Campo gravitacional e potencial gravitacional

TL;DR

• Lei da gravitação universal de Newton: $\mathbf{F} = -G\cfrac{mM}{r^2}\mathbf{e}_r$
• Para objetos com distribuição contínua de massa e tamanho finito: $\mathbf{F} = -Gm\int_V \cfrac{dM}{r^2}\mathbf{e}_r = -Gm\int_V \cfrac{\rho(\mathbf{r^\prime})\mathbf{e}_r}{r^2} dv^{\prime}$
  • $\rho(\mathbf{r^{\prime}})$: densidade de massa no ponto localizado no vetor posição $\mathbf{r^{\prime}}$ a partir de uma origem arbitrária
  • $dv^{\prime}$: elemento de volume no ponto localizado no vetor posição $\mathbf{r^{\prime}}$ a partir de uma origem arbitrária
• Vetor campo gravitacional:
  • Vetor que representa a força por unidade de massa que uma partícula recebe em um campo criado por um objeto de massa $M$
  • $\mathbf{g} = \cfrac{\mathbf{F}}{m} = - G \cfrac{M}{r^2}\mathbf{e}_r = - G \int_V \cfrac{\rho(\mathbf{r^\prime})\mathbf{e}_r}{r^2}dv^\prime$
  • Tem dimensão de força por unidade de massa ou aceleração
• Potencial gravitacional:
  • $\mathbf{g} \equiv -\nabla \Phi$
  • Tem dimensão de (força por unidade de massa) $\times$ (distância) ou energia por unidade de massa
  • $\Phi = -G\cfrac{M}{r}$
  • Apenas a diferença relativa do potencial gravitacional tem significado, não o valor específico em si
  • Geralmente define-se arbitrariamente a condição $\Phi \to 0$ quando $r \to \infty$ para eliminar a ambiguidade
  • $U = m\Phi, \quad \mathbf{F} = -\nabla U$
• Potencial gravitacional dentro e fora de uma casca esférica (teorema da casca esférica)
  • Quando $R>a$:
    • $\Phi(R>a) = -\cfrac{GM}{R}$
    • Ao calcular o potencial gravitacional em um ponto externo devido a uma distribuição esfericamente simétrica de matéria, pode-se considerar o objeto como uma massa pontual
  • Quando $R<b$:
    • $\Phi(R<b) = -2\pi\rho G(a^2 - b^2)$
    • Dentro de uma casca de massa esfericamente simétrica, o potencial gravitacional é constante independentemente da posição, e a gravidade atuante é $0$
  • Quando $b<R<a$: $\Phi(b<R<a) = -4\pi\rho G \left( \cfrac{a^2}{2} - \cfrac{b^3}{3R} - \cfrac{R^2}{6} \right)$

Campo gravitacional

Lei da gravitação universal de Newton

Newton já havia sistematizado e verificado numericamente a lei da gravitação universal antes de 11666 HE. No entanto, levou mais 20 anos até publicar seus resultados no livro Principia em 11687 HE, porque não conseguia justificar o método de cálculo que assumia a Terra e a Lua como massas pontuais sem tamanho. Felizmente, usando o cálculo que o próprio Newton inventou posteriormente, podemos provar muito mais facilmente esse problema que não era simples para Newton nos anos 1600.

Segundo a lei da gravitação universal de Newton, cada partícula de massa atrai todas as outras partículas no universo com uma força proporcional ao produto das duas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre elas. Matematicamente, isso é expresso como:

\[\mathbf{F} = -G\frac{mM}{r^2}\mathbf{e}_r \label{eqn:law_of_gravitation}\tag{1}\]

Fonte da imagem

• Autor: usuário da Wikimedia Dennis Nilsson
• Licença: CC BY 3.0

O vetor unitário $\mathbf{e}_r$ aponta de $M$ para $m$, e o sinal negativo indica que a força é atrativa. Ou seja, $m$ é atraída em direção a $M$.

Experimento de Cavendish

A verificação experimental desta lei e a determinação do valor de $G$ foram realizadas pelo físico inglês Henry Cavendish em 11798 HE. O experimento de Cavendish usa uma balança de torção composta por duas pequenas esferas fixadas nas extremidades de uma haste leve. Essas duas esferas são atraídas em direção a duas outras esferas maiores posicionadas próximas a elas. O valor oficial de $G$ determinado até hoje é $6.673 \pm 0.010 \times 10^{-11} \mathrm{N\cdot m^2/kg^2}$.

