線性相依與線性獨立、基底與維度

Prerequisites

• 向量與線性組合
• 向量空間、子空間，以及矩陣

線性相依與線性獨立

對某個向量空間 $\mathbb{V}$ 與其子空間 $\mathbb{W}$，想要找到生成生成 $\mathbb{W}$ 的可能最小有限子集 $S$。

設 $S = \{\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \mathbf{u}_3, \mathbf{u}_4 \}$ 且 $\mathrm{span}(S) = \mathbb{W}$。要判斷是否存在生成 $\mathbb{W}$ 的 $S$ 的真子集，等價於判斷 $S$ 中某向量是否可由其餘向量的線性組合表出。例：欲以其餘三向量線性組合表出 $\mathbf{u}_4$ 的充要條件，是存在純量 $a_1, a_2, a_3$ 使下式成立： \(\mathbf{u}_4 = a_1\mathbf{u}_1 + a_2\mathbf{u}_2 + a_3\mathbf{u}_3\)

然而對 $\mathbf{u}_1$, $\mathbf{u}_2$, $\mathbf{u}_3$, $\mathbf{u}_4$ 各自重複此聯立一次方程的判斷相當繁瑣，不妨改寫為 \(a_1\mathbf{u}_1 + a_2\mathbf{u}_2 + a_3\mathbf{u}_3 + a_4\mathbf{u}_4 = \mathbf{0}\)

若 $S$ 中某向量可由其他向量線性組合得到，則上式存在至少一個係數 $a_1, a_2, a_3, a_4$ 非零的表示法。其逆亦真：若存在至少一個係數非零，卻能將零向量表為 $S$ 的線性組合，則 $S$ 中有向量可由其餘向量線性組合。

推而廣之，定義如下的線性相依與線性獨立。

定義
對向量空間 $\mathbb{V}$ 的子集 $S$，若存在有限多個彼此不同的向量 $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n \in S$ 與至少一個不為 $0$ 的純量 $a_1, a_2, \dots, a_n$，使 $a_1\mathbf{u}_1 + a_2\mathbf{u}_2 + \cdots + a_n\mathbf{u}_n = \mathbf{0}$，則稱集合 $S$ 與其中向量線性相依（linearly dependent）。否則稱為線性獨立（linearly independent）。

對任意向量 $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n$，當 $a_1 = a_2 = \cdots = a_n = 0$ 時，必有 $a_1\mathbf{u}_1 + a_2\mathbf{u}_2 + \cdots + a_n\mathbf{u}_n = \mathbf{0}$。此稱為零向量的平凡表示（trivial representation of $\mathbf{0}$）。

關於線性獨立的集合，以下三個命題在所有向量空間中恆為真，尤其是命題 3對判斷有限集合是否線性獨立非常實用。

• 命題 1：空集合為線性獨立。要使某集合線性相依，該集合必須非空。
• 命題 2：由一個非零向量組成的集合是線性獨立的。
• 命題 3：某集合線性獨立的充要條件是，將 $\mathbf{0}$ 表為該集合線性組合的方式僅有平凡表示一種。

此外，以下定理亦很重要。

定理 1
設 $\mathbb{V}$ 為向量空間且 $S_1 \subseteq S_2 \subseteq \mathbb{V}$。若 $S_1$ 線性相依，則 $S_2$ 亦線性相依。

推論 1-1
設 $\mathbb{V}$ 為向量空間且 $S_1 \subseteq S_2 \subseteq \mathbb{V}$。若 $S_2$ 線性獨立，則 $S_1$ 亦線性獨立。

定理 2
設 $\mathbb{V}$ 為向量空間，$S$ 為其中線性獨立的子集。對不屬於 $S$ 的向量 $\mathbf{v} \in \mathbb{V}$，$S \cup \{\mathbf{v}\}$ 線性相依的充要條件為 $\mathbf{v} \in \mathrm{span}(S)$。

換言之，若 $S$ 的任一真子集都無法生成與 $S$ 相同的空間，則 $S$ 線性獨立。

基底與維度

基底

對線性獨立的 $\mathbb{W}$ 的生成集 $S$，有一個特別的性質：$\mathbb{W}$ 中的每個向量都必可表示為 $S$ 的線性組合，且此表示是唯一的（定理 3）。因此，對某向量空間的線性獨立生成集，特別定義為基底（basis）如下。

基底的定義
對向量空間 $\mathbb{V}$ 與其子集 $\beta$，若 $\beta$ 線性獨立且能生成 $\mathbb{V}$，則稱 $\beta$ 為 $\mathbb{V}$ 的基底（basis）。此時，$\beta$ 中的向量形成 $\mathbb{V}$ 的基底。

因為 $\mathrm{span}(\emptyset) = \{\mathbf{0}\}$ 且 $\emptyset$ 線性獨立，因此 $\emptyset$ 為點空間的基底。

特別地，下述 $F^n$ 的特殊基底稱為 $F^n$ 的標準基底（standard basis）。

標準基底的定義
對向量空間 $F^n$，考慮下列向量：

\[\mathbf{e}_1 = (1,0,0,\dots,0),\ \mathbf{e}_2 = (0,1,0,\dots,0),\ \dots, \mathbf{e}_n = (0,0,0,\dots,1)\]

