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points
80 5.0
81 5.0
...
99 44.0
100 80.0
Name: price, Length: 21, dtype: float64
以 points 欄把 reviews 分組 對各組選取 price 欄 回傳最小值為序列 也可以同時以多個欄位分組。若要挑出各「國家 × 省」中評分最高的葡萄酒資料：
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reviews . groupby ([ ' country ' , ' province ' ]). apply ( lambda df : df . loc [ df . points . idxmax ()])
另一個值得知道的 DataFrameGroupBy 物件方法是 agg()
可傳入的引數包括：
函式 函式名稱字串 函式或函式名稱的列表 字典（鍵為軸標籤、值為要套用於該軸的函式或函式列表） 其中函式必須
以上為補充說明，原 Kaggle 課程未詳述，據 pandas 官方文件增補。
例如計算各國價格的統計量：
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reviews . groupby ([ ' country ' ]). price . agg ([ len , min , max ])
這裡的 len 指的是 Python 內建函式 len()country 分）之價格（price）資料筆數，且會包含缺失值 。因它能以資料框或序列為輸入，故可直接使用。
pandas 提供的 count()只計數非缺失值 ，行為不同。
以上為補充說明，原 Kaggle 課程未詳述，據 Python 與 pandas 官方文件增補。
多重索引 使用 groupby() 進行加工分析時，常會得到具有多層級、多標籤的多重索引資料框。
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countries_reviewed = reviews . groupby ([ ' country ' , ' province ' ]). description . agg ([ len ])
countries_reviewed
len Country province Argentina Mendoza Province 3264 Other 536 ... ... ... Uruguay San Jose 3 Uruguay 24
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mi = countries_reviewed . index
type ( mi )
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pandas.core.indexes.multi.MultiIndex
多重索引具備一些單層索引沒有、用來處理層級結構的便利方法。更完整的使用方式與指引可見 pandas 使用者指南的 MultiIndex / advanced indexing 章節 。
不過，最常用的大概是把它還原成一般索引的 reset_index()
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countries_reviewed . reset_index ()
country province len 0 Argentina Mendoza Province 3264 1 Argentina Other 536 … … … … 423 Uruguay San Jose 3 424 Uruguay Uruguay 24
排序 回頭看我們一直用的 countries_reviewed，會發現分組後的結果是依索引順序回傳。也就是說，groupby 結果的列順序由索引值決定，而非資料內容。
需要其他排序方式時，可用 sort_values()
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countries_reviewed = countries_reviewed . reset_index ()
countries_reviewed . sort_values ( by = ' len ' )
country province len 179 Greece Muscat of Kefallonian 1 192 Greece Sterea Ellada 1 … … … … 415 US Washington 8639 392 US California 36247
sort_values() 預設為遞增（由小到大），若加上選項即可改為遞減：
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countries_reviewed . sort_values ( by = ' len ' , ascending = False )
country province len 392 US California 36247 415 US Washington 8639 … … … … 63 Chile Coelemu 1 149 Greece Beotia 1
若要依索引排序則使用 sort_index()sort_values() 相同，用法一致。
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countries_reviewed . sort_index ()
country province len 0 Argentina Mendoza Province 3264 1 Argentina Other 536 … … … … 423 Uruguay San Jose 3 424 Uruguay Uruguay 24
最後，也可以一次以多個欄位作為排序鍵：
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countries_reviewed . sort_values ( by = [ ' country ' , ' len ' ])
Lesson 5. Data Types and Missing Values 真實世界的資料很少一開始就乾淨齊整，更多時候是欄位型別需轉換、或夾雜缺失值而必須適當處理。資料加工分析時，最大的難關往往就在這一步。
資料型別 資料框某欄（或序列）的型別稱為該欄的 dtype。可以由 dtype 屬性檢視資料框特定欄位的型別。以下例子檢視 reviews 的 price 欄之 dtype：
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reviews . price . dtype
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dtype('float64')
或以 dtypes 屬性一次性檢視整個資料框所有欄位的 dtype：
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reviews . dtypes
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country object
description object
...
variety object
winery object
Length: 13, dtype: object
dtype 表示 pandas 內部如何存放資料。例如 float64 表 64 位元浮點數，int64 表 64 位元整數。
一個特別之處是，純字串欄位不具獨立型別，而被視作物件（object）。
使用 astype()int64 的 points 欄轉成 float64：
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reviews . points . astype ( ' float64 ' )
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0 87.0
1 87.0
...
129969 90.0
129970 90.0
Name: points, Length: 129971, dtype: float64
資料框或序列的索引同樣具有型別：
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reviews . index . dtype
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dtype('int64')
此外，pandas 也支援外部型別，例如類別型（categorical）或時間序列型（datetime 等）。
缺失值 沒有值、空白的項目會被指定為 NaN（“Not a Number”的縮寫）。基於技術原因，NaN 總是 float64 型別。
pandas 內建多個處理缺失值的函式。之前也稍微看過類似的內容 ：除了方法之外，pandas 也提供獨立函式 pd.isnapd.notna
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reviews [ pd . isna ( reviews . country )]
通常我們要先檢查是否存在缺失值，若有則採取適當補值策略。策略很多，其中 fillna()reviews 的 region_2 欄內所有 NaN 改成 "Unknown"：
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reviews . region_2 . fillna ( " Unknown " )
或者，遇缺失值時以前一個或後一個最近的有效值填補（forward fill / backward fill），可分別用 ffill()bfill()
過去也能在 fillna() 中以 method 參數傳入 'ffill'、'bfill' 字串；但自 pandas 2.1.0 起該作法已被標註為 deprecated，不再建議使用，請改用情境合適的 ffill() 或 bfill() 方法。
另外，有時即便不是缺失值，也可能需要把特定值整批替換成另一值。原 Kaggle 課程用的是某位評論者的 Twitter handle 更名為例。為了更貼近日常情境，我們改用另一個想像案例：
韓國將京畿道北部劃設為新的行政區，命名為京畿北道 ，並據此更新資料集。此時若有人突發奇想要把京畿北道 這個好好的名稱改成平和之路特別自治道 ，而且還真的推行了——雖說是假設，但想想差點可能成真的情況也確實令人心驚。那麼我們就得把既有資料集中的 "Gyeonggibuk-do" 全部替換成新的值，如 "Pyeonghwanuri State" 或 "Pyeonghwanuri Special Self-Governing Province"。在 pandas 中可用 replace()
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rok_2030_census . province . replace ( " Gyeonggibuk-do " , " Pyeonghwanuri Special Self-Governing Province " )
用上面的範例，便能把 rok_2030_census 資料集 province 欄內的所有 "Gyeonggibuk-do" 一口氣換成那個「很長的名字」。想到現實裡並沒有真的有人必須跑這段程式，仍不禁鬆一口氣。
這類字串替換在缺失值處理與資料清理時也很常見，因為缺失有時不是 NaN，而是以 "Unknown"、"Undisclosed"、"Invalid" 等字串出現。在將舊公文或表單 OCR 成資料集等現實任務中，反而經常會遇見。
Lesson 6. Renaming and Combining 有時需要更改資料集中特定欄或索引的名稱；也常需要把多個資料框或序列結合起來。
重新命名 使用 rename()rename() 支援多種輸入形式，最常見也最方便的是使用 Python 字典。以下在 reviews 中把 points 欄改名為 score，並把索引值 0、1 改為 firstEntry、secondEntry：
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reviews . rename ( columns = { ' points ' : ' score ' })
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reviews . rename ( index = { 0 : ' firstEntry ' , 1 : ' secondEntry ' })
實務上比較常改的是欄名，較少改索引值名稱。且若是為此目的，如先前所見 通常用 set_index()
列索引與欄索引本身也有 name 屬性；使用 rename_axis() 可更改軸名稱。例如將列索引命名為 wines、欄軸命名為 fields：
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reviews . rename_axis ( " wines " , axis = ' index ' ). rename_axis ( " fields " , axis = ' columns ' )
合併資料集 有時需要把資料框與資料框、或序列與序列合併。pandas 提供三個核心工具，按由簡到繁依序是 concat()join()merge()merge() 能做的大多數事，通常用 join() 更簡單，因此重點放在前兩者。
concat() 最單純：把多個資料框或序列沿某個軸直接接起來。當待合併的資料框（或序列）擁有相同欄位時特別好用。預設沿索引軸拼接；指定 axis=1 或 axis='columns' 則沿欄軸拼接。
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>>> s1 = pd . Series ([ ' a ' , ' b ' ])
>>> s2 = pd . Series ([ ' c ' , ' d ' ])
>>> pd . concat ([ s1 , s2 ])
0 a
1 b
0 c
1 d
dtype : object
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>>> df1 = pd . DataFrame ([[ ' a ' , 1 ], [ ' b ' , 2 ]],
... columns = [ ' letter ' , ' number ' ])
>>> df1
letter number
0 a 1
1 b 2
>>> df2 = pd . DataFrame ([[ ' c ' , 3 ], [ ' d ' , 4 ]],
... columns = [ ' letter ' , ' number ' ])
>>> df2
letter number
0 c 3
1 d 4
>>> pd . concat ([ df1 , df2 ])
letter number
0 a 1
1 b 2
0 c 3
1 d 4
>>> df4 = pd . DataFrame ([[ ' bird ' , ' polly ' ], [ ' monkey ' , ' george ' ]],
... columns = [ ' animal ' , ' name ' ])
>>> df4
animal name
0 bird polly
1 monkey george
>>> pd . concat ([ df1 , df4 ], axis = 1 )
letter number animal name
0 a 1 bird polly
1 b 2 monkey george
依官方文件 ，若要把多筆列合成單一資料框，不建議在迴圈中逐列追加；應先把要合併的列收成列表，再用一次 concat() 合併。
join() 較複雜一些：它會依索引，把另一個資料框接到第一個資料框上。若雙方有重名欄位，須分別用 lsuffix 與 rsuffix 指定左右兩邊欄名要加上的後綴，避免衝突。
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>>> df = pd . DataFrame ({ ' key ' : [ ' K0 ' , ' K1 ' , ' K2 ' , ' K3 ' , ' K4 ' , ' K5 ' ],
... ' A ' : [ ' A0 ' , ' A1 ' , ' A2 ' , ' A3 ' , ' A4 ' , ' A5 ' ]})
>>> df
key A
0 K0 A0
1 K1 A1
2 K2 A2
3 K3 A3
4 K4 A4
5 K5 A5
>>> other = pd . DataFrame ({ ' key ' : [ ' K0 ' , ' K1 ' , ' K2 ' ],
... ' B ' : [ ' B0 ' , ' B1 ' , ' B2 ' ]})
>>> other
key B
0 K0 B0
1 K1 B1
2 K2 B2
>>> df . join ( other , lsuffix = ' _caller ' , rsuffix = ' _other ' )
key_caller A key_other B
0 K0 A0 K0 B0
1 K1 A1 K1 B1
2 K2 A2 K2 B2
3 K3 A3 NaN NaN
4 K4 A4 NaN NaN
5 K5 A5 NaN NaN
網頁效能指標（Web Vitals） 2025-08-05T00:00:00+09:00 2025-08-28T18:22:07+09:00 https://www.yunseo.kim/zh-TW/posts/about-web-vitals/ Yunseo Kim 整理網頁效能指標（Web Vitals）與 Lighthouse 的量測與評分標準，並說明各指標的意義與最佳化方向，助你提升實際使用者體驗與 SEO。 整理網頁效能指標（Web Vitals）與 Lighthouse 的量測與評分標準，並說明各指標的意義與最佳化方向，助你提升實際使用者體驗與 SEO。* Mathematical equations and diagrams included in posts may not display properly when viewed with a feed reader.
決定網頁效能的要素 在進行網頁效能最佳化時，影響效能的要素大致可分為「載入效能」與「渲染效能」兩類。
HTML 載入效能 透過網路向伺服器發出初次頁面請求後，接收 HTML 文件並由瀏覽器開始繪製前的時間 決定頁面多快開始出現可見內容 透過最小化重新導向、快取 HTML 回應、壓縮資源、妥善運用 CDN 等方式最佳化 渲染效能 瀏覽器把使用者看到的畫面繪製出來並變得可互動所需的時間 決定畫面繪製的流暢度與速度 移除不必要的 CSS 與 JS、避免延遲載入字型與縮圖、將沉重計算分離到獨立的 Web Worker 以降低主執行緒（main thread）占用、最佳化動畫等方式進行最佳化 網頁效能指標（Web Vitals） 以下以 Google 的 web.dev 與 Chrome 開發人員文件 為基準進行說明。除非有特殊理由，不要只聚焦於單一指標，而應以整體改善為目標；找出欲最佳化之頁面中的效能瓶頸所在至關重要。此外，若有實際使用者資料，與其參考前段或平均值，不如關注約略第 1 四分位數（Q1）的低段值，並確認在這些情況下也能達到目標基準再行改善。
核心網頁生命力（Core Web Vitals） 稍後會介紹 Web Vitals 中的多個指標；其中與使用者體驗最為密切、且可於真實環境量測的三項指標，Google 特別重視，稱為核心網頁生命力（Core Web Vitals） 。由於 Google 也會在自家搜尋引擎的排名中納入目標網站的核心網頁生命力，對站點經營者而言，這些指標在搜尋引擎最佳化（SEO）上亦須特別留意。
核心網頁生命力基本上是為真實環境量測而設計，但除了 INP 外，其餘兩者也能在 Chrome 開發人員工具或 Lighthouse 等模擬環境中量測。INP 需要真實使用者輸入才可量測，故無法於模擬環境取得；此時可改參考與 INP 高度相關且類似的指標 TBT ，通常改善 TBT 也會同時改善 INP 。
Lighthouse 10 的效能分數權重 Lighthouse 的效能分數是各量測項目分數的加權平均，權重如下表所示 。
FCP（首次內容繪製, First Contentful Paint） 量測自頁面請求後，至首次繪製 DOM 內容的時間 影像、非白色的 <canvas> 元素、SVG 等皆視為 DOM 內容，但不包含 iframe 內的內容 影響 FCP 的重要因素之一是字型載入時間。關於此處的最佳化，Chrome 開發人員文件 建議參考相關文章 。
Lighthouse 評分基準 依Chrome 開發人員文件 ，Lighthouse 的評分基準如下。
顏色等級 行動版 FCP（秒） 桌面版 FCP（秒） 綠色（快） 0-1.8 0-0.9 橘色（中等） 1.8-3 0.9-1.6 紅色（慢） 大於 3 大於 1.6
LCP（最大內容繪製, Largest Contentful Paint） 以首次開啟網頁時畫面最先可見的視窗（viewport）為基準，量測該區域內面積最大之元素（圖片、文字區塊、影片等）完成繪製所需時間 元素在畫面上佔用面積越大，越可能被使用者視為主要內容 若 LCP 是圖片，可將耗時區分為四個子階段，找出瓶頸所在相當重要首位元組時間（TTFB, Time to First Byte）：自頁面載入開始至收到 HTML 回應的第一個位元組的時間 載入延遲（Load delay）：瀏覽器開始載入 LCP 資源的時間與 TTFB 之間的差 載入時間（Load time）：載入 LCP 資源本身所需的時間 繪製延遲（Render delay）：自完成載入 LCP 資源至將 LCP 元素完全繪製完成所需的時間 Lighthouse 評分基準 依Chrome 開發人員文件 ，Lighthouse 的評分基準如下。
顏色等級 行動版 LCP（秒） 桌面版 LCP（秒） 綠色（快） 0-2.5 0-1.2 橘色（中等） 2.5-4 1.2-2.4 紅色（慢） 大於 4 大於 2.4
TBT（總封鎖時間, Total Blocking Time） * TTI 本身對於網路回應離群值與長任務過於敏感，導致一致性不足且變異大，因此自 Lighthouse 10 起已從評分項目中移除 。
造成長任務的最常見原因，多半是不必要或低效率的 JavaScript 載入、剖析與執行。Chrome 開發人員文件 與 Google 的 web.dev 建議運用程式碼分割（code splitting） 以降低 JavaScript 負載，使每段能在 50ms 內執行；必要時可分離到非主執行緒、或獨立的 Service Worker 以多執行緒方式執行。
Lighthouse 評分基準 依Chrome 開發人員文件 ，Lighthouse 的評分基準如下。
顏色等級 行動版 TBT（毫秒） 桌面版 TBT（毫秒） 綠色（快） 0-200 0-150 橘色（中等） 200-600 150-350 紅色（慢） 大於 600 大於 350
CLS（累積版面位移, Cumulative Layout Shift） link to the video file instead. 突發版面變動的範例
影片來源：Cumulative Layout Shift (CLS) | Articles | web.dev
從游標的動作中感受到滿滿的憤怒
出乎意料的版面變動會讓文字突然移位、造成閱讀斷點，或誤點連結與按鈕等，多種方式傷害使用者體驗 CLS 分數的具體計算方式已記載於 Google 的 web.dev 如下圖所示，應以 0.1 以下為目標
圖片來源：Cumulative Layout Shift (CLS) | Articles | web.dev
SI（速度指數, Speed Index） 先前整理 FCP 、LCP 、TBT 時提到的作法在內，只要能提升頁面載入速度，通常也會正向影響 SI 分數。此指標較偏向反映整體載入過程，而非代表載入中的某個單一步驟。
Lighthouse 評分基準 依Chrome 開發人員文件 ，Lighthouse 的評分基準如下。
顏色等級 行動版 SI（秒） 桌面版 SI（秒） 綠色（快） 0-3.4 0-1.3 橘色（中等） 3.4-5.8 1.3-2.3 紅色（慢） 大於 5.8 大於 2.3
]]> 重力場與重力位勢 2025-05-17T00:00:00+09:00 2025-11-03T20:50:45+09:00 https://www.yunseo.kim/zh-TW/posts/gravitational-field-and-potential/ Yunseo Kim 根據牛頓萬有引力定律了解重力場向量與重力位勢的定義，並以殼層定理和星系旋轉曲線這兩個重要例題來探討相關內容。 根據牛頓萬有引力定律了解重力場向量與重力位勢的定義，並以殼層定理和星系旋轉曲線這兩個重要例題來探討相關內容。* Mathematical equations and diagrams included in posts may not display properly when viewed with a feed reader.
