node.js) para calcular a pontuação de SI

Medidas que aceleram o carregamento da página — incluindo as já citadas em FCP, LCP e TBT — também beneficiam o SI. Ele não representa apenas um estágio do carregamento, mas reflete o processo como um todo em certo grau.

Critérios de avaliação do Lighthouse

De acordo com a documentação do Chrome para desenvolvedores, os critérios do Lighthouse são:

TL;DR

• Lei da gravitação universal de Newton: $\mathbf{F} = -G\cfrac{mM}{r^2}\mathbf{e}_r$
• Para objetos com distribuição contínua de massa e tamanho finito: $\mathbf{F} = -Gm\int_V \cfrac{dM}{r^2}\mathbf{e}_r = -Gm\int_V \cfrac{\rho(\mathbf{r^\prime})\mathbf{e}_r}{r^2} dv^{\prime}$
  • $\rho(\mathbf{r^{\prime}})$: densidade de massa no ponto localizado no vetor posição $\mathbf{r^{\prime}}$ a partir de uma origem arbitrária
  • $dv^{\prime}$: elemento de volume no ponto localizado no vetor posição $\mathbf{r^{\prime}}$ a partir de uma origem arbitrária
• Vetor campo gravitacional:
  • Vetor que representa a força por unidade de massa que uma partícula recebe em um campo criado por um objeto de massa $M$
  • $\mathbf{g} = \cfrac{\mathbf{F}}{m} = - G \cfrac{M}{r^2}\mathbf{e}_r = - G \int_V \cfrac{\rho(\mathbf{r^\prime})\mathbf{e}_r}{r^2}dv^\prime$
  • Tem dimensão de força por unidade de massa ou aceleração
• Potencial gravitacional:
  • $\mathbf{g} \equiv -\nabla \Phi$
  • Tem dimensão de (força por unidade de massa) $\times$ (distância) ou energia por unidade de massa
  • $\Phi = -G\cfrac{M}{r}$
  • Apenas a diferença relativa do potencial gravitacional tem significado, não o valor específico em si
  • Geralmente define-se arbitrariamente a condição $\Phi \to 0$ quando $r \to \infty$ para eliminar a ambiguidade
  • $U = m\Phi, \quad \mathbf{F} = -\nabla U$
• Potencial gravitacional dentro e fora de uma casca esférica (teorema da casca esférica)
  • Quando $R>a$:
    • $\Phi(R>a) = -\cfrac{GM}{R}$
    • Ao calcular o potencial gravitacional em um ponto externo devido a uma distribuição esfericamente simétrica de matéria, pode-se considerar o objeto como uma massa pontual
  • Quando $R<b$:
    • $\Phi(R<b) = -2\pi\rho G(a^2 - b^2)$
    • Dentro de uma casca de massa esfericamente simétrica, o potencial gravitacional é constante independentemente da posição, e a gravidade atuante é $0$
  • Quando $b<R<a$: $\Phi(b<R<a) = -4\pi\rho G \left( \cfrac{a^2}{2} - \cfrac{b^3}{3R} - \cfrac{R^2}{6} \right)$

Campo gravitacional

Lei da gravitação universal de Newton

Newton já havia sistematizado e verificado numericamente a lei da gravitação universal antes de 11666 HE. No entanto, levou mais 20 anos até publicar seus resultados no livro Principia em 11687 HE, porque não conseguia justificar o método de cálculo que assumia a Terra e a Lua como massas pontuais sem tamanho. Felizmente, usando o cálculo que o próprio Newton inventou posteriormente, podemos provar muito mais facilmente esse problema que não era simples para Newton nos anos 1600.

Segundo a lei da gravitação universal de Newton, cada partícula de massa atrai todas as outras partículas no universo com uma força proporcional ao produto das duas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre elas. Matematicamente, isso é expresso como:

Fonte da imagem

• Autor: usuário da Wikimedia Dennis Nilsson
• Licença: CC BY 3.0

O vetor unitário $\mathbf{e}_r$ aponta de $M$ para $m$, e o sinal negativo indica que a força é atrativa. Ou seja, $m$ é atraída em direção a $M$.

Experimento de Cavendish

A verificação experimental desta lei e a determinação do valor de $G$ foram realizadas pelo físico inglês Henry Cavendish em 11798 HE. O experimento de Cavendish usa uma balança de torção composta por duas pequenas esferas fixadas nas extremidades de uma haste leve. Essas duas esferas são atraídas em direção a duas outras esferas maiores posicionadas próximas a elas. O valor oficial de $G$ determinado até hoje é $6.673 \pm 0.010 \times 10^{-11} \mathrm{N\cdot m^2/kg^2}$.

Embora $G$ seja uma das constantes fundamentais conhecidas há mais tempo, ela é conhecida com menor precisão do que a maioria das outras constantes fundamentais como $e$, $c$, $\hbar$. Ainda hoje, muitas pesquisas estão sendo realizadas para determinar o valor de $G$ com maior precisão.

Caso de objetos com tamanho finito

A lei da equação ($\ref{eqn:law_of_gravitation}$) pode ser aplicada rigorosamente apenas a partículas pontuais. Se um ou ambos os objetos têm tamanho finito, é necessário fazer a suposição adicional de que o campo gravitacional é um campo linear para calcular a força. Ou seja, assume-se que a força gravitacional total que uma partícula de massa $m$ recebe de várias outras partículas pode ser obtida pela soma vetorial de cada força. Para objetos com distribuição contínua de matéria, a soma é substituída por uma integral:

• $\rho(\mathbf{r^{\prime}})$: densidade de massa no ponto localizado no vetor posição $\mathbf{r^{\prime}}$ a partir de uma origem arbitrária
• $dv^{\prime}$: elemento de volume no ponto localizado no vetor posição $\mathbf{r^{\prime}}$ a partir de uma origem arbitrária

Se tanto o objeto de massa $M$ quanto o objeto de massa $m$ têm tamanho finito, uma segunda integral de volume sobre $m$ também é necessária para obter a força gravitacional total.

Vetor campo gravitacional

O vetor campo gravitacional $\mathbf{g}$ é definido como o vetor que representa a força por unidade de massa que uma partícula recebe em um campo criado por um objeto de massa $M$:

ou

Aqui, a direção de $\mathbf{e}_r$ varia conforme $\mathbf{r^\prime}$.

Esta quantidade $\mathbf{g}$ tem dimensão de força por unidade de massa ou aceleração. A magnitude do vetor campo gravitacional $\mathbf{g}$ próximo à superfície da Terra é igual à quantidade que chamamos de constante de aceleração gravitacional, com $|\mathbf{g}| \approx 9.80\mathrm{m/s^2}$.

Potencial gravitacional

Definição

O vetor campo gravitacional $\mathbf{g}$ varia como $1/r^2$ e, portanto, satisfaz a condição ($\nabla \times \mathbf{g} \equiv 0$) para ser expresso como o gradiente de alguma função escalar (potencial). Assim, podemos escrever:

onde $\Phi$ é chamado de potencial gravitacional e tem dimensão de (força por unidade de massa) $\times$ (distância) ou energia por unidade de massa.

Como $\mathbf{g}$ depende apenas do raio, $\Phi$ também varia com $r$. Das equações ($\ref{eqn:g_vector}$) e ($\ref{eqn:gradient_phi}$):

Integrando isso, obtemos:

Como apenas a diferença relativa do potencial gravitacional tem significado, não a magnitude do valor absoluto, a constante de integração pode ser omitida. Geralmente define-se arbitrariamente a condição $\Phi \to 0$ quando $r \to \infty$ para eliminar a ambiguidade, e a equação ($\ref{eqn:g_potential}$) também satisfaz esta condição.

Para distribuições contínuas de matéria, o potencial gravitacional é:

Para distribuições superficiais de massa em cascas finas:

E para fontes de massa lineares com densidade linear $\rho_l$:

Significado físico

Considere o trabalho por unidade de massa $dW^\prime$ que um objeto realiza quando se move $d\mathbf{r}$ em um campo gravitacional.

Nesta equação, $\Phi$ é uma função apenas das coordenadas de posição, expressa como $\Phi=\Phi(x_1, x_2, x_3) = \Phi(x_i)$. Portanto, o trabalho por unidade de massa que um objeto realiza ao se mover de um ponto a outro em um campo gravitacional é igual à diferença de potencial entre esses dois pontos.

Se definirmos o potencial gravitacional no infinito como $0$, então $\Phi$ em qualquer ponto pode ser interpretado como o trabalho por unidade de massa necessário para mover o objeto do infinito até esse ponto. A energia potencial do objeto é igual ao produto de sua massa e o potencial gravitacional $\Phi$, então se $U$ é a energia potencial:

Portanto, a força gravitacional que atua sobre o objeto é obtida aplicando um sinal negativo ao gradiente de sua energia potencial.

Quando um objeto está em um campo gravitacional criado por alguma massa, sempre existe alguma energia potencial. Esta energia potencial está rigorosamente no próprio campo, mas convencionalmente é expressa como a energia potencial do objeto.

Exemplo: Potencial gravitacional dentro e fora de uma casca esférica (teorema da casca esférica)

Configuração de coordenadas e expressão do potencial gravitacional como integral

Vamos encontrar o potencial gravitacional dentro e fora de uma casca esférica uniforme com raio interno $b$ e raio externo $a$. Embora a gravidade devido à casca esférica possa ser obtida calculando diretamente os componentes da força que atuam sobre uma massa unitária no campo, usar o método do potencial é mais simples.

Na figura acima, vamos calcular o potencial no ponto $P$ a uma distância $R$ do centro. Assumindo distribuição uniforme de massa na casca, $\rho(r^\prime)=\rho$, e como há simetria em relação ao ângulo azimutal $\phi$ com base na linha que conecta o centro da esfera ao ponto $P$:

Pela lei dos cossenos:

Como $R$ é constante, diferenciando esta equação em relação a $r^\prime$:

Substituindo isso na equação ($\ref{eqn:spherical_shell_1}$):

Aqui, $r_\mathrm{max}$ e $r_\mathrm{min}$ são determinados pela posição do ponto $P$.

Quando $R>a$

A massa $M$ da casca esférica é:

Portanto, o potencial é:

Comparando o potencial gravitacional devido a uma massa pontual de massa $M$ na equação ($\ref{eqn:g_potential}$) com o resultado que acabamos de obter ($\ref{eqn:spherical_shell_outside_2}$), vemos que são idênticos. Isso significa que ao calcular o potencial gravitacional em um ponto externo devido a uma distribuição esfericamente simétrica de matéria, podemos considerar toda a massa como concentrada no centro. A maioria dos corpos celestes esféricos de tamanho considerável, como a Terra ou a Lua, se enquadra nesta categoria, pois podem ser considerados como inúmeras cascas esféricas concêntricas com diferentes diâmetros sobrepostas como uma matryoshka. Isso fornece a base válida para assumir corpos celestes como a Terra ou a Lua como massas pontuais sem tamanho nos cálculos mencionada no início deste artigo.

Quando $R<b$

Dentro de uma casca de massa esfericamente simétrica, o potencial gravitacional é constante independentemente da posição, e a gravidade atuante é $0$.

Isso também é uma das principais evidências de que a “teoria da Terra oca”, uma das pseudociências representativas, é absurda. Se a Terra fosse uma casca esférica com interior vazio, como afirma a teoria da Terra oca, a gravidade terrestre não atuaria sobre todos os objetos dentro dessa cavidade. Considerando a massa e o volume da Terra, não pode haver uma cavidade terrestre, e mesmo que houvesse, os seres vivos lá não viveriam usando o interior da casca esférica como solo, mas flutuariam em estado de ausência de peso como em uma estação espacial.
Embora microrganismos possam viver em camadas profundas a alguns quilômetros subterrâneos, pelo menos não é possível da forma que a teoria da Terra oca afirma. Eu também gosto muito do romance de Júlio Verne “Viagem ao Centro da Terra” e do filme “Jornada ao Centro da Terra”, mas devemos apreciar as obras de ficção como ficção e não levá-las a sério.

Quando $b<R<a$

Resultados

O potencial gravitacional $\Phi$ nas três regiões calculadas anteriormente e a magnitude correspondente do vetor campo gravitacional $|\mathbf{g}|$ como função da distância $R$ são mostrados nos gráficos a seguir.

