Hesabu ya usawa wa mionzi

TL;DR

Shughuli ya mionzi katika muda wowote t

\[\begin{align*} \alpha (t) &= \lambda n(t) \\ &= \alpha_0 e^{-\lambda t} \\ &= \alpha_0 e^{-0.693t/T_{1/2}} \end{align*}\]

Uhusiano kati ya konstanti ya kuoza, nusu-maisha, na wastani wa muda wa kuishi

\[\begin{align*} T_{1/2}&=\frac {\ln 2}{\lambda} = \frac {0.693}{\lambda} \\ \\ \overline{t}&=\frac {1}{\lambda} \\ &=\frac {T_{1/2}}{0.693}=1.44T_{1/2} \end{align*}\]

Konstanti ya kuoza (Decay Constant)

• Uwezekano kwamba kiini fulani kitaharibika katika kila kitengo cha muda
• Konstanti isiyobadilika kulingana na muda, inayotegemea tu aina ya nuklidi
• Huonyeshwa kwa alama $\lambda$

Shughuli ya mionzi (Radioactivity)

Tukisema idadi ya viini ambavyo bado havijaharibika katika muda $t$ ni $n(t)$, basi kwa wastani viini $\lambda n(t)$ huharibika katika kipindi cha $dt$ kati ya muda $t$ na $t+dt$. Kiwango hiki cha kuoza huitwa shughuli ya mionzi (radioactivity) ya sampuli hiyo, na huonyeshwa kwa alama $\alpha$. Kwa hiyo, shughuli ya mionzi katika muda wowote $t$ ni kama ifuatavyo.

\[\alpha (t)=\lambda n(t) \tag{1}\]

Vipimo vya shughuli ya mionzi

Curie (Ci)

• Kipimo kilichotumika kijadi kabla ya kutumia kitengo cha becquerel
• Shughuli ya mionzi iliyomo katika 1 g ya radium-226
• Muozo wa viini $3.7\times 10^{10}$ kwa sekunde ($3.7\times 10^{10}\text{Bq}$)

Becquerel (Bq)

• Kitengo cha kiwango cha kimataifa (SI)
• Muozo 1 wa kiini kwa sekunde
• $1 \text{Bq} = 2.703\times 10^{-11}\text{Ci} = 27\text{pCi}$

Kukokotoa mabadiliko ya shughuli ya mionzi kadiri muda unavyopita

Kwa kuwa viini $\lambda n(t)$ huharibika katika muda $dt$, kiasi cha kupungua kwa viini vilivyosalia bila kuoza ndani ya sampuli katika muda huo $dt$ kinaweza kuandikwa kama ifuatavyo.

\[-dn(t)=\lambda n(t)dt\]

Tukifanya ujumuishaji hupatikana

\[n(t)=n_0e^{-\lambda t} \tag{2}\]

Tukizidisha pande zote mbili kwa $\lambda$, shughuli ya mionzi huwa

\[\alpha (t)=\alpha_0e^{-\lambda t} \tag{3}\]

Shughuli ya mionzi hupungua kwa nusu ndani ya nusu-maisha (half-life), hivyo

\[\alpha (T_{1/2})=\alpha_0/2\]

Tukiweka hili katika mlinganyo (3), tunapata

\[\alpha_0/2=\alpha_0e^{-\lambda T_{1/2}}\]

Tukichukua logaritimu ya pande zote mbili na kutatua kwa nusu-maisha $T_{1/2}$, tunapata

\[T_{1/2}=\frac {\ln 2}{\lambda}=\frac {0.693}{\lambda} \tag{4}\]

Tukitatua mlinganyo wa juu kwa $\lambda$ na kuuweka katika mlinganyo (3), tunapata

\[\alpha (t)=\alpha_0e^{-0.693t/T_{1/2}} \tag{5}\]

Mara nyingi mlinganyo (5) ni rahisi zaidi kutumia kuliko mlinganyo (3) katika hesabu za muozo wa mionzi, kwa sababu mara nyingi nusu-maisha hutolewa badala ya konstanti ya kuoza.

Wastani wa muda wa kuishi (mean-life) wa kiini cha mionzi, $\overline{t}$, ni kinyume cha konstanti ya kuoza.

\[\overline{t}=1/\lambda\]

Kutokana na mlinganyo (3), tunaweza kuona kwamba katika wastani wa muda mmoja wa kuishi, shughuli ya mionzi hushuka hadi $1/e$ ya thamani yake ya awali. Kutokana na mlinganyo (4), wastani wa muda wa kuishi na nusu-maisha vina uhusiano ufuatao.

\[\overline{t}=\frac {T_{1/2}}{0.693}=1.44T_{1/2} \tag{6}\]

※ Utoaji wa wastani wa muda wa kuishi $\overline{t}$

\[\begin{align*} \overline{t}&=\frac {\int_0^\infty t\alpha(t)}{\int_0^\infty t} = \frac {\int_0^\infty t\alpha(t)}{n_0} \\ &= \frac {\int_0^\infty n_0 \lambda te^{-\lambda t}}{n_0} \\ &= \int_0^\infty \lambda te^{-\lambda t} \\ &= \left[-te^{-\lambda t}\right]_0^\infty +\int_0^\infty e^{-\lambda t} \\ &=\left[-\frac {1}{\lambda} e^{-\lambda t}\right]_0^\infty \\ &=\frac {1}{\lambda} \end{align*}\]

Mfano: mnyororo wa muozo wa mionzi 1

Tuchukulie kwamba nuklidi fulani ya mionzi huzalishwa kwa kasi ya $R$ atom/s. Kiini hiki huanza kuoza kwa mionzi mara tu kinapozalishwa. Tafuta shughuli ya mionzi ya nuklidi hii katika muda wowote $t$.

flowchart LR
	Start[?] -- R --> A[Mtindo wa kihisabati]
	A -- α --> End[?]