TL;DR 牛頓萬有引力定律：$\mathbf{F} = -G\cfrac{mM}{r^2}\mathbf{e}_r$ 連續質量分布且具有大小的物體情況：$\mathbf{F} = -Gm\int_V \cfrac{dM}{r^2}\mathbf{e}_r = -Gm\int_V \cfrac{\rho(\mathbf{r^\prime})\mathbf{e}_r}{r^2} dv^{\prime}$$\rho(\mathbf{r^{\prime}})$：從任意原點到位置向量 $\mathbf{r^{\prime}}$ 處的質量密度 $dv^{\prime}$：從任意原點到位置向量 $\mathbf{r^{\prime}}$ 處的體積元素 重力場向量（gravitational field vector） ：表示質量 $M$ 的物體所產生的場中，某一粒子每單位質量所受的力的向量 $\mathbf{g} = \cfrac{\mathbf{F}}{m} = - G \cfrac{M}{r^2}\mathbf{e}_r = - G \int_V \cfrac{\rho(\mathbf{r^\prime})\mathbf{e}_r}{r^2}dv^\prime$ 具有每單位質量的力 或加速度 的量綱 重力位勢（gravitational potential） ：$\mathbf{g} \equiv -\nabla \Phi$ 具有（每單位質量的力 ）×（距離 ）或每單位質量的能量 的量綱 $\Phi = -G\cfrac{M}{r}$ 重力位勢只有相對差值才有意義，特定值本身沒有意義 通常設定 $r \to \infty$ 時 $\Phi \to 0$ 的條件來消除不確定性（ambiguity） $U = m\Phi, \quad \mathbf{F} = -\nabla U$ 球殼內部與外部的重力位勢（殼層定理） $R>a$ 時：$\Phi(R>a) = -\cfrac{GM}{R}$ 計算物質球對稱分布（spherical symmetric distribution）對外部某點的重力位勢時，可將該物體視為質點（point mass）來計算 $R<b$ 時：$\Phi(R<b) = -2\pi\rho G(a^2 - b^2)$ 在球對稱質量殼層內，重力位勢與位置無關且為常數，作用的重力為 $0$ $b<R<a$ 時：$\Phi(b<R<a) = -4\pi\rho G \left( \cfrac{a^2}{2} - \cfrac{b^3}{3R} - \cfrac{R^2}{6} \right)$ 重力場 牛頓萬有引力定律 牛頓在 11666 HE 之前就已經系統化了萬有引力定律並進行了數值驗證。儘管如此，直到 11687 HE 才在著作《原理》（Principia ）中發表他的結果，又花了 20 年的時間，原因是無法證明將地球和月球假設為沒有大小的質點（point mass）進行計算的合理性。幸運的是，使用牛頓後來發明的微積分學，我們可以比當時的牛頓更容易地證明這個問題 。
根據牛頓萬有引力定律（Newton’s law of universal gravitation），每個質量粒子都會吸引宇宙中的其他所有粒子，該力與兩個質量的乘積成正比，與它們之間距離的平方成反比。 數學表示如下：
\[\mathbf{F} = -G\frac{mM}{r^2}\mathbf{e}_r \label{eqn:law_of_gravitation}\tag{1}\]
圖片來源
單位向量 $\mathbf{e}_r$ 指向從 $M$ 到 $m$ 的方向，負號表示力為引力。也就是說，$m$ 被拉向 $M$。
卡文迪許實驗 這個定律的實驗驗證和 $G$ 值的測定是在 11798 HE 由英國物理學家亨利·卡文迪許（Henry Cavendish）完成的。卡文迪許實驗使用扭轉天平，該天平由固定在輕桿兩端的兩個小球組成。這兩個球分別被附近的另外兩個大球吸引。目前得到的官方 $G$ 值為 $6.673 \pm 0.010 \times 10^{-11} \mathrm{N\cdot m^2/kg^2}$。
儘管 $G$ 是最早為人所知的基本常數，但其精確度（precision）卻比 $e$、$c$、$\hbar$ 等大多數其他基本常數要低。即使在今天，仍有許多研究試圖以更高的精確度測定 $G$ 值。
具有大小的物體情況 式 ($\ref{eqn:law_of_gravitation}$) 的定律嚴格來說只能適用於點粒子（point particle） 。如果其中一方或雙方都是具有某種大小的物體，則需要額外假設重力場（gravitational force field）是線性場（linear field） 來計算力。也就是說，假設質量為 $m$ 的一個粒子從其他多個粒子受到的總重力可以通過各個力的向量相加來求得。對於物質連續分布的物體，將求和改為如下積分：
\[\mathbf{F} = -Gm\int_V \frac{dM}{r^2}\mathbf{e}_r = -Gm\int_V \frac{\rho(\mathbf{r^\prime})\mathbf{e}_r}{r^2} dv^{\prime} \label{eqn:integral_form}\tag{2}\]$\rho(\mathbf{r^{\prime}})$：從任意原點到位置向量 $\mathbf{r^{\prime}}$ 處的質量密度 $dv^{\prime}$：從任意原點到位置向量 $\mathbf{r^{\prime}}$ 處的體積元素 如果質量 $M$ 的物體和質量 $m$ 的物體都具有大小，要求得總重力時還需要對 $m$ 進行第二次體積積分。
重力場向量 重力場向量（gravitational field vector） $\mathbf{g}$ 定義為質量 $M$ 的物體所產生的場中，某一粒子每單位質量所受的力的向量：
\[\mathbf{g} = \frac{\mathbf{F}}{m} = - G \frac{M}{r^2}\mathbf{e}_r \label{eqn:g_vector}\tag{3}\]或
\[\boxed{\mathbf{g} = - G \int_V \frac{\rho(\mathbf{r^\prime})\mathbf{e}_r}{r^2}dv^\prime} \tag{4}\]這裡 $\mathbf{e}_r$ 的方向隨 $\mathbf{r^\prime}$ 而變化。
這個量 $\mathbf{g}$ 具有每單位質量的力 或加速度 的量綱。地球表面附近的重力場向量 $\mathbf{g}$ 的大小就是我們稱為重力加速度常數（gravitational acceleration constant） 的量，$|\mathbf{g}| \approx 9.80\mathrm{m/s^2}$。
重力位勢 定義 重力場向量 $\mathbf{g}$ 以 $1/r^2$ 變化，因此滿足表示為某個標量函數（位勢）梯度（gradient）的條件（$\nabla \times \mathbf{g} \equiv 0$）。所以可以寫成：
\[\mathbf{g} \equiv -\nabla \Phi \label{eqn:gradient_phi}\tag{5}\]這裡 $\Phi$ 稱為重力位勢（gravitational potential） ，具有（每單位質量的力 ）×（距離 ）或每單位質量的能量 的量綱。
由於 $\mathbf{g}$ 只依賴於半徑，$\Phi$ 也隨 $r$ 變化。從式 ($\ref{eqn:g_vector}$) 和 ($\ref{eqn:gradient_phi}$) 得到：
\[\nabla\Phi = \frac{d\Phi}{dr}\mathbf{e}_r = G\frac{M}{r^2}\mathbf{e}_r\]積分後得到：
\[\boxed{\Phi = -G\frac{M}{r}} \label{eqn:g_potential}\tag{6}\]由於重力位勢只有相對差值才有意義，絕對值的大小沒有意義，所以可以省略積分常數。通常設定 $r \to \infty$ 時 $\Phi \to 0$ 的條件來消除不確定性（ambiguity），式 ($\ref{eqn:g_potential}$) 也滿足這個條件。
物質連續分布時的重力位勢如下：
\[\Phi = -G\int_V \frac{\rho(\mathbf{r\prime})}{r}dv^\prime \label{eqn:g_potential_v}\tag{7}\]質量在薄殼表面分布時：
\[\Phi = -G\int_S \frac{\rho_s}{r}da^\prime. \label{eqn:g_potential_s}\tag{8}\]線密度為 $\rho_l$ 的線性質量源情況下可以寫成：
\[\Phi = -G\int_\Gamma \frac{\rho_l}{r}ds^\prime. \label{eqn:g_potential_l}\tag{9}\]物理意義 考慮物體在重力場中移動 $d\mathbf{r}$ 時該物體所做的每單位質量的功 $dW^\prime$：
\[\begin{align*} dW^\prime &= -\mathbf{g}\cdot d\mathbf{r} = (\nabla \Phi)\cdot d\mathbf{r} \\ &= \sum_i \frac{\partial \Phi}{\partial x_i}dx_i = d\Phi \label{eqn:work}\tag{10} \end{align*}\]在這個式子中，$\Phi$ 只是位置坐標的函數，表示為 $\Phi=\Phi(x_1, x_2, x_3) = \Phi(x_i)$。因此可以知道，在重力場中將物體從某一點移動到另一點時該物體所做的每單位質量的功等於這兩點的位勢差。
如果將無限遠處的重力位勢定義為 $0$，則任意點的 $\Phi$ 可以解釋為將該物體從無限遠處移動到該點所需的每單位質量的功。物體的位勢能等於該物體的質量與重力位勢 $\Phi$ 的乘積，所以設 $U$ 為位勢能時：
\[U = m\Phi. \label{eqn:potential_e}\tag{11}\]因此，物體受到的重力是該物體位勢能的梯度加上負號得到的：
\[\mathbf{F} = -\nabla U \label{eqn:force_and_potential}\tag{12}\]當物體處於某個質量產生的重力場中時，總是會產生某種位勢能。這個位勢能嚴格來說存在於場本身，但習慣上表達為該物體的位勢能。
例題：球殼內部與外部的重力位勢（殼層定理） 座標設定與用積分式表示重力位勢 求內半徑為 $b$、外半徑為 $a$ 的均勻球殼（spherical shell）內部和外部的重力位勢。球殼產生的重力也可以通過直接計算場中單位質量受到的力分量來得到，但使用位勢方法更簡單。
在上圖中計算距離中心 $R$ 的 $P$ 點的位勢。假設殼層的均勻質量分布，則 $\rho(r^\prime)=\rho$，且相對於連接球心和點 $P$ 的線，對方位角 $\phi$ 對稱，所以：
\[\begin{align*} \Phi &= -G\int_V \frac{\rho(r^\prime)}{r}dv^\prime \\ &= -\rho G \int_0^{2\pi} \int_0^\pi \int_b^a \frac{1}{r}(dr^\prime)(r^\prime d\theta)(r^\prime \sin\theta\, d\phi) \\ &= -\rho G \int_0^{2\pi} d\phi \int_b^a {r^\prime}^2 dr^\prime \int_0^\pi \frac{\sin\theta}{r}d\theta \\ &= -2\pi\rho G \int_b^a {r^\prime}^2 dr^\prime \int_0^\pi \frac{\sin\theta}{r}d\theta. \label{eqn:spherical_shell_1}\tag{13} \end{align*}\]根據餘弦定律：
\[r^2 = {r^\prime}^2 + R^2 - 2r^\prime R \cos\theta \label{eqn:law_of_cosines}\tag{14}\]由於 $R$ 是常數，對 $r^\prime$ 微分這個式子得到：
\[2rdr = 2r^\prime R \sin\theta d\theta\] \[\frac{\sin\theta}{r}d\theta = \frac{dr}{r^\prime R} \tag{15}\]將此代入式 ($\ref{eqn:spherical_shell_1}$) 得到：
\[\Phi = -\frac{2\pi\rho G}{R} \int_b^a r^\prime dr^\prime \int_{r_\mathrm{min}}^{r_\mathrm{max}} dr. \label{eqn:spherical_shell_2}\tag{16}\]這裡 $r_\mathrm{max}$ 和 $r_\mathrm{min}$ 根據點 $P$ 的位置確定。
$R>a$ 時 \[\begin{align*} \Phi(R>a) &= -\frac{2\pi\rho G}{R} \int_b^a r^\prime dr^\prime \int_{R-r^\prime}^{R+r^\prime} dr \\ &= - \frac{4\pi\rho G}{R} \int_b^a {r^\prime}^2 dr^\prime \\ &= - \frac{4}{3}\frac{\pi\rho G}{R}(a^3 - b^3). \label{eqn:spherical_shell_outside_1}\tag{17} \end{align*}\]球殼的質量 $M$ 為：
\[M = \frac{4}{3}\pi\rho(a^3 - b^3) \label{eqn:mass_of_shell}\tag{18}\]所以位勢為：
\[\boxed{\Phi(R>a) = -\frac{GM}{R}} \label{eqn:spherical_shell_outside_2}\tag{19}\]比較質量為 $M$ 的質點產生的重力位勢式 ($\ref{eqn:g_potential}$) 和剛得到的結果 ($\ref{eqn:spherical_shell_outside_2}$)，可以發現它們相同。這意味著，計算物質球對稱分布（spherical symmetric distribution）對外部某點的重力位勢時，可以認為所有質量都集中在中心。地球或月球等一定大小以上的球形天體大多屬於這種情況，它們可以視為像俄羅斯套娃 一樣，由無數個同心但直徑不同的球殼重疊而成。這就是本文開頭提到的將地球或月球等天體假設為沒有大小的質點進行計算也是合理的根據 。
$R<b$ 時 \[\begin{align*} \Phi(R<b) &= -\frac{2\pi\rho G}{R} \int_b^a r^\prime dr^\prime \int_{r^\prime - R}^{r^\prime + R}dr \\ &= -4\pi\rho G \int_b^a r^\prime dr^\prime \\ &= -2\pi\rho G(a^2 - b^2). \label{eqn:spherical_shell_inside}\tag{20} \end{align*}\]在球對稱質量殼層內，重力位勢與位置無關且為常數，作用的重力為 $0$。
這也是代表性偽科學之一「地球空洞說」是胡說八道的主要根據。如果像地球空洞說主張的那樣，地球是球殼形狀且內部是空的，那麼對於該空洞內部的所有物體，地球重力都不會作用。考慮到地球的質量和體積，地球空洞不可能存在，即使存在，那裡的生命體也不會以球殼內側為地面生活，而是像太空站一樣處於無重力狀態漂浮著。地下數公里深的地層深處可能有微生物生存 ，但至少不可能像地球空洞說主張的那種形式。我也很喜歡儒勒·凡爾納的小說《地心遊記》（Voyage au centre de la Terre）和電影《地心歷險記》（Journey to the Center of the Earth），但創作作品就應該當作創作作品來欣賞，不要認真相信。
$b<R<a$ 時 \[\begin{align*} \Phi(b<R<a) &= -\frac{4\pi\rho G}{3R}(R^3 - b^3) - 2\pi\rho G(a^2 - R^2) \\ &= -4\pi\rho G \left( \frac{a^2}{2} - \frac{b^3}{3R} - \frac{R^2}{6} \right) \label{eqn:within_spherical_shell}\tag{21} \end{align*}\]結果 將前面求得的三個區域的重力位勢 $\Phi$ 以及相應的重力場向量大小 $|\mathbf{g}|$ 作為距離 $R$ 的函數用圖表示如下：
可以看出重力位勢和重力場向量的大小是連續的。如果重力位勢在某點不連續，那麼該點的位勢梯度，即重力的大小會變成無限大，這在物理上是不合理的，所以位勢函數在所有點都必須連續。但是重力場向量的微分係數 在殼層的內表面和外表面處不連續。
例題：星系旋轉曲線 根據天文觀測，在我們銀河系或仙女座星系等圍繞中心旋轉的許多螺旋星系中，可觀測質量大多集中分布在中心部附近。然而，這些螺旋星系中質量的軌道速度如下圖所示，與從可觀測質量分布理論預測的值有很大差異，在一定距離以上幾乎保持恆定。
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影片來源
先前嵌入於本頁的圖檔 Rotation curve of spiral galaxy Messier 33 (Triangulum).png，因被判定為維基媒體用戶 Mario De Leo 未適當引用而抄襲維吉尼亞大學 Mark Whittle 教授 之非自由著作的衍生作品，已自維基共享資源刪除 ，因此本頁亦已將其移除，特此說明。
讓我們預測星系質量集中在中心部時隨距離變化的軌道速度，確認該預測值與這種觀測結果不一致，並證明只有當星系中心距離 $R$ 內分布的質量 $M(R)$ 與 $R$ 成正比時才能解釋觀測結果。
首先，當星系質量 $M$ 集中在中心部時，距離 $R$ 處的軌道速度如下：
\[\frac{GMm}{R^2} = \frac{mv^2}{R}\] \[v = \sqrt{\frac{GM}{R}} \propto \frac{1}{\sqrt{R}}.\]這種情況下預測軌道速度會如上述兩個圖中的虛線所示以 $1/\sqrt{R}$ 減少，但根據觀測結果，軌道速度 $v$ 與距離 $R$ 無關幾乎保持恆定，所以預測與觀測結果不一致。這種觀測結果只有在 $M(R)\propto R$ 時才能解釋。
用比例常數 $k$ 寫成 $M(R) = kR$，則：
\[v = \sqrt{\frac{GM(R)}{R}} = \sqrt{Gk}\ \text{（常數）}.\]由此，天體物理學家得出結論：許多星系中必須存在未被發現的「暗物質（dark matter）」，這種暗物質必須佔宇宙質量的 90% 以上。不過暗物質的真面目至今仍未明確揭示，雖然不是主流理論，但也存在修正牛頓動力學（Modified Newtonian Dynamics, MOND）等不假設暗物質存在而試圖解釋觀測結果的嘗試。今天這些研究領域正處於天體物理學的最前沿。
]]> 待定係數法 2025-04-20T00:00:00+09:00 2025-07-09T19:24:14+09:00 https://www.yunseo.kim/zh-TW/posts/method-of-undetermined-coefficients/ Yunseo Kim 本文將探討待定係數法。這是一種在工程學中，針對振動系統、RLC 電路模型等，能簡便地解決特定形式之常係數非齊次線性常微分方程式初值問題的實用解法。 本文將探討待定係數法。這是一種在工程學中，針對振動系統、RLC 電路模型等，能簡便地解決特定形式之常係數非齊次線性常微分方程式初值問題的實用解法。* Mathematical equations and diagrams included in posts may not display properly when viewed with a feed reader.