• Código de visualização Python: repositório yunseo-kim/physics-visualizations
• Licença: Ver aqui

Pode-se ver que o potencial gravitacional e a magnitude do vetor campo gravitacional são contínuos. Se o potencial gravitacional fosse descontínuo em algum ponto, o gradiente do potencial nesse ponto, ou seja, a magnitude da gravidade, se tornaria infinita, o que não é fisicamente válido, então a função potencial deve ser contínua em todos os pontos. No entanto, a derivada do vetor campo gravitacional é descontínua nas superfícies interna e externa da casca.

Exemplo: Curvas de rotação galácticas

Segundo observações astronômicas, em muitas galáxias espirais que rotam em torno do centro, como a Via Láctea ou a galáxia de Andrômeda, a maioria das massas observáveis está concentrada próximo ao centro. No entanto, as velocidades orbitais das massas nessas galáxias espirais diferem significativamente dos valores teoricamente previstos a partir da distribuição de massa observável, como pode ser confirmado no gráfico a seguir, e são quase constantes além de uma certa distância.

Fonte da imagem

• Autor: usuário da Wikipedia PhilHibbs
• Licença: Domínio Público

Esq.: rotação galáctica prevista a partir da massa observável | Dir.: rotação galáctica realmente observada.

Fonte do vídeo

• Link do arquivo original (vídeo Ogg Theora): https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Galaxy_rotation_under_the_influence_of_dark_matter.ogv
• Autor: Ingo Berg
• Licença: CC BY-SA 3.0
• Método e código de simulação utilizados: https://beltoforion.de/en/spiral_galaxy_renderer/

A imagem anteriormente inserida nesta página, Rotation curve of spiral galaxy Messier 33 (Triangulum).png, foi eliminada do Wikimedia Commons por ter sido considerada uma obra derivada plagiada sem citação adequada de um trabalho não livre do professor Mark Whittle da Universidade da Virgínia, criada pelo usuário da Wikimedia Mario De Leo; por isso, foi removida também desta página.

Vamos prever a velocidade orbital em função da distância quando a massa da galáxia está concentrada no centro, confirmar que essa previsão não coincide com os resultados observacionais, e mostrar que a massa $M(R)$ distribuída dentro da distância $R$ do centro galáctico deve ser proporcional a $R$ para explicar os resultados observacionais.

Primeiro, quando a massa galáctica $M$ está concentrada no centro, a velocidade orbital à distância $R$ é:

Neste caso, prevê-se uma velocidade orbital que diminui como $1/\sqrt{R}$, como mostrado pelas linhas pontilhadas nos dois gráficos acima, mas segundo os resultados observacionais, a velocidade orbital $v$ é quase constante independentemente da distância $R$, então a previsão e os resultados observacionais não coincidem. Esses resultados observacionais só podem ser explicados se $M(R)\propto R$.

Definindo $M(R) = kR$ usando a constante de proporcionalidade $k$:

A partir disso, os astrofísicos concluem que deve haver ‘matéria escura’ não descoberta em muitas galáxias, e que essa matéria escura deve constituir mais de 90% da massa do universo. No entanto, a identidade da matéria escura ainda não foi claramente revelada, e embora não seja a teoria principal, existem tentativas como a Dinâmica Newtoniana Modificada (MOND) que tentam explicar os resultados observacionais sem assumir a existência de matéria escura. Hoje, esses campos de pesquisa estão na vanguarda da astrofísica.

TL;DR

• O método dos coeficientes indeterminados se aplica a:
  • EDOs lineares com coeficientes constantes $a$ e $b$
  • Onde a entrada $r(x)$ consiste de funções exponenciais, potências de $x$, $\cos$ ou $\sin$, ou somas e produtos dessas funções
  • Equação da forma $y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = r(x)$
• Regras de seleção para o método dos coeficientes indeterminados
  • (a) Regra básica: Se $r(x)$ na equação ($\ref{eqn:linear_ode_with_constant_coefficients}$) for uma das funções na primeira coluna da tabela, escolha $y_p$ da mesma linha na segunda coluna e determine os coeficientes indeterminados substituindo $y_p$ e suas derivadas na equação ($\ref{eqn:linear_ode_with_constant_coefficients}$).
  • (b) Regra de modificação: Se o termo escolhido para $y_p$ for uma solução da EDO homogênea correspondente $y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = 0$, multiplique este termo por $x$ (ou por $x^2$ se esta solução corresponder a uma raiz dupla da equação característica da EDO homogênea).
  • (c) Regra da soma: Se $r(x)$ for uma soma de funções da primeira coluna da tabela, escolha para $y_p$ a soma das funções correspondentes na segunda coluna.

Termo em $r(x)$	Escolha para $y_p(x)$
$ke^{\gamma x}$	$Ce^{\gamma x}$
$kx^n\ (n=0,1,\cdots)$	$K_nx^n + K_{n-1}x^{n-1} + \cdots + K_1x + K_0$
$k\cos{\omega x}$ $k\sin{\omega x}$	$K\cos{\omega x} + M\sin{\omega x}$
$ke^{\alpha x}\cos{\omega x}$ $ke^{\alpha x}\sin{\omega x}$	$e^{\alpha x}(K\cos{\omega x} + M\sin{\omega x})$

Pré-requisitos

• EDOs Lineares Homogêneas de Segunda Ordem
• EDOs Lineares Homogêneas com Coeficientes Constantes
• Equação de Euler-Cauchy
• Wronskiano, Existência e Unicidade de Soluções
• EDOs Lineares Não Homogêneas de Segunda Ordem
• Espaços vetoriais, geração linear (álgebra linear)

Método dos Coeficientes Indeterminados

Consideremos uma equação diferencial ordinária linear não homogênea de segunda ordem

onde $r(x) \not\equiv 0$, e a equação diferencial homogênea correspondente

De acordo com o que vimos em EDOs Lineares Não Homogêneas de Segunda Ordem, para resolver um problema de valor inicial para a equação diferencial não homogênea ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$), precisamos encontrar $y_h$ resolvendo a equação homogênea ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) e depois encontrar uma solução particular $y_p$ da equação ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) para obter a solução geral

Então, como encontramos $y_p$? O método geral para encontrar $y_p$ é o método da variação de parâmetros, mas em certos casos podemos aplicar o método dos coeficientes indeterminados, que é muito mais simples. Este método é particularmente útil na engenharia para sistemas vibratórios e modelos de circuitos RLC.

O método dos coeficientes indeterminados é adequado para equações diferenciais lineares com coeficientes constantes $a$ e $b$ e onde a entrada $r(x)$ consiste de funções exponenciais, potências de $x$, $\cos$ ou $\sin$, ou somas e produtos dessas funções:

A ideia central do método dos coeficientes indeterminados é que essas formas de $r(x)$ têm derivadas que mantêm uma forma similar. Para aplicar o método, escolhemos um $y_p$ com forma similar a $r(x)$, mas com coeficientes indeterminados que serão determinados substituindo $y_p$ e suas derivadas na equação diferencial dada. As regras para escolher a forma apropriada de $y_p$ são as seguintes:

Regras de seleção para o método dos coeficientes indeterminados
(a) Regra básica: Se $r(x)$ na equação ($\ref{eqn:linear_ode_with_constant_coefficients}$) for uma das funções na primeira coluna da tabela, escolha $y_p$ da mesma linha na segunda coluna e determine os coeficientes indeterminados substituindo $y_p$ e suas derivadas na equação ($\ref{eqn:linear_ode_with_constant_coefficients}$).
(b) Regra de modificação: Se o termo escolhido para $y_p$ for uma solução da EDO homogênea correspondente $y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = 0$, multiplique este termo por $x$ (ou por $x^2$ se esta solução corresponder a uma raiz dupla da equação característica da equação homogênea).
(c) Regra da soma: Se $r(x)$ for uma soma de funções da primeira coluna da tabela, escolha para $y_p$ a soma das funções correspondentes na segunda coluna.

Termo em $r(x)$	Escolha para $y_p(x)$
$ke^{\gamma x}$	$Ce^{\gamma x}$
$kx^n\ (n=0,1,\cdots)$	$K_nx^n + K_{n-1}x^{n-1} + \cdots + K_1x + K_0$
$k\cos{\omega x}$ $k\sin{\omega x}$	$K\cos{\omega x} + M\sin{\omega x}$
$ke^{\alpha x}\cos{\omega x}$ $ke^{\alpha x}\sin{\omega x}$	$e^{\alpha x}(K\cos{\omega x} + M\sin{\omega x})$

Este método tem a vantagem de ser não apenas simples, mas também autocorretivo. Se você escolher $y_p$ incorretamente ou com poucos termos, chegará a uma contradição; se escolher muitos termos, os coeficientes dos termos desnecessários serão zero, levando ao resultado correto. Mesmo que algo dê errado ao aplicar o método, você perceberá naturalmente durante o processo de resolução, então pode tentar com confiança seguindo as regras de seleção acima.

Prova da regra da soma

Considere uma equação diferencial linear não homogênea da forma

Agora, considere as duas equações com o mesmo lado esquerdo, mas com entradas $r_1$ e $r_2$:

Suponha que estas equações tenham soluções ${y_p}_1$ e ${y_p}_2$, respectivamente. Denotando o lado esquerdo da equação por $L[y]$, pela linearidade de $L[y]$, temos que $y_p = {y_p}_1 + {y_p}_2$ satisfaz:

Exemplo: $y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = ke^{\gamma x}$

De acordo com a regra básica (a), escolhemos $y_p = Ce^{\gamma x}$ e substituímos na equação dada $y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = ke^{\gamma x}$:

Caso em que $\gamma^2 + a\gamma + b \neq 0$

Podemos determinar o coeficiente indeterminado $C$ e encontrar $y_p$ da seguinte forma:

Caso em que $\gamma^2 + a\gamma + b = 0$

Neste caso, precisamos aplicar a regra de modificação (b). Primeiro, usando $b = -\gamma^2 - a\gamma = -\gamma(a + \gamma)$, encontramos as raízes da equação característica da equação homogênea $y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = 0$:

Isso nos dá a base da equação homogênea:

Caso em que $\gamma \neq -a-\gamma$

Como $Ce^{\gamma x}$ é uma solução da equação homogênea correspondente (mas não corresponde a uma raiz dupla), pela regra de modificação (b), multiplicamos por $x$ e escolhemos $y_p = Cxe^{\gamma x}$.

Substituindo esta nova forma de $y_p$ na equação original $y^{\prime\prime} + ay^{\prime} - \gamma(a + \gamma)y = ke^{\gamma x}$:

Caso em que $\gamma = -a-\gamma$

Neste caso, $Ce^{\gamma x}$ corresponde a uma raiz dupla da equação característica da equação homogênea, então pela regra de modificação (b), multiplicamos por $x^2$ e escolhemos $y_p = Cx^2 e^{\gamma x}$.

Substituindo na equação original $y^{\prime\prime} - 2\gamma y^{\prime} + \gamma^2 y = ke^{\gamma x}$:

Extensão do método dos coeficientes indeterminados: $r(x)$ na forma de produtos de funções

Considere uma EDO linear não homogênea com $r(x) = k x^n e^{\alpha x}\cos(\omega x)$:

Se $r(x)$ puder ser expresso como produtos de funções exponenciais $e^{\alpha x}$, potências de $x$ como $x^m$, e funções trigonométricas como $\cos{\omega x}$ ou $\sin{\omega x}$ (aqui assumimos $\cos$ sem perda de generalidade), ou somas e produtos dessas funções (ou seja, se puder ser expresso como somas e produtos das funções na primeira coluna da tabela anterior), então existe uma solução particular $y_p$ que é uma soma e produto das funções na segunda coluna da tabela.

Para uma prova rigorosa, usamos álgebra linear em algumas partes, que estão marcadas com *. Você pode pular essas partes e ainda compreender a ideia geral.

Definição do espaço vetorial $V$*

Para $r(x)$ da forma \(\begin{align*} r(x) &= C_1x^{n_1}e^{\alpha_1 x} \times C_2x^{n_2}e^{\alpha_2 x}\cos(\omega x) \times \cdots \\ &= C x^n e^{\alpha x}\cos(\omega x) \end{align*}\)

podemos definir um espaço vetorial $V$ tal que $r(x) \in V$:

Forma das derivadas de funções exponenciais, polinomiais e trigonométricas

As derivadas das funções básicas apresentadas na primeira coluna da tabela têm as seguintes formas:

• Função exponencial: $\cfrac{d}{dx}e^{\alpha x} = \alpha e^{\alpha x}$
• Função polinomial: $\cfrac{d}{dx}x^m = mx^{m-1}$
• Funções trigonométricas: $\cfrac{d}{dx}\cos\omega x = -\omega\sin\omega x, \quad \cfrac{d}{dx}\sin\omega x = \omega\cos\omega x$

Observe que as derivadas dessas funções também podem ser expressas como somas de funções do mesmo tipo.