則集合 $\{\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \dots, \mathbf{e}_n \}$ 是 $F^n$ 的基底，稱為 $F^n$ 的標準基底（standard basis）。

定理 3
設 $\mathbb{V}$ 為向量空間，$\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n \in \mathbb{V}$ 彼此不同。集合 $\beta = \{\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n \}$ 成為 $\mathbb{V}$ 的基底的充要條件是：「任意向量 $\mathbf{v} \in \mathbb{V}$ 可且僅可唯一地表示為 $\beta$ 中向量的線性組合」。亦即，存在唯一的純量 $n$-有序組 $(a_1, a_2, \dots, a_n)$ 使得

\[\mathbf{v} = a_1\mathbf{u}_1 + a_2\mathbf{u}_2 + \cdots + a_n\mathbf{u}_n\]

依據定理 3，若互異的 $n$ 個向量 $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n$ 形成向量空間 $\mathbb{V}$ 的基底，則在該空間中，給定向量 $\mathbf{v}$ 便唯一對應到純量 $n$-有序組 $(a_1, a_2, \dots, a_n)$；反之，給定純量 $n$-有序組也唯一決定對應的向量 $\mathbf{v}$。日後在學習可逆性與同構時會再整理；在此情形下，向量空間 $\mathbb{V}$ 與 $F^n$ 本質上相同。

定理 4
若有限集合 $S$ 滿足 $\mathrm{span}(S) = \mathbb{V}$，則 $S$ 的某個子集是 $\mathbb{V}$ 的基底。亦即，此時 $\mathbb{V}$ 的基底為有限集。

許多向量空間屬於定理 4的適用對象，但未必一概如此。基底也可能不是有限集。{: .prompt-tip }

維度

定理 5：替換定理（replacement theorem）
設集合 $G$ 含 $n$ 個向量且 $\mathrm{span}(G) = \mathbb{V}$。若 $L$ 是由 $m$ 個線性獨立向量所成的 $\mathbb{V}$ 的子集，則 $m \leq n$。此外，存在 $H \subseteq G$，其含有 $n-m$ 個向量，並滿足 $\mathrm{span}(L \cup H) = \mathbb{V}$。

由此可得兩個極為重要的推論。

替換定理的推論 5-1
假設向量空間 $\mathbb{V}$ 含有有限集基底，則 $\mathbb{V}$ 的所有基底皆為有限集，且含有相同數目的向量。

因此，構成 $\mathbb{V}$ 基底的向量個數是 $\mathbb{V}$ 不隨改變的本質性質，稱為維度（dimension）。

維度的定義
具有有限集基底的向量空間稱為有限維（finite dimension）；此時基底元素個數 $n$ 稱為該向量空間的維度（dimension），記作 $\dim(\mathbb{V})$。非有限維的向量空間稱為無限維（infinite dimension）。

• $\dim(\{\mathbf{0}\}) = 0$
• $\dim(F^n) = n$
• $\dim(\mathcal{M}_{m \times n}(F)) = mn$

向量空間的維度會因所處的體而異。

• 在複數體 $\mathbb{C}$ 上，複數向量空間的維度為 1，基底為 $\{1\}$
• 在實數體 $\mathbb{R}$ 上，複數向量空間的維度為 2，基底為 $\{1,i\}$

在有限維向量空間 $\mathbb{V}$ 中，含有比 $\dim(\mathbb{V})$ 更多向量的子集不可能是線性獨立的。

替換定理的推論 5-2
設 $\mathbb{V}$ 為維度為 $n$ 的向量空間。

1. 任何生成 $\mathbb{V}$ 的有限集合必含至少 $n$ 個向量，而由 $n$ 個向量組成的 $\mathbb{V}$ 的生成集即為 $\mathbb{V}$ 的基底。
2. 線性獨立且含 $n$ 個向量的 $\mathbb{V}$ 子集是 $\mathbb{V}$ 的基底。 3. 可將線性獨立的 $\mathbb{V}$ 子集擴張為基底。亦即，若 $L \subseteq \mathbb{V}$ 線性獨立，則存在 $\mathbb{V}$ 的基底 $\beta$ 使得 $\beta \supseteq L$。

子空間的維度

定理 6
對有限維向量空間 $\mathbb{V}$，其子空間 $\mathbb{W}$ 亦為有限維，且 $\dim(\mathbb{W}) \leq \dim(\mathbb{V})$。特別地，若 $\dim(\mathbb{W}) = \dim(\mathbb{V}) \quad \Rightarrow \quad \mathbb{V} = \mathbb{W}.$

推論 6-1
對有限維向量空間 $\mathbb{V}$ 的子空間 $\mathbb{W}$，可將 $\mathbb{W}$ 的任一基底擴張為 $\mathbb{V}$ 的基底。

依定理 6，$\mathbb{R}^3$ 的子空間之維度可能為 $0,1,2,3$。

• 0 維：僅包含原點（$\mathbf{0}$）的點空間 $\{\mathbf{0}\}$
• 1 維：通過原點（$\mathbf{0}$）的直線
• 2 維：包含原點（$\mathbf{0}$）的平面
• 3 維：整個三維歐幾里得空間