Espaços vetoriais, subespaços e matrizes

TL;DR

• Matriz
  • O elemento da linha $i$ e coluna $j$ da matriz $A$ é denotado por $A_{ij}$ ou $a_{ij}$
  • Elemento diagonal: o elemento $a_{ij}$ com $i=j$
  • Os elementos $a_{i1}, a_{i2}, \dots, a_{in}$ formam a linha $i$-ésima da matriz
    • Cada linha da matriz pode ser vista como um vetor em $F^n$
    • Além disso, um vetor linha de $F^n$ pode ser visto como outra matriz $1 \times n$
  • Os elementos $a_{1j}, a_{2j}, \dots, a_{mj}$ formam a coluna $j$-ésima da matriz
    • Cada coluna da matriz pode ser vista como um vetor em $F^m$
    • Além disso, um vetor coluna de $F^m$ pode ser visto como outra matriz $m \times 1$
  • Matriz nula: matriz cujos elementos são todos $0$, denotada por $O$
  • Matriz quadrada: matriz com o mesmo número de linhas e colunas
  • Para duas matrizes $m \times n$ $A, B$, se para todos $1 \leq i \leq m$, $1 \leq j \leq n$ vale $A_{ij} = B_{ij}$ (isto é, todos os elementos correspondentes coincidem), então dizemos que as matrizes são iguais ($A=B$)
  • Matriz transposta: para $A$ de tamanho $m \times n$, a transposta $A^T$ é a matriz $n \times m$ obtida trocando linhas por colunas
  • Matriz simétrica: matriz quadrada $A$ com $A^T = A$
  • Matriz antissimétrica: matriz quadrada $B$ com $B^T = -B$
  • Matriz triangular
    • Triangular superior: matriz cujos elementos abaixo da diagonal são todos $0$ (isto é, $i>j \Rightarrow A_{ij}=0$), geralmente denotada por $U$
    • Triangular inferior: matriz cujos elementos acima da diagonal são todos $0$ (isto é, $i<j \Rightarrow A_{ij}=0$), geralmente denotada por $L$
  • Matriz diagonal: matriz quadrada em que todos os elementos fora da diagonal são $0$ (isto é, $i \neq j \Rightarrow M_{ij}=0$ numa $n \times n$), geralmente denotada por $D$
• Espaços vetoriais representativos
  • $n$-uplas $F^n$:
    • Conjunto de todas as $n$-uplas com componentes em um corpo $F$
    • Denotado por $F^n$, é um espaço vetorial sobre $F$
  • Espaço de matrizes:
    • Conjunto de todas as matrizes $m \times n$ com elementos em $F$
    • Denotado por $\mathcal{M}_{m \times n}(F)$, é um espaço vetorial
  • Espaço de funções:
    • Para um conjunto não vazio $S$ sobre um corpo $F$, o conjunto de todas as funções de $S$ em $F$
    • Denotado por $\mathcal{F}(S,F)$, é um espaço vetorial
• Subespaço
  • Um subconjunto $\mathbb{W}$ de um espaço vetorial $\mathbb{V}$ sobre $F$ é um subespaço de $\mathbb{V}$ se, com as mesmas operações de soma e multiplicação por escalar definidas em $\mathbb{V}$, ele próprio for um espaço vetorial sobre $F$
  • Para todo espaço vetorial $\mathbb{V}$, o próprio $\mathbb{V}$ e $\{0\}$ são subespaços; em particular, $\{0\}$ é o subespaço nulo
  • Um subconjunto é subespaço se contiver o vetor nulo e for fechado para combinação linear (isto é, se $\mathrm{span}(\mathbb{W})=\mathbb{W}$)

Prerequisites

• Vetores e combinações lineares

Espaço vetorial

Como vimos brevemente em Vetores e combinações lineares, a definição algébrica de vetor e de espaço vetorial é a seguinte.

Definição
Um espaço vetorial (ou espaço linear) $\mathbb{V}$ sobre um corpo $F$ é um conjunto munido de duas operações, soma e multiplicação por escalar, que satisfazem as 8 condições abaixo. Os elementos de $F$ são chamados de escalares, e os de $\mathbb{V}$, de vetores.

• Soma: para quaisquer $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{V}$, existe um único elemento $\mathbf{x} + \mathbf{y} \in \mathbb{V}$. Chamamos $\mathbf{x} + \mathbf{y}$ de soma de $\mathbf{x}$ e $\mathbf{y}$.
• Multiplicação por escalar: para cada $a \in F$ e $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$, existe um único elemento $a\mathbf{x} \in \mathbb{V}$. Chamamos $a\mathbf{x}$ de múltiplo escalar de $\mathbf{x}$.

