Vetores e combinações lineares

TL;DR

• Definição de vetor
  • Vetor em sentido estrito (vetor euclidiano): grandeza física que possui magnitude e direção
  • Em sentido amplo, na Álgebra Linear: elemento de um espaço vetorial
• Formas de representação de vetores
  • Representação por setas: a magnitude é o comprimento da seta e a direção é o sentido da seta. É intuitiva e fácil de visualizar, mas fica limitada para vetores em dimensão 4 ou superior e para vetores não euclidianos.
  • Representação por componentes: fixa-se a cauda do vetor na origem do espaço de coordenadas e representa-se o vetor pelas coordenadas de sua ponta.
• Operações básicas com vetores
  • Soma: $(a_1, a_2, \cdots, a_n) + (b_1, b_2, \cdots, b_n) := (a_1+b_1, a_2+b_2, \cdots, a_n+b_n)$
  • Multiplicação por escalar: $c(a_1, a_2, \cdots, a_n) := (ca_1, ca_2, \cdots, ca_n)$
• Combinação linear de vetores
  • Dado um número finito de vetores $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n$ e escalares $a_1, a_2, \dots, a_n$, um vetor $\mathbf{v}$ da forma $\mathbf{v} = a_1\mathbf{u}_1 + a_2\mathbf{u}_2 + \cdots + a_n\mathbf{u}_n$ é chamado de combinação linear de $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n$
  • Nesse caso, $a_1, a_2, \dots, a_n$ são os coeficientes dessa combinação linear
• Espaço gerado
  • Para um subconjunto não vazio $S$ de um espaço vetorial $\mathbb{V}$, o conjunto de todas as combinações lineares feitas com vetores de $S$, denotado por $\mathrm{span}(S)$
  • Define-se $\mathrm{span}(\emptyset) = {0}$
  • Para um subconjunto $S$ de $\mathbb{V}$, se $\mathrm{span}(S) = \mathbb{V}$, então diz-se que $S$ gera $\mathbb{V}$ (generate, span)

Pré-requisitos

• Plano/espaco de coordenadas
• Corpo

O que é um vetor?

Vetor em sentido estrito: vetor euclidiano

Muitas grandezas físicas como força, velocidade e aceleração possuem não apenas magnitude, mas também direção. Uma grandeza que possui magnitude e direção é chamada de vetor.

Essa é a definição de vetor adotada em mecânica e na matemática do ensino médio. Esse vetor, baseado em uma intuição geométrica de “segmento orientado com magnitude e direção”, é chamado mais precisamente de vetor euclidiano (Euclidean vector).

Vetor em sentido amplo: elemento de um espaço vetorial

Na Álgebra Linear, adota-se uma noção mais ampla e abstrata de vetor, como uma estrutura algébrica, definida assim:

Definição
Um espaço vetorial (ou espaço linear) $\mathbb{V}$ sobre um corpo $F$ é um conjunto equipado com duas operações, soma e multiplicação por escalar, que satisfazem as 8 condições abaixo. Os elementos de $F$ são chamados de escalares, e os elementos de $\mathbb{V}$ são chamados de vetores.

• Soma: para quaisquer $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{V}$, existe um único elemento $\mathbf{x} + \mathbf{y} \in \mathbb{V}$. Chamamos $\mathbf{x} + \mathbf{y}$ de soma de $\mathbf{x}$ e $\mathbf{y}$.
• Multiplicação por escalar: para cada $a \in F$ e $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$, existe um único elemento $a\mathbf{x} \in \mathbb{V}$. Chamamos $a\mathbf{x}$ de múltiplo escalar de $\mathbf{x}$.