Embora $G$ seja uma das constantes fundamentais conhecidas há mais tempo, ela é conhecida com menor precisão do que a maioria das outras constantes fundamentais como $e$, $c$, $\hbar$. Ainda hoje, muitas pesquisas estão sendo realizadas para determinar o valor de $G$ com maior precisão.

Caso de objetos com tamanho finito

A lei da equação ($\ref{eqn:law_of_gravitation}$) pode ser aplicada rigorosamente apenas a partículas pontuais. Se um ou ambos os objetos têm tamanho finito, é necessário fazer a suposição adicional de que o campo gravitacional é um campo linear para calcular a força. Ou seja, assume-se que a força gravitacional total que uma partícula de massa $m$ recebe de várias outras partículas pode ser obtida pela soma vetorial de cada força. Para objetos com distribuição contínua de matéria, a soma é substituída por uma integral:

\[\mathbf{F} = -Gm\int_V \frac{dM}{r^2}\mathbf{e}_r = -Gm\int_V \frac{\rho(\mathbf{r^\prime})\mathbf{e}_r}{r^2} dv^{\prime} \label{eqn:integral_form}\tag{2}\]

• $\rho(\mathbf{r^{\prime}})$: densidade de massa no ponto localizado no vetor posição $\mathbf{r^{\prime}}$ a partir de uma origem arbitrária
• $dv^{\prime}$: elemento de volume no ponto localizado no vetor posição $\mathbf{r^{\prime}}$ a partir de uma origem arbitrária

Se tanto o objeto de massa $M$ quanto o objeto de massa $m$ têm tamanho finito, uma segunda integral de volume sobre $m$ também é necessária para obter a força gravitacional total.

Vetor campo gravitacional

O vetor campo gravitacional $\mathbf{g}$ é definido como o vetor que representa a força por unidade de massa que uma partícula recebe em um campo criado por um objeto de massa $M$:

\[\mathbf{g} = \frac{\mathbf{F}}{m} = - G \frac{M}{r^2}\mathbf{e}_r \label{eqn:g_vector}\tag{3}\]

ou

\[\boxed{\mathbf{g} = - G \int_V \frac{\rho(\mathbf{r^\prime})\mathbf{e}_r}{r^2}dv^\prime} \tag{4}\]

Aqui, a direção de $\mathbf{e}_r$ varia conforme $\mathbf{r^\prime}$.

Esta quantidade $\mathbf{g}$ tem dimensão de força por unidade de massa ou aceleração. A magnitude do vetor campo gravitacional $\mathbf{g}$ próximo à superfície da Terra é igual à quantidade que chamamos de constante de aceleração gravitacional, com $|\mathbf{g}| \approx 9.80\mathrm{m/s^2}$.

Potencial gravitacional

Definição

O vetor campo gravitacional $\mathbf{g}$ varia como $1/r^2$ e, portanto, satisfaz a condição ($\nabla \times \mathbf{g} \equiv 0$) para ser expresso como o gradiente de alguma função escalar (potencial). Assim, podemos escrever:

\[\mathbf{g} \equiv -\nabla \Phi \label{eqn:gradient_phi}\tag{5}\]

onde $\Phi$ é chamado de potencial gravitacional e tem dimensão de (força por unidade de massa) $\times$ (distância) ou energia por unidade de massa.

Como $\mathbf{g}$ depende apenas do raio, $\Phi$ também varia com $r$. Das equações ($\ref{eqn:g_vector}$) e ($\ref{eqn:gradient_phi}$):

\[\nabla\Phi = \frac{d\Phi}{dr}\mathbf{e}_r = G\frac{M}{r^2}\mathbf{e}_r\]

Integrando isso, obtemos:

\[\boxed{\Phi = -G\frac{M}{r}} \label{eqn:g_potential}\tag{6}\]

Como apenas a diferença relativa do potencial gravitacional tem significado, não a magnitude do valor absoluto, a constante de integração pode ser omitida. Geralmente define-se arbitrariamente a condição $\Phi \to 0$ quando $r \to \infty$ para eliminar a ambiguidade, e a equação ($\ref{eqn:g_potential}$) também satisfaz esta condição.