1. Para todos $\mathbf{x},\mathbf{y} \in \mathbb{V}$, $\mathbf{x} + \mathbf{y} = \mathbf{y} + \mathbf{x}$. (comutatividade da adição)
2. Para todos $\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z} \in \mathbb{V}$, $(\mathbf{x}+\mathbf{y})+\mathbf{z} = \mathbf{x}+(\mathbf{y}+\mathbf{z})$. (associatividade da adição)
3. Existe $\mathbf{0} \in \mathbb{V}$ tal que, para todo $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$, $\mathbf{x} + \mathbf{0} = \mathbf{x}$. (vetor nulo, elemento neutro da adição)
4. Para cada $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$, existe $\mathbf{y} \in \mathbb{V}$ tal que $\mathbf{x}+\mathbf{y}=\mathbf{0}$. (inverso aditivo)
5. Para todo $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$, $1\mathbf{x} = \mathbf{x}$. (identidade multiplicativa)
6. Para todos $a,b \in F$ e todo $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$, $(ab)\mathbf{x} = a(b\mathbf{x})$. (associatividade da multiplicação por escalar)
7. Para todo $a \in F$ e todos $\mathbf{x},\mathbf{y} \in \mathbb{V}$, $a(\mathbf{x}+\mathbf{y}) = a\mathbf{x} + a\mathbf{y}$. (distributividade da multiplicação por escalar sobre a adição 1)
8. Para todos $a,b \in F$ e todo $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$, $(a+b)\mathbf{x} = a\mathbf{x} + b\mathbf{x}$. (distributividade da multiplicação por escalar sobre a adição 2)

Mais precisamente, deveríamos escrever “$\mathbb{V}$, espaço vetorial sobre $F$”, mas, ao tratar de espaços vetoriais, o corpo não é o foco principal; assim, quando não houver risco de ambiguidade, omitimos $F$ e escrevemos apenas “espaço vetorial $\mathbb{V}$”.

Espaço de matrizes

Vetores linha e vetores coluna

Denotamos por $F^n$ o conjunto de todas as $n$-uplas com componentes em $F$. Para $u = (a_1, a_2, \dots, a_n) \in F^n$ e $v = (b_1, b_2, \dots, b_n) \in F^n$, definindo a soma e a multiplicação por escalar como abaixo, $F^n$ é um espaço vetorial sobre $F$.

\[\begin{align*} u + v &= (a_1+b_1, a_2+b_2, \dots, a_n+b_n), \\ cu &= (ca_1, ca_2, \dots, ca_n) \end{align*}\]

Ao escrever um vetor de $F^n$ isoladamente, costuma-se representá-lo não como vetor linha $(a_1, a_2, \dots, a_n)$, mas como vetor coluna

\[\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix}\]

Como a notação em coluna ocupa mais espaço, às vezes usa-se a transposição e escreve-se $(a_1, a_2, \dots, a_n)^T$.

Matrizes e espaço de matrizes

Por sua vez, uma matriz $m \times n$ com elementos em $F$ é um arranjo retangular como abaixo, denotado por letras maiúsculas em itálico ($A, B, C$, etc.).

\[\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}\]

• O elemento da linha $i$ e coluna $j$ da matriz $A$ é denotado por $A_{ij}$ ou $a_{ij}$.
• Cada $a_{ij}$ ($1 \leq i \leq m$, $1 \leq j \leq n$) pertence a $F$.
• O elemento $a_{ij}$ com $i=j$ é chamado de elemento diagonal da matriz.
• Os elementos $a_{i1}, a_{i2}, \dots, a_{in}$ formam a linha $i$-ésima. Cada linha pode ser vista como um vetor de $F^n$ e, além disso, um vetor linha de $F^n$ pode ser visto como outra matriz $1 \times n$.
• Os elementos $a_{1j}, a_{2j}, \dots, a_{mj}$ formam a coluna $j$-ésima. Cada coluna pode ser vista como um vetor de $F^m$ e, além disso, um vetor coluna de $F^m$ pode ser visto como outra matriz $m \times 1$.
• A matriz nula $m \times n$ é aquela em que todos os elementos são $0$, denotada por $O$.
• Uma matriz é quadrada quando tem o mesmo número de linhas e colunas.
• Para duas matrizes $m \times n$ $A, B$, se para todos $1 \leq i \leq m$, $1 \leq j \leq n$ vale $A_{ij} = B_{ij}$ (isto é, todos os elementos correspondentes coincidem), definimos que as duas matrizes são iguais ($A=B$).

Denotamos por $\mathcal{M}_{m \times n}(F)$ o conjunto de todas as matrizes $m \times n$ com elementos em $F$. Para $\mathbf{A},\mathbf{B} \in \mathcal{M}_{m \times n}(F)$ e $c \in F$, definindo a soma e a multiplicação por escalar como abaixo, $\mathcal{M}_{m \times n}(F)$ é um espaço vetorial, chamado espaço de matrizes.

\[\begin{align*} (\mathbf{A}+\mathbf{B})_{ij} &= \mathbf{A}_{ij} + \mathbf{B}_{ij}, \\ (c\mathbf{A})_{ij} &= c\mathbf{A}_{ij} \\ \text{(onde }1 \leq i \leq &m, 1 \leq j \leq n \text{)} \end{align*}\]

Trata-se de uma extensão natural das operações definidas em $F^n$ e $F^m$.