TL;DR 待定係數法 的適用對象：具有常數係數 $a$ 和 $b$ 且輸入項 $r(x)$ 由指數函數、$x$ 的冪次、$\cos$ 或 $\sin$，或這些函數的和與積所組成 的線性常微分方程式 $y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = r(x)$ 待定係數法的選擇規則 (a) 基本規則(basic rule) ：若方程式 ($\ref{eqn:linear_ode_with_constant_coefficients}$) 中的 $r(x)$ 是下表第一欄中的任一函數，則選擇同一列的 $y_p$。將 $y_p$ 及其導數代入方程式 ($\ref{eqn:linear_ode_with_constant_coefficients}$) 以確定待定係數。(b) 修正規則(modification rule) ：若所選的 $y_p$ 項是方程式 ($\ref{eqn:linear_ode_with_constant_coefficients}$) 對應的齊次常微分方程式 $y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = 0$ 的解，則將該項乘以 $x$（若該解對應於齊次常微分方程式特徵方程式的重根，則乘以 $x^2$）。(c) 疊加規則(sum rule) ：若 $r(x)$ 是下表第一欄中函數的和，則選擇第二欄對應列中函數的和作為 $y_p$。$r(x)$ 的項 $y_p(x)$ 的選擇 $ke^{\gamma x}$ $Ce^{\gamma x}$ $kx^n\ (n=0,1,\cdots)$ $K_nx^n + K_{n-1}x^{n-1} + \cdots + K_1x + K_0$ $k\cos{\omega x}$ $K\cos{\omega x} + M\sin{\omega x}$ $ke^{\alpha x}\cos{\omega x}$ $e^{\alpha x}(K\cos{\omega x} + M\sin{\omega x})$
先備知識 待定係數法 考慮 $r(x) \not\equiv 0$ 的二階非齊次線性常微分方程式
\[y^{\prime\prime} + p(x)y^{\prime} + q(x)y = r(x) \label{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}\tag{1}\]以及與此非齊次常微分方程式對應的齊次常微分方程式
\[y^{\prime\prime} + p(x)y^{\prime} + q(x)y = 0 \label{eqn:homogeneous_linear_ode}\tag{2}\]。
根據先前在 二階非齊次線性常微分方程式 (Nonhomogeneous Linear ODEs of Second Order) 中的探討，為了解決非齊次線性常微分方程式 ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) 的初值問題，我們需要先解齊次常微分方程式 ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) 求得 $y_h$，然後找到方程式 ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) 的一個特解 $y_p$，從而得到通解
\[y(x) = y_h(x) + y_p(x) \label{eqn:general_sol}\tag{3}\]。那麼，$y_p$ 該如何尋找呢？尋找 $y_p$ 的一般方法是參數變異法(method of variation of parameters) ，但在某些情況下，可以應用更為簡單的待定係數法(method of undetermined coefficients) 。此方法特別適用於振動系統和 RLC 電路模型，因此在工程學中被頻繁使用。
待定係數法適用於具有常數係數 $a$ 和 $b$ ，且輸入項 $r(x)$ 由指數函數、$x$ 的冪次、$\cos$ 或 $\sin$，或這些函數的和與積所組成的線性常微分方程式
\[y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = r(x) \label{eqn:linear_ode_with_constant_coefficients}\tag{4}\]。這類 $r(x)$ 的導數形式與其自身相似，這是待定係數法的核心思想。應用此方法時，我們選擇一個與 $r(x)$ 形式相似的 $y_p$，但其係數是待定的，這些係數可以通過將 $y_p$ 及其導數代入給定的常微分方程式來確定。對於在工程學中具有實際重要性的 $r(x)$ 形式，選擇適當 $y_p$ 的規則如下。
待定係數法的選擇規則 (a) 基本規則(basic rule) ：若方程式 ($\ref{eqn:linear_ode_with_constant_coefficients}$) 中的 $r(x)$ 是下表第一欄中的任一函數，則選擇同一列的 $y_p$。將 $y_p$ 及其導數代入方程式 ($\ref{eqn:linear_ode_with_constant_coefficients}$) 以確定待定係數。(b) 修正規則(modification rule) ：若所選的 $y_p$ 項是方程式 ($\ref{eqn:linear_ode_with_constant_coefficients}$) 對應的齊次常微分方程式 $y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = 0$ 的解，則將該項乘以 $x$（若該解對應於齊次常微分方程式特徵方程式的重根，則乘以 $x^2$）。(c) 疊加規則(sum rule) ：若 $r(x)$ 是下表第一欄中函數的和，則選擇第二欄對應列中函數的和作為 $y_p$。
$r(x)$ 的項 $y_p(x)$ 的選擇 $ke^{\gamma x}$ $Ce^{\gamma x}$ $kx^n\ (n=0,1,\cdots)$ $K_nx^n + K_{n-1}x^{n-1} + \cdots + K_1x + K_0$ $k\cos{\omega x}$ $K\cos{\omega x} + M\sin{\omega x}$ $ke^{\alpha x}\cos{\omega x}$ $e^{\alpha x}(K\cos{\omega x} + M\sin{\omega x})$
此方法不僅簡便，還具有自我校正的優點。如果錯誤地選擇了 $y_p$ 或選擇了過少的項，將會導致矛盾；如果選擇了過多的項，不必要的項的係數將變為 $0$，最終仍能得到正確的結果。即使在應用待定係數法時出現錯誤，也能在解題過程中自然地發現，因此只要根據上述選擇規則選擇一個大致適當的 $y_p$，便可以放心地嘗試。
疊加規則的證明 考慮 $r(x) = r_1(x) + r_2(x)$ 形式的非齊次線性常微分方程式
\[y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = r_1(x) + r_2(x)\]。現在，考慮以下兩個具有相同左側但輸入項分別為 $r_1$ 和 $r_2$ 的方程式
\[\begin{gather*} y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = r_1(x) \\ y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = r_2(x) \end{gather*}\]，並假設它們的解分別為 ${y_p}_1$ 和 ${y_p}_2$。若將給定方程式的左側記為 $L[y]$，根據 $L[y]$ 的線性性質，對於 $y_p = {y_p}_1 + {y_p}_2$，滿足以下關係，因此疊加規則成立。
\[L[y_p] = L[{y_p}_1 + {y_p}_2] = L[{y_p}_1] + L[{y_p}_2] = r_1 + r_2 = r. \ \blacksquare\]範例：$y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = ke^{\gamma x}$ 根據基本規則 (a)，設 $y_p = Ce^{\gamma x}$ 並代入給定方程式 $y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = ke^{\gamma x}$：
\[\gamma^2 Ce^{\gamma x} + \gamma aCe^{\gamma x} + bCe^{\gamma x} = ke^{\gamma x}\] \[C(\gamma^2 + a\gamma + b)e^{\gamma x} = ke^{\gamma x}\] \[C(\gamma^2 + a\gamma + b) = k.\]$\gamma^2 + a\gamma + b \neq 0$ 的情況 可以如下確定待定係數 $C$ 並求得 $y_p$。
\[C = \frac{k}{\gamma^2 + a\gamma + b}\] \[y_p = Ce^{\gamma x} = \frac{k}{\gamma^2 + a\gamma + b} e^{\gamma x}.\]$\gamma^2 + a\gamma + b = 0$ 的情況 在這種情況下，必須應用修正規則 (b)。首先，利用 $b = -\gamma^2 - a\gamma = -\gamma(a + \gamma)$ 來求齊次常微分方程式 $y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = 0$ 的特徵方程式的根。
\[y^{\prime\prime} + ay^{\prime} - \gamma(a + \gamma)y = 0\] \[\lambda^2 + a\lambda - \gamma(a + \gamma) = 0\] \[(\lambda + (a + \gamma))(\lambda - \gamma) = 0\] \[\lambda = \gamma, -a -\gamma.\]由此得到齊次常微分方程式的基底
\[y_1 = e^{\gamma x}, \quad y_2 = e^{(-a - \gamma)x}\]。
$\gamma \neq -a-\gamma$ 的情況 所選的 $y_p = Ce^{\gamma x}$ 是對應齊次常微分方程式的非重根解，因此根據修正規則 (b)，將此項乘以 $x$，設 $y_p = Cxe^{\gamma x}$。
現在，將修正後的 $y_p$ 重新代入給定方程式 $y^{\prime\prime} + ay^{\prime} - \gamma(a + \gamma)y = ke^{\gamma x}$：
\[C(2\gamma + \gamma^2 x)e^{\gamma x} + aC(1 + \gamma x)e^{\gamma x} - \gamma(a + \gamma)Cxe^{\gamma x} = ke^{\gamma x}\] \[C \left[\left\{\gamma^2 + a\gamma -\gamma(a + \gamma)\right\}x + 2\gamma + a \right]e^{\gamma x} = ke^{\gamma x}\] \[C(2\gamma + a)e^{\gamma x} = ke^{\gamma x}\] \[C(2\gamma + a) = k\] \[\therefore C = \frac{k}{2\gamma + a}, \quad y_p = Cxe^{\gamma x} = \frac{k}{2\gamma + a}xe^{\gamma x}.\]$\gamma = -a-\gamma$ 的情況 在這種情況下，所選的 $y_p = Ce^{\gamma x}$ 是對應齊次常微分方程式的重根解，因此根據修正規則 (b)，將此項乘以 $x^2$，設 $y_p = Cx^2 e^{\gamma x}$。
現在，將修正後的 $y_p$ 重新代入給定方程式 $y^{\prime\prime} - 2\gamma y^{\prime} + \gamma^2 y = ke^{\gamma x}$：
\[C(2 + 4\gamma x + \gamma^2 x^2)e^{\gamma x} + C(-4\gamma x - 2\gamma^2 x^2)e^{\gamma x} + C(\gamma^2 x^2)e^{\gamma x} = ke^{\gamma x}\] \[2Ce^{\gamma x} = ke^{\gamma x}\] \[2C = k\] \[\therefore C = \frac{k}{2}, \quad y_p = Cx^2 e^{\gamma x} = \frac{k}{2}x^2 e^{\gamma x}.\]待定係數法的擴展：$r(x)$ 為函數乘積形式 考慮 $r(x) = k x^n e^{\alpha x}\cos(\omega x)$ 形式的非齊次線性常微分方程式
\[y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = C x^n e^{\alpha x}\cos(\omega x)\]。若 $r(x)$ 是指數函數 $e^{\alpha x}$、$x$ 的冪次 $x^m$、$\cos{\omega x}$ 或 $\sin{\omega x}$（此處假設為 $\cos$，不失一般性），或這些函數的和與積（即，可以用前述表格第一欄中函數的和與積來表示），我們將證明存在一個方程式的解 $y_p$，它也是同一表格第二欄中函數的和與積。
為求嚴謹證明，部分內容使用線性代數進行描述，並以 * 標示。跳過這些部分，只閱讀其餘內容，亦不影響對大致概念的理解。
定義向量空間 $V$* 對於 $r(x)$
\[\begin{align*} r(x) &= C_1x^{n_1}e^{\alpha_1 x} \times C_2x^{n_2}e^{\alpha_2 x}\cos(\omega x) \times \cdots \\ &= C x^n e^{\alpha x}\cos(\omega x) \end{align*}\]，我們可以定義一個向量空間 $V$，使得 $r(x) \in V$：
\[V = \mathrm{span}\left\{x^k e^{\alpha x}\cos(\omega x), \; x^k e^{\alpha x}\sin(\omega x) \bigm| k=0,1,\dots,n \right\}\]指數函數、多項式函數、三角函數的導數形式 前述表格第一欄中基本函數的導數形式如下：
指數函數：$\cfrac{d}{dx}e^{\alpha x} = \alpha e^{\alpha x}$ 多項式函數：$\cfrac{d}{dx}x^m = mx^{m-1}$ 三角函數：$\cfrac{d}{dx}\cos\omega x = -\omega\sin\omega x, \quad \cfrac{d}{dx}\sin\omega x = \omega\cos\omega x$ 對這些函數求導得到的導數，同樣可以表示為同類函數的和 。
因此，若函數 $f$ 和 $g$ 是上述函數或其和，對 $r(x) = f(x)g(x)$ 應用乘法法則：
\[\begin{align*} (fg)^{\prime} &= f^{\prime}g + fg^{\prime}, \\ (fg)^{\prime\prime} &= f^{\prime\prime}g + 2f^{\prime}g^{\prime} + fg^{\prime\prime} \end{align*}\]其中 $f$, $f^{\prime}$, $f^{\prime\prime}$ 和 $g$, $g^{\prime}$, $g^{\prime\prime}$ 都可以寫成指數函數、多項式函數、三角函數的和或常數倍的形式。因此，$r^{\prime}(x) = (fg)^{\prime}$ 和 $r^{\prime\prime}(x) = (fg)^{\prime\prime}$ 也與 $r(x)$ 一樣，可以表示為這些函數的和與積。
$V$ 對於微分運算 $D$ 與線性變換 $L$ 的不變性* 也就是說，不僅 $r(x)$ 本身，其導數 $r^{\prime}(x)$ 和 $r^{\prime\prime}(x)$ 也都是 $x^k e^{\alpha x}\cos(\omega x)$ 形式項和 $x^k e^{\alpha x}\sin(\omega x)$ 形式項的線性組合，因此
\[r(x) \in V \implies r^{\prime}(x) \in V,\ r^{\prime\prime}(x) \in V.\]不限於 $r(x)$，若對先前定義的向量空間 $V$ 的所有元素引入微分算子 $D$，可以更一般地表示為，向量空間 $V$ 在微分運算 $D$ 下是封閉的 。因此，若將給定方程式的左側 $y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by$ 記為 $L[y]$，則 $V$ 在 $L$ 下是不變的(invariant) 。
\[D^2(V)\subseteq V,\quad aD(V)\subseteq V,\quad b\,V\subseteq V \implies L(V)\subseteq V.\]因為 $r(x) \in V$ 且 $V$ 在 $L$ 下不變，所以存在 $V$ 的另一個元素 $y_p$ 滿足 $L[y_p] = r$。
\[\exists y_p \in V: L[y_p] = r\]Ansatz 因此，若使用待定係數 $A_0, A_1, \dots, A_n$ 和 $K, M$ 選擇一個適當的 $y_p$，使其成為所有可能的乘積項之和，如下所示，便可根據基本規則 (a) 和修正規則 (b)，將 $y_p$（或 $xy_p$, $x^2y_p$）及其導數代入給定方程式以確定待定係數。此處的 $n$ 根據 $r(x)$ 中 $x$ 的次數來決定。
\[y_p = e^{\alpha x}(A_nx^n + A_{n-1}x^{n-1} + \cdots + A_1x + A_0)(K\cos{\omega x} + M \sin{\omega x}).\]$\blacksquare$
若給定的輸入項 $r(x)$ 包含多個不同的 $\alpha_i$ 和 $\omega_j$ 值，則選擇 $y_p$ 時必須確保涵蓋所有可能的 $x^{k}e^{\alpha_i x}\cos(\omega_j x)$ 和 $x^{k}e^{\alpha_i x}\sin(\omega_j x)$ 形式的項。
待定係數法的擴展：歐拉-柯西方程式 不僅是常係數二階齊次線性常微分方程式 ，待定係數法也可以應用於歐拉-柯西方程式
\[x^2y^{\prime\prime} + axy^{\prime} + by = r(x) \label{eqn:euler_cauchy}\tag{5}\]。
變數變換 透過以 $x = e^t$ 進行變換，轉換為常係數二階齊次線性常微分方程式 ，可得
\[\frac{d}{dx} = \frac{1}{x}\frac{d}{dt}, \quad \frac{d^2}{dx^2} = \frac{1}{x^2}\left(\frac{d^2}{dt^2} - \frac{d}{dt} \right)\]，我們之前已經知道，歐拉-柯西方程式可以轉換為以下關於 $t$ 的常係數齊次線性常微分方程式。
\[y^{\prime\prime} + (a-1)y^{\prime} + by = r(e^t). \label{eqn:substituted}\tag{6}\]現在，對方程式 ($\ref{eqn:substituted}$) 同樣應用前面探討的待定係數法 對 $t$ 求解，最後利用 $t = \ln x$ 將解轉換回關於 $x$ 的解即可。
$r(x)$ 為 $x$ 的冪次、自然對數或這些函數的和與積的情況 特別是當輸入項 $r(x)$ 由 $x$ 的冪次、自然對數或這些函數的和與積組成時，可以根據以下歐拉-柯西方程式專用的選擇規則，直接選擇適當的 $y_p$。
待定係數法的選擇規則：歐拉-柯西方程式專用 (a) 基本規則(basic rule) ：若方程式 ($\ref{eqn:euler_cauchy}$) 中的 $r(x)$ 是下表第一欄中的任一函數，則選擇同一列的 $y_p$。將 $y_p$ 及其導數代入方程式 ($\ref{eqn:euler_cauchy}$) 以確定待定係數。(b) 修正規則(modification rule) ：若所選的 $y_p$ 項是方程式 ($\ref{eqn:euler_cauchy}$) 對應的齊次常微分方程式 $x^2y^{\prime\prime} + axy^{\prime} + by = 0$ 的解，則將該項乘以 $\ln{x}$（若該解對應於齊次常微分方程式特徵方程式的重根，則乘以 $(\ln{x})^2$）。(c) 疊加規則(sum rule) ：若 $r(x)$ 是下表第一欄中函數的和，則選擇第二欄對應列中函數的和作為 $y_p$。
$r(x)$ 的項 $y_p(x)$ 的選擇 $kx^m\ (m=0,1,\cdots)$ $Ax^m$ $kx^m \ln{x}\ (m=0,1,\cdots)$ $x^m(B\ln x + C)$ $k(\ln{x})^s\ (s=0,1,\cdots)$ $D_0 + D_1\ln{x} + \cdots + D_{s-1}(\ln{x})^{s-1} + D_s(\ln{x})^s$ $kx^m (\ln{x})^s$ $x^m \left( D_0 + D_1\ln{x} + \cdots + D_{s-1}(\ln{x})^{s-1} + D_s(\ln{x})^s \right)$
這樣，對於具有實際重要性的輸入項 $r(x)$，可以比透過變數變換 更快、更簡便地找到與之相同的 $y_p$。將先前探討的原始選擇規則 中的 $x$ 替換為 $\ln{x}$，即可推導出此歐拉-柯西方程式專用的選擇規則。
]]> 二階非齊次線性常微分方程式 (Nonhomogeneous Linear ODEs of Second Order) 2025-04-16T00:00:00+09:00 2025-07-09T19:24:14+09:00 https://www.yunseo.kim/zh-TW/posts/nonhomogeneous-linear-odes-of-second-order/ Yunseo Kim 本文將探討二階非齊次線性常微分方程式的通解形式，著重於其與對應的齊次線性常微分方程式解之間的關係，並證明通解的存在性與奇異解的不存在性。 本文將探討二階非齊次線性常微分方程式的通解形式，著重於其與對應的齊次線性常微分方程式解之間的關係，並證明通解的存在性與奇異解的不存在性。* Mathematical equations and diagrams included in posts may not display properly when viewed with a feed reader.