Para distribuições contínuas de matéria, o potencial gravitacional é:

\[\Phi = -G\int_V \frac{\rho(\mathbf{r\prime})}{r}dv^\prime \label{eqn:g_potential_v}\tag{7}\]

Para distribuições superficiais de massa em cascas finas:

\[\Phi = -G\int_S \frac{\rho_s}{r}da^\prime. \label{eqn:g_potential_s}\tag{8}\]

E para fontes de massa lineares com densidade linear $\rho_l$:

\[\Phi = -G\int_\Gamma \frac{\rho_l}{r}ds^\prime. \label{eqn:g_potential_l}\tag{9}\]

Significado físico

Considere o trabalho por unidade de massa $dW^\prime$ que um objeto realiza quando se move $d\mathbf{r}$ em um campo gravitacional.

\[\begin{align*} dW^\prime &= -\mathbf{g}\cdot d\mathbf{r} = (\nabla \Phi)\cdot d\mathbf{r} \\ &= \sum_i \frac{\partial \Phi}{\partial x_i}dx_i = d\Phi \label{eqn:work}\tag{10} \end{align*}\]

Nesta equação, $\Phi$ é uma função apenas das coordenadas de posição, expressa como $\Phi=\Phi(x_1, x_2, x_3) = \Phi(x_i)$. Portanto, o trabalho por unidade de massa que um objeto realiza ao se mover de um ponto a outro em um campo gravitacional é igual à diferença de potencial entre esses dois pontos.

Se definirmos o potencial gravitacional no infinito como $0$, então $\Phi$ em qualquer ponto pode ser interpretado como o trabalho por unidade de massa necessário para mover o objeto do infinito até esse ponto. A energia potencial do objeto é igual ao produto de sua massa e o potencial gravitacional $\Phi$, então se $U$ é a energia potencial:

\[U = m\Phi. \label{eqn:potential_e}\tag{11}\]

Portanto, a força gravitacional que atua sobre o objeto é obtida aplicando um sinal negativo ao gradiente de sua energia potencial.

\[\mathbf{F} = -\nabla U \label{eqn:force_and_potential}\tag{12}\]

Quando um objeto está em um campo gravitacional criado por alguma massa, sempre existe alguma energia potencial. Esta energia potencial está rigorosamente no próprio campo, mas convencionalmente é expressa como a energia potencial do objeto.

Exemplo: Potencial gravitacional dentro e fora de uma casca esférica (teorema da casca esférica)

Configuração de coordenadas e expressão do potencial gravitacional como integral

Vamos encontrar o potencial gravitacional dentro e fora de uma casca esférica uniforme com raio interno $b$ e raio externo $a$. Embora a gravidade devido à casca esférica possa ser obtida calculando diretamente os componentes da força que atuam sobre uma massa unitária no campo, usar o método do potencial é mais simples.

Na figura acima, vamos calcular o potencial no ponto $P$ a uma distância $R$ do centro. Assumindo distribuição uniforme de massa na casca, $\rho(r^\prime)=\rho$, e como há simetria em relação ao ângulo azimutal $\phi$ com base na linha que conecta o centro da esfera ao ponto $P$:

\[\begin{align*} \Phi &= -G\int_V \frac{\rho(r^\prime)}{r}dv^\prime \\ &= -\rho G \int_0^{2\pi} \int_0^\pi \int_b^a \frac{1}{r}(dr^\prime)(r^\prime d\theta)(r^\prime \sin\theta\, d\phi) \\ &= -\rho G \int_0^{2\pi} d\phi \int_b^a {r^\prime}^2 dr^\prime \int_0^\pi \frac{\sin\theta}{r}d\theta \\ &= -2\pi\rho G \int_b^a {r^\prime}^2 dr^\prime \int_0^\pi \frac{\sin\theta}{r}d\theta. \label{eqn:spherical_shell_1}\tag{13} \end{align*}\]

Pela lei dos cossenos:

\[r^2 = {r^\prime}^2 + R^2 - 2r^\prime R \cos\theta \label{eqn:law_of_cosines}\tag{14}\]

