Transformação linear, núcleo e imagem

Pré-requisitos

• Vetores e combinações lineares
• Espaços vetoriais, subespaços e matrizes
• Dependência linear e independência linear, base e dimensão
• Função injetora, função sobrejetora

Transformação linear

Uma função especial que preserva a estrutura de um espaço vetorial é chamada de transformação linear, conceito central que aparece com muita frequência em matemática pura, aplicada, ciências sociais, ciências naturais e engenharia.

Definição
Sejam $\mathbb{V}$ e $\mathbb{W}$ espaços vetoriais sobre um corpo $F$. Diz-se que uma função $T:\mathbb{V}\to\mathbb{W}$ é uma transformação linear (linear transformation) se, para todos $\mathbf{x}, \mathbf{y}\in\mathbb{V}$ e $c\in F$, valem:

1. $T(\mathbf{x}+\mathbf{y}) = T(\mathbf{x}) + T(\mathbf{y})$
2. $T(c\mathbf{x}) = c\,T(\mathbf{x})$

Dizemos simplesmente que $T$ é linear. Uma transformação linear $T:\mathbb{V}\to\mathbb{W}$ satisfaz as quatro propriedades abaixo.

1. $T$ linear $\quad \Rightarrow \quad T(\mathbf{0}) = \mathbf{0}$
2. $T$ linear $\quad \Leftrightarrow \quad T(c\mathbf{x} + \mathbf{y}) = cT(\mathbf{x}) + T(\mathbf{y}) \; \forall \, \mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{V},\, c \in F$
3. $T$ linear $\quad \Rightarrow \quad T(\mathbf{x} - \mathbf{y}) = T(\mathbf{x}) - T(\mathbf{y}) \; \forall \, \mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{V}$
4. $T$ linear $\quad \Leftrightarrow \quad T\left( \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{x}_i \right) = \sum_{i=1}^n a_i T(\mathbf{x}_i)$

Ao provar que uma função é linear, costuma ser conveniente usar a propriedade 2.

A Álgebra Linear tem aplicações geométricas vastas e diversas porque muitas transformações geométricas importantes são lineares. Em particular, as três transformações centrais — rotação, simetria e projeção — são lineares.

Duas transformações lineares aparecem especialmente com frequência.

Transformação identidade e transformação nula
Para espaços vetoriais $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ sobre $F$:

• Transformação identidade (identity transformation): $I_\mathbb{V}:\mathbb{V}\to\mathbb{V}$ definida por $I_\mathbb{V}(\mathbf{x})=\mathbf{x}$ para todo $\mathbf{x}\in\mathbb{V}$
• Transformação nula (zero transformation): $T_0:\mathbb{V}\to\mathbb{W}$ definida por $T_0(\mathbf{x})=\mathbf{0}$ para todo $\mathbf{x}\in\mathbb{V}$

Outros exemplos relevantes também são transformações lineares.

Exemplos de transformações lineares

• Rotação
• Simetria
• Projeção
• Transposição
• Derivada de função diferenciável
• Integração de função contínua

Núcleo e imagem

Definição de núcleo e imagem

Definição
Dado $T:\mathbb{V}\to\mathbb{W}$ linear entre espaços vetoriais $\mathbb{V}, \mathbb{W}$:

• Núcleo (kernel) ou espaço nulo (null space): o conjunto dos vetores $\mathbf{x}\in\mathbb{V}$ tais que $T(\mathbf{x})=\mathbf{0}$; denotado por $\mathrm{N}(T)$

  \[\mathrm{N}(T) = \{ \mathbf{x} \in \mathbb{V}: T(\mathbf{x}) = \mathbf{0} \}\]

• Imagem (image) ou range: o subconjunto de $\mathbb{W}$ formado pelos valores de $T$; denotado por $\mathrm{R}(T)$

  \[\mathrm{R}(T) = \{ T(\mathbf{x}): \mathbf{x} \in \mathbb{V} \}\]

e.g. Para espaços vetoriais $\mathbb{V}, \mathbb{W}$, a identidade $I:\mathbb{V}\to\mathbb{V}$ e a transformação nula $T_0:\mathbb{V}\to\mathbb{W}$ satisfazem:

• $\mathrm{N}(I) = \{\mathbf{0}\}$
• $\mathrm{R}(I) = \mathbb{V}$
• $\mathrm{N}(T_0) = \mathbb{V}$
• $\mathrm{R}(T_0) = \{\mathbf{0}\}$

Será um tema recorrente: o núcleo e a imagem de uma transformação linear são subespaços.

