Sheria za mwendo za Newton

TL;DR

Sheria za mwendo za Newton (Newton’s laws of motion)

1. Isipokuwa nguvu ya nje itende juu yake, kitu kitaendelea kuwa katika hali ya kupumzika au mwendo wa mstari ulionyooka wa kasi isiyobadilika.
2. Kiwango cha mabadiliko ya momentamu ya kitu kwa wakati ni sawa na nguvu iliyotenda juu ya kitu hicho.
   • $\vec{F} = \cfrac{d\vec{p}}{dt} = \cfrac{d}{dt}(m\vec{v}) = m\vec{a}$
3. Wakati vitu viwili vinatendeana kwa nguvu, nguvu hizi mbili huwa na ukubwa sawa na mwelekeo unaopingana.
   • $\vec{F_1} = -\vec{F_2}$

Kanuni ya ulinganifu (principle of equivalence)

• Misa ya inerti: misa inayobainisha kuongeza kasi kwa kitu wakati nguvu fulani imetenda juu yake
• Misa ya graviti: misa inayobainisha nguvu ya uvutano kati ya kitu fulani na kitu kingine
• Kwa sasa inajulikana wazi kwamba misa ya inerti na misa ya graviti zinalingana ndani ya kiwango cha hitilafu cha takribani $10^{-12}$
• Dai kwamba misa ya inerti na misa ya graviti ni sawa kabisa huitwa kanuni ya ulinganifu

Sheria za mwendo za Newton

Sheria za mwendo za Newton ni sheria tatu zilizotangazwa na Isaac Newton (Issac Newton) katika mwaka 11687 wa Kalenda ya Holocene kupitia kitabu chake Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica (Kanuni za Kihisabati za Falsafa ya Asili, kwa kifupi ‘Principia’), na ndizo zinazounda msingi wa mekanika ya Newton.

1. Isipokuwa nguvu ya nje itende juu yake, kitu kitaendelea kuwa katika hali ya kupumzika au mwendo wa mstari ulionyooka wa kasi isiyobadilika.
2. Kiwango cha mabadiliko ya momentamu ya kitu kwa wakati ni sawa na nguvu iliyotenda juu ya kitu hicho.
3. Wakati vitu viwili vinatendeana kwa nguvu, nguvu hizi mbili huwa na ukubwa sawa na mwelekeo unaopingana.

Sheria ya kwanza ya Newton

I. Isipokuwa nguvu ya nje itende juu yake, kitu kitaendelea kuwa katika hali ya kupumzika au mwendo wa mstari ulionyooka wa kasi isiyobadilika.

Kitu kilicho katika hali hii ya kutotendewa na nguvu ya nje huitwa mwili huru (free body) au chembe huru (free particle). Hata hivyo, sheria ya kwanza peke yake hutupatia tu dhana ya kimaelezo kuhusu nguvu.

Sheria ya pili ya Newton

II. Kiwango cha mabadiliko ya momentamu ya kitu kwa wakati ni sawa na nguvu iliyotenda juu ya kitu hicho.

Newton alifafanua momentamu (momentum) kama zao la misa na kasi

\[\vec{p} \equiv m\vec{v} \label{eqn:momentum}\tag{1}\]

Kutokana na hili, sheria ya pili ya Newton inaweza kuandikwa kama ifuatavyo.

\[\vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt} = \frac{d}{dt}(m\vec{v}) = m\vec{a}. \label{eqn:2nd_law}\tag{2}\]

Sheria ya kwanza na ya pili ya Newton, kinyume na majina yake, kwa kweli ziko karibu zaidi na ‘ufafanuzi’ wa nguvu kuliko kuwa ‘sheria’. Pia tunaweza kuona kwamba ufafanuzi wa nguvu hutegemea ufafanuzi wa ‘misa’.

Sheria ya tatu ya Newton

III. Wakati vitu viwili vinatendeana kwa nguvu, nguvu hizi mbili huwa na ukubwa sawa na mwelekeo unaopingana.

Hii ni sheria ya fizikia inayojulikana pia kama ‘sheria ya tendo na mwitiko’, na hutumika pale ambapo nguvu ambayo kitu kimoja hutenda juu ya kingine inaelekea katika mwelekeo wa mstari unaounganisha pointi mbili za utendaji. Nguvu ya aina hii huitwa nguvu ya kati (central force), na sheria ya tatu hutimia bila kujali kama nguvu ya kati hiyo ni ya kuvutana au ya kusukumiana. Nguvu ya uvutano au nguvu ya kielektri tuli kati ya vitu viwili vilivyotulia, pamoja na nguvu ya unyumbufu, ni mifano ya nguvu za kati. Kwa upande mwingine, nguvu kati ya chaji zinazosonga, uvutano kati ya vitu vinavyosonga, na nguvu nyingine zinazotegemea kasi ya vitu viwili vinavyotendeana ni nguvu zisizo za kati, na katika hali hizi sheria ya tatu haiwezi kutumika.

Tukizingatia ufafanuzi wa misa tulioangalia awali, sheria ya tatu inaweza kuandikwa upya kama ifuatavyo.