TL;DR 二階非齊次線性常微分方程式 $y^{\prime\prime} + p(x)y^{\prime} + q(x)y = r(x)$ 的通解(general solution) ：$y(x) = y_h(x) + y_p(x)$ $y_h$：對應的齊次常微分方程式 $y^{\prime\prime} + p(x)y^{\prime} + q(x)y = 0$ 的通解 $y_h = c_1y_1 + c_2y_2$ $y_p$：該非齊次常微分方程式的特解(particular solution) 響應項 $y_p$ 僅由輸入 $r(x)$ 決定，對於相同的非齊次常微分方程式，即使初始條件不同，$y_p$ 也不會改變。非齊次常微分方程式的兩個特解之差，會是對應的齊次常微分方程式的解。 通解的存在性 ：若非齊次常微分方程式的係數 $p(x)$、$q(x)$ 與輸入函數 $r(x)$ 連續，則其通解必定存在。奇異解的不存在 ：通解包含方程式的所有解（即不存在奇異解）。先備知識 二階非齊次線性常微分方程式的通解與特解 考慮二階非齊次線性常微分方程式
\[y^{\prime\prime} + p(x)y^{\prime} + q(x)y = r(x) \label{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}\tag{1}\]，其中 $r(x) \not\equiv 0$。在開放區間 $I$ 上，方程式 ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) 的通解(general solution) ，是由此非齊次常微分方程式對應的齊次常微分方程式
\[y^{\prime\prime} + p(x)y^{\prime} + q(x)y = 0 \label{eqn:homogeneous_linear_ode}\tag{2}\]的通解 $y_h = c_1y_1 + c_2y_2$ 與方程式 ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) 的特解 $y_p$ 的和
\[y(x) = y_h(x) + y_p(x) \label{eqn:general_sol}\tag{3}\]所構成。此外，在區間 $I$ 上，方程式 ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) 的特解(particular solution) ，是透過為 $y_h$ 的任意常數 $c_1$ 和 $c_2$ 指定特定值，從方程式 ($\ref{eqn:general_sol}$) 得到的解。
也就是說，若在齊次常微分方程式 ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) 中加入僅依賴於自變數 $x$ 的輸入 $r(x)$，則其響應中會增加一個對應的項 $y_p$，而這個增加的響應項 $y_p$ 僅由輸入 $r(x)$ 決定，與初始條件無關。我們稍後將會看到，若求方程式 ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) 的任意兩個解 $y_1$ 和 $y_2$ 的差（即，求對應於兩個不同初始條件的特解之差），與初始條件無關的 $y_p$ 部分會被消去，只剩下 ${y_h}_1$ 和 ${y_h}_2$ 的差，而根據疊加原理 ，此差值亦為方程式 ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) 的解。
非齊次常微分方程式的解與其對應的齊次常微分方程式解之間的關係 定理 1：非齊次常微分方程式 ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) 的解與齊次常微分方程式 ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) 的解之間的關係 (a) 在某個開放區間 $I$ 上，非齊次常微分方程式 ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) 的解 $y$ 與齊次常微分方程式 ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) 的解 $\tilde{y}$ 的和，同樣是區間 $I$ 上方程式 ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) 的解。特別地，方程式 ($\ref{eqn:general_sol}$) 是區間 $I$ 上方程式 ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) 的解。(b) 在區間 $I$ 上，非齊次常微分方程式 ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) 的兩個解之差，是區間 $I$ 上齊次常微分方程式 ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) 的解。
證明 (a) 將方程式 ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) 與 ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) 的左式記為 $L[y]$。那麼，在區間 $I$ 上，對於方程式 ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) 的任意解 $y$ 與方程式 ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) 的任意解 $\tilde{y}$，下列關係成立。
\[L[y + \tilde{y}] = L[y] + L[\tilde{y}] = r + 0 = r.\](b) 在區間 $I$ 上，對於方程式 ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) 的任意兩個解 $y$ 與 $y^*$，下列關係成立。
\[L[y - y^*] = L[y] - L[y^*] = r - r = 0.\ \blacksquare\]非齊次常微分方程式的通解包含所有解 對於齊次常微分方程式 ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$)，我們已知其通解包含所有解 。現在我們來證明，對於非齊次常微分方程式 ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$)，同樣的結論也成立。
定理 2：非齊次常微分方程式的通解包含所有解
證明 令 $y^*$ 為在 $I$ 上方程式 ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) 的某個解，並令 $x_0$ 為區間 $I$ 內的某個 $x$。根據具有連續變數係數的齊次常微分方程式的通解存在性定理 ，$y_h = c_1y_1 + c_2y_2$ 存在；此外，根據我們稍後將探討的參數變換法(method of variation of parameters) ，$y_p$ 也存在，因此在區間 $I$ 上，方程式 ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) 的通解 ($\ref{eqn:general_sol}$) 存在。現在，根據前面證明的定理 1(b) ，$Y = y^* - y_p$ 是在區間 $I$ 上齊次常微分方程式 ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) 的解，且在 $x_0$ 處滿足
\[\begin{gather*} Y(x_0) = y^*(x_0) - y_p(x_0) \\ Y^{\prime}(x_0) = {y^*}^{\prime}(x_0) - y_p^{\prime}(x_0) \end{gather*}\]。根據初始值問題解的存在性與唯一性定理 ，在區間 $I$ 上，對於上述初始條件，存在一個唯一的特解 $Y$，此解可透過為 $y_h$ 的 $c_1$、$c_2$ 指定適當的值來得到。由於 $y^* = Y + y_p$，我們證明了非齊次常微分方程式 ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) 的任意特解 $y^*$ 都可以從通解 ($\ref{eqn:general_sol}$) 中得到。 $\blacksquare$
]]> 朗斯基行列式(Wronskian)，解的存在性與唯一性 2025-04-06T00:00:00+09:00 2025-07-11T21:22:11+09:00 https://www.yunseo.kim/zh-TW/posts/wronskian-existence-and-uniqueness-of-solutions/ Yunseo Kim 針對具有任意連續變數係數的二階齊次線性常微分方程式，本文將探討其初始值問題解的存在性與唯一性定理，以及利用朗斯基行列式(Wronskian)判斷解的線性相依/線性獨立的方法。此外，我們將證明此類方程式恆有通解，且此通解包含方程式的所有解。 針對具有任意連續變數係數的二階齊次線性常微分方程式，本文將探討其初始值問題解的存在性與唯一性定理，以及利用朗斯基行列式(Wronskian)判斷解的線性相依/線性獨立的方法。此外，我們將證明此類方程式恆有通解，且此通解包含方程式的所有解。* Mathematical equations and diagrams included in posts may not display properly when viewed with a feed reader.
TL;DR 對於在區間 $I$ 上具有連續的任意變數係數 $p$ 與 $q$ 的二階齊次線性常微分方程式
\[y^{\prime\prime} + p(x)y^{\prime} + q(x)y = 0\]與初始條件
\[y(x_0)=K_0, \qquad y^{\prime}(x_0)=K_1\]，以下四個定理成立。
初始值問題解的存在性與唯一性定理 ：由給定方程式及初始條件構成的初始值問題，在區間 $I$ 上有唯一的解 $y(x)$。利用朗斯基行列式(Wronskian)判斷解的線性相依/線性獨立 ：對於方程式的兩個解 $y_1$ 和 $y_2$，若在區間 $I$ 內存在一點 $x_0$ 使得朗斯基行列式(Wronskian) $W(y_1, y_2) = y_1y_2^{\prime} - y_2y_1^{\prime}$ 的值為 $0$，則兩解為線性相依。此外，若在區間 $I$ 內存在一點 $x_1$ 使得 $W\neq 0$，則兩解為線性獨立。通解的存在性 ：給定的方程式在區間 $I$ 上有通解。奇異解的不存在 ：此通解包含方程式的所有解（即不存在奇異解）。先備知識 具有連續任意變數係數的齊次線性常微分方程式 先前我們已探討過常數係數二階齊次線性常微分方程式 與歐拉-柯西方程式 的通解。 本文將把討論擴展到更一般的情況，探討具有任意連續變數係數(variable coefficient) $p$ 與 $q$ 的二階齊次線性常微分方程式
\[y^{\prime\prime} + p(x)y^{\prime} + q(x)y = 0 \label{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}\tag{1}\]的通解之存在性與形式。此外，我們還將探討由常微分方程式 ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$) 與下列兩個初始條件
\[y(x_0)=K_0, \qquad y^{\prime}(x_0)=K_1 \label{eqn:initial_conditions}\tag{2}\]所構成的初始值問題 的唯一性。
若先說結論，本文的核心內容是：具有連續係數的線性 常微分方程式，不會有奇異解(singular solution) （無法從通解中得到的解）。
初始值問題解的存在性與唯一性定理 初始值問題解的存在性與唯一性定理(Existence and Uniqueness Theorem for Initial Value Problems)
關於存在性的證明，本文不予討論，僅探討唯一性的證明。一般而言，證明唯一性比證明存在性來得簡單。 若對證明不感興趣，可跳過此部分，直接前往解的線性相依與線性獨立 。
唯一性的證明 假設由常微分方程式 ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$) 與初始條件 ($\ref{eqn:initial_conditions}$) 構成的初始值問題，在區間 $I$ 上有兩個解 $y_1(x)$ 與 $y_2(x)$。若能證明這兩個解的差
\[y(x) = y_1(x) - y_2(x)\]在區間 $I$ 上恆為 $0$，即表示在區間 $I$ 上 $y_1 \equiv y_2$，從而證明解的唯一性。
由於方程式 ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$) 是齊次線性常微分方程式，因此 $y_1$ 與 $y_2$ 的線性組合 $y$ 也是在 $I$ 上的解。$y_1$ 與 $y_2$ 滿足相同的初始條件 ($\ref{eqn:initial_conditions}$)，因此 $y$ 滿足條件
\[\begin{align*} & y(x_0) = y_1(x_0) - y_2(x_0) = 0, \\ & y^{\prime}(x_0) = y_1^{\prime}(x_0) - y_2^{\prime}(x_0) = 0 \end{align*} \label{eqn:initial_conditions_*}\tag{3}\]。現在考慮函數
\[z(x) = y(x)^2 + y^{\prime}(x)^2\]及其導數
\[z^{\prime} = 2yy^{\prime} + 2y^{\prime}y^{\prime\prime}\]。從常微分方程式可得
\[y^{\prime\prime} = -py^{\prime} - qy\]，將其代入關於 $z^{\prime}$ 的式子中，可得
\[z^{\prime} = 2yy^{\prime} - 2p{y^{\prime}}^2 - 2qyy^{\prime} \label{eqn:z_prime}\tag{4}\]。由於 $y$ 與 $y^{\prime}$ 為實數，因此
\[(y\pm y^{\prime})^2 = y^2 \pm 2yy^{\prime} + {y^{\prime}}^2 \geq 0\]。從此式與 $z$ 的定義，可得到兩個不等式
\[(a)\ 2yy^{\prime} \leq y^2 + {y^{\prime}}^2 = z, \qquad (b)\ 2yy^{\prime} \geq -(y^2 + {y^{\prime}}^2) = -z \label{eqn:inequalities}\tag{5}\]。從這兩個不等式可知 $|2yy^{\prime}|\leq z$，那麼對於式 ($\ref{eqn:z_prime}$) 的最後一項，下列不等式成立。
\[\pm2qyy^{\prime} \leq |\pm 2qyy^{\prime}| = |q||2yy^{\prime}| \leq |q|z.\]利用此結果以及 $-p \leq |p|$，並將式 ($\ref{eqn:inequalities}$a) 應用於式 ($\ref{eqn:z_prime}$) 的 $2yy^{\prime}$ 項，可得
\[z^{\prime} \leq z + 2|p|{y^{\prime}}^2 + |q|z\]。因為 ${y^{\prime}}^2 \leq y^2 + {y^{\prime}}^2 = z$，由此可得
\[z^{\prime} \leq (1 + 2|p| + |q|)z\]，若令括號內的函數為 $h = 1 + 2|p| + |q|$，則
\[z^{\prime} \leq hz \quad \forall x \in I \label{eqn:inequality_6a}\tag{6a}\]。同理，從式 ($\ref{eqn:z_prime}$) 與 ($\ref{eqn:inequalities}$) 可得
\[\begin{align*} -z^{\prime} &= -2yy^{\prime} + 2p{y^{\prime}}^2 + 2qyy^{\prime} \\ &\leq z + 2|p|z + |q|z = hz \end{align*} \label{eqn:inequality_6b}\tag{6b}\]。這兩個不等式 ($\ref{eqn:inequality_6a}$)、($\ref{eqn:inequality_6b}$) 與下列不等式
