Mlinganyo wa Bernoulli (Bernoulli Equation)
Jifunze mlinganyo wa Bernoulli na mbinu ya kutatua mlinganyo wa logistic, aina maalum ya mlinganyo huo.
Mlinganyo wa Bernoulli (Bernoulli Equation)
\[y'+p(x)y=g(x)y^a\quad \text{(}a\text{ ni namba halisi yoyote)} \tag{1}\]Mlinganyo wa Bernoulli (1) huwa wa mstari ikiwa $a=0$ au $a=1$, na huwa usio wa mstari katika hali nyingine. Hata hivyo, unaweza kubadilishwa kuwa wa mstari kupitia mchakato ufuatao.
\[u(x)=[y(x)]^{1-a}\]Tukiweka hivyo, kisha tukitofautisha na kubadilisha $y’$ kutoka kwenye mlinganyo (1), tunapata
\[\begin{align*} u'&=(1-a)y^{-a}y' \\&=(1-a)y^{-a}(gy^a-py) \\&=(1-a)(g-py^{1-a}) \end{align*}\]Kwa kuwa $y^{1-a}=u$ katika upande wa kulia, tunapata mlinganyo ufuatao wa tofauti wa kawaida wa mstari.
\[u'+(1-a)pu=(1-a)g \tag{2}\]Mfano: Mlinganyo wa Logistic (Logistic Equation)
Tatua mlinganyo wa logistic (aina maalum ya mlinganyo wa Bernoulli).
\[y'=Ay-By^2 \tag{3}\]Suluhisho
Tukiandika mlinganyo (3) katika umbo la mlinganyo (1), tunapata
\[y'-Ay=-By^2\]Hapa $a=2$, kwa hiyo $u=y^{1-a}=y^{-1}$. Tukitofautisha $u$ hii na kubadilisha $y’$ kutoka kwenye mlinganyo (3), tunapata
\[u'=-y^{-2}y'=-y^{-2}(Ay-By^2)=B-Ay^{-1}\]Kwa kuwa neno la mwisho ni $-Ay^{-1}=-Au$, tunapata mlinganyo ufuatao wa tofauti wa kawaida wa mstari.
\[u'+Au=B\]Kwa kutumia fomula ya suluhisho ya mlinganyo wa tofauti wa kawaida wa mstari usio homojeni, tunaweza kupata suluhisho la jumla lifuatalo.
\[u=ce^{-At}+B/A\]Kwa kuwa $u=1/y$, kutokana na hili tunapata suluhisho la jumla la mlinganyo (3)
\[y=\frac{1}{u}=\frac{1}{ce^{-At}+B/A} \tag{4}\]