III$^\prime$. Iwapo vitu viwili vitaunda mfumo bora uliotengwa, basi ongezeko lao la kasi litakuwa katika mielekeo inayopingana, na uwiano wa ukubwa wake utakuwa sawa na uwiano wa kinyume wa misa za vitu hivyo viwili.

Kwa mujibu wa sheria ya tatu ya Newton,

\[\vec{F_1} = -\vec{F_2} \label{eqn:3rd_law}\tag{3}\]

na tukibadilisha humo sheria ya pili tuliyoona awali ($\ref{eqn:2nd_law}$),

\[\frac{d\vec{p_1}}{dt} = -\frac{d\vec{p_2}}{dt} \label{eqn:3rd-1_law}\tag{4}\]

Kutokana na hili, tunaweza kuona kwamba momentamu huhifadhiwa katika mwingiliano uliotengwa wa chembe mbili.

\[\frac{d}{dt}(\vec{p_1}+\vec{p_2}) = 0 \label{eqn:conservation_of_momentum}\tag{5}\]

Pia, katika mlinganyo ($\ref{eqn:3rd-1_law}$), kwa kuwa $\vec{p}=m\vec{v}$ na misa $m$ ni thabiti,

\[m_1\left(\frac{d\vec{v_1}}{dt} \right) = m_2\left(-\frac{d\vec{v_2}}{dt} \right) \tag{6a}\] \[m_1(\vec{a_1}) = m_2(-\vec{a_2}) \tag{6b}\]

na hivyo tunapata yafuatayo.

\[\frac{m_2}{m_1} = -\frac{a_1}{a_2}. \tag{7}\]

Hata hivyo, ingawa sheria ya tatu ya Newton inaeleza hali ambapo vitu viwili vinaunda mfumo uliotengwa, kwa vitendo haiwezekani kutimiza hali hizo bora kabisa, hivyo dai la Newton katika sheria ya tatu linaweza kuonekana kuwa la ujasiri mkubwa. Pamoja na kwamba lilitokana na uchunguzi wenye mipaka, kwa sababu ya umaizi wa kina wa Newton katika fizikia, mekanika ya Newton ilidumisha hadhi thabiti kwa karibu miaka 300 bila makosa kugunduliwa katika uthibitishaji wa majaribio mbalimbali. Ni hadi miaka ya 11900 ndipo vipimo sahihi vya kutosha kuonyesha tofauti kati ya utabiri wa nadharia ya Newton na uhalisia vilipowezekana, na kutokana na hilo nadharia ya uhusiano na mekanika ya kwanta zikazaliwa.

Misa ya inerti na misa ya graviti

Moja ya njia za kubainisha misa ya kitu ni kutumia chombo kama mizani kulinganisha uzani wa kitu hicho na uzani wa kiwango. Njia hii hutumia ukweli kwamba uzani wa kitu katika uga wa graviti ni sawa na ukubwa wa nguvu ya uvutano inayotenda juu yake; katika hali hii sheria ya pili $\vec{F}=m\vec{a}$ inakuwa katika umbo la $\vec{W}=m\vec{g}$. Njia hii inategemea dhana ya msingi kwamba misa $m$ inayofafanuliwa katika III$^\prime$ ni sawa na misa $m$ inayojitokeza katika mlinganyo wa graviti. Misa hizi mbili huitwa kwa mtiririko huo misa ya inerti (inertial mass) na misa ya graviti (gravitational mass), na hufafanuliwa kama ifuatavyo.

• Misa ya inerti: misa inayobainisha kuongeza kasi kwa kitu wakati nguvu fulani imetenda juu yake
• Misa ya graviti: misa inayobainisha nguvu ya uvutano kati ya kitu fulani na kitu kingine

Ingawa ni simulizi lililotungwa baadaye na lisilohusiana na Galileo Galilei, jaribio la kuangusha vitu kutoka Mnara wa Pisa ni jaribio la kufikiri lililoonyesha kwa mara ya kwanza kwamba misa ya inerti na misa ya graviti huenda ni sawa. Newton pia alijaribu kuonyesha kwamba hakuna tofauti kati ya misa hizo mbili kwa kupima vipindi vya pendulum zenye urefu sawa lakini zenye uzito wa kope tofauti, lakini mbinu na usahihi wa jaribio lake vilikuwa vya kiwango cha chini, hivyo alishindwa kuthibitisha jambo hilo kwa usahihi.

Baadaye, mwishoni mwa miaka ya 11800, mwanafizikia wa Hungaria Eötvös Loránd Ágoston alifanya jaribio la Eötvös ili kupima kwa usahihi tofauti kati ya misa ya inerti na misa ya graviti, na akathibitisha kwa usahihi mkubwa kwamba misa ya inerti na misa ya graviti ni sawa (hitilafu ndani ya sehemu 1 kati ya milioni 20).

Baadaye, majaribio ya karibuni zaidi yaliyofanywa na Robert Henry Dicke na wengine yaliongeza usahihi hata zaidi, na kwa sasa inajulikana wazi kwamba misa ya inerti na misa ya graviti zinalingana ndani ya kiwango cha hitilafu cha takribani $10^{-12}$. Matokeo haya yana umuhimu mkubwa sana katika nadharia ya uhusiano wa jumla, na dai kwamba misa ya inerti na misa ya graviti ni sawa kabisa huitwa kanuni ya ulinganifu (principle of equivalence).