\[z^{\prime} - hz \leq 0, \qquad z^{\prime} + hz \geq 0 \label{eqn:inequalities_7}\tag{7}\]等價，兩式左邊的積分因子 為
\[F_1 = e^{-\int h(x)\ dx} \qquad \text{與} \qquad F_2 = e^{\int h(x)\ dx}\]。因為 $h$ 是連續的，不定積分 $\int h(x)\ dx$ 存在，且 $F_1$ 與 $F_2$ 為正數，故從式 ($\ref{eqn:inequalities_7}$) 可得
\[F_1(z^{\prime} - hz) = (F_1 z)^{\prime} \leq 0, \qquad F_2(z^{\prime} + hz) = (F_2 z)^{\prime} \geq 0\]。這表示在區間 $I$ 上，$F_1 z$ 不遞增，而 $F_2 z$ 不遞減。根據式 ($\ref{eqn:initial_conditions_*}$)，$z(x_0) = 0$，因此，
\[\begin{cases} \left(F_1 z \geq (F_1 z)_{x_0} = 0\right)\ \& \ \left(F_2 z \leq (F_2 z)_{x_0} = 0\right) & (x \leq x_0) \\ \left(F_1 z \leq (F_1 z)_{x_0} = 0\right)\ \& \ \left(F_2 z \geq (F_2 z)_{x_0} = 0\right) & (x \geq x_0) \end{cases}\]。最後，將不等式兩邊同除以正數 $F_1$ 與 $F_2$，即可如下證明解的唯一性。
\[(z \leq 0) \ \& \ (z \geq 0) \quad \forall x \in I\] \[z = y^2 + {y^{\prime}}^2 = 0 \quad \forall x \in I\] \[\therefore y \equiv y_1 - y_2 \equiv 0 \quad \forall x \in I. \ \blacksquare\]解的線性相依與線性獨立 讓我們回顧一下在二階齊次線性常微分方程式 中探討過的內容。在開放區間 $I$ 上的通解，是由 $I$ 上的基底(basis) $y_1$、$y_2$，即一對線性獨立的解所構成。此處，稱 $y_1$ 與 $y_2$ 在區間 $I$ 上為線性獨立(linearly independent) ，意指對於區間內所有的 $x$，滿足下列條件。
\[k_1y_1(x) + k_2y_2(x) = 0 \Leftrightarrow k_1=0\text{且 }k_2=0 \label{eqn:linearly_independent}\tag{8}\]若不滿足上述條件，而是對於至少一個不為 $0$ 的 $k_1$、$k_2$ 使得 $k_1y_1(x) + k_2y_2(x) = 0$ 成立，則 $y_1$ 與 $y_2$ 在區間 $I$ 上為線性相依(linearly dependent) 。此時，對於區間 $I$ 內的所有 $x$，
\[\text{(a) } y_1 = ky_2 \quad \text{或} \quad \text{(b) } y_2 = ly_1 \label{eqn:linearly_dependent}\tag{9}\]，因此 $y_1$ 與 $y_2$ 成比例。
現在，讓我們來看看以下判斷解的線性獨立/線性相依的方法。
利用朗斯基行列式(Wronskian)判斷解的線性相依/線性獨立 i. 若常微分方程式 ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$) 在開放區間 $I$ 上具有連續係數 $p(x)$ 與 $q(x)$，則在區間 $I$ 上，方程式 ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$) 的兩個解 $y_1$ 與 $y_2$ 為線性相依的充要條件是，這兩個解的朗斯基行列式(Wronski determinant) ，簡稱朗斯基行列式(Wronskian) 的下列行列式
\[W(y_1, y_2) = \begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\ y_1^{\prime} & y_2^{\prime} \\ \end{vmatrix} = y_1y_2^{\prime} - y_2y_1^{\prime} \label{eqn:wronskian}\tag{10}\]在區間 $I$ 內的某點 $x_0$ 為 $0$。
\[\exists x_0 \in I: W(x_0)=0 \iff y_1 \text{與 } y_2 \text{為線性相依}\]ii. 若在區間 $I$ 內的一點 $x=x_0$ 上 $W=0$，則在區間 $I$ 內的所有 $x$ 上 $W=0$。
\[\exists x_0 \in I: W(x_0)=0 \implies \forall x \in I: W(x)=0\]換言之，若在區間 $I$ 中存在一點 $x_1$ 使得 $W\neq 0$，則在該區間 $I$ 上 $y_1$、$y_2$ 為線性獨立。
\[\begin{align*} \exists x_1 \in I: W(x_1)\neq 0 &\implies \forall x \in I: W(x)\neq 0 \\ &\implies y_1 \text{與 } y_2 \text{為線性獨立} \end{align*}\]朗斯基行列式最初由波蘭數學家約瑟夫·瑪麗亞·赫內-朗斯基(Józef Maria Hoene-Wroński)引入，在他去世後的 11882 HE，由蘇格兰數學家托馬斯·繆爾(Sir Thomas Muir)命名為現在的名稱。
證明 i. (a) 假設在區間 $I$ 上 $y_1$ 與 $y_2$ 為線性相依。則在區間 $I$ 上，式 ($\ref{eqn:linearly_dependent}$a) 或 ($\ref{eqn:linearly_dependent}$b) 成立。若式 ($\ref{eqn:linearly_dependent}$a) 成立，則
\[W(y_1, y_2) = y_1y_2^{\prime} - y_2y_1^{\prime} = ky_2ky_2^{\prime} - y_2ky_2^{\prime} = 0\]；同理，若式 ($\ref{eqn:linearly_dependent}$b) 成立，則
\[W(y_1, y_2) = y_1y_2^{\prime} - y_2y_1^{\prime} = y_1ly_1^{\prime} - ly_1y_1^{\prime} = 0\]，因此可以確認在區間 $I$ 內的所有 $x$ ，朗斯基行列式 $W(y_1, y_2)=0$。
i. (b) 反之，假設在某點 $x = x_0$ 上 $W(y_1, y_2)=0$，我們將證明在區間 $I$ 上 $y_1$ 與 $y_2$ 為線性相依。考慮關於未知數 $k_1$、$k_2$ 的線性聯立方程式
\[\begin{gather*} k_1y_1(x_0) + k_2y_2(x_0) = 0 \\ k_1y_1^{\prime}(x_0) + k_2y_2^{\prime}(x_0) = 0 \end{gather*} \label{eqn:linear_system}\tag{11}\]。這可以表示為如下的向量方程式形式。
\[\left[\begin{matrix} y_1(x_0) & y_2(x_0) \\ y_1^{\prime}(x_0) & y_2^{\prime}(x_0) \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} k_1 \\ k_2 \end{matrix}\right] = 0 \label{eqn:vector_equation}\tag{12}\]此向量方程式的係數矩陣為
\[A = \left[\begin{matrix} y_1(x_0) & y_2(x_0) \\ y_1^{\prime}(x_0) & y_2^{\prime}(x_0) \end{matrix}\right]\]，而此矩陣的行列式即為 $W(y_1(x_0), y_2(x_0))$。因為 $\det(A) = W=0$，所以 $A$ 是不存在反矩陣(inverse matrix) 的奇異矩陣(singular matrix) ，因此聯立方程式 ($\ref{eqn:linear_system}$) 除了零向量 $(0,0)$ 之外，還有一個解 $(c_1, c_2)$，其中 $k_1$ 與 $k_2$ 至少有一個不為 $0$。現在引入函數
\[y(x) = c_1y_1(x) + c_2y_2(x)\]。由於方程式 ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$) 是齊次線性的，根據疊加原理 ，此函數在區間 $I$ 上是 ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$) 的解。從式 ($\ref{eqn:linear_system}$) 可知，此解滿足初始條件 $y(x_0)=0$、$y^{\prime}(x_0)=0$。
另一方面，存在一個滿足相同初始條件 $y^*(x_0)=0$、${y^*}^{\prime}(x_0)=0$ 的自明解 $y^* \equiv 0$。由於方程式 ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$) 的係數 $p$ 與 $q$ 是連續的，根據初始值問題解的存在性與唯一性定理 ，解的唯一性得到保證，因此 $y \equiv y^*$。也就是說，在區間 $I$ 上
\[c_1y_1 + c_2y_2 \equiv 0\]。因為 $c_1$ 與 $c_2$ 至少有一個不為 $0$，所以不滿足 ($\ref{eqn:linearly_independent}$)，這表示在區間 $I$ 上 $y_1$、$y_2$ 為線性相依。
ii. 若在區間 $I$ 內的某點 $x_0$ 上 $W(x_0)=0$，則根據 i.(b) ，在區間 $I$ 上 $y_1$、$y_2$ 為線性相依，那麼根據 i.(a) ，$W\equiv 0$。因此，若在區間 $I$ 內存在任何一點 $x_1$ 使得 $W(x_1)\neq 0$，則 $y_1$ 與 $y_2$ 為線性獨立。 $\blacksquare$
通解包含所有解 通解的存在性 若 $p(x)$ 與 $q(x)$ 在開放區間 $I$ 上連續，則方程式 ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$) 在區間 $I$ 上有通解。
證明 根據初始值問題解的存在性與唯一性定理 ，常微分方程式 ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$) 在區間 $I$ 上有一個滿足初始條件
\[y_1(x_0) = 1, \qquad y_1^{\prime}(x_0) = 0\]的解 $y_1(x)$，以及一個在區間 $I$ 上滿足初始條件
\[y_2(x_0) = 0, \qquad y_2^{\prime}(x_0) = 1\]的解 $y_2(x)$。這兩個解的朗斯基行列式在 $x=x_0$ 處的值不為零
\[W(y_1(x_0), y_2(x_0)) = y_1(x_0)y_2^{\prime}(x_0) - y_2(x_0)y_1^{\prime}(x_0) = 1\cdot 1 - 0\cdot 0 = 1\]，因此根據利用朗斯基行列式(Wronskian)判斷解的線性相依/線性獨立 ，在區間 $I$ 上 $y_1$ 與 $y_2$ 為線性獨立。因此，這兩個解在區間 $I$ 上構成了方程式 ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$) 的解的基底，且帶有任意常數 $c_1$、$c_2$ 的通解 $y = c_1y_1 + c_2y_2$ 必然在區間 $I$ 上存在。 $\blacksquare$
奇異解的不存在 若常微分方程式 ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$) 在某個開放區間 $I$ 上具有連續係數 $p(x)$ 與 $q(x)$，則在區間 $I$ 上，方程式 ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$) 的所有解 $y=Y(x)$ 均為
\[Y(x) = C_1y_1(x) + C_2y_2(x) \label{eqn:particular_solution}\tag{13}\]的形式，其中 $y_1$、$y_2$ 是在區間 $I$ 上方程式 ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$) 的解的基底，而 $C_1$、$C_2$ 為適當的常數。奇異解(singular solution) 。
證明 令 $y=Y(x)$ 為在區間 $I$ 上方程式 ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$) 的任意一個解。現在，根據通解的存在性 ，常微分方程式 ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$) 在區間 $I$ 上有通解
\[y(x) = c_1y_1(x) + c_2y_2(x) \label{eqn:general_solution}\tag{14}\]。現在，我們必須證明對於任意的 $Y(x)$，存在常數 $c_1$、$c_2$ 使得在區間 $I$ 上 $y(x)=Y(x)$。首先，我們證明可以找到 $c_1$、$c_2$ 的值，使得在區間 $I$ 中任選一點 $x_0$，滿足 $y(x_0)=Y(x_0)$ 且 $y^{\prime}(x_0)=Y^{\prime}(x_0)$。從式 ($\ref{eqn:general_solution}$) 可得
\[\begin{gather*} \left[\begin{matrix} y_1(x_0) & y_2(x_0) \\ y_1^{\prime}(x_0) & y_2^{\prime}(x_0) \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} c_1 \\ c_2 \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} Y(x_0) \\ Y^{\prime}(x_0) \end{matrix}\right] \end{gather*} \label{eqn:vector_equation_2}\tag{15}\]。因為 $y_1$ 與 $y_2$ 是基底，所以係數矩陣的行列式 $W(y_1(x_0), y_2(x_0))\neq 0$，因此方程式 ($\ref{eqn:vector_equation_2}$) 可以對 $c_1$ 與 $c_2$ 求解。令其解為 $(c_1, c_2) = (C_1, C_2)$。將此代入式 ($\ref{eqn:general_solution}$) 可得以下的特解。
\[y^*(x) = C_1y_1(x) + C_2y_2(x).\]因為 $C_1$、$C_2$ 是方程式 ($\ref{eqn:vector_equation_2}$) 的解，所以，
\[y^*(x_0) = Y(x_0), \qquad {y^*}^{\prime}(x_0) = Y^{\prime}(x_0)\]。根據初始值問題解的存在性與唯一性定理 的唯一性，在區間 $I$ 內的所有 $x$ 上，$y^* \equiv Y$。 $\blacksquare$
]]> 歐拉-柯西方程式 2025-03-28T00:00:00+09:00 2025-07-09T19:24:14+09:00 https://www.yunseo.kim/zh-TW/posts/euler-cauchy-equation/ Yunseo Kim 本文將根據輔助方程式判別式的正負號，探討在不同情況下，歐拉-柯西方程式的通解會呈現何種形式。 本文將根據輔助方程式判別式的正負號，探討在不同情況下，歐拉-柯西方程式的通解會呈現何種形式。* Mathematical equations and diagrams included in posts may not display properly when viewed with a feed reader.
