線性變換、零空間與像

Prerequisites

• 向量與線性組合
• 向量空間、子空間，以及矩陣
• 線性相依與線性獨立、基底與維度
• 單射、滿射

線性變換

保留向量空間結構的特殊函數稱為線性變換（linear transformation），此概念在純數學、應用數學、社會科學、自然科學與工程中極為常見且重要。

定義
設 $\mathbb{V}$ 與 $\mathbb{W}$ 為 $F$-向量空間。對所有 $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{V}$ 與 $c \in F$，若函數 $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ 滿足下列兩條件，則稱 $T$ 為由 $\mathbb{V}$ 到 $\mathbb{W}$ 的線性變換（linear transformation）。

1. $T(\mathbf{x}+\mathbf{y}) = T(\mathbf{x}) + T(\mathbf{y})$
2. $T(c\mathbf{x}) = cT(\mathbf{x})$

稱 $T$ 是線性變換時，亦簡稱 $T$ 是線性（linear）。線性變換 $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ 具有下列四個性質。

1. $T$ 線性 $\quad \Rightarrow \quad $ $T(\mathbf{0}) = \mathbf{0}$
2. $T$ 線性 $\quad \Leftrightarrow \quad $ $T(c\mathbf{x} + \mathbf{y}) = cT(\mathbf{x}) + T(\mathbf{y}) \; \forall \, \mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{V},\, c \in F$
3. $T$ 線性 $\quad \Rightarrow \quad $ $T(\mathbf{x} - \mathbf{y}) = T(\mathbf{x}) - T(\mathbf{y}) \; \forall \, \mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{V}$
4. $T$ 線性 $\quad \Leftrightarrow \quad $ $T\left( \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{x}_i \right) = \sum_{i=1}^n a_i T(\mathbf{x}_i)$

要證明一個函數為線性時，通常使用第 2 點性質最為便利。

線性代數在幾何中的應用極廣，原因在於許多重要的幾何變換都是線性的。特別是三大典型幾何變換：旋轉、對稱、投影皆屬線性變換。

以下兩個線性變換尤為常見。

恆等變換與零變換
對 $F$-向量空間 $\mathbb{V}, \mathbb{W}$：

• 恆等變換（identity transformation）：對所有 $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$ 定義 $I_\mathbb{V}(\mathbf{x}) = \mathbf{x}$ 的函數 $I_\mathbb{V}: \mathbb{V} \to \mathbb{V}$
• 零變換（zero transformation）：對所有 $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$ 定義 $T_0(\mathbf{x}) = \mathbf{0}$ 的函數 $T_0: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$

除此之外，還有許多概念可表為線性變換。

線性變換的例子

• 旋轉
• 對稱
• 投影
• 轉置
• 可微函數的微分
• 連續函數的積分

零空間與像

零空間與像的定義

定義
對向量空間 $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ 與線性變換 $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$：

• 零空間（null space）或核（kernel）：由滿足 $T(\mathbf{x}) = \mathbf{0}$ 的 $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$ 所成的集合，記作 $\mathrm{N}(T)$

  \[\mathrm{N}(T) = \{ \mathbf{x} \in \mathbb{V}: T(\mathbf{x}) = \mathbf{0} \}\]

• 值域（range）或像（image）：$T$ 的所有函數值所成的 $\mathbb{W}$ 的子集，記作 $\mathrm{R}(T)$

  \[\mathrm{R}(T) = \{ T(\mathbf{x}): \mathbf{x} \in \mathbb{V} \}\]

e.g. 對向量空間 $\mathbb{V}, \mathbb{W}$、恆等變換 $I: \mathbb{V} \to \mathbb{V}$ 與零變換 $T_0: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$，有：

• $\mathrm{N}(I) = \{\mathbf{0}\}$
• $\mathrm{R}(I) = \mathbb{V}$
• $\mathrm{N}(T_0) = \mathbb{V}$
• $\mathrm{R}(T_0) = \{\mathbf{0}\}$

以下將反覆用到：線性變換的零空間與像是向量空間的子空間。

定理 1
對向量空間 $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ 與線性變換 $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$，$\mathrm{N}(T), \mathrm{R}(T)$ 分別為 $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ 的子空間。

證明
記 $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ 的零向量分別為 $\mathbf{0}_\mathbb{V}, \mathbf{0}_\mathbb{W}$。

