Produto interno e norma

Pré-requisitos

• Vetores e combinações lineares

Produto interno

Em um espaço vetorial sobre $F$, a definição de produto interno (inner product) é a seguinte.

Definição de produto interno (inner product) e espaço com produto interno (inner product space)
Considere um espaço vetorial $\mathbb{V}$ sobre $F$. Um produto interno (inner product) em $\mathbb{V}$, denotado por $\langle \mathbf{x},\mathbf{y} \rangle$, é uma função que associa a cada par ordenado de vetores $\mathbf{x}$ e $\mathbf{y}$ em $\mathbb{V}$ um escalar em $F$, satisfazendo as condições seguintes.

Para quaisquer $\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z} \in \mathbb{V}$ e qualquer $c \in F$:

1. $\langle \mathbf{x}+\mathbf{z}, \mathbf{y} \rangle = \langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle + \langle \mathbf{z}, \mathbf{y} \rangle$
2. $\langle c\mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = c \langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle$
3. $\overline{\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle} = \langle \mathbf{y}, \mathbf{x} \rangle$ (onde $\overline{\mathbf{z}}$ é o conjugado complexo de $\mathbf{z}$)
4. Para $\mathbf{x} \neq \mathbf{0}$, tem-se $\langle \mathbf{x}, \mathbf{x} \rangle > 0$.

Um espaço vetorial $\mathbb{V}$ sobre $F$ munido de produto interno é chamado de espaço com produto interno (inner product space). Em particular, se $F=\mathbb{C}$, diz-se espaço com produto interno complexo (complex inner product space); se $F=\mathbb{R}$, espaço com produto interno real (real inner product space).

Em particular, o seguinte é chamado de produto interno padrão (standard inner product). Verifica-se que ele satisfaz as quatro condições acima.

Definição de produto interno padrão (standard inner product)
Para dois vetores de $F^n$, $\mathbf{x}=(a_1, a_2, \dots, a_n)$ e $\mathbf{y}=(b_1, b_2, \dots, b_n)$, o produto interno padrão (standard inner product) em $F^n$ é definido por

\[\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = \sum_{i=1}^n a_i \overline{b_i}\]

Se $F=\mathbb{R}$, como o conjugado de um número real é ele próprio, o produto interno padrão torna-se $\sum_{i=1}^n a_i b_i$. Nessa situação, costuma-se escrever $\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle$ como $\mathbf{x} \cdot \mathbf{y}$ e chamá-lo de produto escalar (dot/scalar product).

Definição de produto escalar (dot/scalar product)
Para $\mathbf{v}=(v_1, v_2, \dots, v_n)$ e $\mathbf{w}=(w_1, w_2, \dots, w_n)$ em $\mathbb{R}^n$, o produto escalar (dot/scalar product) é definido por

\[\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = \sum_{i=1}^n v_i w_i = v_1 w_1 + v_2 w_2 + \cdots + v_n w_n\]

Aqui, “produto escalar (scalar product)” é uma operação entre vetores, distinta da “multiplicação por escalar (scalar multiplication)” — a multiplicação de um vetor por um número — tratada em Vetores e combinações lineares. Em inglês os termos são parecidos e, de acordo com o padrão de tradução da Sociedade Matemática da Coreia, em coreano são de fato idênticos; portanto, cuidado para não confundir.

Para evitar confusões, doravante usaremos preferencialmente o termo produto escalar (dot product).

Em espaços euclidianos, o produto interno coincide com o produto escalar; portanto, quando não houver risco de ambiguidade, é comum chamar o produto escalar simplesmente de produto interno. Tecnicamente, porém, produto interno é um conceito mais geral que inclui o produto escalar.

flowchart TD
    A["Produto interno (Inner Product)"] -->|contém| B["Produto interno padrão (Standard Inner Product)"]
    B -->|"caso F = R (corpo dos reais)"| C["Produto escalar (Dot/Scalar Product)"]

    %% relação de inclusão
    C -. contido em .-> B
    B -. contido em .-> A

Comprimento/norma de vetores

Para um vetor $\mathbf{v}=(v_1, v_2, \dots, v_n)$ em $\mathbb{R}^n$, o comprimento euclidiano de $\mathbf{v}$ é definido via produto escalar por

\[\| \mathbf{v} \| = \sqrt{\mathbf{v} \cdot \mathbf{v}} = \left[ \sum_{i=1}^n |v_i|^2 \right]^{1/2} = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + \cdots + v_n^2}\]