Teorema 1
Se $T:\mathbb{V}\to\mathbb{W}$ é linear, então $\mathrm{N}(T)$ e $\mathrm{R}(T)$ são subespaços de $\mathbb{V}$ e $\mathbb{W}$, respectivamente.

Prova
Denotemos os vetores nulos de $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ por $\mathbf{0}_\mathbb{V}, \mathbf{0}_\mathbb{W}$.

Como $T(\mathbf{0}_\mathbb{V})=\mathbf{0}_\mathbb{W}$, temos $\mathbf{0}_\mathbb{V}\in \mathrm{N}(T)$. Além disso, para $\mathbf{x}, \mathbf{y}\in \mathrm{N}(T)$ e $c\in F$,

\[\begin{align*} T(\mathbf{x} + \mathbf{y}) &= T(\mathbf{x}) + T(\mathbf{y}) = \mathbf{0}_\mathbb{W} + \mathbf{0}_\mathbb{W} = \mathbf{0}_\mathbb{W}, \\ T(c\mathbf{x}) &= cT(\mathbf{x}) = c\mathbf{0}_\mathbb{W} = \mathbf{0}_\mathbb{W}. \end{align*}\]

$\therefore$ Como $\mathbf{0}_\mathbb{V} \in \mathrm{N}(T)$, $\mathbf{x} + \mathbf{y} \in \mathrm{N}(T)$ e $c\mathbf{x} \in \mathrm{N}(T)$, então $\mathrm{N}(T)$ é subespaço de $\mathbb{V}$.

De modo análogo, como $T(\mathbf{0}_\mathbb{V})=\mathbf{0}_\mathbb{W}$, temos $\mathbf{0}_\mathbb{W}\in \mathrm{R}(T)$. Para quaisquer $\mathbf{x}, \mathbf{y}\in \mathrm{R}(T)$ e $c\in F$ (existem $\mathbf{v}, \mathbf{w}\in\mathbb{V}$ tais que $T(\mathbf{v})=\mathbf{x}$ e $T(\mathbf{w})=\mathbf{y}$), vale:

\[\begin{align*} T(\mathbf{v} + \mathbf{w}) &= T(\mathbf{v}) + T(\mathbf{w}) = \mathbf{x} + \mathbf{y}, \\ T(c\mathbf{v}) &= cT(\mathbf{v}) = c\mathbf{x}. \end{align*}\]

$\therefore$ Como $\mathbf{0}_\mathbb{W}\in \mathrm{R}(T)$, $\mathbf{x} + \mathbf{y} \in \mathrm{R}(T)$ e $c\mathbf{x} \in \mathrm{R}(T)$, então $\mathrm{R}(T)$ é subespaço de $\mathbb{W}$. $\blacksquare$

Além disso, dados $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ e $T:\mathbb{V}\to\mathbb{W}$ lineares, conhecendo uma base $\beta = \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n \}$ de $\mathbb{V}$, podemos obter um conjunto gerador para $\mathrm{R}(T)$ como segue.

Teorema 2
Sejam $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ e $T:\mathbb{V}\to\mathbb{W}$ lineares, e $\beta = \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n \}$ uma base de $\mathbb{V}$. Então

\[\mathrm{R}(T) = \mathrm{span}(\{T(\mathbf{v}): \mathbf{v} \in \beta \}) = \mathrm{span}(\{T(\mathbf{v}_1), T(\mathbf{v}_2), \dots, T(\mathbf{v}_n) \})\]

Prova

\[T(\mathbf{v}_i) \in \mathrm{R}(T) \quad \forall \mathbf{v}_i \in \beta.\]

Como $\mathrm{R}(T)$ é subespaço, pelo Teorema 2 de Espaços vetoriais, subespaços e matrizes,

\[\mathrm{span}(\{T(\mathbf{v}_1), T(\mathbf{v}_2), \dots, T(\mathbf{v}_n) \}) = \mathrm{span}(\{T(\mathbf{v}_i): \mathbf{v}_i \in \beta \}) \subseteq \mathrm{R}(T).\]

Além disso,

\[\forall \mathbf{w} \in \mathrm{R}(T) \ (\exists \mathbf{v} \in \mathbb{V} \ (\mathbf{w} = T(\mathbf{v}))).\]

Como $\beta$ é base de $\mathbb{V}$,

\[\mathbf{v} = \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{v}_i \quad \text{(com } a_1, a_2, \dots, a_n \in F \text{)}.\]