1. Kuweka mtindo

\[\text{Kiwango cha mabadiliko ya nuklidi kwa muda} = \text{kiwango cha uzalishaji}-\text{kiwango cha upotevu}\]

Kwa alama za hisabati,

\[dn/dt = -\lambda n + R\]

2. Suluhisho la jumla

Tuhamishe viambajengo vyote vya $n$ kwenda upande wa kushoto, kisha tuzidishe pande zote mbili kwa $e^{\lambda t}$.

\[\frac {dn}{dt} + \lambda n = R\] \[e^{\lambda t}\frac {dn}{dt} + \lambda e^{\lambda t}n = Re^{\lambda t}\]

Kwa kuwa $\lambda e^{\lambda t}=\frac {d}{dt} e^{\lambda t}$, tunaweza kuandika

\[e^{\lambda t}\frac {dn}{dt}+\left(\frac {d}{dt} e^{\lambda t}\right)n = Re^{\lambda t}\]

Tukijumuisha pande zote mbili, tunapata suluhisho la jumla lifuatalo.

\[e^{\lambda t}n=\frac {R}{\lambda}e^{\lambda t}+c\] \[n=ce^{-\lambda t}+\frac {R}{\lambda}\]

3. Suluhisho maalum

Tuseme wakati $t=0$ idadi ya nuklidi hii ni $n_0$, na tutafute thamani ya konstanti $c$.

\[n(0)=c+\frac {R}{\lambda}=n_0\] \[c=n_0-\frac {R}{\lambda}\]

Kwa hiyo, suluhisho maalum linalolingana na hali iliyotolewa ni kama ifuatavyo.

\[n = n_0e^{-\lambda t}+\frac {R}{\lambda}(1-e^{-\lambda t}) \tag{7}\]

Tukizidisha pande zote mbili za mlinganyo huu kwa $\lambda$, tunaweza kupata shughuli ya mionzi ya nuklidi hii.

\[\alpha = \alpha_0e^{-\lambda t}+R(1-e^{-\lambda t}) \tag{8}\]

Yaani, wakati $t\to\infty$, hupatikana ukomo $\alpha_{\text{max}}=R$ na $n_{\text{max}}=R/\lambda$.

Mfano: mnyororo wa muozo wa mionzi 2

Katika mnyororo wa muozo ufuatao, kokotoa shughuli ya mionzi ya nuklidi B.

flowchart LR
	A --> B
	B --> C

1. Kuweka mtindo

\[\text{Kiwango cha mabadiliko ya idadi ya viini vya B}=\text{kiwango cha uzalishaji kutokana na muozo wa A}-\text{kiwango cha muozo wa B kwenda C}\] \[\frac {dn_B}{dt} = -\lambda_B n_B + \lambda_A n_A\]

Tukiweka mlinganyo (2) kwa $n_A$, tunapata mlinganyo tofautishi ufuatao wa $n_B$.

\[\frac {dn_B}{dt} = -\lambda_B n_B + \lambda_A n_{A0}e^{-\lambda_A t} \tag{9}\]

2. Suluhisho la jumla

Ili kutatua mlinganyo tofautishi, tuhame viambajengo vyote vya $n_B$ kwenda upande wa kushoto, kisha tuzidishe pande zote mbili kwa $e^{\lambda_B t}$.

\[\frac {dn_B}{dt} + \lambda_B n_B = n_{A0}\lambda_A e^{-\lambda_A t}\] \[e^{\lambda_B t}\frac {dn_B}{dt} + \lambda_B e^{\lambda_B t}n_B = n_{A0}\lambda_A e^{(\lambda_B-\lambda_A)t}\]

Kwa kuwa $\lambda_B e^{\lambda_B t}=\frac {d}{dt} e^{\lambda_b t}$, tunaweza kuandika

\[e^{\lambda_B t}\frac {dn_B}{dt} + \left(\frac {d}{dt} e^{\lambda_B t}\right)n_B = n_{A0}\lambda_A e^{(\lambda_B-\lambda_A)t}\]

Tukijumuisha pande zote mbili, tunapata

\[e^{\lambda_B t}n_B = \frac {n_{A0}\lambda_A}{\lambda_B-\lambda_A}e^{(\lambda_B-\lambda_A)t}+c\]

Tukigawanya pande zote mbili kwa $e^{\lambda_B t}$, tunapata suluhisho la jumla lifuatalo.

\[n_B = \frac {n_{A0}\lambda_A}{\lambda_B-\lambda_A}e^{-\lambda_A t}+ce^{-\lambda_B t}\]

3. Suluhisho maalum

Tuseme wakati $t=0$ idadi ya atomi za kipengele B ni $n_{B0}$, na tutafute thamani ya konstanti $c$.

\[n_B(0)=\frac {n_{A0}\lambda_A}{\lambda_B-\lambda_A}+c=n_{B0}\] \[c=n_{B0}-\frac{n_{A0}\lambda_A}{\lambda_B-\lambda_A}\]

Kwa hiyo, suluhisho maalum linalolingana na hali iliyotolewa ni kama ifuatavyo.

\[n_B = n_{B0}e^{-\lambda_B t} + \frac {n_{A0}\lambda_A}{\lambda_B - \lambda_A} (e^{-\lambda_A t} - e^{-\lambda_B t}) \tag{10}\] \[\therefore \alpha_B = \alpha_{B0} e^{-\lambda_B t} + \frac {\alpha_{A0}\lambda_A}{\lambda_B - \lambda_A} (e^{-\lambda_A t} - e^{-\lambda_B t}) \tag{11}\]