Portanto, se $f$ e $g$ são funções do tipo acima ou somas delas, e $r(x) = f(x)g(x)$, aplicando a regra do produto para derivadas:

onde $f$, $f^{\prime}$, $f^{\prime\prime}$ e $g$, $g^{\prime}$, $g^{\prime\prime}$ podem todos ser escritos como somas ou múltiplos constantes de funções exponenciais, polinomiais e trigonométricas. Portanto, $r^{\prime}(x) = (fg)^{\prime}$ e $r^{\prime\prime}(x) = (fg)^{\prime\prime}$ também podem ser expressos como somas e produtos dessas funções, assim como $r(x)$.

Invariância de $V$ sob o operador de diferenciação $D$ e a transformação linear $L$*

Ou seja, não apenas $r(x)$, mas também $r^{\prime}(x)$ e $r^{\prime\prime}(x)$ são combinações lineares de termos da forma $x^k e^{\alpha x}\cos(\omega x)$ e $x^k e^{\alpha x}\sin(\omega x)$, então:

Generalizando para todos os elementos do espaço vetorial $V$ definido anteriormente e introduzindo o operador de diferenciação $D$, podemos dizer que o espaço vetorial $V$ é fechado sob a operação de diferenciação $D$. Portanto, se denotarmos o lado esquerdo da equação $y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by$ como $L[y]$, então $V$ é invariante sob $L$.

Como $r(x) \in V$ e $V$ é invariante sob $L$, existe outro elemento $y_p \in V$ tal que $L[y_p] = r$.

Ansatz

Portanto, podemos escolher um $y_p$ apropriado usando coeficientes indeterminados $A_0, A_1, \dots, A_n$ e $K$, $M$ da seguinte forma, que inclui a soma de todos os possíveis termos produto:

Aqui, $n$ é determinado pelo grau de $x$ em $r(x)$. Seguindo as regras básica (a) e de modificação (b), podemos determinar os coeficientes indeterminados substituindo $y_p$ (ou $xy_p$, $x^2y_p$ conforme necessário) e suas derivadas na equação dada.

$\blacksquare$

Se a entrada dada $r(x)$ contiver diferentes valores de $\alpha_i$ e $\omega_j$, você deve incluir todos os possíveis termos da forma $x^{k}e^{\alpha_i x}\cos(\omega_j x)$ e $x^{k}e^{\alpha_i x}\sin(\omega_j x)$ para cada valor de $\alpha_i$ e $\omega_j$ ao escolher $y_p$.
A vantagem do método dos coeficientes indeterminados é sua simplicidade, mas se o ansatz se tornar muito complicado, perdendo essa vantagem, pode ser melhor aplicar o método da variação de parâmetros, que discutiremos posteriormente.

Extensão do método dos coeficientes indeterminados: equação de Euler-Cauchy

O método dos coeficientes indeterminados pode ser aplicado não apenas a EDOs Lineares Homogêneas de Segunda Ordem com Coeficientes Constantes, mas também à Equação de Euler-Cauchy:

Substituição de variável

Como vimos em transformação para uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes, fazendo a substituição $x = e^t$, temos:

e a equação de Euler-Cauchy pode ser transformada em uma EDO linear homogênea com coeficientes constantes em termos de $t$:

Podemos então aplicar o método dos coeficientes indeterminados à equação ($\ref{eqn:substituted}$) em termos de $t$ e, finalmente, substituir $t = \ln x$ para obter a solução em termos de $x$.

Caso em que $r(x)$ é uma potência de $x$, logaritmo natural, ou somas e produtos dessas funções

Especialmente quando a entrada $r(x)$ consiste de potências de $x$, logaritmos naturais, ou somas e produtos dessas funções, podemos selecionar diretamente um $y_p$ apropriado seguindo as regras de seleção para a equação de Euler-Cauchy:

Regras de seleção para o método dos coeficientes indeterminados: versão para a equação de Euler-Cauchy
(a) Regra básica: Se $r(x)$ na equação ($\ref{eqn:euler_cauchy}$) for uma das funções na primeira coluna da tabela, escolha $y_p$ da mesma linha na segunda coluna e determine os coeficientes indeterminados substituindo $y_p$ e suas derivadas na equação ($\ref{eqn:euler_cauchy}$).
(b) Regra de modificação: Se o termo escolhido para $y_p$ for uma solução da EDO homogênea correspondente $x^2y^{\prime\prime} + axy^{\prime} + by = 0$, multiplique este termo por $\ln{x}$ (ou por $(\ln{x})^2$ se esta solução corresponder a uma raiz dupla da equação característica da equação homogênea).
(c) Regra da soma: Se $r(x)$ for uma soma de funções da primeira coluna da tabela, escolha para $y_p$ a soma das funções correspondentes na segunda coluna.

Termo em $r(x)$	Escolha para $y_p(x)$
$kx^m\ (m=0,1,\cdots)$	$Ax^m$
$kx^m \ln{x}\ (m=0,1,\cdots)$	$x^m(B\ln x + C)$
$k(\ln{x})^s\ (s=0,1,\cdots)$	$D_0 + D_1\ln{x} + \cdots + D_{s-1}(\ln{x})^{s-1} + D_s(\ln{x})^s$
$kx^m (\ln{x})^s$ $(m=0,1,\cdots ;\; s=0,1,\cdots)$	$x^m \left( D_0 + D_1\ln{x} + \cdots + D_{s-1}(\ln{x})^{s-1} + D_s(\ln{x})^s \right)$

Isso nos permite encontrar $y_p$ de forma mais rápida e simples para formas práticas importantes de entrada $r(x)$, sem precisar fazer a substituição de variável. Estas regras de seleção para a equação de Euler-Cauchy podem ser derivadas das regras de seleção originais substituindo $x$ por $\ln{x}$.

TL;DR

• A solução geral de uma EDO linear não-homogênea de segunda ordem $y^{\prime\prime} + p(x)y^{\prime} + q(x)y = r(x)$:
  • $y(x) = y_h(x) + y_p(x)$
  • $y_h$: solução geral da EDO homogênea $y^{\prime\prime} + p(x)y^{\prime} + q(x)y = 0$, onde $y_h = c_1y_1 + c_2y_2$
  • $y_p$: solução particular da EDO não-homogênea
• O termo de resposta $y_p$ é determinado apenas pela entrada $r(x)$, e não muda mesmo que as condições iniciais sejam alteradas para a mesma EDO não-homogênea. A diferença entre duas soluções particulares de uma EDO não-homogênea é uma solução da EDO homogênea correspondente.
• Existência da solução geral: Se os coeficientes $p(x)$, $q(x)$ e a função de entrada $r(x)$ são contínuos, a solução geral sempre existe
• Inexistência de soluções singulares: A solução geral inclui todas as soluções possíveis (ou seja, não existem soluções singulares)

Pré-requisitos

• EDOs Lineares Homogêneas de Segunda Ordem
• Wronskiano, Existência e Unicidade de Soluções

Solução Geral e Solução Particular de EDOs Lineares Não-Homogêneas de Segunda Ordem

Consideremos a EDO linear não-homogênea de segunda ordem

onde $r(x) \not\equiv 0$. A solução geral da equação ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) em um intervalo aberto $I$ é a soma da solução geral $y_h = c_1y_1 + c_2y_2$ da EDO homogênea correspondente

e uma solução particular $y_p$ da equação ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$):

Uma solução particular da equação ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) no intervalo $I$ é obtida atribuindo valores específicos às constantes arbitrárias $c_1$ e $c_2$ em $y_h$.

Em outras palavras, quando adicionamos uma entrada $r(x)$ que depende apenas da variável independente $x$ à EDO homogênea ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$), um termo de resposta correspondente $y_p$ é adicionado à solução, e este termo adicional $y_p$ é determinado apenas pela entrada $r(x)$, independentemente das condições iniciais. Como veremos adiante, se calcularmos a diferença entre duas soluções particulares $y_1$ e $y_2$ da equação ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) (ou seja, a diferença entre soluções para diferentes condições iniciais), o termo $y_p$ independente das condições iniciais é eliminado, restando apenas a diferença entre ${y_h}_1$ e ${y_h}_2$, que pelo princípio da superposição é uma solução da equação ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$).

Relação entre Soluções de EDOs Não-Homogêneas e suas EDOs Homogêneas Correspondentes

Teorema 1: Relação entre soluções de EDOs não-homogêneas e suas EDOs homogêneas correspondentes
(a) Em um intervalo aberto $I$, a soma de uma solução $y$ da EDO não-homogênea ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) e uma solução $\tilde{y}$ da EDO homogênea ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) é uma solução da equação ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) no intervalo $I$. Em particular, a expressão ($\ref{eqn:general_sol}$) é uma solução da equação ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) no intervalo $I$.
(b) A diferença entre duas soluções da EDO não-homogênea ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) no intervalo $I$ é uma solução da EDO homogênea ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) no intervalo $I$.

Demonstração

(a)

Denotemos o lado esquerdo das equações ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) e ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) como $L[y]$. Então, para qualquer solução $y$ da equação ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) e qualquer solução $\tilde{y}$ da equação ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) no intervalo $I$, temos:

(b)

Para quaisquer duas soluções $y$ e $y^*$ da equação ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) no intervalo $I$, temos:

A Solução Geral Inclui Todas as Soluções

Sabemos que para EDOs homogêneas ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$), a solução geral inclui todas as soluções possíveis. Vamos mostrar que o mesmo é válido para EDOs não-homogêneas ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$).

Teorema 2: A solução geral de uma EDO não-homogênea inclui todas as soluções
Se os coeficientes $p(x)$, $q(x)$ e a função de entrada $r(x)$ da equação ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) são contínuos em um intervalo aberto $I$, então todas as soluções da equação ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) no intervalo $I$ podem ser obtidas da solução geral ($\ref{eqn:general_sol}$) atribuindo valores apropriados às constantes arbitrárias $c_1$ e $c_2$ em $y_h$.

Demonstração

Seja $y^*$ uma solução qualquer da equação ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) no intervalo $I$, e seja $x_0$ um ponto qualquer nesse intervalo. Pelo teorema de existência da solução geral para EDOs homogêneas com coeficientes contínuos, sabemos que $y_h = c_1y_1 + c_2y_2$ existe, e pelo método de variação de parâmetros (que veremos posteriormente), $y_p$ também existe. Portanto, a solução geral ($\ref{eqn:general_sol}$) da equação ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) existe no intervalo $I$. Pelo teorema 1(b) demonstrado anteriormente, $Y = y^* - y_p$ é uma solução da EDO homogênea ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) no intervalo $I$, e no ponto $x_0$:

Pelo teorema de existência e unicidade para problemas de valor inicial, existe uma única solução particular $Y$ da EDO homogênea ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) no intervalo $I$ que satisfaz as condições iniciais acima, e esta solução pode ser obtida atribuindo valores apropriados às constantes $c_1$ e $c_2$ em $y_h$. Como $y^* = Y + y_p$, demonstramos que qualquer solução particular $y^*$ da EDO não-homogênea ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) pode ser obtida da solução geral ($\ref{eqn:general_sol}$). $\blacksquare$

TL;DR

Para um intervalo $I$ onde os coeficientes variáveis $p$ e $q$ são contínuos, considere a equação diferencial ordinária linear homogênea de segunda ordem

\[y^{\prime\prime} + p(x)y^{\prime} + q(x)y = 0\]

e as condições iniciais

\[y(x_0)=K_0, \qquad y^{\prime}(x_0)=K_1\]

Os seguintes quatro teoremas são válidos:

1. Teorema de existência e unicidade para problemas de valor inicial: O problema de valor inicial formado pela equação dada e pelas condições iniciais possui uma única solução $y(x)$ no intervalo $I$.
2. Determinação de dependência/independência linear usando o Wronskiano: Para duas soluções $y_1$ e $y_2$ da equação, se existir um ponto $x_0$ no intervalo $I$ onde o Wronskiano $W(y_1, y_2) = y_1y_2^{\prime} - y_2y_1^{\prime}$ é igual a zero, então as soluções são linearmente dependentes. Além disso, se existir um ponto $x_1$ no intervalo $I$ onde $W\neq 0$, então as soluções são linearmente independentes.
3. Existência da solução geral: A equação dada possui uma solução geral no intervalo $I$.
4. Inexistência de soluções singulares: Esta solução geral inclui todas as soluções da equação (ou seja, não existem soluções singulares).