Como $R$ é constante, diferenciando esta equação em relação a $r^\prime$:

\[2rdr = 2r^\prime R \sin\theta d\theta\] \[\frac{\sin\theta}{r}d\theta = \frac{dr}{r^\prime R} \tag{15}\]

Substituindo isso na equação ($\ref{eqn:spherical_shell_1}$):

\[\Phi = -\frac{2\pi\rho G}{R} \int_b^a r^\prime dr^\prime \int_{r_\mathrm{min}}^{r_\mathrm{max}} dr. \label{eqn:spherical_shell_2}\tag{16}\]

Aqui, $r_\mathrm{max}$ e $r_\mathrm{min}$ são determinados pela posição do ponto $P$.

Quando $R>a$

\[\begin{align*} \Phi(R>a) &= -\frac{2\pi\rho G}{R} \int_b^a r^\prime dr^\prime \int_{R-r^\prime}^{R+r^\prime} dr \\ &= - \frac{4\pi\rho G}{R} \int_b^a {r^\prime}^2 dr^\prime \\ &= - \frac{4}{3}\frac{\pi\rho G}{R}(a^3 - b^3). \label{eqn:spherical_shell_outside_1}\tag{17} \end{align*}\]

A massa $M$ da casca esférica é:

\[M = \frac{4}{3}\pi\rho(a^3 - b^3) \label{eqn:mass_of_shell}\tag{18}\]

Portanto, o potencial é:

\[\boxed{\Phi(R>a) = -\frac{GM}{R}} \label{eqn:spherical_shell_outside_2}\tag{19}\]

Comparando o potencial gravitacional devido a uma massa pontual de massa $M$ na equação ($\ref{eqn:g_potential}$) com o resultado que acabamos de obter ($\ref{eqn:spherical_shell_outside_2}$), vemos que são idênticos. Isso significa que ao calcular o potencial gravitacional em um ponto externo devido a uma distribuição esfericamente simétrica de matéria, podemos considerar toda a massa como concentrada no centro. A maioria dos corpos celestes esféricos de tamanho considerável, como a Terra ou a Lua, se enquadra nesta categoria, pois podem ser considerados como inúmeras cascas esféricas concêntricas com diferentes diâmetros sobrepostas como uma matryoshka. Isso fornece a base válida para assumir corpos celestes como a Terra ou a Lua como massas pontuais sem tamanho nos cálculos mencionada no início deste artigo.

Quando $R<b$

\[\begin{align*} \Phi(R<b) &= -\frac{2\pi\rho G}{R} \int_b^a r^\prime dr^\prime \int_{r^\prime - R}^{r^\prime + R}dr \\ &= -4\pi\rho G \int_b^a r^\prime dr^\prime \\ &= -2\pi\rho G(a^2 - b^2). \label{eqn:spherical_shell_inside}\tag{20} \end{align*}\]

Dentro de uma casca de massa esfericamente simétrica, o potencial gravitacional é constante independentemente da posição, e a gravidade atuante é $0$.

Isso também é uma das principais evidências de que a “teoria da Terra oca”, uma das pseudociências representativas, é absurda. Se a Terra fosse uma casca esférica com interior vazio, como afirma a teoria da Terra oca, a gravidade terrestre não atuaria sobre todos os objetos dentro dessa cavidade. Considerando a massa e o volume da Terra, não pode haver uma cavidade terrestre, e mesmo que houvesse, os seres vivos lá não viveriam usando o interior da casca esférica como solo, mas flutuariam em estado de ausência de peso como em uma estação espacial.
Embora microrganismos possam viver em camadas profundas a alguns quilômetros subterrâneos, pelo menos não é possível da forma que a teoria da Terra oca afirma. Eu também gosto muito do romance de Júlio Verne “Viagem ao Centro da Terra” e do filme “Jornada ao Centro da Terra”, mas devemos apreciar as obras de ficção como ficção e não levá-las a sério.