Espaço de funções

Para um conjunto não vazio $S$ sobre um corpo $F$, $\mathcal{F}(S,F)$ é o conjunto de todas as funções de $S$ em $F$. Dizemos que duas funções $f, g \in \mathcal{F}(S,F)$ são iguais ($f=g$) se, para todo $s \in S$, $f(s) = g(s)$.

Para $f,g \in \mathcal{F}(S,F)$, $c \in F$, $s \in S$, definindo a soma e a multiplicação por escalar como abaixo, $\mathcal{F}(S,F)$ é um espaço vetorial, chamado espaço de funções.

\[\begin{align*} (f + g)(s) &= f(s) + g(s), \\ (cf)(s) &= c[f(s)] \end{align*}\]

Subespaços

Definição
Um subconjunto $\mathbb{W}$ de um espaço vetorial $\mathbb{V}$ sobre $F$ é chamado de subespaço de $\mathbb{V}$ se, com as mesmas operações de soma e multiplicação por escalar definidas em $\mathbb{V}$, ele próprio for um espaço vetorial sobre $F$.

Para todo espaço vetorial $\mathbb{V}$, o próprio $\mathbb{V}$ e $\{0\}$ são subespaços; em particular, $\{0\}$ é o subespaço nulo.

Podemos verificar se um subconjunto é subespaço usando o seguinte teorema.

Teorema 1
Para um espaço vetorial $\mathbb{V}$ e um subconjunto $\mathbb{W}$, $\mathbb{W}$ é um subespaço de $\mathbb{V}$ se, e somente se, satisfizer as 3 condições abaixo. As operações são as mesmas definidas em $\mathbb{V}$.

1. $\mathbf{0} \in \mathbb{W}$
2. $\mathbf{x}+\mathbf{y} \in \mathbb{W} \quad \forall\ \mathbf{x} \in \mathbb{W},\ \mathbf{y} \in \mathbb{W}$
3. $c\mathbf{x} \in \mathbb{W} \quad \forall\ c \in F,\ \mathbf{x} \in \mathbb{W}$

Em resumo, se contém o vetor nulo e é fechado para combinação linear (isto é, se $\mathrm{span}(\mathbb{W})=\mathbb{W}$), então é um subespaço.

Além disso, valem os seguintes resultados.

Teorema 2

• Para qualquer subconjunto $S$ de um espaço vetorial $\mathbb{V}$, o espaço gerado $\mathrm{span}(S)$ é um subespaço de $\mathbb{V}$ que contém $S$.

  \[S \subset \mathrm{span}(S) \leq \mathbb{V} \quad \forall\ S \subset \mathbb{V}.\]

• Todo subespaço $\mathbb{W}$ de $\mathbb{V}$ que contenha $S$ contém necessariamente o espaço gerado por $S$.

  \[\mathbb{W}\supset \mathrm{span}(S) \quad \forall\ S \subset \mathbb{W} \leq \mathbb{V}.\]

Teorema 3
Para subespaços de um espaço vetorial $\mathbb{V}$, a interseção arbitrária desses subespaços também é um subespaço de $\mathbb{V}$.

Matriz transposta, matriz simétrica e matriz antissimétrica

Para uma matriz $m \times n$ $A$, a matriz transposta $A^T$ é a matriz $n \times m$ obtida trocando-se as linhas pelas colunas de $A$.

\[(A^T)_{ij} = A_{ji}\] \[\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}\]

Uma matriz $A$ com $A^T = A$ é chamada de matriz simétrica; uma matriz $B$ com $B^T = -B$ é chamada de matriz antissimétrica. Matrizes simétricas e antissimétricas devem ser, necessariamente, quadradas.

Seja $\mathbb{W}_1$ o conjunto de todas as matrizes simétricas em $\mathcal{M}_{n \times n}(F)$ e $\mathbb{W}_2$ o conjunto de todas as matrizes antissimétricas em $\mathcal{M}_{n \times n}(F)$. Então $\mathbb{W}_1$ e $\mathbb{W}_2$ são subespaços de $\mathcal{M}_{n \times n}(F)$; isto é, são fechados para soma e multiplicação por escalar.

Matrizes triangulares e matrizes diagonais

Esses dois tipos de matrizes também são especialmente importantes.

Primeiro, chamamos de matrizes triangulares os dois tipos a seguir.

• Triangular superior: matriz em que todos os elementos abaixo da diagonal são $0$ (isto é, $i>j \Rightarrow A_{ij}=0$), usualmente denotada por $U$
• Triangular inferior: matriz em que todos os elementos acima da diagonal são $0$ (isto é, $i<j \Rightarrow A_{ij}=0$), usualmente denotada por $L$

Uma matriz quadrada em que todos os elementos fora da diagonal são $0$, isto é, uma $n \times n$ com $i \neq j \Rightarrow M_{ij}=0$, é chamada de matriz diagonal e geralmente é denotada por $D$. Uma matriz diagonal é simultaneamente triangular superior e triangular inferior.

Os conjuntos das matrizes triangulares superiores, das triangulares inferiores e das diagonais são todos subespaços de $\mathcal{M}_{m \times n}(F)$.