TL;DR 歐拉-柯西方程式：$x^2y^{\prime\prime} + axy^{\prime} + by = 0$ 輔助方程式(auxiliary equation) ：$m^2 + (a-1)m + b = 0$根據輔助方程式的判別式 $(1-a)^2 - 4b$ 的正負號，通解的形式可分為下表三種情況： 情況 輔助方程式的解 歐拉-柯西方程式的解的基底 歐拉-柯西方程式的通解 I 相異實根 $x^{m_1}$, $x^{m_2}$ $y = c_1 x^{m_1} + c_2 x^{m_2}$ II 實重根 $x^{(1-a)/2}$, $x^{(1-a)/2}\ln{x}$ $y = (c_1 + c_2 \ln x)x^m$ III 共軛複數根 $x^{(1-a)/2}\cos{(\omega \ln{x})}$, $y = x^{(1-a)/2}[A\cos{(\omega \ln{x})} + B\sin{(\omega \ln{x})}]$
先備知識 輔助方程式 (auxiliary equation) 歐拉-柯西方程式(Euler-Cauchy equation) 是指具有給定常數 $a$ 和 $b$ 以及未知函數 $y(x)$ 的
\[x^2y^{\prime\prime} + axy^{\prime} + by = 0 \label{eqn:euler_cauchy_eqn}\tag{1}\]形式的常微分方程式。將
\[y=x^m, \qquad y^{\prime}=mx^{m-1}, \qquad y^{\prime\prime}=m(m-1)x^{m-2}\]代入方程式 ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$)
\[x^2m(m-1)x^{m-2} + axmx^{m-1} + bx^m = 0,\]即
\[[m(m-1) + am + b]x^m = 0\]由此可得輔助方程式
\[m^2 + (a-1)m + b = 0 \label{eqn:auxiliary_eqn}\tag{2}\]，而 $y=x^m$ 為歐拉-柯西方程式 ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$) 的解的充分必要條件是，$m$ 為輔助方程式 ($\ref{eqn:auxiliary_eqn}$) 的解。
求解二次方程式 ($\ref{eqn:auxiliary_eqn}$) 可得
\[\begin{align*} m_1 &= \frac{1}{2}\left[(1-a) + \sqrt{(1-a)^2 - 4b} \right], \\ m_2 &= \frac{1}{2}\left[(1-a) - \sqrt{(1-a)^2 - 4b} \right] \end{align*}\label{eqn:m1_and_m2}\tag{3}\]，由此可知，兩個函數
\[y_1 = x^{m_1}, \quad y_2 = x^{m_2}\]是方程式 ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$) 的解。
如同在常係數二階齊次線性常微分方程式 中一樣，根據輔助方程式 ($\ref{eqn:auxiliary_eqn}$) 的判別式 $(1-a)^2 - 4b$ 的正負號，可將情況分為三種。
$(1-a)^2 - 4b > 0$：相異實根 $(1-a)^2 - 4b = 0$：實重根 $(1-a)^2 - 4b < 0$：共軛複數根 根據輔助方程式判別式的正負號決定通解形式 I. 相異實根 $m_1$ 與 $m_2$ 在這種情況下，方程式 ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$) 在任意區間上的解的基底為
\[y_1 = x^{m_1}, \quad y_2 = x^{m_2}\]，其對應的通解為
\[y = c_1 x^{m_1} + c_2 x^{m_2} \label{eqn:general_sol_1}\tag{4}\]。
II. 實重根 $m = \cfrac{1-a}{2}$ 在 $(1-a)^2 - 4b = 0$，即 $b=\cfrac{(1-a)^2}{4}$ 的情況下，二次方程式 ($\ref{eqn:auxiliary_eqn}$) 只有一個解 $m = m_1 = m_2 = \cfrac{1-a}{2}$，因此可得一個 $y = x^m$ 形式的解
\[y_1 = x^{(1-a)/2}\]，而歐拉-柯西方程式 ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$) 則變為
\[y^{\prime\prime} + \frac{a}{x}y^{\prime} + \frac{(1-a)^2}{4x^2}y = 0 \label{eqn:standard_form}\tag{5}\]的形式。現在，我們利用降階法 來求另一個線性獨立的解 $y_2$。
若將欲求的第二個解設為 $y_2=uy_1$，可得
\[u = \int U, \qquad U = \frac{1}{y_1^2}\exp\left(-\int \frac{a}{x}\ dx \right)\]。
因為 $\exp \left(-\int \cfrac{a}{x}\ dx \right) = \exp (-a\ln x) = \exp(\ln{x^{-a}}) = x^{-a}$，所以
\[U = \frac{x^{-a}}{y_1^2} = \frac{x^{-a}}{x^{(1-a)}} = \frac{1}{x}\]，積分後可得 $u = \ln x$。
因此 $y_2 = uy_1 = y_1 \ln x$，且因為 $y_1$ 和 $y_2$ 的商不為常數，所以它們是線性獨立的。對應於基底 $y_1$ 和 $y_2$ 的通解為
\[y = (c_1 + c_2 \ln x)x^m \label{eqn:general_sol_2}\tag{6}\]。
III. 共軛複數根 在這種情況下，輔助方程式 ($\ref{eqn:auxiliary_eqn}$) 的解為 $m = \cfrac{1}{2}(1-a) \pm i\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}$，其對應的方程式 ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$) 的兩個複數解可利用 $x=e^{\ln x}$ 寫成如下形式：
\[\begin{align*} x^{m_1} &= x^{(1-a)/2 + i\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}} \\ &= x^{(1-a)/2}(e^{\ln x})^{i\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}} \\ &= x^{(1-a)/2}e^{i(\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}\ln x)}, \\ x^{m_2} &= x^{(1-a)/2 - i\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}} \\ &= x^{(1-a)/2}(e^{\ln x})^{-i\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}} \\ &= x^{(1-a)/2}e^{i(-\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}\ln x)}. \end{align*} \tag{7}\]令 $t=\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}\ln x$ 並利用歐拉公式 $e^{it} = \cos{t} + i\sin{t}$，可知
\[\begin{align*} x^{m_1} &= x^{(1-a)/2}\left[\cos\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right) + i\sin\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right) \right], \\ x^{m_2} &= x^{(1-a)/2}\left[\cos\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right) - i\sin\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right) \right] \end{align*} \tag{8}\]，由此可得以下兩個實數解
\[\begin{align*} \frac{x^{m_1} + x^{m_2}}{2} &= x^{(1-a)/2}\cos\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right), \\ \frac{x^{m_1} - x^{m_2}}{2i} &= x^{(1-a)/2}\sin\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right) \end{align*} \tag{9}\]。
由於這兩個解的商 $\cos\left(\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right)$ 不為常數，因此它們是線性獨立的，故根據疊加原理 ，它們構成了歐拉-柯西方程式 ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$) 的基底。由此可得以下的實數通解：
\[y = x^{(1-a)/2} \left[ A\cos\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right) + B\sin\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right) \right]. \label{eqn:general_sol_3}\tag{10}\]不過，在歐拉-柯西方程式中，輔助方程式為共軛複數根的情況，其實際重要性並不高。
轉換為常係數二階齊次線性常微分方程式 歐拉-柯西方程式可透過變數變換，轉換為常係數二階齊次線性常微分方程式 。
若以 $x = e^t$ 進行變換，則
\[\frac{d}{dx} = \frac{1}{x}\frac{d}{dt}, \quad \frac{d^2}{dx^2} = \frac{1}{x^2}\left(\frac{d^2}{dt^2} - \frac{d}{dt} \right)\]，歐拉-柯西方程式 ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$) 將轉變為如下關於 $t$ 的常係數齊次線性常微分方程式：
\[y^{\prime\prime}(t) + (a-1)y^{\prime}(t) + by(t) = 0. \label{eqn:substituted}\tag{11}\]將方程式 ($\ref{eqn:substituted}$) 應用常係數二階齊次線性常微分方程式 的解法對 $t$ 求解，然後利用 $t = \ln{x}$ 將得到的解轉換回關於 $x$ 的解，即可得到與前述結果 相同的結果。
]]> 級數的收斂/發散判定(Testing for Convergence or Divergence of a Series) 2025-03-18T00:00:00+09:00 2025-05-13T16:24:07+09:00 https://www.yunseo.kim/zh-TW/posts/testing-for-convergence-or-divergence-of-a-series/ Yunseo Kim 綜合探討判定級數收斂/發散的各種方法。 綜合探討判定級數收斂/發散的各種方法。* Mathematical equations and diagrams included in posts may not display properly when viewed with a feed reader.
TL;DR 一般項判定法($n$th-term test for divergence) : $\lim_{n\to\infty} a_n \neq 0 \Rightarrow \text{級數 }\sum a_n \text{發散}$幾何級數的收斂/發散 : 幾何級數 $\sum ar^{n-1}$$|r| < 1$時收斂 $|r| \geq 1$時發散 $p$-級數的收斂/發散 : $p$-級數 $\sum \cfrac{1}{n^p}$比較判定法(Comparison Test) : 當 $0 \leq a_n \leq b_n$時,$\sum b_n < \infty \ \Rightarrow \ \sum a_n < \infty$ $\sum a_n = \infty \ \Rightarrow \ \sum b_n = \infty$ 極限比較判定法(Limit Comparison Test) : 若 $\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = c \text{ (}c\text{為有限正數)}$，則兩個級數 $\sum a_n$和 $\sum b_n$要麼都收斂，要麼都發散對於正項級數 $\sum a_n$和正數 $\epsilon < 1$若對所有 $n$都有 $\sqrt[n]{a_n}< 1-\epsilon$，則級數 $\sum a_n$收斂 若對所有 $n$都有 $\sqrt[n]{a_n}> 1+\epsilon$，則級數 $\sum a_n$發散 根式判定法(Root Test) : 對於正項級數 $\sum a_n$，若極限值 $\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n} =: r$存在，則$r<1$時，級數 $\sum a_n$收斂 $r>1$時，級數 $\sum a_n$發散 比值判定法(Ratio Test) : 對於正數數列 $(a_n)$和 $0 < r < 1$若對所有 $n$都有 $a_{n+1}/a_n \leq r$，則級數 $\sum a_n$收斂 若對所有 $n$都有 $a_{n+1}/a_n \geq 1$，則級數 $\sum a_n$發散 對於正數數列 $(a_n)$，若極限值 $\rho := \lim_{n\to\infty} \cfrac{a_{n+1}}{a_n}$存在，則$\rho < 1$時，級數 $\sum a_n$收斂 $\rho > 1$時，級數 $\sum a_n$發散 積分判定法(Integral Test) : 若連續函數 $f: \left[1,\infty \right) \rightarrow \mathbb{R}$為遞減函數且始終 $f(x)>0$，則級數 $\sum f(n)$收斂的充要條件是積分 $\int_1^\infty f(x)\ dx := \lim_{b\to\infty} \int_1^b f(x)\ dx$收斂交錯級數判定法(Alternating Series Test) : 若滿足以下條件，則交錯級數 $\sum a_n$收斂對所有 $n$，$a_n$和 $a_{n+1}$的符號不同 對所有 $n$，$|a_n| \geq |a_{n+1}|$ $\lim_{n\to\infty} a_n = 0$ 絕對收斂的級數必定收斂。反之則不成立。 Prerequisites 引言 在之前的數列與級數 中，我們了解了級數收斂與發散的定義。本文將整理判定級數收斂/發散時可以使用的各種方法。一般來說，判定級數的收斂/發散比精確計算級數的和要容易得多。
一般項判定法 對於級數 $\sum a_n$，$a_n$稱為該級數的一般項 。
根據以下定理，我們可以輕易判斷某些級數明顯發散，因此在判定級數收斂/發散時，首先檢查這一點是避免浪費時間的明智做法。
一般項判定法($n$th-term test for divergence)
\[\lim_{n\to\infty} a_n=0\]也就是說，
\[\lim_{n\to\infty} a_n \neq 0 \Rightarrow \text{級數 }\sum a_n \text{發散}\]證明 設某收斂級數 $\sum a_n$的和為 $l$，前 $n$項的和為
\[s_n := a_1 + a_2 + \cdots + a_n\]則，
\[\forall \epsilon > 0,\, \exists N \in \mathbb{N}\ (n > N \Rightarrow |s_n - l| < \epsilon).\]因此，對於足夠大的($>N$) $n$，
\[|a_n| = |s_n - s_{n-1}| = |(s_n - l) - (s_{n-1} - l)| \leq |s_n - l| + |s_{n-1} - l| \leq \epsilon + \epsilon = 2\epsilon\]由數列收斂的定義，
\[\lim_{n\to\infty} |a_n| = 0. \quad \blacksquare\]注意事項 這個定理的逆命題一般不成立。一個典型的例子是調和級數(harmonic series) 。
調和級數是由等差數列 的倒數形成的數列，即調和數列 所得的級數。最典型的調和級數是
\[H_n := 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n} \quad (n=1,2,3,\dots)\]這個級數發散，可以如下證明：
\[\begin{align*} \lim_{n\to\infty} H_n &= 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} + \frac{1}{9} + \cdots + \frac{1}{16} + \cdots \\ &> 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \cdots + \frac{1}{16} + \cdots \\ &= 1 + \frac{1}{2} \qquad\, + \frac{1}{2} \qquad\qquad\qquad\ \ + \frac{1}{2} \qquad\qquad\quad + \frac{1}{2} + \cdots \\ &= \infty. \end{align*}\]如此可見，儘管級數 $H_n$發散，但其一般項 $1/n$確實收斂於 $0$。
若 $\lim_{n\to\infty} a_n \neq 0$，則級數 $\sum a_n$必定發散，但若 $\lim_{n\to\infty} a_n = 0$，不能因此認為級數 $\sum a_n$會收斂，這種情況下需要使用其他方法來判定收斂/發散。
幾何級數 首項為1，公比 為 $r$的等比數列所形成的幾何級數(geometric series)
\[1 + r + r^2 + r^3 + \cdots \label{eqn:geometric_series}\tag{5}\]是最重要且基本的級數 。從等式
\[(1-r)(1+r+\cdots + r^{n-1}) = 1 - r^n\]得到
\[1 + r + \cdots + r^{n-1} = \frac{1-r^n}{1-r} = \frac{1}{1-r} - \frac{r^n}{1-r} \qquad (r \neq 1) \label{eqn:sum_of_geometric_series}\tag{6}\]另一方面，
\[\lim_{n\to\infty} r^n = 0 \quad \Leftrightarrow \quad |r| < 1\]因此，幾何級數 ($\ref{eqn:geometric_series}$)收斂的充要條件是 $|r| < 1$。
幾何級數的收斂/發散
$|r| < 1$時收斂 $|r| \geq 1$時發散 由此得到
\[1 + r + r^2 + r^3 + \cdots = \frac{1}{1-r} \qquad (|r| < 1) \label{eqn:sum_of_inf_geometric_series}\tag{7}\]幾何級數與近似值 恆等式 ($\ref{eqn:sum_of_geometric_series}$)在 $|r| < 1$時對計算 $\cfrac{1}{1-r}$的近似值很有用。
將 $r=-\epsilon$, $n=2$代入這個式子，得到
\[\frac{1}{1+\epsilon} - (1 - \epsilon) = \frac{\epsilon^2}{1 + \epsilon}\]因此，若 $0 < \epsilon < 1$，則
\[0 < \frac{1}{1 + \epsilon} - (1 - \epsilon) < \epsilon^2\]所以
\[\frac{1}{1 + \epsilon} \approx (1 - \epsilon) \pm \epsilon^2 \qquad (0 < \epsilon < 1)\]由此可知，對於足夠小的正數 $\epsilon$，$\cfrac{1}{1 + \epsilon}$可以近似為 $1 - \epsilon$。
$p$-級數判定法 ($p$-Series Test) 對於正實數 $p$，以下形式的級數稱為$p$-級數 ：
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}\]$p$-級數的收斂/發散
在 $p$-級數中，當 $p=1$時就是調和級數，我們已經證明它發散。
更一般地，$p$-級數中 $p>1$的情況被稱為zeta函數(zeta function) 。這是由萊昂哈德·歐拉(Leonhard Euler)在人類紀元 11740年引入，後來由黎曼命名的特殊函數之一，定義為：
\[\zeta(s) := \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} \qquad (s>1)\]這個主題稍微偏離本文範圍，而且坦白說，我是工科生而非數學家，所以我也不太了解，因此不在此詳述。但值得一提的是，萊昂哈德·歐拉證明了zeta函數也可以用歐拉乘積(Euler Product) 的形式表示，即素數(prime number)的無限乘積，此後zeta函數在解析數論的多個領域中佔據核心地位。將zeta函數的定義域擴展到複數的黎曼zeta函數(Riemann zeta function) 以及與之相關的重要未解難題黎曼猜想(Riemann hypothesis) 就是其中之一。
回到原主題，$p$-級數判定法的證明需要後面將介紹的比較判定法 和積分判定法 。但由於 $p$-級數的收斂/發散與幾何級數一起在接下來的比較判定法 中非常有用，所以我有意將其放在前面。
證明 i) 當 $p>1$時 積分
\[\int_1^\infty \frac{1}{x^p}\ dx = \left[\frac{1}{-p+1}\frac{1}{x^{p-1}} \right]^\infty_1 = \frac{1}{p-1}\]收斂，因此根據積分判定法 ，級數 $\sum \cfrac{1}{n^p}$也收斂。
ii) 當 $p\leq 1$時 在這種情況下
\[0 \leq \frac{1}{n} \leq \frac{1}{n^p}\]我們知道調和級數 $\sum \cfrac{1}{n}$發散，所以根據比較判定法 ，$\sum \cfrac{1}{n^p}$也發散。
結論 根據i)和ii)，$p$-級數 $\sum \cfrac{1}{n^p}$在 $p>1$時收斂，在 $p \leq 1$時發散。$\blacksquare$
比較判定法 在判定一般項為非負實數的級數（即正項級數(series of positive terms) ）的收斂/發散時，雅各布·伯努利(Jakob Bernoulli)的比較判定法(Comparison Test) 非常有用。
正項級數 $\sum a_n$是遞增數列，因此如果不是發散到無窮大（$\sum a_n = \infty$），那麼它必定收斂。所以對於正項級數，
\[\sum a_n < \infty\]這樣的表達意味著收斂 。
比較判定法(Comparison Test)
$\sum b_n < \infty \ \Rightarrow \ \sum a_n < \infty$ $\sum a_n = \infty \ \Rightarrow \ \sum b_n = \infty$ 特別是，對於那些形式類似於前面討論的等比級數 $\sum ar^{n-1}$或 $p$-級數 $\sum \cfrac{1}{n^p}$的正項級數，如 $\sum \cfrac{1}{n^2 + n}$、$\sum \cfrac{\log n}{n^3}$、$\sum \cfrac{1}{2^n + 3^n}$、$\sum \cfrac{1}{\sqrt{n}}$、$\sum \sin{\cfrac{1}{n}}$等，積極嘗試使用比較判定法是個好主意。
後面將介紹的其他多種收斂/發散判定法都可以從這個比較判定法 推導出來，從這個意義上說，比較判定法可以說是最重要的。
極限比較判定法 對於正項級數 $\sum a_n$和 $\sum b_n$，如果兩個級數一般項的比 $a_n/b_n$中分子和分母的主導項(dominant term)相互抵消，使得 $\lim_{n\to\infty} \cfrac{a_n}{b_n}=c \text{ (}c\text{為有限正數)}$，且我們已知級數 $\sum b_n$的收斂/發散情況，那麼可以使用以下極限比較判定法(Limit Comparison Test) 。
極限比較判定法(Limit Comparison Test)
\[\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = c \text{ (}c\text{為有限正數)}\]則兩個級數 $\sum a_n$和 $\sum b_n$要麼都收斂，要麼都發散。即 $ \sum a_n < \infty \ \Leftrightarrow \ \sum b_n < \infty$。
根式判定法 定理
若對所有 $n$都有 $\sqrt[n]{a_n}< 1-\epsilon$，則級數 $\sum a_n$收斂 若對所有 $n$都有 $\sqrt[n]{a_n}> 1+\epsilon$，則級數 $\sum a_n$發散 推論：根式判定法(Root Test)
\[\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n} =: r\]存在，則
$r<1$時，級數 $\sum a_n$收斂 $r>1$時，級數 $\sum a_n$發散 在上述推論中，若 $r=1$，則無法判定收斂/發散，需要使用其他方法。
比值判定法 比值判定法(Ratio Test)
若對所有 $n$都有 $a_{n+1}/a_n \leq r$，則級數 $\sum a_n$收斂 若對所有 $n$都有 $a_{n+1}/a_n \geq 1$，則級數 $\sum a_n$發散 推論
$\rho < 1$時，級數 $\sum a_n$收斂 $\rho > 1$時，級數 $\sum a_n$發散 積分判定法 使用積分法可以判定由遞減正數列組成的級數的收斂/發散。
積分判定法(Integral Test)
\[\int_1^\infty f(x)\ dx := \lim_{b\to\infty} \int_1^b f(x)\ dx\]收斂。
證明 由於函數 $f(x)$連續且遞減，同時始終為正，因此不等式
\[f(n+1) \leq \int_n^{n+1} f(x)\ dx \leq f(n)\]成立。將這個不等式從 $n=1$到一般項逐項相加，得到不等式
\[f(2) + \cdots + f(n+1) \leq \int_1^{n+1} f(x)\ dx \leq f(1) + \cdots + f(n)\]現在使用比較判定法 即可得到所需結果。$\blacksquare$
交錯級數 一般項不為 $0$且每項 $a_n$的符號與下一項 $a_{n+1}$的符號不同，即正項和負項交替出現的級數 $\sum a_n$稱為交錯級數(alternating series) 。
對於交錯級數，德國數學家戈特弗里德·威廉·萊布尼茨(Gottfried Wilhelm Leibniz)發現的以下定理在判定收斂/發散時非常有用。
交錯級數判定法(Alternating Series Test)
對所有 $n$，$a_n$和 $a_{n+1}$的符號不同， 對所有 $n$，$|a_n| \geq |a_{n+1}|$， $\lim_{n\to\infty} a_n = 0$， 則交錯級數 $\sum a_n$收斂。
絕對收斂級數 對於級數 $\sum a_n$，若級數 $\sum |a_n|$收斂，則稱「級數 $\sum a_n$絕對收斂 (converge absolutely )」。
此時以下定理成立：
定理
上述定理的逆命題不成立。條件收斂 (converge conditionally )」。
證明 對於實數 $a$，定義
\[\begin{align*} a^+ &:= \max\{a,0\} = \frac{1}{2}(|a| + a), \\ a^- &:= -\min\{a,0\} = \frac{1}{2}(|a| - a) \end{align*}\]則，
\[a = a^+ - a^-, \qquad |a| = a^+ + a^-\]由於 $0 \leq a^\pm \leq |a|$，根據比較判定法 ，若級數 $\sum |a_n|$收斂，則級數 $\sum a_n^+$和 $\sum a_n^-$也都收斂，因此根據收斂級數的基本性質 ，
\[\sum a_n = \sum (a_n^+ - a_n^-) = \sum a_n^+ - \sum a_n^-\]也收斂。$\blacksquare$
]]> 數列與級數 2025-03-16T00:00:00+09:00 2025-05-13T16:24:07+09:00 https://www.yunseo.kim/zh-TW/posts/sequences-and-series/ Yunseo Kim 探討數列與級數的定義、數列的收斂與發散、級數的收斂與發散、自然對數的底數e的定義等微積分的基礎概念。 探討數列與級數的定義、數列的收斂與發散、級數的收斂與發散、自然對數的底數e的定義等微積分的基礎概念。* Mathematical equations and diagrams included in posts may not display properly when viewed with a feed reader.