Como $T$ é linear,

\[\mathbf{w} = T(\mathbf{v}) = \sum_{i=1}^n a_i T(\mathbf{v}_i) \in \mathrm{span}(\{T(\mathbf{v}_i): \mathbf{v}_i \in \beta \})\] \[\mathrm{R}(T) \subseteq \mathrm{span}(\{T(\mathbf{v}_i): \mathbf{v}_i \in \beta \}) = \mathrm{span}(\{T(\mathbf{v}_1), T(\mathbf{v}_2), \dots, T(\mathbf{v}_n) \}).\]

$\therefore$ Como simultaneamente $\mathrm{R}(T) \supseteq \mathrm{span}({T(\mathbf{v}_i): \mathbf{v}_i \in \beta })$ e $\mathrm{R}(T) \subseteq \mathrm{span}({T(\mathbf{v}_i): \mathbf{v}_i \in \beta })$, conclui-se $\mathrm{R}(T) = \mathrm{span}({T(\mathbf{v}): \mathbf{v} \in \beta })$. $\blacksquare$

Este teorema também vale quando a base $\beta$ é infinita.

Teorema da dimensão

O núcleo e a imagem são subespaços muito importantes; por isso, suas dimensões recebem nomes específicos.

Ditos $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ e $T:\mathbb{V}\to\mathbb{W}$ lineares, suponha que $\mathrm{N}(T)$ e $\mathrm{R}(T)$ sejam finito-dimensionais.

• Dimensão do núcleo (nulidade, nullity): a dimensão de $\mathrm{N}(T)$, denotada por $\mathrm{nullity}(T)$
• Posto (rank): a dimensão de $\mathrm{R}(T)$, denotada por $\mathrm{rank}(T)$

Quanto maior a nulidade, menor o posto; e, reciprocamente, quanto maior o posto, menor a nulidade.

Teorema 3: Teorema da dimensão (dimension theorem)
Se $T:\mathbb{V}\to\mathbb{W}$ é linear e $\mathbb{V}$ é finito-dimensional, então

\[\mathrm{nullity}(T) + \mathrm{rank}(T) = \dim(\mathbb{V})\]

Prova

Seja $\dim(\mathbb{V}) = n$ e $\mathrm{nullity}(T) = \dim(\mathrm{N}(T)) = k$, e seja $\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_k \}$ uma base de $\mathrm{N}(T)$.

Pelo Corolário 6-1 de “Dependência linear e independência linear, base e dimensão”, podemos estender $\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_k \}$ a uma base $\beta = \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n \}$ de $\mathbb{V}$.

Mostraremos que $S = \{T(\mathbf{v}_{k+1}), T(\mathbf{v}_{k+2}), \dots, T(\mathbf{v}_n) \}$ é uma base de $\mathrm{R}(T)$. Para $1 \leq i \leq k$, $T(\mathbf{v}_i)=0$; logo, pelo Teorema 2,

\[\begin{align*} \mathrm{R}(T) &= \mathrm{span}(\{T(\mathbf{v}_1), T(\mathbf{v}_2), \dots, T(\mathbf{v}_n) \}) \\ &= \mathrm{span}(\{T(\mathbf{v}_{k+1}), T(\mathbf{v}_{k+2}), \dots, T(\mathbf{v}_n) \}) \\ &= \mathrm{span}(S). \end{align*}\]

Ou seja, $S$ gera $\mathrm{R}(T)$. Pelo Corolário 5-2 do Teorema da troca de Dependência linear e independência linear, base e dimensão, basta provar que $S$ é linearmente independente para concluir que $S$ é base de $\mathrm{R}(T)$.

Se $\sum_{i=k+1}^n b_i T(\mathbf{v}_i) = 0$ (com $b_{k+1}, \dots, b_n \in F$), como $T$ é linear,

\[\sum_{i=k+1}^n b_i T(\mathbf{v}_i) = 0 \Leftrightarrow T\left(\sum_{i=k+1}^n b_i \mathbf{v}_i \right) = 0 \Leftrightarrow \sum_{i=k+1}^n b_i \mathbf{v}_i \in \mathrm{N}(T).\]

Portanto,

\[\begin{align*} &\exists c_1, \dots, c_k \in F \text{ tais que} \\ &\sum_{i=k+1}^n b_i \mathbf{v}_i = \sum_{i=1}^k c_i \mathbf{v}_i \\ \Leftrightarrow &\sum_{i=1}^k (-c_i)\mathbf{v}_i + \sum_{i=k+1}^n b_i \mathbf{v}_i = 0. \end{align*}\]

Como $\beta$ é base de $\mathbb{V}$, a única solução de $\sum_{i=1}^k (-c_i)\mathbf{v}_i + \sum_{i=k+1}^n b_i \mathbf{v}_i = 0$ é

\[c_1 = \cdots = c_k = b_{k+1} = \cdots = b_n = 0,\]

e daí

\[\sum_{i=k+1}^n b_i T(\mathbf{v}_i) = 0 \quad \Rightarrow \quad b_i = 0.\]

Logo, $S$ é linearmente independente e é base de $\mathrm{R}(T)$.

\[\therefore \mathrm{rank}(T) = n - k = \dim{\mathbb{V}} - \mathrm{nullity}(T). \blacksquare\]

Transformações lineares e funções injetoras/sobrejetoras

Para transformações lineares, injeção e sobrejeção estão intimamente ligadas ao posto e à nulidade.