Pré-requisitos

• Solução de EDOs Lineares de Primeira Ordem
• EDOs Lineares Homogêneas de Segunda Ordem
• EDOs Lineares Homogêneas de Segunda Ordem com Coeficientes Constantes
• Equação de Euler-Cauchy
• Matriz inversa e matriz singular, determinante

EDOs Lineares Homogêneas com Coeficientes Variáveis Contínuos

Anteriormente, estudamos a solução geral de EDOs lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes e a equação de Euler-Cauchy. Neste artigo, expandiremos nossa discussão para um caso mais geral, examinando a existência e a forma da solução geral de uma equação diferencial ordinária linear homogênea de segunda ordem com coeficientes variáveis $p$ e $q$ contínuos:

Além disso, também examinaremos a unicidade do problema de valor inicial formado pela equação diferencial ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$) e pelas seguintes duas condições iniciais:

Antecipando a conclusão, o ponto central do que discutiremos é que equações diferenciais ordinárias lineares com coeficientes contínuos não possuem soluções singulares (soluções que não podem ser obtidas da solução geral).

Teorema de Existência e Unicidade para Problemas de Valor Inicial

Teorema de Existência e Unicidade para Problemas de Valor Inicial
Se $p(x)$ e $q(x)$ são funções contínuas em algum intervalo aberto $I$, e $x_0$ está nesse intervalo $I$, então o problema de valor inicial formado pelas equações ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$) e ($\ref{eqn:initial_conditions}$) possui uma única solução $y(x)$ no intervalo $I$.

Aqui abordaremos apenas a prova da unicidade, não da existência. Geralmente, provar a unicidade é mais simples do que provar a existência.
Se você não estiver interessado na demonstração, pode pular esta seção e ir diretamente para Dependência Linear e Independência Linear de Soluções.

Prova da Unicidade

Suponha que o problema de valor inicial formado pela equação diferencial ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$) e pelas condições iniciais ($\ref{eqn:initial_conditions}$) tenha duas soluções $y_1(x)$ e $y_2(x)$ no intervalo $I$. Se pudermos mostrar que a diferença entre essas soluções

é identicamente zero no intervalo $I$, isso significará que $y_1 \equiv y_2$ no intervalo $I$, provando assim a unicidade da solução.

Como a equação ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$) é uma EDO linear homogênea, a combinação linear de $y_1$ e $y_2$, que é $y$, também é uma solução da equação no intervalo $I$. Como $y_1$ e $y_2$ satisfazem as mesmas condições iniciais ($\ref{eqn:initial_conditions}$), $y$ satisfaz as condições

Agora, consideremos a função

e sua derivada

Da equação diferencial, temos

Substituindo na expressão de $z^{\prime}$, obtemos

Como $y$ e $y^{\prime}$ são números reais, temos

Pela definição de $z$, obtemos duas desigualdades:

Dessas duas desigualdades, podemos concluir que $|2yy^{\prime}|\leq z$, e portanto, para o último termo da equação ($\ref{eqn:z_prime}$), temos a seguinte desigualdade:

Usando este resultado junto com o fato de que $-p \leq |p|$, e aplicando a desigualdade ($\ref{eqn:inequalities}$a) ao termo $2yy^{\prime}$ na equação ($\ref{eqn:z_prime}$), obtemos:

Como ${y^{\prime}}^2 \leq y^2 + {y^{\prime}}^2 = z$, temos:

Definindo a função entre parênteses como $h = 1 + 2|p| + |q|$, temos:

De maneira similar, usando as equações ($\ref{eqn:z_prime}$) e ($\ref{eqn:inequalities}$), obtemos:

Estas duas desigualdades ($\ref{eqn:inequality_6a}$) e ($\ref{eqn:inequality_6b}$) são equivalentes a:

Os fatores integrantes para os lados esquerdos dessas equações são:

Como $h$ é contínua, a integral indefinida $\int h(x)\ dx$ existe, e como $F_1$ e $F_2$ são positivos, das equações ($\ref{eqn:inequalities_7}$) obtemos:

Isso significa que $F_1 z$ não aumenta e $F_2 z$ não diminui no intervalo $I$. Como $z(x_0) = 0$ pela equação ($\ref{eqn:initial_conditions_*}$), temos:

Finalmente, dividindo ambos os lados das desigualdades pelos valores positivos $F_1$ e $F_2$, podemos provar a unicidade da solução:

Dependência Linear e Independência Linear de Soluções

Relembrando o que vimos em EDOs Lineares Homogêneas de Segunda Ordem, a solução geral em um intervalo aberto $I$ é construída a partir de uma base $y_1$, $y_2$, ou seja, um par de soluções linearmente independentes. Duas funções $y_1$ e $y_2$ são linearmente independentes no intervalo $I$ se, para todos os pontos nesse intervalo:

Se a condição acima não for satisfeita, ou seja, se existirem valores $k_1$, $k_2$ não ambos nulos tais que $k_1y_1(x) + k_2y_2(x) = 0$, então $y_1$ e $y_2$ são linearmente dependentes no intervalo $I$. Neste caso, para todos os pontos no intervalo $I$:

ou seja, $y_1$ e $y_2$ são proporcionais.

Agora, vejamos o método para determinar a dependência/independência linear de soluções:

Determinação de Dependência/Independência Linear usando o Wronskiano
i. Se a equação diferencial ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$) tem coeficientes $p(x)$ e $q(x)$ contínuos em um intervalo aberto $I$, então uma condição necessária e suficiente para que duas soluções $y_1$ e $y_2$ da equação ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$) no intervalo $I$ sejam linearmente dependentes é que o determinante wronskiano, ou simplesmente Wronskiano

\[W(y_1, y_2) = \begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\ y_1^{\prime} & y_2^{\prime} \\ \end{vmatrix} = y_1y_2^{\prime} - y_2y_1^{\prime} \label{eqn:wronskian}\tag{10}\]

seja igual a zero em algum ponto $x_0$ do intervalo $I$.

\[\exists x_0 \in I: W(x_0)=0 \iff y_1 \text{ e } y_2 \text{ são linearmente dependentes}\]

ii. Se o Wronskiano $W=0$ em um ponto $x=x_0$ do intervalo $I$, então $W=0$ para todos os pontos $x$ do intervalo $I$.

\[\exists x_0 \in I: W(x_0)=0 \implies \forall x \in I: W(x)=0\]

Em outras palavras, se existir um ponto $x_1$ no intervalo $I$ onde $W\neq 0$, então $y_1$ e $y_2$ são linearmente independentes no intervalo $I$.

\[\begin{align*} \exists x_1 \in I: W(x_1)\neq 0 &\implies \forall x \in I: W(x)\neq 0 \\ &\implies y_1 \text{ e } y_2 \text{ são linearmente independentes} \end{align*}\]

O Wronskiano foi introduzido pelo matemático polonês Józef Maria Hoene-Wroński e recebeu seu nome atual do matemático escocês Sir Thomas Muir em 11882 EH, após a morte de Wroński.

Demonstração

i. (a)

Suponha que $y_1$ e $y_2$ sejam linearmente dependentes no intervalo $I$. Então, no intervalo $I$, vale a equação ($\ref{eqn:linearly_dependent}$a) ou ($\ref{eqn:linearly_dependent}$b). Se a equação ($\ref{eqn:linearly_dependent}$a) for válida, então:

Da mesma forma, se a equação ($\ref{eqn:linearly_dependent}$b) for válida:

Portanto, podemos verificar que para todos os pontos $x$ no intervalo $I$, o Wronskiano $W(y_1, y_2)=0$.

i. (b)

Reciprocamente, vamos mostrar que se $W(y_1, y_2)=0$ em algum ponto $x = x_0$, então $y_1$ e $y_2$ são linearmente dependentes no intervalo $I$. Considere o sistema linear de equações com incógnitas $k_1$ e $k_2$:

Isso pode ser expresso como uma equação vetorial:

A matriz de coeficientes desta equação vetorial é:

e seu determinante é $W(y_1(x_0), y_2(x_0))$. Como $\det(A) = W=0$, $A$ é uma matriz singular que não possui matriz inversa, e portanto o sistema de equações ($\ref{eqn:linear_system}$) tem uma solução não-trivial $(c_1, c_2)$ onde pelo menos um dos valores $c_1$ ou $c_2$ é não-nulo. Agora, definamos a função:

Como a equação ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$) é linear homogênea, pelo princípio da superposição, esta função é uma solução da equação ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$) no intervalo $I$. Da equação ($\ref{eqn:linear_system}$), esta solução satisfaz as condições iniciais $y(x_0)=0$ e $y^{\prime}(x_0)=0$.

Por outro lado, existe a solução trivial $y^* \equiv 0$ que satisfaz as mesmas condições iniciais $y^*(x_0)=0$ e ${y^*}^{\prime}(x_0)=0$. Como os coeficientes $p$ e $q$ da equação ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$) são contínuos, pelo Teorema de Existência e Unicidade para Problemas de Valor Inicial, a unicidade da solução é garantida, e portanto $y \equiv y^*$. Ou seja, no intervalo $I$:

Como pelo menos um dos valores $c_1$ ou $c_2$ é não-nulo, a condição ($\ref{eqn:linearly_independent}$) não é satisfeita, o que significa que $y_1$ e $y_2$ são linearmente dependentes no intervalo $I$.

ii.

Se o Wronskiano for zero em algum ponto $x_0$ do intervalo $I$, então pelo item i.(b), $y_1$ e $y_2$ são linearmente dependentes no intervalo $I$, e pelo item i.(a), $W\equiv 0$. Portanto, se existir um ponto $x_1$ no intervalo $I$ onde $W(x_1)\neq 0$, então $y_1$ e $y_2$ são linearmente independentes. $\blacksquare$

A Solução Geral Inclui Todas as Soluções

Existência da Solução Geral

Se $p(x)$ e $q(x)$ são contínuas em um intervalo aberto $I$, então a equação ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$) possui uma solução geral no intervalo $I$.

Demonstração

Pelo Teorema de Existência e Unicidade para Problemas de Valor Inicial, a equação diferencial ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$) possui uma solução $y_1(x)$ no intervalo $I$ que satisfaz as condições iniciais:

e uma solução $y_2(x)$ no intervalo $I$ que satisfaz as condições iniciais:

O Wronskiano dessas duas soluções no ponto $x=x_0$ é não-nulo:

Portanto, pela Determinação de Dependência/Independência Linear usando o Wronskiano, $y_1$ e $y_2$ são linearmente independentes no intervalo $I$. Assim, essas duas soluções formam uma base para as soluções da equação ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$) no intervalo $I$, e a solução geral $y = c_1y_1 + c_2y_2$, com constantes arbitrárias $c_1$ e $c_2$, existe necessariamente no intervalo $I$. $\blacksquare$

Inexistência de Soluções Singulares

Se a equação diferencial ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$) tem coeficientes $p(x)$ e $q(x)$ contínuos em algum intervalo aberto $I$, então qualquer solução $y=Y(x)$ da equação ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$) no intervalo $I$ pode ser escrita na forma:

\[Y(x) = C_1y_1(x) + C_2y_2(x) \label{eqn:particular_solution}\tag{13}\]

onde $y_1$ e $y_2$ formam uma base para as soluções da equação ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$) no intervalo $I$, e $C_1$ e $C_2$ são constantes apropriadas.
Em outras palavras, a equação ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$) não possui soluções singulares (soluções que não podem ser obtidas da solução geral).