數列 在微積分中討論的數列（sequence） 主要指無限數列。也就是說，數列是定義在自然數（natural number） 全體集合上的函數
\[\mathbb{N} := \{1,2,3,\dots\}\]*如果這個函數的值是實數（real number），則稱為「實數列」；如果是複數（complex number），則稱為「複數列」；如果是點（point），則稱為「點列」；如果是矩陣（matrix），則稱為「矩陣列」；如果是函數（function），則稱為「函數列」；如果是集合（set），則稱為「集合列」等。但這些都可以簡單地稱為「列」或「數列」。
通常對於實數體（the field of real numbers） $\mathbb{R}$，數列 $\mathbf{a}: \mathbb{N} \to \mathbb{R}$ 中
\[a_1 := \mathbf{a}(1), \quad a_2 := \mathbf{a}(2), \quad a_3 := \mathbf{a}(3)\]等，這個數列可以表示為
\[a_1,\, a_2,\, a_3,\, \dots\]或
\[\begin{gather*} (a_1,a_2,a_3,\dots), \\ (a_n: n=1,2,3,\dots), \\ (a_n)_{n=1}^{\infty}, \qquad (a_n) \end{gather*}\]等。
*在定義數列的過程中，定義域可以不用自然數全體集合 $\mathbb{N}$，而改用 $0$ 以上的整數集合
\[\mathbb{N}_0 := \{0\} \cup \mathbb{N} = \{0,1,2,\dots\}\]或
\[\{2,3,4,\dots \}\]等。例如，在處理冪級數理論時，定義域為 $\mathbb{N}_0$ 會更自然。
收斂與發散 如果數列 $(a_n)$ 收斂於實數 $l$，則寫作
\[\lim_{n\to \infty} a_n = l\]這時，$l$ 稱為數列 $(a_n)$ 的極限值 。
使用ε-δ論證（epsilon-delta argument） 的嚴格定義如下：
\[\lim_{n\to \infty} a_n = l \overset{def}\Longleftrightarrow \forall \epsilon > 0,\, \exists N \in \mathbb{N}\ (n > N \Rightarrow |a_n - l| < \epsilon)\]也就是說，對於任何小的正數 $\epsilon$，只要存在一個自然數 $N$，使得當 $n>N$ 時，總是滿足 $|a_n - l | < \epsilon$，這意味著對於足夠大的 $n$，$a_n$ 和 $l$ 的差會無限接近，因此我們定義滿足這個條件的數列 $(a_n)$ 收斂於實數 $l$。
不收斂的數列稱為發散 。數列的收斂或發散性質不會因為有限項的改變而改變。
如果數列 $(a_n)$ 的每一項無限增大，則寫作
\[\lim_{n\to \infty} a_n = \infty\]稱為發散到正無窮大 。同樣地，如果數列 $(a_n)$ 的每一項無限減小，則寫作
\[\lim_{n\to \infty} a_n = -\infty\]稱為發散到負無窮大 。
收斂數列的基本性質 如果數列 $(a_n)$ 和 $(b_n)$ 都收斂（即有極限值），則數列 $(a_n + b_n)$ 和 $(a_n \cdot b_n)$ 也同樣收斂，且
\[\lim_{n\to \infty} (a_n + b_n) = \lim_{n\to \infty} a_n + \lim_{n\to \infty} b_n \label{eqn:props_of_conv_series_1}\tag{1}\] \[\lim_{n\to \infty} (a_n \cdot b_n) = \left(\lim_{n\to \infty} a_n \right) \cdot \left(\lim_{n\to \infty} b_n \right) \label{eqn:props_of_conv_series_2}\tag{2}\]此外，對於任意實數 $t$，
\[\lim_{n\to \infty} (t a_n) = t\left(\lim_{n\to \infty} a_n \right) \label{eqn:props_of_conv_series_3}\tag{3}\]這些性質稱為收斂數列的基本性質 或極限的基本性質 。
自然對數的底數 $e$ 自然對數的底數 定義為
\[e := \lim_{n\to \infty} \left(1+\frac{1}{n} \right)^n \approx 2.718\]這可以說是數學中最重要的常數之一。
在韓國，「自然常數」這個表達方式相當普遍，但這並不是標準用語。韓國數學會在數學用語集中登錄的官方用語是‘自然對數的底數’ ，而「自然常數」這個表達在該用語集中找不到。甚至在國立國語院標準國語大辭典中也找不到「自然常數」這個詞，只在‘自然對數’的辭典解釋 中提到「通常用e表示的特定數字」。
級數 對於數列
\[\mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3, \dots)\]由這個數列的部分和組成的另一個數列
\[a_1, \quad a_1 + a_2, \quad a_1 + a_2 + a_3, \quad \dots\]稱為數列 $\mathbf{a}$ 的級數 。數列 $(a_n)$ 的級數表示為
\[\begin{gather*} a_1 + a_2 + a_3 + \cdots, \qquad \sum_{n=1}^{\infty}a_n, \\ \sum_{n\geq 1} a_n, \qquad \sum_n a_n, \qquad \sum a_n \end{gather*}\]等。
級數的收斂與發散 如果從數列 $(a_n)$ 得到的級數
\[a_1, \quad a_1 + a_2, \quad a_1 + a_2 + a_3, \quad \dots\]收斂於某個實數 $l$，則表示為
\[\sum_{n=1}^{\infty} a_n = l\]這時，極限值 $l$ 稱為級數 $\sum a_n$ 的和 。符號
\[\sum a_n\]根據情況可以表示級數 ，也可以表示該級數的和 。
不收斂的級數稱為發散 。
收斂級數的基本性質 從收斂數列的基本性質 可以得到以下收斂級數的基本性質。對於實數 $t$ 和兩個收斂級數 $\sum a_n$, $\sum b_n$，
\[\sum(a_n + b_n) = \sum a_n + \sum b_n, \qquad \sum ta_n = t\sum a_n \tag{4}\]成立。
級數的收斂性不受有限項變化的影響。也就是說，對於兩個數列 $(a_n)$, $(b_n)$，如果除了有限個 $n$ 外，都有 $a_n=b_n$，則級數 $\sum a_n$ 收斂的充分必要條件是級數 $\sum b_n$ 收斂。
]]> 牛頓運動定律 2025-03-10T00:00:00+09:00 2026-02-16T05:09:10+09:00 https://www.yunseo.kim/zh-TW/posts/newtons-laws-of-motion/ Yunseo Kim 探討牛頓運動定律及其三大定律的意義，以及慣性質量與重力質量的定義，並檢視等效原理在經典力學和後來的廣義相對論中的重要意義。 探討牛頓運動定律及其三大定律的意義，以及慣性質量與重力質量的定義，並檢視等效原理在經典力學和後來的廣義相對論中的重要意義。* Mathematical equations and diagrams included in posts may not display properly when viewed with a feed reader.
TL;DR 牛頓運動定律(Newton’s laws of motion)
若無外力作用，物體將保持靜止或勻速直線運動狀態。 物體動量的時間變化率等於作用在該物體上的力。$\vec{F} = \cfrac{d\vec{p}}{dt} = \cfrac{d}{dt}(m\vec{v}) = m\vec{a}$ 當兩物體相互作用時，這兩個力的大小相等且方向相反。 等效原理(principle of equivalence)
慣性質量：決定物體在給定力作用下加速度的質量 重力質量：決定物體與其他物體之間重力作用的質量 目前已知慣性質量與重力質量在誤差範圍約 $10^{-12}$ 內明確相等 慣性質量與重力質量完全相等的主張被稱為等效原理 牛頓運動定律 牛頓運動定律是艾薩克·牛頓(Issac Newton)在人類紀年 11687年透過著作《自然哲學的數學原理》(Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica，簡稱「原理論」)發表的三大定律，構成了牛頓力學(Newtonian mechanics)的基礎。
若無外力作用，物體將保持靜止或勻速直線運動狀態。 物體動量的時間變化率等於作用在該物體上的力。 當兩物體相互作用時，這兩個力的大小相等且方向相反。 牛頓第一定律 I. 若無外力作用，物體將保持靜止或勻速直線運動狀態。
這種無外力作用狀態下的物體被稱為自由物體(free body) 或自由粒子(free particle) 。 然而，第一定律本身只提供了關於力的定性概念。
牛頓第二定律 II. 物體動量的時間變化率等於作用在該物體上的力。
牛頓將動量(momentum) 定義為質量與速度的乘積
\[\vec{p} \equiv m\vec{v} \label{eqn:momentum}\tag{1}\]由此，牛頓第二定律可表示為：
\[\vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt} = \frac{d}{dt}(m\vec{v}) = m\vec{a}. \label{eqn:2nd_law}\tag{2}\]牛頓第一定律和第二定律，與其名稱不同，實際上更接近於對「力」的「定義」而非「定律」。此外，力的定義依賴於「質量」的定義。
牛頓第三定律 III. 當兩物體相互作用時，這兩個力的大小相等且方向相反。
這也被稱為「作用與反作用定律」，適用於一個物體對另一個物體施加的力沿著連接兩作用點的直線方向的情況。這種力被稱為中心力(central force) ，第三定律無論中心力是吸引力還是排斥力都成立。靜止物體間的重力或靜電力，以及彈力等都屬於這類中心力。相反，運動電荷之間的力、運動物體間的重力等依賴於相互作用物體速度的力屬於非中心力，這種情況下第三定律不適用。
考慮到前面討論的質量定義，第三定律可以改寫為：
III$^\prime$. 當兩物體構成理想孤立系統時，這兩個物體的加速度方向相反，且其大小比例與兩物體質量的反比相等。
根據牛頓第三定律：
\[\vec{F_1} = -\vec{F_2} \label{eqn:3rd_law}\tag{3}\]將前面討論的第二定律($\ref{eqn:2nd_law}$)代入：
\[\frac{d\vec{p_1}}{dt} = -\frac{d\vec{p_2}}{dt} \label{eqn:3rd-1_law}\tag{4}\]由此可知，在兩粒子的孤立相互作用中，動量是守恆的。
\[\frac{d}{dt}(\vec{p_1}+\vec{p_2}) = 0 \label{eqn:conservation_of_momentum}\tag{5}\]此外，從式($\ref{eqn:3rd-1_law}$)中，因為$\vec{p}=m\vec{v}$且質量$m$是常數，所以：
\[m_1\left(\frac{d\vec{v_1}}{dt} \right) = m_2\left(-\frac{d\vec{v_2}}{dt} \right) \tag{6a}\] \[m_1(\vec{a_1}) = m_2(-\vec{a_2}) \tag{6b}\]得到：
\[\frac{m_2}{m_1} = -\frac{a_1}{a_2}. \tag{7}\]然而，牛頓第三定律描述的是兩物體構成孤立系統的情況，但實際上實現這種理想條件是不可能的，因此牛頓在第三定律中的主張可以說是相當大膽的。儘管結論來自有限的觀察，但由於牛頓深刻的物理洞察力，牛頓力學在近300年間經受住了各種實驗的檢驗而未發現錯誤，直到11900年代才有足夠精確的測量能夠顯示牛頓理論預測與實際情況的差異，從而催生了相對論和量子力學。
慣性質量與重力質量 確定物體質量的方法之一是使用天平等工具將該物體的重量與標準重量比較。這種方法利用了物體在重力場中的重量等於作用在該物體上的重力大小的事實，在這種情況下，第二定律$\vec{F}=m\vec{a}$變為$\vec{W}=m\vec{g}$的形式。這種方法基於III$^\prime$中定義的質量$m$與重力方程中出現的質量$m$相同的基本假設。這兩種質量分別被稱為慣性質量(inertial mass) 和重力質量(gravitational mass) ，定義如下：
慣性質量：決定物體在給定力作用下加速度的質量 重力質量：決定物體與其他物體之間重力作用的質量 雖然與伽利略·伽利萊(Galileo Galilei)無關，是後人編造的故事，但比薩斜塔的落體實驗是首次表明慣性質量和重力質量可能相等的思想實驗。牛頓也試圖通過測量長度相同但擺錘質量不同的鐘擺周期來證明兩種質量之間沒有差異，但由於實驗方法和精度粗糙，未能成功證明。
後來在11800年代末，匈牙利物理學家厄特沃什·羅蘭德·奧古斯頓(Eötvös Loránd Ágoston)進行了厄特沃什實驗，以精確測量慣性質量和重力質量之間的差異，並以相當高的精度(誤差在二千萬分之一內)證明了慣性質量和重力質量是相同的。
隨後，羅伯特·亨利·迪克(Robert Henry Dicke)等人進行的更近期實驗進一步提高了精度，目前已知慣性質量和重力質量在誤差範圍約$10^{-12}$內明確相等。這一結果在廣義相對論中具有極其重要的意義，慣性質量和重力質量完全相等的主張被稱為等效原理(principle of equivalence) 。
]]> 常係數二階齊次線性常微分方程式 2025-02-22T00:00:00+09:00 2025-07-11T21:25:00+09:00 https://www.yunseo.kim/zh-TW/posts/homogeneous-linear-odes-with-constant-coefficients/ Yunseo Kim 根據特徵方程式判別式的正負號，探討常係數齊次線性常微分方程式的通解在各種情況下所呈現的形式。 根據特徵方程式判別式的正負號，探討常係數齊次線性常微分方程式的通解在各種情況下所呈現的形式。* Mathematical equations and diagrams included in posts may not display properly when viewed with a feed reader.