Teorema 4
Para $T:\mathbb{V}\to\mathbb{W}$ linear,

\[T \text{ é injetora} \quad \Leftrightarrow \quad \mathrm{N}(T) = \{\mathbf{0}\}.\]

Teorema 5
Se $\mathbb{V}$ e $\mathbb{W}$ são finito-dimensionais e têm a mesma dimensão, então, para $T:\mathbb{V}\to\mathbb{W}$ linear, as quatro afirmações são equivalentes:

1. $T$ é injetora.
2. $\mathrm{nullity}(T) = 0$
3. $\mathrm{rank}(T) = \dim(\mathbb{V})$
4. $T$ é sobrejetora.

Usando o Teorema da dimensão, as Propriedades 1 e 3 das transformações lineares e o Teorema 6 de “Dependência linear e independência linear, base e dimensão”, pode-se provar os Teoremas 4 e 5.

Estes dois teoremas são úteis para decidir se uma transformação linear é injetora ou sobrejetora.

Para um espaço vetorial infinito-dimensional $\mathbb{V}$ e $T:\mathbb{V}\to\mathbb{V}$ linear, injeção e sobrejeção não são, em geral, equivalentes.

Se uma transformação linear é injetora, o seguinte resultado pode ser útil, em certos casos, para testar a independência linear de um subconjunto dado.

Teorema 6
Sejam $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ espaços vetoriais e $T:\mathbb{V}\to\mathbb{W}$ linear injetora. Para um subconjunto $S\subseteq \mathbb{V}$, vale:

\[S \text{ é linearmente independente} \quad \Leftrightarrow \quad \{T(\mathbf{v}): \mathbf{v} \in S \} \text{ é linearmente independente.}\]

Transformações lineares e base

Uma característica importante das transformações lineares é que seu comportamento fica determinado pela escolha de uma base.

Teorema 7
Sejam $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ espaços vetoriais sobre $F$, $\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n \}$ uma base de $\mathbb{V}$ e $\mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2, \dots, \mathbf{w}_n \in \mathbb{W}$. Existe uma única transformação linear $T:\mathbb{V}\to\mathbb{W}$ tal que

\[T(\mathbf{v}_i) = \mathbf{w}_i \quad (i = 1, 2, \dots, n).\]

Prova
Para $\mathbf{x}\in\mathbb{V}$, a representação por combinação linear na base é única:

\[\mathbf{x} = \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{v}_i \quad (a_1, a_2, \dots, a_n \in F).\]

Defina $T:\mathbb{V}\to\mathbb{W}$ por

\[T(\mathbf{x}) = T\left( \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{v}_i \right) = \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{w}_i.\]

i) Para $i=1,2,\dots,n$, $T(\mathbf{v}_i)=\mathbf{w}_i$.

ii) Se $U:\mathbb{V}\to\mathbb{W}$ é outra transformação linear com $U(\mathbf{v}_i)=\mathbf{w}_i$ para $i=1,\dots,n$, então, para $\mathbf{x}=\sum_{i=1}^n a_i \mathbf{v}_i \in \mathbb{V}$,

\[U(\mathbf{x}) = \sum_{i=1}^n a_i U(\mathbf{v}_i) = \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{w}_i = T(\mathbf{x}).\] \[\therefore U = T.\]

Pelos itens i) e ii), a única transformação linear com $T(\mathbf{v}_i)=\mathbf{w}_i$ para $i=1,\dots,n$ é

\[T(\mathbf{x}) = T\left( \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{v}_i \right) = \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{w}_i. \quad \blacksquare\]

Corolário 7-1
Se $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ são espaços vetoriais e $\mathbb{V}$ possui uma base finita $\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n \}$, então duas transformações lineares $U, T:\mathbb{V}\to\mathbb{W}$ que satisfaçam $U(\mathbf{v}_i)=T(\mathbf{v}_i)$ para $i=1,\dots,n$ são iguais: $U=T$.
Isto é, se coincidem nos valores da base, são a mesma transformação linear.