Demonstração

Seja $y=Y(x)$ uma solução qualquer da equação ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$) no intervalo $I$. Pelo teorema de existência da solução geral, a equação diferencial ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$) possui uma solução geral no intervalo $I$:

Precisamos mostrar que, para qualquer $Y(x)$, existem constantes $c_1$ e $c_2$ tais que $y(x)=Y(x)$ no intervalo $I$. Primeiro, vamos mostrar que podemos encontrar valores de $c_1$ e $c_2$ tais que $y(x_0)=Y(x_0)$ e $y^{\prime}(x_0)=Y^{\prime}(x_0)$ para qualquer ponto $x_0$ escolhido no intervalo $I$. Da equação ($\ref{eqn:general_solution}$), temos:

Como $y_1$ e $y_2$ formam uma base, o determinante da matriz de coeficientes, $W(y_1(x_0), y_2(x_0))$, é não-nulo, e portanto a equação ($\ref{eqn:vector_equation_2}$) pode ser resolvida para $c_1$ e $c_2$. Sejam $(c_1, c_2) = (C_1, C_2)$ a solução. Substituindo na equação ($\ref{eqn:general_solution}$), obtemos a solução particular:

Como $C_1$ e $C_2$ são a solução da equação ($\ref{eqn:vector_equation_2}$), temos:

Pela unicidade garantida pelo Teorema de Existência e Unicidade para Problemas de Valor Inicial, temos $y^* \equiv Y$ para todos os pontos $x$ no intervalo $I$. $\blacksquare$

TL;DR

• Equação de Euler-Cauchy: $x^2y^{\prime\prime} + axy^{\prime} + by = 0$
• Equação auxiliar: $m^2 + (a-1)m + b = 0$
• A forma da solução geral pode ser dividida em três casos de acordo com o sinal do discriminante $(1-a)^2 - 4b$ da equação auxiliar, como mostrado na tabela

Caso	Raízes da equação auxiliar	Base de soluções da equação de Euler-Cauchy	Solução geral da equação de Euler-Cauchy
I	Raízes reais distintas $m_1$, $m_2$	$x^{m_1}$, $x^{m_2}$	$y = c_1 x^{m_1} + c_2 x^{m_2}$
II	Raiz real dupla $m = \cfrac{1-a}{2}$	$x^{(1-a)/2}$, $x^{(1-a)/2}\ln{x}$	$y = (c_1 + c_2 \ln x)x^m$
III	Raízes complexas conjugadas $m_1 = \cfrac{1}{2}(1-a) + i\omega$, $m_2 = \cfrac{1}{2}(1-a) - i\omega$	$x^{(1-a)/2}\cos{(\omega \ln{x})}$, $x^{(1-a)/2}\sin{(\omega \ln{x})}$	$y = x^{(1-a)/2}[A\cos{(\omega \ln{x})} + B\sin{(\omega \ln{x})}]$

Pré-requisitos

• EDOs Lineares Homogêneas de Segunda Ordem
• EDOs Lineares Homogêneas de Segunda Ordem com Coeficientes Constantes
• Fórmula de Euler

Equação auxiliar

A equação de Euler-Cauchy é uma equação diferencial ordinária da forma

onde $a$ e $b$ são constantes e $y(x)$ é a função desconhecida. Substituindo na equação ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$)

obtemos

ou seja

Isso nos leva à equação auxiliar

e a condição necessária e suficiente para que $y=x^m$ seja uma solução da equação de Euler-Cauchy ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$) é que $m$ seja uma raiz da equação auxiliar ($\ref{eqn:auxiliary_eqn}$).

Resolvendo a equação quadrática ($\ref{eqn:auxiliary_eqn}$), obtemos

e, portanto, as duas funções

são soluções da equação ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$).

Assim como nas EDOs lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes, podemos dividir os casos de acordo com o sinal do discriminante $(1-a)^2 - 4b$ da equação auxiliar ($\ref{eqn:auxiliary_eqn}$):

• $(1-a)^2 - 4b > 0$: duas raízes reais distintas
• $(1-a)^2 - 4b = 0$: uma raiz real dupla
• $(1-a)^2 - 4b < 0$: raízes complexas conjugadas

Forma da solução geral de acordo com o sinal do discriminante da equação auxiliar

I. Duas raízes reais distintas $m_1$ e $m_2$

Neste caso, a base de soluções da equação ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$) em qualquer intervalo é

e a solução geral correspondente é

II. Raiz real dupla $m = \cfrac{1-a}{2}$

Quando $(1-a)^2 - 4b = 0$, ou seja, $b=\cfrac{(1-a)^2}{4}$, a equação quadrática ($\ref{eqn:auxiliary_eqn}$) tem apenas uma raiz $m = m_1 = m_2 = \cfrac{1-a}{2}$, e portanto obtemos apenas uma solução da forma $y = x^m$:

e a equação de Euler-Cauchy ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$) torna-se

Agora, vamos encontrar uma segunda solução linearmente independente $y_2$ usando o método de redução de ordem.

Fazendo $y_2=uy_1$, obtemos

Como $\exp \left(-\int \cfrac{a}{x}\ dx \right) = \exp (-a\ln x) = \exp(\ln{x^{-a}}) = x^{-a}$, temos

e integrando, obtemos $u = \ln x$.

Portanto, $y_2 = uy_1 = y_1 \ln x$, e $y_1$ e $y_2$ são linearmente independentes, pois sua razão não é constante. A solução geral correspondente à base $y_1$ e $y_2$ é

III. Raízes complexas conjugadas

Neste caso, as raízes da equação auxiliar ($\ref{eqn:auxiliary_eqn}$) são $m = \cfrac{1}{2}(1-a) \pm i\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}$, e as duas soluções complexas correspondentes da equação ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$) podem ser escritas, usando $x=e^{\ln x}$, como:

Fazendo $t=\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}\ln x$ e usando a fórmula de Euler $e^{it} = \cos{t} + i\sin{t}$, obtemos

e a partir disso, obtemos as duas soluções reais

Como a razão $\cos\left(\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right)$ não é constante, essas duas soluções são linearmente independentes e, portanto, pelo princípio da superposição, formam uma base de soluções da equação de Euler-Cauchy ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$). Isso nos dá a seguinte solução geral real:

No entanto, o caso em que a equação auxiliar da equação de Euler-Cauchy tem raízes complexas conjugadas não tem grande importância prática.

Transformação para uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes

A equação de Euler-Cauchy pode ser transformada em uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes através de uma substituição de variável.

Fazendo $x = e^t$, temos

e a equação de Euler-Cauchy ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$) se transforma na seguinte EDO linear homogênea com coeficientes constantes em termos de $t$:

Resolvendo a equação ($\ref{eqn:substituted}$) em termos de $t$ usando o método para EDOs lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes e depois substituindo $t = \ln{x}$, obtemos os mesmos resultados que vimos anteriormente.

TL;DR

• Teste do termo geral: $\lim_{n\to\infty} a_n \neq 0 \Rightarrow \text{a série }\sum a_n \text{ diverge}$
• Convergência/divergência de séries geométricas: A série geométrica $\sum ar^{n-1}$:
  • Converge se $|r| < 1$
  • Diverge se $|r| \geq 1$
• Convergência/divergência de séries-$p$: A série-$p$ $\sum \cfrac{1}{n^p}$:
  • Converge se $p>1$
  • Diverge se $p\leq 1$
• Teste de comparação: Se $0 \leq a_n \leq b_n$, então:
  • $\sum b_n < \infty \ \Rightarrow \ \sum a_n < \infty$
  • $\sum a_n = \infty \ \Rightarrow \ \sum b_n = \infty$
• Teste de comparação no limite: Se $\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = c \text{ (}c\text{ é um número positivo finito)}$, então as séries $\sum a_n$ e $\sum b_n$ ambas convergem ou ambas divergem
• Para uma série de termos positivos $\sum a_n$ e um número positivo $\epsilon < 1$:
  • Se $\sqrt[n]{a_n}< 1-\epsilon$ para todo $n$, então a série $\sum a_n$ converge
  • Se $\sqrt[n]{a_n}> 1+\epsilon$ para todo $n$, então a série $\sum a_n$ diverge
• Teste da raiz: Para uma série de termos positivos $\sum a_n$, se o limite $\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n} =: r$ existe:
  • Se $r<1$, então a série $\sum a_n$ converge
  • Se $r>1$, então a série $\sum a_n$ diverge
• Teste da razão: Para uma sequência de números positivos $(a_n)$ e $0 < r < 1$:
  • Se $a_{n+1}/a_n \leq r$ para todo $n$, então a série $\sum a_n$ converge
  • Se $a_{n+1}/a_n \geq 1$ para todo $n$, então a série $\sum a_n$ diverge
• Para uma sequência de números positivos $(a_n)$, se o limite $\rho := \lim_{n\to\infty} \cfrac{a_{n+1}}{a_n}$ existe:
  • Se $\rho < 1$, então a série $\sum a_n$ converge
  • Se $\rho > 1$, então a série $\sum a_n$ diverge
• Teste da integral: Se uma função contínua $f: \left[1,\infty \right) \rightarrow \mathbb{R}$ é decrescente e sempre $f(x)>0$, então a série $\sum f(n)$ converge se e somente se a integral $\int_1^\infty f(x)\ dx := \lim_{b\to\infty} \int_1^b f(x)\ dx$ converge
• Teste da série alternada: Uma série alternada $\sum a_n$ converge se:
  1. Os sinais de $a_n$ e $a_{n+1}$ são diferentes para todo $n$
  2. $|a_n| \geq |a_{n+1}|$ para todo $n$
  3. $\lim_{n\to\infty} a_n = 0$
• Uma série absolutamente convergente é convergente. A recíproca não é verdadeira.

Pré-requisitos

• Sequências e Séries

Introdução

Anteriormente, em Sequências e Séries, vimos a definição de convergência e divergência de séries. Neste artigo, resumiremos vários métodos que podem ser usados para determinar a convergência ou divergência de séries. Geralmente, determinar se uma série converge ou diverge é muito mais fácil do que calcular a soma exata da série.

Teste do termo geral

Para uma série $\sum a_n$, chamamos $a_n$ de termo geral da série.

Pelo seguinte teorema, podemos facilmente identificar que algumas séries divergem claramente, e portanto, verificar isso primeiro é uma abordagem sensata para evitar perda de tempo ao determinar a convergência ou divergência de uma série.

Teste do termo geral
Se uma série $\sum a_n$ converge, então

\[\lim_{n\to\infty} a_n=0\]

Ou seja,

\[\lim_{n\to\infty} a_n \neq 0 \Rightarrow \text{a série }\sum a_n \text{ diverge}\]

Prova

Seja $l$ a soma de uma série convergente $\sum a_n$ e defina a soma dos primeiros $n$ termos como

Então,

Portanto, para $n$ suficientemente grande ($>N$),

Pela definição de convergência de sequência,

Observação importante

A recíproca deste teorema geralmente não é verdadeira. Um exemplo clássico que demonstra isso é a série harmônica.

A série harmônica é uma série cujos termos são os recíprocos de uma progressão aritmética, ou seja, uma sequência harmônica. A série harmônica mais representativa é

Podemos mostrar que esta série diverge da seguinte forma:

Assim, vemos que a série $H_n$ diverge, apesar de seu termo geral $1/n$ convergir para $0$.

Se $\lim_{n\to\infty} a_n \neq 0$, então a série $\sum a_n$ certamente diverge, mas é perigoso assumir que a série $\sum a_n$ converge apenas porque $\lim_{n\to\infty} a_n = 0$. Nesse caso, outros métodos devem ser usados para determinar a convergência ou divergência.

Séries geométricas

A série geométrica com primeiro termo 1 e razão $r$

é a série mais importante e fundamental. Da equação

obtemos

Por outro lado,

Portanto, sabemos que a condição necessária e suficiente para a convergência da série geométrica ($\ref{eqn:geometric_series}$) é $|r| < 1$.

Convergência/divergência de séries geométricas
A série geométrica $\sum ar^{n-1}$:

• Converge se $|r| < 1$
• Diverge se $|r| \geq 1$

Disso, obtemos

Séries geométricas e aproximações

A identidade ($\ref{eqn:sum_of_geometric_series}$) é útil para encontrar aproximações de $\cfrac{1}{1-r}$ quando $|r| < 1$.

Substituindo $r=-\epsilon$ e $n=2$ nesta equação, obtemos

Portanto, se $0 < \epsilon < 1$, então

Assim,

Isso nos mostra que, para um valor positivo suficientemente pequeno $\epsilon$, $\cfrac{1}{1 + \epsilon}$ pode ser aproximado por $1 - \epsilon$.

Teste da série-$p$ (Teste da série-$p$)

Para um número real positivo $p$, uma série da seguinte forma é chamada de série-$p$:

Convergência/divergência de séries-$p$
A série-$p$ $\sum \cfrac{1}{n^p}$:

• Converge se $p>1$
• Diverge se $p\leq 1$

No caso da série-$p$ onde $p=1$, temos a série harmônica, que já mostramos que diverge.
O problema de encontrar o valor da série-$p$ para $p=2$, ou seja, $\sum \cfrac{1}{n^2}$, é conhecido como o “problema de Basel”, nomeado após a cidade natal da família Bernoulli, que produziu vários matemáticos famosos ao longo de gerações e foi a primeira a demonstrar que esta série converge. A resposta para este problema é conhecida como $\cfrac{\pi^2}{6}$.