TL;DR 常係數二階齊次線性常微分方程式：$y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = 0$ 特徵方程式(characteristic equation) ：$\lambda^2 + a\lambda + b = 0$根據特徵方程式的判別式 $a^2 - 4b$ 的正負號，通解的形式可分為下表三種情況： 情況 特徵方程式的根 常微分方程式的解的基底 常微分方程式的通解 I 相異實根 $e^{\lambda_1 x}$, $e^{\lambda_2 x}$ $y = c_1e^{\lambda_1 x} + c_2e^{\lambda_2 x}$ II 實重根 $e^{-ax/2}$, $xe^{-ax/2}$ $y = (c_1 + c_2 x)e^{-ax/2}$ III 共軛複數根 $e^{-ax/2}\cos{\omega x}$, $y = e^{-ax/2}(A\cos{\omega x} + B\sin{\omega x})$
先備知識 特徵方程式 (characteristic equation) 我們來探討係數 $a$ 與 $b$ 為常數的二階齊次線性常微分方程式
\[y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = 0 \label{eqn:ode_with_constant_coefficients}\tag{1}\]這種形式的方程式在機械、電學振盪中有重要的應用。
先前在白努利方程式(Bernoulli Equation) 中，我們曾求過羅吉斯方程式的通解。根據該文，具有常數係數 $k$ 的一階線性常微分方程式
\[y^\prime + ky = 0\]的解是指數函數 $y = ce^{-kx}$。（在該篇文章的方程式 (4) 中，$A=-k$，$B=0$ 的情況）
因此，對於形式相似的方程式 ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$)，我們也可以先嘗試
\[y=e^{\lambda x}\label{eqn:general_sol}\tag{2}\]形式的解。
當然，這純屬猜測，完全無法保證通解必定是這種形式。但無論如何，只要能先找到兩個線性獨立的解，就可以像在二階齊次線性常微分方程式 一文中所探討的，根據疊加原理 求出通解。需要求取其他形式解的情況 。
將方程式 ($\ref{eqn:general_sol}$) 及其導數
\[y^\prime = \lambda e^{\lambda x}, \quad y^{\prime\prime} = \lambda^2 e^{\lambda x}\]代入方程式 ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$) 中，可得
\[(\lambda^2 + a\lambda + b)e^{\lambda x} = 0\]因此，若 $\lambda$ 是特徵方程式(characteristic equation)
\[\lambda^2 + a\lambda + b = 0 \label{eqn:characteristic_eqn}\tag{3}\]的根，則指數函數 ($\ref{eqn:general_sol}$) 就是常微分方程式 ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$) 的解。求解二次方程式 ($\ref{eqn:characteristic_eqn}$) 的根，可得
\[\begin{align*} \lambda_1 &= \frac{1}{2}\left(-a + \sqrt{a^2 - 4b}\right), \\ \lambda_2 &= \frac{1}{2}\left(-a - \sqrt{a^2 - 4b}\right) \end{align*}\label{eqn:lambdas}\tag{4}\]由此可知，兩個函數
\[y_1 = e^{\lambda_1 x}, \quad y_2 = e^{\lambda_2 x} \tag{5}\]是方程式 ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$) 的解。
特徵方程式(characteristic equation) 與 輔助方程式(auxiliary equation) 這兩個術語經常混用，但它們的意義完全相同。使用哪個稱呼都無妨。
現在，根據特徵方程式 ($\ref{eqn:characteristic_eqn}$) 的判別式 $a^2 - 4b$ 的正負號，可將情況分為三種。
$a^2 - 4b > 0$: 相異實根 $a^2 - 4b = 0$: 實重根 $a^2 - 4b < 0$: 共軛複數根 根據特徵方程式判別式的正負號決定通解的形式 I. 相異實根 $\lambda_1$ 與 $\lambda_2$ 在這種情況下，方程式 ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$) 在任意區間上的解的基底為
\[y_1 = e^{\lambda_1 x}, \quad y_2 = e^{\lambda_2 x}\]其對應的通解為
\[y = c_1 e^{\lambda_1 x} + c_2 e^{\lambda_2 x} \label{eqn:general_sol_1}\tag{6}\]II. 實重根 $\lambda = -\cfrac{a}{2}$ 當 $a^2 - 4b = 0$ 時，二次方程式 ($\ref{eqn:characteristic_eqn}$) 只有一個根 $\lambda = \lambda_1 = \lambda_2 = -\cfrac{a}{2}$，因此能得到的 $y = e^{\lambda x}$ 形式的解只有一個：
\[y_1 = e^{-(a/2)x}\]為了得到基底，必須找出與 $y_1$ 線性獨立的第二個不同形式的解 $y_2$。
在這種情況下，可以利用先前探討過的降階法 。將欲求的第二個解設為 $y_2=uy_1$，並將
\[\begin{align*} y_2 &= uy_1, \\ y_2^{\prime} &= u^{\prime}y_1 + uy_1^{\prime}, \\ y_2^{\prime\prime} &= u^{\prime\prime}y_1 + 2u^{\prime}y_1^{\prime} + uy_1^{\prime\prime} \end{align*}\]代入方程式 ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$) 中，可得
\[(u^{\prime\prime}y_1 + 2u^\prime y_1^\prime + uy_1^{\prime\prime}) + a(u^\prime y_1 + uy_1^\prime) + buy_1 = 0\]將 $u^{\prime\prime}$、$u^\prime$、$u$ 的各項分別整理後，可得
\[y_1u^{\prime\prime} + (2y_1^\prime + ay_1)u^\prime + (y_1^{\prime\prime} + ay_1^\prime + by_1)u = 0\]在此，因為 $y_1$ 是方程式 ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$) 的解，所以最後一個括號內的式子為 $0$。又因為
\[2y_1^\prime = -ae^{-ax/2} = -ay_1\]所以第一個括號內的式子也為 $0$。因此只剩下 $u^{\prime\prime}y_1 = 0$，由此可得 $u^{\prime\prime}=0$。積分兩次可得 $u = c_1x + c_2$。積分常數 $c_1$ 和 $c_2$ 可以是任何值，因此我們可以簡單地選擇 $c_1=1$、$c_2=0$，令 $u=x$。如此一來，$y_2 = uy_1 = xy_1$。由於 $y_1$ 和 $y_2$ 線性獨立，它們構成了一組基底。因此，當特徵方程式 ($\ref{eqn:characteristic_eqn}$) 有重根時，方程式 ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$) 在任意區間上的解的基底為
\[e^{-ax/2}, \quad xe^{-ax/2}\]其對應的通解為
\[y = (c_1 + c_2x)e^{-ax/2} \label{eqn:general_sol_2}\tag{7}\]III. 共軛複數根 $-\cfrac{1}{2}a + i\omega$ 與 $-\cfrac{1}{2}a - i\omega$ 在這種情況下，$a^2 - 4b < 0$ 且 $\sqrt{-1} = i$，因此從方程式 ($\ref{eqn:lambdas}$) 可得
\[\cfrac{1}{2}\sqrt{a^2 - 4b} = \cfrac{1}{2}\sqrt{-(4b - a^2)} = \sqrt{-(b-\frac{1}{4}a^2)} = i\sqrt{b - \frac{1}{4}a^2}\]在此，我們定義實數 $\sqrt{b-\cfrac{1}{4}a^2} = \omega$。
如上定義 $\omega$ 後，特徵方程式 ($\ref{eqn:characteristic_eqn}$) 的根為共軛複數根 $\lambda = -\cfrac{1}{2}a \pm i\omega$，其對應的方程式 ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$) 的兩個複數解為
\[\begin{align*} e^{\lambda_1 x} &= e^{-(a/2)x + i\omega x}, \\ e^{\lambda_2 x} &= e^{-(a/2)x - i\omega x} \end{align*}\]不過，在這種情況下，我們仍然可以得到一組由實數解構成的基底，如下所示。
歐拉公式(Euler formula)
\[e^{it} = \cos t + i\sin t \label{eqn:euler_formula}\tag{8}\]以及將上式中的 $t$ 替換為 $-t$ 所得到的
\[e^{-it} = \cos t - i\sin t\]將這兩個方程式相加及相減，可得：
\[\begin{align*} \cos t &= \frac{1}{2}(e^{it} + e^{-it}), \\ \sin t &= \frac{1}{2i}(e^{it} - e^{-it}). \end{align*} \label{eqn:cos_and_sin}\tag{9}\]具有實部 $r$ 和虛部 $it$ 的複變數 $z = r + it$ 的複指數函數 $e^z$，可以使用實函數 $e^r$、$\cos t$ 和 $\sin t$ 定義如下：
\[e^z = e^{r + it} = e^r e^{it} = e^r(\cos t + i\sin t) \label{eqn:complex_exp}\tag{10}\]在此，若令 $r=-\cfrac{1}{2}ax$，$t=\omega x$，則可寫成：
\[\begin{align*} e^{\lambda_1 x} &= e^{-(a/2)x + i\omega x} = e^{-(a/2)x}(\cos{\omega x} + i\sin{\omega x}) \\ e^{\lambda_2 x} &= e^{-(a/2)x - i\omega x} = e^{-(a/2)x}(\cos{\omega x} - i\sin{\omega x}) \end{align*}\]根據疊加原理 ，上述複數解的和與常數倍也同樣是解。因此，將兩個等式相加，並在兩邊同乘以 $\cfrac{1}{2}$，即可得到第一個實數解 $y_1$：
\[y_1 = e^{-(a/2)x} \cos{\omega x}. \label{eqn:basis_1}\tag{11}\]同理，將第一個等式減去第二個等式，並在兩邊同乘以 $\cfrac{1}{2i}$，即可得到第二個實數解 $y_2$。
\[y_2 = e^{-(a/2)x} \sin{\omega x}. \label{eqn:basis_2}\tag{12}\]由於 $\cfrac{y_1}{y_2} = \cot{\omega x}$ 不是常數，因此 $y_1$ 和 $y_2$ 在所有區間上皆為線性獨立，從而構成了方程式 ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$) 的實數解基底。由此可得通解
\[y = e^{-ax/2}(A\cos{\omega x} + B\sin{\omega x}) \quad \text{(}A,\, B\text{為任意常數)} \label{eqn:general_sol_3}\tag{13}\] ]]> 使用Polyglot在Jekyll部落格實現多語言支援 (3) - Chirpy 主題建置失敗與搜尋功能錯誤的疑難排解 2025-02-05T00:00:00+09:00 2025-10-08T00:53:56+09:00 https://www.yunseo.kim/zh-TW/posts/how-to-support-multi-language-on-jekyll-blog-with-polyglot-3/ Yunseo Kim 介紹在基於'jekyll-theme-chirpy'的Jekyll部落格中應用Polyglot外掛實現多語言支援的過程。本文為系列第三篇，主要探討在Chirpy主題上應用Polyglot時所發生的錯誤，並說明如何識別問題原因及解決方法。 介紹在基於'jekyll-theme-chirpy'的Jekyll部落格中應用Polyglot外掛實現多語言支援的過程。本文為系列第三篇，主要探討在Chirpy主題上應用Polyglot時所發生的錯誤，並說明如何識別問題原因及解決方法。* Mathematical equations and diagrams included in posts may not display properly when viewed with a feed reader.
概述 12024 年 7 月初，我為這個透過 Github Pages 託管、基於 Jekyll 的部落格，應用了 Polyglot 外掛，新增了多語言支援功能。 本系列將分享在 Chirpy 主題上應用 Polyglot 外掛過程中遇到的錯誤及其解決過程，並分享考量到 SEO 的 html 標頭與 sitemap.xml 的撰寫方法。 本系列由三篇文章組成，您正在閱讀的是系列中的第三篇。
原本此系列為兩篇文章，但經過數次內容補充後，篇幅大幅增加，因此改為三篇文章。
需求條件 開始之前 本文接續自第1篇 與第2篇 ，如果您尚未閱讀，建議先從前兩篇文章開始。
疑難排解 (‘relative_url_regex’: target of repeat operator is not specified) （+ 12025.10.08. 更新）此錯誤已在 Polyglot 1.11 版修復 。
完成前述步驟後，當我執行bundle exec jekyll serve指令進行建置測試時，發生了'relative_url_regex': target of repeat operator is not specified的錯誤，導致建置失敗。
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Jekyll 4.3.4 Please append ` --trace ` to the ` serve` command
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/Users/yunseo/.gem/ruby/3.2.2/gems/jekyll-polyglot-1.8.1/lib/jekyll/polyglot/
patches/jekyll/site.rb:234:in ` relative_url_regex': target of repeat operator
is not specified: /href="?\/((?:(?!*.gem)(?!*.gemspec)(?!tools)(?!README.md)(
?!LICENSE)(?!*.config.js)(?!rollup.config.js)(?!package*.json)(?!.sass-cache)
(?!.jekyll-cache)(?!gemfiles)(?!Gemfile)(?!Gemfile.lock)(?!node_modules)(?!ve
ndor\/bundle\/)(?!vendor\/cache\/)(?!vendor\/gems\/)(?!vendor\/ruby\/)(?!en\/
)(?!ko\/)(?!es\/)(?!pt-BR\/)(?!ja\/)(?!fr\/)(?!de\/)[^,' " \s\/ ?.]+ \. ?)*(?: \/ [^
\]\[ )(" '\s]*)?)"/ (RegexpError)
...(略)
經過搜尋，我發現在 Polyglot 的儲存庫中，已經有人回報了完全相同的問題 ，並且已經有了可行的解決方案。
在本部落格正在使用的 Chirpy 主題的 _config.yml 檔案 中，存在以下這段設定。
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exclude :
- " *.gem"
- " *.gemspec"
- docs
- tools
- README.md
- LICENSE
- " *.config.js"
- package*.json
問題的原因在於，Polyglot 的 site.rb 檔案 中包含的兩個函式，其正規表示式語法無法正常處理像上述 "*.gem"、"*.gemspec"、"*.config.js" 這樣包含萬用字元的 globbing 模式 (globbing pattern)。
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# a regex that matches relative urls in a html document
# matches href="baseurl/foo/bar-baz" href="/zh-TW/foo/bar-baz" and others like it
# avoids matching excluded files. prepare makes sure
# that all @exclude dirs have a trailing slash.
def relative_url_regex ( disabled = false )
regex = ''
unless disabled
@exclude . each do | x |
regex += "(?! #{ x } )"
end
@languages . each do | x |
regex += "(?! #{ x } \/ )"
end
end
start = disabled ? 'ferh' : 'href'
%r{ #{ start } ="? #{ @baseurl } /((?: #{ regex } [^,'" \s /?.]+ \. ?)*(?:/[^ \]\[ )("' \s ]*)?)"}
end
# a regex that matches absolute urls in a html document
# matches href="http://baseurl/foo/bar-baz" and others like it
# avoids matching excluded files. prepare makes sure
# that all @exclude dirs have a trailing slash.
def absolute_url_regex ( url , disabled = false )
regex = ''
unless disabled
@exclude . each do | x |
regex += "(?! #{ x } )"
end
@languages . each do | x |
regex += "(?! #{ x } \/ )"
end
end
start = disabled ? 'ferh' : 'href'
%r{(?<!hreflang=" #{ @default_lang } " ) #{ start } ="? #{ url }#{ @baseurl } /((?: #{ regex } [^,'" \s /?.]+ \. ?)*(?:/[^ \]\[ )("' \s ]*)?)"}
end
解決這個問題的方法有兩種。
1. Fork Polyglot並修改問題部分 截至撰寫本文時（12024.11.），Jekyll官方文檔 中明確指出 exclude 設定支援使用 globbing 模式。
“This configuration option supports Ruby’s File.fnmatch filename globbing patterns to match multiple entries to exclude.”
也就是說，問題的根源不在於 Chirpy 主題，而是在 Polyglot 的 relative_url_regex() 和 absolute_url_regex() 這兩個函式，因此，修改這兩個函式以避免問題發生，才是根本的解決方案。
由於 Polyglot 中的這個錯誤尚未被修復，因此 如上所述，自 Polyglot 1.11 版起，此問題已獲修復 。問題發生當時，則是參考這篇部落格文章 （網站已失效）和前面提到的 GitHub issue 中的回覆 ，將 Polyglot 儲存庫派生（fork）後，把有問題的部分按如下方式修改，改為取代原始的 Polyglot，因而得以解決。
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def relative_url_regex ( disabled = false )
regex = ''
unless disabled
@exclude . each do | x |
escaped_x = Regexp . escape ( x )
regex += "(?! #{ escaped_x } )"
end
@languages . each do | x |
escaped_x = Regexp . escape ( x )
regex += "(?! #{ escaped_x } \/ )"
end
end
start = disabled ? 'ferh' : 'href'
%r{ #{ start } ="? #{ @baseurl } /((?: #{ regex } [^,'" \s /?.]+ \. ?)*(?:/[^ \]\[ )("' \s ]*)?)"}
end
def absolute_url_regex ( url , disabled = false )
regex = ''
unless disabled
@exclude . each do | x |
escaped_x = Regexp . escape ( x )
regex += "(?! #{ escaped_x } )"
end
@languages . each do | x |
escaped_x = Regexp . escape ( x )
regex += "(?! #{ escaped_x } \/ )"
end
end
start = disabled ? 'ferh' : 'href'
%r{(?<!hreflang=" #{ @default_lang } " ) #{ start } ="? #{ url }#{ @baseurl } /((?: #{ regex } [^,'" \s /?.]+ \. ?)*(?:/[^ \]\[ )("' \s ]*)?)"}
end
2. 在Chirpy主題的’_config.yml’設定文件中將glob模式替換為確切的文件名 理想的方法是將上述修補程式合併到Polyglot主線中。但在此之前，需要使用fork版本，這樣每次Polyglot上游更新時都需要跟進，比較麻煩，所以我選擇了另一種方法。
在Chirpy主題的儲存庫 中，檢查位於專案根目錄且符合"*.gem"、"*.gemspec"、"*.config.js"模式的檔案，會發現其實也只有以下這三個檔案。
jekyll-theme-chirpy.gemspecpurgecss.config.jsrollup.config.js因此，在_config.yml檔案的exclude區塊中，刪除globbing模式並改成如下所示的內容，Polyglot 就能夠順利處理了。
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