Quando $b<R<a$

\[\begin{align*} \Phi(b<R<a) &= -\frac{4\pi\rho G}{3R}(R^3 - b^3) - 2\pi\rho G(a^2 - R^2) \\ &= -4\pi\rho G \left( \frac{a^2}{2} - \frac{b^3}{3R} - \frac{R^2}{6} \right) \label{eqn:within_spherical_shell}\tag{21} \end{align*}\]

Resultados

O potencial gravitacional $\Phi$ nas três regiões calculadas anteriormente e a magnitude correspondente do vetor campo gravitacional $|\mathbf{g}|$ como função da distância $R$ são mostrados nos gráficos a seguir.

• Código de visualização Python: repositório yunseo-kim/physics-visualizations
• Licença: Ver aqui

Pode-se ver que o potencial gravitacional e a magnitude do vetor campo gravitacional são contínuos. Se o potencial gravitacional fosse descontínuo em algum ponto, o gradiente do potencial nesse ponto, ou seja, a magnitude da gravidade, se tornaria infinita, o que não é fisicamente válido, então a função potencial deve ser contínua em todos os pontos. No entanto, a derivada do vetor campo gravitacional é descontínua nas superfícies interna e externa da casca.

Exemplo: Curvas de rotação galácticas

Segundo observações astronômicas, em muitas galáxias espirais que rotam em torno do centro, como a Via Láctea ou a galáxia de Andrômeda, a maioria das massas observáveis está concentrada próximo ao centro. No entanto, as velocidades orbitais das massas nessas galáxias espirais diferem significativamente dos valores teoricamente previstos a partir da distribuição de massa observável, como pode ser confirmado no gráfico a seguir, e são quase constantes além de uma certa distância.

Fonte da imagem

• Autor: usuário da Wikipedia PhilHibbs
• Licença: Domínio Público

Esq.: rotação galáctica prevista a partir da massa observável | Dir.: rotação galáctica realmente observada.

Fonte do vídeo

• Link do arquivo original (vídeo Ogg Theora): https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Galaxy_rotation_under_the_influence_of_dark_matter.ogv
• Autor: Ingo Berg
• Licença: CC BY-SA 3.0
• Método e código de simulação utilizados: https://beltoforion.de/en/spiral_galaxy_renderer/

A imagem anteriormente inserida nesta página, Rotation curve of spiral galaxy Messier 33 (Triangulum).png, foi eliminada do Wikimedia Commons por ter sido considerada uma obra derivada plagiada sem citação adequada de um trabalho não livre do professor Mark Whittle da Universidade da Virgínia, criada pelo usuário da Wikimedia Mario De Leo; por isso, foi removida também desta página.

Vamos prever a velocidade orbital em função da distância quando a massa da galáxia está concentrada no centro, confirmar que essa previsão não coincide com os resultados observacionais, e mostrar que a massa $M(R)$ distribuída dentro da distância $R$ do centro galáctico deve ser proporcional a $R$ para explicar os resultados observacionais.

Primeiro, quando a massa galáctica $M$ está concentrada no centro, a velocidade orbital à distância $R$ é:

\[\frac{GMm}{R^2} = \frac{mv^2}{R}\] \[v = \sqrt{\frac{GM}{R}} \propto \frac{1}{\sqrt{R}}.\]

Neste caso, prevê-se uma velocidade orbital que diminui como $1/\sqrt{R}$, como mostrado pelas linhas pontilhadas nos dois gráficos acima, mas segundo os resultados observacionais, a velocidade orbital $v$ é quase constante independentemente da distância $R$, então a previsão e os resultados observacionais não coincidem. Esses resultados observacionais só podem ser explicados se $M(R)\propto R$.

Definindo $M(R) = kR$ usando a constante de proporcionalidade $k$:

\[v = \sqrt{\frac{GM(R)}{R}} = \sqrt{Gk}\ \text{(constante)}.\]

A partir disso, os astrofísicos concluem que deve haver ‘matéria escura’ não descoberta em muitas galáxias, e que essa matéria escura deve constituir mais de 90% da massa do universo. No entanto, a identidade da matéria escura ainda não foi claramente revelada, e embora não seja a teoria principal, existem tentativas como a Dinâmica Newtoniana Modificada (MOND) que tentam explicar os resultados observacionais sem assumir a existência de matéria escura. Hoje, esses campos de pesquisa estão na vanguarda da astrofísica.