Mais geralmente, a série-$p$ para $p>1$ é chamada de função zeta. Esta é uma função especial introduzida por Leonhard Euler em 11740 HE e posteriormente nomeada por Riemann, definida como:

Este tópico se afasta um pouco do nosso foco principal e, para ser honesto, como sou um estudante de engenharia e não um matemático, não vou entrar em detalhes aqui. No entanto, vale mencionar que Leonhard Euler mostrou que a função zeta também pode ser expressa como um produto infinito de números primos, conhecido como Produto de Euler, e desde então a função zeta ocupa uma posição central em vários campos da teoria analítica dos números. A função zeta de Riemann, que estende o domínio da função zeta para números complexos, e a importante conjectura não resolvida conhecida como Hipótese de Riemann são exemplos disso.

Voltando ao nosso tópico original, a prova do teste da série-$p$ requer o teste de comparação e o teste da integral, que serão discutidos mais adiante. No entanto, a convergência/divergência das séries-$p$ pode ser útil no teste de comparação que veremos a seguir, por isso foi intencionalmente colocada nesta posição.

Prova

i) Quando $p>1$

A integral

converge, então pelo teste da integral, a série $\sum \cfrac{1}{n^p}$ também converge.

ii) Quando $p\leq 1$

Neste caso,

Sabemos que a série harmônica $\sum \cfrac{1}{n}$ diverge, então pelo teste de comparação, $\sum \cfrac{1}{n^p}$ também diverge.

Conclusão

Por i) e ii), a série-$p$ $\sum \cfrac{1}{n^p}$ converge se $p>1$ e diverge se $p \leq 1$. $\blacksquare$

Teste de comparação

O teste de comparação de Jakob Bernoulli é útil para determinar a convergência/divergência de séries de termos positivos, que são séries cujos termos gerais são números reais não negativos.

Uma série de termos positivos $\sum a_n$ é uma sequência crescente, então se não divergir para o infinito ($\sum a_n = \infty$), ela necessariamente converge. Portanto, para séries de termos positivos, a expressão

significa que a série converge.

Teste de comparação
Se $0 \leq a_n \leq b_n$, então:

• $\sum b_n < \infty \ \Rightarrow \ \sum a_n < \infty$
• $\sum a_n = \infty \ \Rightarrow \ \sum b_n = \infty$

Em particular, para séries de termos positivos como $\sum \cfrac{1}{n^2 + n}$, $\sum \cfrac{\log n}{n^3}$, $\sum \cfrac{1}{2^n + 3^n}$, $\sum \cfrac{1}{\sqrt{n}}$, $\sum \sin{\cfrac{1}{n}}$, que têm formas semelhantes às séries geométricas $\sum ar^{n-1}$ ou séries-$p$ $\sum \cfrac{1}{n^p}$ que vimos anteriormente, é recomendável tentar ativamente o teste de comparação.

Vários outros testes de convergência/divergência que serão discutidos posteriormente podem ser derivados deste teste de comparação, o que o torna o mais importante nesse sentido.

Teste de comparação no limite

Para séries de termos positivos $\sum a_n$ e $\sum b_n$, se a razão entre os termos gerais das duas séries $a_n/b_n$ tem os termos dominantes no numerador e denominador que se cancelam, resultando em $\lim_{n\to\infty} \cfrac{a_n}{b_n}=c \text{ (}c\text{ é um número positivo finito)}$, e se conhecemos a convergência/divergência da série $\sum b_n$, podemos usar o seguinte teste de comparação no limite.

Teste de comparação no limite
Se

\[\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = c \text{ (}c\text{ é um número positivo finito)}\]

então as séries $\sum a_n$ e $\sum b_n$ ambas convergem ou ambas divergem. Ou seja, $ \sum a_n < \infty \ \Leftrightarrow \ \sum b_n < \infty$.

Teste da raiz

Teorema
Para uma série de termos positivos $\sum a_n$ e um número positivo $\epsilon < 1$:

• Se $\sqrt[n]{a_n}< 1-\epsilon$ para todo $n$, então a série $\sum a_n$ converge
• Se $\sqrt[n]{a_n}> 1+\epsilon$ para todo $n$, então a série $\sum a_n$ diverge

Corolário: Teste da raiz
Para uma série de termos positivos $\sum a_n$, se o limite

\[\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n} =: r\]

existe, então:

• Se $r<1$, a série $\sum a_n$ converge
• Se $r>1$, a série $\sum a_n$ diverge

No corolário acima, se $r=1$, não podemos determinar a convergência/divergência e devemos usar outros métodos.

Teste da razão

Teste da razão
Para uma sequência de números positivos $(a_n)$ e $0 < r < 1$:

• Se $a_{n+1}/a_n \leq r$ para todo $n$, então a série $\sum a_n$ converge
• Se $a_{n+1}/a_n \geq 1$ para todo $n$, então a série $\sum a_n$ diverge

Corolário
Para uma sequência de números positivos $(a_n)$, se o limite $\rho := \lim_{n\to\infty} \cfrac{a_{n+1}}{a_n}$ existe, então:

• Se $\rho < 1$, a série $\sum a_n$ converge
• Se $\rho > 1$, a série $\sum a_n$ diverge

Teste da integral

O cálculo integral pode ser usado para determinar a convergência/divergência de séries compostas por sequências decrescentes de termos positivos.

Teste da integral
Se uma função contínua $f: \left[1,\infty \right) \rightarrow \mathbb{R}$ é decrescente e sempre $f(x)>0$, então a série $\sum f(n)$ converge se e somente se a integral

\[\int_1^\infty f(x)\ dx := \lim_{b\to\infty} \int_1^b f(x)\ dx\]

converge.

Prova

Como a função $f(x)$ é contínua, decrescente e sempre positiva, a desigualdade

é válida. Somando esta desigualdade de $n=1$ até o termo geral, obtemos

Usando o teste de comparação, obtemos o resultado desejado. $\blacksquare$

Séries alternadas

Uma série alternada é uma série $\sum a_n$ onde os termos $a_n$ são não nulos e o sinal de cada termo $a_n$ é diferente do sinal do termo seguinte $a_{n+1}$, ou seja, termos positivos e negativos aparecem alternadamente.

Para séries alternadas, o seguinte teorema descoberto pelo matemático alemão Gottfried Wilhelm Leibniz pode ser útil para determinar a convergência/divergência.

Teste da série alternada
Se:

1. Os sinais de $a_n$ e $a_{n+1}$ são diferentes para todo $n$,
2. $|a_n| \geq |a_{n+1}|$ para todo $n$, e
3. $\lim_{n\to\infty} a_n = 0$,

então a série alternada $\sum a_n$ converge.

Convergência absoluta

Dizemos que uma série $\sum a_n$ converge absolutamente se a série $\sum |a_n|$ converge.

O seguinte teorema é válido:

Teorema
Uma série absolutamente convergente é convergente.

A recíproca do teorema acima não é verdadeira.
Quando uma série converge, mas não converge absolutamente, dizemos que ela converge condicionalmente.

Prova

Para um número real $a$, definimos

Então,

Como $0 \leq a^\pm \leq |a|$, pelo teste de comparação, se a série $\sum |a_n|$ converge, então as séries $\sum a_n^+$ e $\sum a_n^-$ também convergem, e portanto, pelas propriedades básicas de séries convergentes,

também converge. $\blacksquare$

Sequências

No cálculo, uma sequência geralmente se refere a uma sequência infinita. Em outras palavras, uma sequência é uma função definida no conjunto de todos os números naturais

• Se os valores desta função são números reais, chamamos de ‘sequência real’, se são números complexos, ‘sequência complexa’, se são pontos, ‘sequência de pontos’, se são matrizes, ‘sequência de matrizes’, se são funções, ‘sequência de funções’, se são conjuntos, ‘sequência de conjuntos’, mas todos estes podem ser simplesmente chamados de ‘sequência’.

Normalmente, para o corpo dos números reais $\mathbb{R}$, em uma sequência $\mathbf{a}: \mathbb{N} \to \mathbb{R}$, definimos

e representamos esta sequência como

ou

*No processo de definir uma sequência, em vez do conjunto de todos os números naturais $\mathbb{N}$, podemos usar o conjunto de inteiros não negativos

\[\mathbb{N}_0 := \{0\} \cup \mathbb{N} = \{0,1,2,\dots\}\]

ou

\[\{2,3,4,\dots \}\]

como domínio. Por exemplo, ao lidar com a teoria das séries de potências, é mais natural ter $\mathbb{N}_0$ como domínio.

Convergência e Divergência

Se uma sequência $(a_n)$ converge para um número real $l$, escrevemos

e chamamos $l$ de valor limite da sequência $(a_n)$.

A definição rigorosa usando o argumento épsilon-delta é a seguinte:

\[\lim_{n\to \infty} a_n = l \overset{def}\Longleftrightarrow \forall \epsilon > 0,\, \exists N \in \mathbb{N}\ (n > N \Rightarrow |a_n - l| < \epsilon)\]

Ou seja, se para qualquer número positivo $\epsilon$, por menor que seja, sempre existe um número natural $N$ tal que $|a_n - l| < \epsilon$ para $n>N$, isso significa que a diferença entre $a_n$ e $l$ se torna arbitrariamente pequena para $n$ suficientemente grande, e portanto definimos que a sequência $(a_n)$ converge para o número real $l$.

Uma sequência que não converge é dita divergente. A convergência ou divergência de uma sequência não muda se um número finito de seus termos for alterado.

Se cada termo da sequência $(a_n)$ cresce indefinidamente, escrevemos

e dizemos que diverge para mais infinito. Da mesma forma, se cada termo da sequência $(a_n)$ decresce indefinidamente, escrevemos

e dizemos que diverge para menos infinito.

Propriedades Básicas de Sequências Convergentes

Se as sequências $(a_n)$ e $(b_n)$ são ambas convergentes (ou seja, têm valores limite), então as sequências $(a_n + b_n)$ e $(a_n \cdot b_n)$ também são convergentes, e

Além disso, para qualquer número real $t$,

Estas propriedades são chamadas de propriedades básicas de sequências convergentes ou propriedades básicas de limites.

A Base do Logaritmo Natural $e$

A base do logaritmo natural é definida como

Esta é considerada uma das constantes mais importantes em matemática.

Apenas na Coreia, a expressão ‘constante natural’ é bastante utilizada, mas não é um termo padrão. O termo oficial registrado no dicionário de termos matemáticos pela Sociedade Matemática da Coreia é ‘base do logaritmo natural’, e a expressão ‘constante natural’ não pode ser encontrada neste dicionário. Além disso, no Dicionário Padrão da Língua Coreana do Instituto Nacional da Língua Coreana, a palavra ‘constante natural’ não pode ser encontrada, e na definição de dicionário para ‘logaritmo natural’, apenas menciona “um número específico geralmente representado por e”.
Em países de língua inglesa e no Japão, também não existe um termo correspondente, e em inglês, geralmente é referido como ‘the base of the natural logarithm’ ou abreviado como ‘natural base’, ou ‘Euler’s number’ ou ‘the number $e$’.
Como a origem é incerta e nunca foi reconhecida como um termo oficial pela Sociedade Matemática da Coreia, e além disso, não é usado em nenhum lugar do mundo exceto na Coreia, não há absolutamente nenhuma razão para insistir em tal termo. Portanto, daqui em diante, vou me referir a ele como ‘base do logaritmo natural’ ou simplesmente usar $e$.

Séries

Dada uma sequência

a sequência formada pelas somas parciais desta sequência

é chamada de série da sequência $\mathbf{a}$. A série da sequência $(a_n)$ é representada como

Convergência e Divergência de Séries

Se a série obtida da sequência $(a_n)$

converge para algum número real $l$, escrevemos

Neste caso, o valor limite $l$ é chamado de soma da série $\sum a_n$. O símbolo

pode representar tanto a série quanto a soma da série, dependendo do contexto.

Uma série que não converge é dita divergente.

Propriedades Básicas de Séries Convergentes

Das propriedades básicas de sequências convergentes, obtemos as seguintes propriedades básicas de séries convergentes. Para um número real $t$ e duas séries convergentes $\sum a_n$ e $\sum b_n$,

A convergência de uma série não é afetada pela mudança de um número finito de termos. Ou seja, se duas sequências $(a_n)$ e $(b_n)$ são iguais exceto para um número finito de $n$, a série $\sum a_n$ converge se e somente se a série $\sum b_n$ converge.