1. Para todos $\mathbf{x},\mathbf{y} \in \mathbb{V}$, $\mathbf{x} + \mathbf{y} = \mathbf{y} + \mathbf{x}$. (comutatividade da adição)
2. Para todos $\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z} \in \mathbb{V}$, $(\mathbf{x}+\mathbf{y})+\mathbf{z} = \mathbf{x}+(\mathbf{y}+\mathbf{z})$. (associatividade da adição)
3. Existe $\mathbf{0} \in \mathbb{V}$ tal que, para todo $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$, $\mathbf{x} + \mathbf{0} = \mathbf{x}$. (vetor zero, elemento neutro da adição)
4. Para cada $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$, existe $\mathbf{y} \in \mathbb{V}$ tal que $\mathbf{x}+\mathbf{y}=\mathbf{0}$. (inverso aditivo)
5. Para todo $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$, $1\mathbf{x} = \mathbf{x}$. (identidade multiplicativa)
6. Para todos $a,b \in F$ e todo $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$, $(ab)\mathbf{x} = a(b\mathbf{x})$. (associatividade da multiplicação por escalar)
7. Para todo $a \in F$ e todos $\mathbf{x},\mathbf{y} \in \mathbb{V}$, $a(\mathbf{x}+\mathbf{y}) = a\mathbf{x} + a\mathbf{y}$. (distributividade da multiplicação por escalar sobre a adição 1)
8. Para todos $a,b \in F$ e todo $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$, $(a+b)\mathbf{x} = a\mathbf{x} + b\mathbf{x}$. (distributividade da multiplicação por escalar sobre a adição 2)

Essa definição de vetor na Álgebra Linear é mais geral e inclui o vetor euclidiano. Pode-se verificar que o vetor euclidiano satisfaz as 8 propriedades acima.

A origem e o desenvolvimento do conceito de vetor estão intimamente ligados a problemas práticos levantados pela Física, como descrever quantitativamente força, movimento, rotação e campos. A necessidade de expressar fenômenos naturais de forma matemática levou primeiro à noção de vetor euclidiano; depois, a Matemática generalizou e formalizou essas ideias, estabelecendo estruturas como espaço vetorial, produto interno e produto externo, culminando na definição atual de vetor. Em suma, o vetor é um conceito demandado pela Física e formalizado pela Matemática, fruto de um desenvolvimento interdisciplinar.

Os vetores euclidianos da mecânica clássica podem ser expressos em uma estrutura mais geral, e, na Física contemporânea, além dos vetores euclidianos, empregam-se ativamente conceitos mais abstratos definidos na Matemática, como espaços vetoriais e espaços de funções, atribuindo-lhes significado físico. Portanto, não é adequado entender as duas definições de vetor simplesmente como “definição física” e “definição matemática”.

Voltaremos ao estudo de espaços vetoriais mais adiante; por ora, vamos focar no vetor em sentido estrito, o vetor euclidiano, que pode ser representado geometricamente em um espaço de coordenadas. Ver exemplos intuitivos de vetores euclidianos ajuda quando generalizarmos para outros tipos de vetores.

Representação de vetores

Representação por setas

É a forma de representação mais comum e geométrica. A magnitude do vetor é o comprimento da seta, e a direção do vetor é o sentido da seta.

Fonte da imagem

• Autor: usuário da Wikipédia Nguyenthephuc
• Licença: CC BY-SA 3.0

Embora intuitiva, essa representação tem limitações claras para vetores de alta dimensão (4D ou mais). Além disso, mais adiante lidaremos com vetores não euclidianos, cuja representação geométrica é difícil; por isso, é útil se familiarizar com a representação por componentes descrita a seguir.

Representação por componentes

Independentemente da posição do vetor, se sua magnitude e direção forem as mesmas, consideramo-lo o mesmo vetor. Assim, dado um espaço de coordenadas, fixando a cauda do vetor na origem desse espaço, um vetor em dimensão $n$ corresponde a um ponto arbitrário no espaço $n$-dimensional; nesse caso, podemos representar o vetor pelas coordenadas de sua ponta. Essa forma de representação é chamada de representação por componentes.

\[(a_1, a_2, \cdots, a_n) \in \mathbb{R}^n \text{ or } \mathbb{C}^n\]

Fonte da imagem

• Autor: usuário da Wikimedia Acdx
• Licença: CC BY-SA 3.0

Operações básicas com vetores

As operações básicas são duas: soma e multiplicação por escalar. Toda operação com vetores pode ser expressa como combinação dessas duas.