Mais geralmente, em um espaço com produto interno arbitrário, a norma (norm) ou comprimento (length) de um vetor é definida por

\[\| \mathbf{x} \| = \sqrt{\langle \mathbf{x}, \mathbf{x} \rangle}\]

Em um espaço com produto interno geral, valem as propriedades importantes a seguir para a norma:

Teorema
Seja $\mathbb{V}$ um espaço com produto interno sobre $F$ e sejam $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{V}$ e $c \in F$. Então:

1. $\|c\mathbf{x}\| = |c| \cdot \|\mathbf{x}\|$
2. Valem as duas afirmações:
   • $\|\mathbf{x}\| = 0 \iff \mathbf{x}=\mathbf{0}$
   • $\|\mathbf{x}\| \geq 0 \ \forall \mathbf{x}$
3. Desigualdade de Cauchy–Schwarz: $| \langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle | \leq \|\mathbf{x}\| \cdot \|\mathbf{y}\|$ (com igualdade se e somente se um dos vetores é múltiplo escalar do outro)
4. Desigualdade triangular: $\| \mathbf{x} + \mathbf{y} \| \leq \|\mathbf{x}\| + \|\mathbf{y}\|$ (com igualdade se e somente se um dos vetores é múltiplo escalar do outro e ambos têm a mesma direção)

Ângulo entre vetores e vetores unitários

Um vetor de comprimento $1$ é chamado de vetor unitário (unit vector). Além disso, para dois vetores $\mathbf{v}=(v_1, v_2, \dots, v_n)$ e $\mathbf{w}=(w_1, w_2, \dots, w_n)$ em $\mathbb{R}^n$, vale $\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = \|\mathbf{v}\| \cdot \|\mathbf{w}\| \cos\theta$, a partir do que obtemos o ângulo $\theta$ ($0 \leq \theta \leq \pi$) entre $\mathbf{v}$ e $\mathbf{w}$:

\[\theta = \arccos{\frac{\mathbf{v} \cdot \mathbf{w}}{\|\mathbf{v}\| \cdot \|\mathbf{w}\|}}\]

Se $\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = 0$, diz-se que os vetores são perpendiculares (perpendicular) ou ortogonais (orthogonal).

Se dois vetores $\mathbf{v}$ e $\mathbf{w}$ são perpendiculares, então

\[\begin{align*} \| \mathbf{v} + \mathbf{w} \|^2 &= (\mathbf{v} + \mathbf{w}) \cdot (\mathbf{v} + \mathbf{w}) \\ &= \mathbf{v} \cdot \mathbf{v} + \mathbf{v} \cdot \mathbf{w} + \mathbf{w} \cdot \mathbf{v} + \mathbf{w} \cdot \mathbf{w} \\ &= \mathbf{v} \cdot \mathbf{v} + \mathbf{w} \cdot \mathbf{w} \\ &= \|\mathbf{v}\|^2 + \|\mathbf{w}\|^2. \end{align*}\]

Generalizando para um espaço com produto interno arbitrário, temos:

Definição
Considere um espaço com produto interno $\mathbb{V}$. Para vetores $\mathbf{x}, \mathbf{y}$ em $\mathbb{V}$, se $\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = 0$, diz-se que eles são ortogonais (orthogonal) ou perpendiculares (perpendicular). Além disso:

1. Para um subconjunto $S \subset \mathbb{V}$, se quaisquer dois vetores distintos de $S$ são ortogonais, então $S$ é um conjunto ortogonal (orthogonal set).
2. Um vetor $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$ com $\|\mathbf{x}\|=1$ é um vetor unitário (unit vector).
3. Se um subconjunto $S \subset \mathbb{V}$ é ortogonal e é formado apenas por vetores unitários, então $S$ é um conjunto ortonormal (orthonormal set).

Uma condição necessária e suficiente para que $S = { \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots }$ seja ortonormal é $\langle \mathbf{v}_i, \mathbf{v}_j \rangle = \delta_{ij}$. Multiplicar um vetor por um escalar não nulo não afeta a ortogonalidade.

Para qualquer vetor não nulo $\mathbf{x}$, $\cfrac{\mathbf{x}}{\|\mathbf{x}\|}$ é um vetor unitário; obter um vetor unitário multiplicando-se um vetor não nulo pelo inverso de seu comprimento é chamado de normalização (normalizing).