TL;DR

Leis de movimento de Newton

1. Um corpo permanece em repouso ou em movimento retilíneo uniforme, a menos que uma força externa atue sobre ele.
2. A taxa de variação temporal do momento de um corpo é igual à força aplicada sobre ele.
   • $\vec{F} = \cfrac{d\vec{p}}{dt} = \cfrac{d}{dt}(m\vec{v}) = m\vec{a}$
3. Quando dois corpos exercem forças um sobre o outro, essas forças têm a mesma magnitude e direções opostas.
   • $\vec{F_1} = -\vec{F_2}$

Princípio da equivalência

• Massa inercial: a massa que determina a aceleração de um corpo quando uma força é aplicada
• Massa gravitacional: a massa que determina a força gravitacional entre um corpo e outro
• Atualmente, sabe-se que a massa inercial e a massa gravitacional são claramente idênticas com uma margem de erro de aproximadamente $10^{-12}$
• A afirmação de que a massa inercial e a massa gravitacional são exatamente iguais é chamada de princípio da equivalência

Leis de Movimento de Newton

As leis de movimento de Newton são três leis publicadas por Isaac Newton em sua obra Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica (Princípios Matemáticos da Filosofia Natural, abreviado como “Principia”) no ano 11687 do calendário holoceno, e formam a base da mecânica newtoniana.

1. Um corpo permanece em repouso ou em movimento retilíneo uniforme, a menos que uma força externa atue sobre ele.
2. A taxa de variação temporal do momento de um corpo é igual à força aplicada sobre ele.
3. Quando dois corpos exercem forças um sobre o outro, essas forças têm a mesma magnitude e direções opostas.

Primeira Lei de Newton

I. Um corpo permanece em repouso ou em movimento retilíneo uniforme, a menos que uma força externa atue sobre ele.

Um corpo neste estado, sem forças externas atuando sobre ele, é chamado de corpo livre ou partícula livre. No entanto, a primeira lei sozinha fornece apenas um conceito qualitativo de força.

Segunda Lei de Newton

II. A taxa de variação temporal do momento de um corpo é igual à força aplicada sobre ele.

Newton definiu o momento como o produto da massa pela velocidade:

A partir disso, a segunda lei de Newton pode ser expressa como:

A primeira e a segunda leis de Newton, apesar de seus nomes, são na verdade mais próximas de “definições” de força do que “leis”. Também podemos observar que a definição de força depende da definição de “massa”.

Terceira Lei de Newton

III. Quando dois corpos exercem forças um sobre o outro, essas forças têm a mesma magnitude e direções opostas.

Também conhecida como “lei da ação e reação”, esta lei física se aplica quando a força que um corpo exerce sobre outro está na direção da linha que une os dois pontos de ação. Tal força é chamada de força central, e a terceira lei se aplica independentemente de a força central ser atrativa ou repulsiva. A gravidade entre dois corpos em repouso, forças eletrostáticas e forças elásticas são exemplos de forças centrais. Por outro lado, forças entre cargas em movimento, forças gravitacionais entre corpos em movimento e outras forças que dependem da velocidade dos corpos interagentes são forças não-centrais, e a terceira lei não pode ser aplicada nesses casos.

Considerando a definição de massa vista anteriormente, a terceira lei pode ser reformulada como:

III$^\prime$. Quando dois corpos formam um sistema isolado ideal, suas acelerações têm direções opostas e a razão entre suas magnitudes é igual à razão inversa de suas massas.

Pela terceira lei de Newton:

Substituindo a segunda lei ($\ref{eqn:2nd_law}$) nesta equação:

Isso mostra que o momento é conservado na interação isolada entre duas partículas:

Além disso, da equação ($\ref{eqn:3rd-1_law}$), como $\vec{p}=m\vec{v}$ e a massa $m$ é constante:

Obtemos:

Embora a terceira lei de Newton descreva o caso em que dois corpos formam um sistema isolado, na realidade é impossível realizar tais condições ideais, o que torna a afirmação de Newton de certa forma ousada. Apesar de ser uma conclusão baseada em observações limitadas, graças à profunda intuição física de Newton, a mecânica newtoniana manteve sua posição sólida por quase 300 anos sem erros detectados em verificações experimentais. Somente no século 20 (anos 11900) medições suficientemente precisas se tornaram possíveis para mostrar diferenças entre as previsões da teoria newtoniana e a realidade, levando ao nascimento da teoria da relatividade e da mecânica quântica.

Massa Inercial e Massa Gravitacional

Uma maneira de determinar a massa de um objeto é comparar seu peso com um peso padrão usando instrumentos como uma balança. Este método utiliza o fato de que o peso de um objeto em um campo gravitacional é igual à magnitude da força gravitacional que atua sobre ele, onde a segunda lei $\vec{F}=m\vec{a}$ toma a forma $\vec{W}=m\vec{g}$. Este método baseia-se na suposição fundamental de que a massa $m$ definida em III$^\prime$ é a mesma massa $m$ que aparece na equação gravitacional. Estas duas massas são chamadas de massa inercial e massa gravitacional, respectivamente, e são definidas como:

• Massa inercial: a massa que determina a aceleração de um objeto quando uma força é aplicada
• Massa gravitacional: a massa que determina a força gravitacional entre um objeto e outro

Embora seja uma história inventada posteriormente e não relacionada a Galileo Galilei, o experimento da Torre de Pisa foi um experimento mental que primeiro sugeriu que a massa inercial e a massa gravitacional seriam iguais. Newton também tentou demonstrar que não havia diferença entre as duas massas medindo os períodos de pêndulos de mesmo comprimento mas com massas diferentes, mas seu método experimental e precisão eram rudimentares, e ele não conseguiu uma prova precisa.

No final do século 19 (anos 11800), o físico húngaro Eötvös Loránd Ágoston realizou o experimento de Eötvös para medir com precisão a diferença entre massa inercial e massa gravitacional, provando sua identidade com considerável precisão (dentro de 1 parte em 20 milhões).

Experimentos mais recentes realizados por Robert Henry Dicke e outros aumentaram ainda mais a precisão, e atualmente sabe-se que a massa inercial e a massa gravitacional são claramente idênticas com uma margem de erro de aproximadamente $10^{-12}$. Este resultado tem um significado extremamente importante na teoria da relatividade geral, e a afirmação de que a massa inercial e a massa gravitacional são exatamente iguais é chamada de princípio da equivalência.

TL;DR

• EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes: $y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = 0$
• Equação característica: $\lambda^2 + a\lambda + b = 0$
• A forma da solução geral pode ser dividida em três casos de acordo com o sinal do discriminante $a^2 - 4b$ da equação característica, como mostrado na tabela

Caso	Raízes da equação característica	Base das soluções da EDO	Solução geral da EDO
I	Raízes reais distintas $\lambda_1$, $\lambda_2$	$e^{\lambda_1 x}$, $e^{\lambda_2 x}$	$y = c_1e^{\lambda_1 x} + c_2e^{\lambda_2 x}$
II	Raiz real dupla $\lambda = -\cfrac{1}{2}a$	$e^{-ax/2}$, $xe^{-ax/2}$	$y = (c_1 + c_2 x)e^{-ax/2}$
III	Raízes complexas conjugadas $\lambda_1 = -\cfrac{1}{2}a + i\omega$, $\lambda_2 = -\cfrac{1}{2}a - i\omega$	$e^{-ax/2}\cos{\omega x}$, $e^{-ax/2}\sin{\omega x}$	$y = e^{-ax/2}(A\cos{\omega x} + B\sin{\omega x})$

Pré-requisitos

• Equação de Bernoulli
• EDOs Lineares Homogêneas de Segunda Ordem
• Fórmula de Euler

Equação característica

Vamos examinar a equação diferencial ordinária linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes $a$ e $b$:

Este tipo de equação tem aplicações importantes em vibrações mecânicas e elétricas.

Anteriormente, na Equação de Bernoulli, encontramos a solução geral da equação logística, e de acordo com isso, a solução da EDO linear de primeira ordem com coeficiente constante $k$:

é a função exponencial $y = ce^{-kx}$. (No caso da equação (4) daquele artigo, com $A=-k$, $B=0$)

Portanto, para uma equação de forma semelhante ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$), podemos tentar primeiro uma solução da forma:

Claro, isso é apenas uma suposição, e não há garantia de que a solução geral realmente tenha essa forma. Mas se conseguirmos encontrar duas soluções linearmente independentes, como vimos em EDOs Lineares Homogêneas de Segunda Ordem, podemos obter a solução geral pelo princípio da superposição.
Como veremos em breve, há casos em que precisamos encontrar soluções de outras formas.

Substituindo a equação ($\ref{eqn:general_sol}$) e suas derivadas:

na equação ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$), obtemos:

Portanto, se $\lambda$ for uma solução da equação característica:

então a função exponencial ($\ref{eqn:general_sol}$) é uma solução da EDO ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$). Resolvendo a equação quadrática ($\ref{eqn:characteristic_eqn}$), temos:

E a partir disso, as duas funções:

são soluções da equação ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$).

Os termos equação característica e equação auxiliar são frequentemente usados de forma intercambiável, e têm exatamente o mesmo significado. Qualquer um dos termos pode ser usado.

Agora, podemos dividir em três casos de acordo com o sinal do discriminante $a^2 - 4b$ da equação característica ($\ref{eqn:characteristic_eqn}$):

• $a^2 - 4b > 0$: Duas raízes reais distintas
• $a^2 - 4b = 0$: Uma raiz real dupla
• $a^2 - 4b < 0$: Raízes complexas conjugadas

Forma da solução geral de acordo com o sinal do discriminante da equação característica

I. Raízes reais distintas $\lambda_1$ e $\lambda_2$

Neste caso, a base das soluções da equação ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$) em qualquer intervalo é:

E a solução geral correspondente é:

II. Raiz real dupla $\lambda = -\cfrac{a}{2}$

Quando $a^2 - 4b = 0$, a equação quadrática ($\ref{eqn:characteristic_eqn}$) tem apenas uma solução $\lambda = \lambda_1 = \lambda_2 = -\cfrac{a}{2}$, e portanto, a única solução da forma $y = e^{\lambda x}$ que podemos obter é:

Para obter uma base, precisamos encontrar uma segunda solução $y_2$ que seja independente de $y_1$.

Nessa situação, podemos usar o método de redução de ordem que vimos anteriormente. Definindo a segunda solução como $y_2=uy_1$, temos:

Substituindo na equação ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$):

Agrupando os termos com $u^{\prime\prime}$, $u^\prime$ e $u$:

Como $y_1$ é uma solução da equação ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$), o último termo entre parênteses é zero, e como:

o primeiro termo entre parênteses também é zero. Portanto, resta apenas $u^{\prime\prime}y_1 = 0$, o que implica $u^{\prime\prime}=0$. Integrando duas vezes, obtemos $u = c_1x + c_2$, e como as constantes de integração $c_1$ e $c_2$ podem ser quaisquer valores, podemos simplesmente escolher $c_1=1$ e $c_2=0$, resultando em $u=x$. Então, $y_2 = uy_1 = xy_1$, e como $y_1$ e $y_2$ são linearmente independentes, eles formam uma base. Portanto, quando a equação característica ($\ref{eqn:characteristic_eqn}$) tem uma raiz dupla, a base das soluções da equação ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$) em qualquer intervalo é:

E a solução geral correspondente é:

III. Raízes complexas conjugadas $-\cfrac{1}{2}a + i\omega$ e $-\cfrac{1}{2}a - i\omega$

Neste caso, $a^2 - 4b < 0$ e $\sqrt{-1} = i$, então da equação ($\ref{eqn:lambdas}$):

Definindo o número real $\sqrt{b-\cfrac{1}{4}a^2} = \omega$.

Com $\omega$ definido dessa forma, as soluções da equação característica ($\ref{eqn:characteristic_eqn}$) são as raízes complexas conjugadas $\lambda = -\cfrac{1}{2}a \pm i\omega$, e as duas soluções complexas correspondentes da equação ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$) são:

No entanto, mesmo neste caso, podemos obter uma base de soluções reais da seguinte forma.