Soma de vetores

A soma de dois vetores é um vetor, e seus componentes são as somas componente a componente dos vetores dados.

\[(a_1, a_2, \cdots, a_n) + (b_1, b_2, \cdots, b_n) := (a_1+b_1, a_2+b_2, \cdots, a_n+b_n)\]

Multiplicação por escalar

Podemos ampliar ou reduzir a magnitude de um vetor multiplicando-o por um escalar. O resultado é igual a multiplicar cada componente pelo mesmo escalar.

\[c(a_1, a_2, \cdots, a_n) := (ca_1, ca_2, \cdots, ca_n)\]

Fonte da imagem

• Autor: usuário da Wikipédia Silly rabbit
• Licença: CC BY-SA 3.0

Combinação linear de vetores

Assim como o Cálculo parte de números $x$ e funções $f(x)$, a Álgebra Linear parte de vetores $\mathbf{v}, \mathbf{w}, \dots$ e de combinações lineares $c\mathbf{v} + d\mathbf{w} + \cdots$. Toda combinação linear de vetores é composta pelas duas operações básicas acima, soma e multiplicação por escalar.

Dado um número finito de vetores $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n$ e escalares $a_1, a_2, \dots, a_n$, um vetor $\mathbf{v}$ é chamado de combinação linear de $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n$ se

\[\mathbf{v} = a_1\mathbf{u}_1 + a_2\mathbf{u}_2 + \cdots + a_n\mathbf{u}_n\]

Nesse caso, $a_1, a_2, \dots, a_n$ são os coeficientes dessa combinação linear.

Por que a combinação linear é importante? Considere a situação em que $n$ vetores em um espaço de dimensão $m$ compõem as $n$ colunas de uma matriz $m \times n$.

\[\begin{gather*} \mathbf{v}_1 = (a_{11}, a_{21}, \dots, a_{m1}), \\ \mathbf{v}_2 = (a_{12}, a_{22}, \dots, a_{m2}), \\ \vdots \\ \mathbf{v}_n = (a_{1n}, a_{2n}, \dots, a_{mn}) \\ \\ A = \Bigg[ \mathbf{v}_1 \quad \mathbf{v}_2 \quad \cdots \quad \mathbf{v}_n \Bigg] \end{gather*}\]

Os pontos essenciais são dois:

1. Expresse todas as combinações lineares possíveis $Ax = x_1\mathbf{v}_1 + x_2\mathbf{v}_2 + \cdots + x_n\mathbf{v}_n$. O que elas formam?
2. Dado um vetor de saída desejado $Ax = b$, encontre os números $x_1, x_2, \dots, x_n$ que o produzem.

Responderemos ao segundo ponto depois; por enquanto, foquemos no primeiro. Para simplificar, considere o caso de 2 vetores ($n=2$) em 2 dimensões ($m=2$), distintos de $\mathbf{0}$.

Combinação linear $c\mathbf{v} + d\mathbf{w}$

Um vetor $\mathbf{v}$ em 2D tem dois componentes. Para todo escalar $c$, o vetor $c\mathbf{v}$ é paralelo a $\mathbf{v}$ e forma, no plano $xy$, uma reta infinita que passa pela origem.

Se um segundo vetor $\mathbf{w}$ não está sobre essa reta (isto é, se $\mathbf{v}$ e $\mathbf{w}$ não são paralelos), então $d\mathbf{w}$ forma uma segunda reta. Combinando essas duas retas, vemos que a combinação linear $c\mathbf{v} + d\mathbf{w}$ preenche um plano que contém a origem.

Fonte da imagem

• Autor: usuário da Wikimedia Svjo
• Licença: CC BY-SA 4.0

Geração

Assim, as combinações lineares de vetores formam um espaço vetorial; a isso chamamos de geração do espaço (span).

Definição
Dado um subconjunto não vazio $S$ de um espaço vetorial $\mathbb{V}$, o conjunto de todas as combinações lineares feitas com vetores de $S$ é chamado de espaço gerado (span) de $S$ e é denotado por $\mathrm{span}(S)$. Define-se $\mathrm{span}(\emptyset) = {0}$.

Definição
Para um subconjunto $S$ de $\mathbb{V}$, se $\mathrm{span}(S) = \mathbb{V}$, então diz-se que $S$ gera $\mathbb{V}$ (generate, span).

Ainda não estudamos conceitos como subespaço e base, mas ter em mente este exemplo ajudará a entender a noção de espaço vetorial mais adiante.