Usando a fórmula de Euler:

E substituindo $t$ por $-t$ na fórmula acima:

Somando e subtraindo essas duas equações, obtemos:

A função exponencial complexa $e^z$ para uma variável complexa $z = r + it$ com parte real $r$ e parte imaginária $it$ pode ser definida usando as funções reais $e^r$, $\cos t$ e $\sin t$ da seguinte forma:

Fazendo $r=-\cfrac{1}{2}ax$ e $t=\omega x$, podemos escrever:

Pelo princípio da superposição, a soma e o produto por constantes dessas soluções complexas também são soluções. Portanto, somando as duas equações e multiplicando ambos os lados por $\cfrac{1}{2}$, obtemos a primeira solução real $y_1$:

Da mesma forma, subtraindo a segunda equação da primeira e multiplicando ambos os lados por $\cfrac{1}{2i}$, obtemos a segunda solução real $y_2$:

Como $\cfrac{y_1}{y_2} = \cot{\omega x}$ não é constante, $y_1$ e $y_2$ são linearmente independentes em todos os intervalos e, portanto, formam uma base para as soluções reais da equação ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$). A partir disso, obtemos a solução geral:

Visão geral

No início de julho de 12024, implementei suporte multilíngue neste blog hospedado no Github Pages baseado em Jekyll aplicando o plugin Polyglot. Esta série compartilha os bugs que ocorreram durante o processo de aplicação do plugin Polyglot ao tema Chirpy e seus processos de resolução, além de como escrever cabeçalhos html e sitemap.xml considerando SEO. A série consiste em 3 posts, e este é o terceiro da série.

• Parte 1: Aplicação do plugin Polyglot & modificação de cabeçalho html e sitemap
• Parte 2: Implementação de botão de seleção de idioma & localização de layout
• Parte 3: Solução de problemas de falha de build do tema Chirpy e erro na função de busca (este post)

Originalmente foi composta por 2 partes, mas posteriormente foi reorganizada em 3 partes devido ao aumento significativo do conteúdo após várias expansões.

Requisitos

• Deve ser possível fornecer o resultado do build (páginas web) separado por caminhos de idioma (ex. /posts/ko/, /posts/ja/).
• Para minimizar o tempo e esforço adicionais necessários para suporte multilíngue, deve ser possível reconhecer automaticamente o idioma durante o build com base no caminho local onde o arquivo está localizado (ex. /_posts/ko/, /_posts/ja/) sem especificar manualmente as tags ‘lang’ e ‘permalink’ no YAML front matter do arquivo markdown original.
• A seção de cabeçalho de cada página do site deve incluir tags meta Content-Language apropriadas, tags alternativas hreflang e links canônicos para atender às diretrizes de SEO do Google para busca multilíngue.
• Deve ser possível fornecer links de páginas para cada versão de idioma no site sem omissões através do sitemap.xml, e o próprio sitemap.xml deve existir apenas um no caminho raiz sem duplicação.
• Todas as funcionalidades fornecidas pelo tema Chirpy devem funcionar normalmente em cada página de idioma, caso contrário, devem ser corrigidas para funcionar normalmente.
  • Funcionamento normal das funcionalidades ‘Recently Updated’ e ‘Trending Tags’
  • Não deve ocorrer erros durante o processo de build usando GitHub Actions
  • Funcionamento normal da função de busca de posts no canto superior direito do blog

Antes de começar

Este post é uma continuação da Parte 1 e Parte 2, então recomendo ler os posts anteriores primeiro, caso ainda não os tenha lido.

Solução de problemas (‘relative_url_regex’: target of repeat operator is not specified)

(+ 12025.10.08. Atualização) Este bug foi corrigido na versão 1.11 do Polyglot.

Após concluir as etapas anteriores, ao executar o comando bundle exec jekyll serve para testar a compilação, ocorreu um erro 'relative_url_regex': target of repeat operator is not specified e a compilação falhou.

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...(omitido)
                    ------------------------------------------------
      Jekyll 4.3.4   Please append `--trace` to the `serve` command 
                     for any additional information or backtrace. 
                    ------------------------------------------------
/Users/yunseo/.gem/ruby/3.2.2/gems/jekyll-polyglot-1.8.1/lib/jekyll/polyglot/
patches/jekyll/site.rb:234:in `relative_url_regex': target of repeat operator 
is not specified: /href="?\/((?:(?!*.gem)(?!*.gemspec)(?!tools)(?!README.md)(
?!LICENSE)(?!*.config.js)(?!rollup.config.js)(?!package*.json)(?!.sass-cache)
(?!.jekyll-cache)(?!gemfiles)(?!Gemfile)(?!Gemfile.lock)(?!node_modules)(?!ve
ndor\/bundle\/)(?!vendor\/cache\/)(?!vendor\/gems\/)(?!vendor\/ruby\/)(?!en\/
)(?!ko\/)(?!es\/)(?!pt-BR\/)(?!ja\/)(?!fr\/)(?!de\/)[^,'"\s\/?.]+\.?)*(?:\/[^
\]\[)("'\s]*)?)"/ (RegexpError)

...(omitido)

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exclude:
  - "*.gem"
  - "*.gemspec"
  - docs
  - tools
  - README.md
  - LICENSE
  - "*.config.js"
  - package*.json

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    # a regex that matches relative urls in a html document
    # matches href="baseurl/foo/bar-baz" href="/pt-BR/foo/bar-baz" and others like it
    # avoids matching excluded files.  prepare makes sure
    # that all @exclude dirs have a trailing slash.
    def relative_url_regex(disabled = false)
      regex = ''
      unless disabled
        @exclude.each do |x|
          regex += "(?!#{x})"
        end
        @languages.each do |x|
          regex += "(?!#{x}\/)"
        end
      end
      start = disabled ? 'ferh' : 'href'
      %r{#{start}="?#{@baseurl}/((?:#{regex}[^,'"\s/?.]+\.?)*(?:/[^\]\[)("'\s]*)?)"}
    end

    # a regex that matches absolute urls in a html document
    # matches href="http://baseurl/foo/bar-baz" and others like it
    # avoids matching excluded files.  prepare makes sure
    # that all @exclude dirs have a trailing slash.
    def absolute_url_regex(url, disabled = false)
      regex = ''
      unless disabled
        @exclude.each do |x|
          regex += "(?!#{x})"
        end
        @languages.each do |x|
          regex += "(?!#{x}\/)"
        end
      end
      start = disabled ? 'ferh' : 'href'
      %r{(?<!hreflang="#{@default_lang}" )#{start}="?#{url}#{@baseurl}/((?:#{regex}[^,'"\s/?.]+\.?)*(?:/[^\]\[)("'\s]*)?)"}
    end

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    def relative_url_regex(disabled = false)
      regex = ''
      unless disabled
        @exclude.each do |x|
          escaped_x = Regexp.escape(x)
          regex += "(?!#{escaped_x})"
        end
        @languages.each do |x|
          escaped_x = Regexp.escape(x)
          regex += "(?!#{escaped_x}\/)"
        end
      end
      start = disabled ? 'ferh' : 'href'
      %r{#{start}="?#{@baseurl}/((?:#{regex}[^,'"\s/?.]+\.?)*(?:/[^\]\[)("'\s]*)?)"}
    end

    def absolute_url_regex(url, disabled = false)
      regex = ''
      unless disabled
        @exclude.each do |x|
          escaped_x = Regexp.escape(x)
          regex += "(?!#{escaped_x})"
        end
        @languages.each do |x|
          escaped_x = Regexp.escape(x)
          regex += "(?!#{escaped_x}\/)"
        end
      end
      start = disabled ? 'ferh' : 'href'
      %r{(?<!hreflang="#{@default_lang}" )#{start}="?#{url}#{@baseurl}/((?:#{regex}[^,'"\s/?.]+\.?)*(?:/[^\]\[)("'\s]*)?)"}
    end

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exclude: # Modificado com base na issue https://github.com/untra/polyglot/issues/204
  # - "*.gem"
  - jekyll-theme-chirpy.gemspec # - "*.gemspec"
  - tools
  - README.md
  - LICENSE
  - purgecss.config.js # - "*.config.js"
  - rollup.config.js
  - package*.json

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  <body>
    {% include sidebar.html lang=lang %}

    <div id="main-wrapper" class="d-flex justify-content-center">
      <div class="container d-flex flex-column px-xxl-5">
        
        (...omitido...)

        {% include_cached search-results.html lang=lang %}
      </div>

      <aside aria-label="Scroll to Top">
        <button id="back-to-top" type="button" class="btn btn-lg btn-box-shadow">
          <i class="fas fa-angle-up"></i>
        </button>
      </aside>
    </div>

    (...omitido...)

    {% include_cached search-loader.html lang=lang %}
  </body>

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<!-- The Search results -->

<div id="search-result-wrapper" class="d-flex justify-content-center d-none">
  <div class="col-11 content">
    <div id="search-hints">
      {% include_cached trending-tags.html %}
    </div>
    <div id="search-results" class="d-flex flex-wrap justify-content-center text-muted mt-3"></div>
  </div>
</div>

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{% capture result_elem %}
  <article class="px-1 px-sm-2 px-lg-4 px-xl-0">
    <header>
      <h2><a href="{url}">{title}</a></h2>
      <div class="post-meta d-flex flex-column flex-sm-row text-muted mt-1 mb-1">
        {categories}
        {tags}
      </div>
    </header>
    <p>{snippet}</p>
  </article>
{% endcapture %}

{% capture not_found %}<p class="mt-5">{{ site.data.locales[include.lang].search.no_results }}</p>{% endcapture %}

<script>
  {% comment %} Note: dependent library will be loaded in `js-selector.html` {% endcomment %}
  document.addEventListener('DOMContentLoaded', () => {
    SimpleJekyllSearch({
      searchInput: document.getElementById('search-input'),
      resultsContainer: document.getElementById('search-results'),
      json: '{{ '/assets/js/data/search.json' | relative_url }}',
      searchResultTemplate: '{{ result_elem | strip_newlines }}',
      noResultsText: '{{ not_found }}',
      templateMiddleware: function(prop, value, template) {
        if (prop === 'categories') {
          if (value === '') {
            return `${value}`;
          } else {
            return `<div class="me-sm-4"><i class="far fa-folder fa-fw"></i>${value}</div>`;
          }
        }

        if (prop === 'tags') {
          if (value === '') {
            return `${value}`;
          } else {
            return `<div><i class="fa fa-tag fa-fw"></i>${value}</div>`;
          }
        }
      }
    });
  });
</script>

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---
layout: compress
swcache: true
---

[
  {% for post in site.posts %}
  {
    "title": {{ post.title | jsonify }},
    "url": {{ post.url | relative_url | jsonify }},
    "categories": {{ post.categories | join: ', ' | jsonify }},
    "tags": {{ post.tags | join: ', ' | jsonify }},
    "date": "{{ post.date }}",
    {% include no-linenos.html content=post.content %}
    {% assign _content = content | strip_html | strip_newlines %}
    "snippet": {{ _content | truncate: 200 | jsonify }},
    "content": {{ _content | jsonify }}
  }{% unless forloop.last %},{% endunless %}
  {% endfor %}
]

stateDiagram
  state "Changes" as CH
  state "Build start" as BLD
  state "Create search.json" as IDX
  state "Static Website" as DEP
  state "In Test" as TST
  state "Search Loader" as SCH
  state "Results" as R
    
  [*] --> CH: Make Changes
  CH --> BLD: Commit & Push origin
  BLD --> IDX: jekyll build
  IDX --> TST: Build Complete
  TST --> CH: Error Detected
  TST --> DEP: Deploy
  DEP --> SCH: Search Input
  SCH --> R: Return Results
  R --> [*]

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{% capture result_elem %}
  <article class="px-1 px-sm-2 px-lg-4 px-xl-0">
    <header>
      {% if site.active_lang != site.default_lang %}
      <h2><a {% static_href %}href="/{{ site.active_lang }}{url}"{% endstatic_href %}>{title}</a></h2>
      {% else %}
      <h2><a href="{url}">{title}</a></h2>
      {% endif %}

(...omitido...)

<script>
  {% comment %} Note: dependent library will be loaded in `js-selector.html` {% endcomment %}
  document.addEventListener('DOMContentLoaded', () => {
    {% assign search_path = '/assets/js/data/search.json' %}
    {% if site.active_lang != site.default_lang %}
      {% assign search_path = '/' | append: site.active_lang | append: search_path %}
    {% endif %}
    
    SimpleJekyllSearch({
      searchInput: document.getElementById('search-input'),
      resultsContainer: document.getElementById('search-results'),
      json: '{{ search_path | relative_url }}',
      searchResultTemplate: '{{ result_elem | strip_newlines }}',

(...omitido)