因 $T(\mathbf{0}_\mathbb{V}) = \mathbf{0}_\mathbb{W}$，故 $\mathbf{0}_\mathbb{V} \in \mathrm{N}(T)$。又對 $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathrm{N}(T),\ c \in F$ 有

\[\begin{align*} T(\mathbf{x} + \mathbf{y}) &= T(\mathbf{x}) + T(\mathbf{y}) = \mathbf{0}_\mathbb{W} + \mathbf{0}_\mathbb{W} = \mathbf{0}_\mathbb{W}, \\ T(c\mathbf{x}) &= cT(\mathbf{x}) = c\mathbf{0}_\mathbb{W} = \mathbf{0}_\mathbb{W}. \end{align*}\]

$\therefore$ 由於 $\mathbf{0}_\mathbb{V} \in \mathrm{N}(T),\ \mathbf{x} + \mathbf{y} \in \mathrm{N}(T),\ c\mathbf{x} \in \mathrm{N}(T)$，$\mathrm{N}(T)$ 為 $\mathbb{V}$ 的子空間。

同理，因 $T(\mathbf{0}_\mathbb{V}) = \mathbf{0}_\mathbb{W}$，故 $\mathbf{0}_\mathbb{W} \in \mathrm{R}(T)$；且對所有 $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathrm{R}(T),\ c \in F$，存在 $\mathbf{v}, \mathbf{w} \in \mathbb{V}$ 使得 $(T(\mathbf{v}) = \mathbf{x}\ \wedge \ T(\mathbf{w}) = \mathbf{y})$，因此

\[\begin{align*} T(\mathbf{v} + \mathbf{w}) &= T(\mathbf{v}) + T(\mathbf{w}) = \mathbf{x} + \mathbf{y}, \\ T(c\mathbf{v}) &= cT(\mathbf{v}) = c\mathbf{x}. \end{align*}\]

$\therefore$ 由於 $\mathbf{0}_\mathbb{W} \in \mathrm{R}(T),\ \mathbf{x} + \mathbf{y} \in \mathrm{R}(T),\ c\mathbf{x} \in \mathrm{R}(T)$，$\mathrm{R}(T)$ 為 $\mathbb{W}$ 的子空間。$\blacksquare$

另一方面，對向量空間 $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ 與線性變換 $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$，若知 $\mathbb{V}$ 的基底 $\beta = \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n \}$，可如下找出像 $\mathrm{R}(T)$ 的生成集。

定理 2
對向量空間 $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ 與線性變換 $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$、以及 $\mathbb{V}$ 的基底 $\beta = \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n \}$，有

\[\mathrm{R}(T) = \mathrm{span}(\{T(\mathbf{v}): \mathbf{v} \in \beta \}) = \mathrm{span}(\{T(\mathbf{v}_1), T(\mathbf{v}_2), \dots, T(\mathbf{v}_n) \})\]

證明

\[T(\mathbf{v}_i) \in \mathrm{R}(T) \quad \forall \mathbf{v}_i \in \beta.\]

由於 $\mathrm{R}(T)$ 為子空間，依向量空間、子空間，以及矩陣的定理 2可得

\[\mathrm{span}(\{T(\mathbf{v}_1), T(\mathbf{v}_2), \dots, T(\mathbf{v}_n) \}) = \mathrm{span}(\{T(\mathbf{v}_i): \mathbf{v}_i \in \beta \}) \subseteq \mathrm{R}(T).\]

且

\[\forall \mathbf{w} \in \mathrm{R}(T) \ (\exists \mathbf{v} \in \mathbb{V} \ (\mathbf{w} = T(\mathbf{v}))).\]

由 $\beta$ 為 $\mathbb{V}$ 的基底，得

\[\mathbf{v} = \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{v}_i \quad \text{（其中 } a_1, a_2, \dots, a_n \in F \text{）}.\]

因 $T$ 為線性，故

\[\mathbf{w} = T(\mathbf{v}) = \sum_{i=1}^n a_i T(\mathbf{v}_i) \in \mathrm{span}(\{T(\mathbf{v}_i): \mathbf{v}_i \in \beta \})\] \[\mathrm{R}(T) \subseteq \mathrm{span}(\{T(\mathbf{v}_i): \mathbf{v}_i \in \beta \}) = \mathrm{span}(\{T(\mathbf{v}_1), T(\mathbf{v}_2), \dots, T(\mathbf{v}_n) \}).\]

$\therefore$ 由 $\mathrm{R}(T) \supseteq \mathrm{span}({T(\mathbf{v}_i): \mathbf{v}_i \in \beta })$ 且同時 $\mathrm{R}(T) \subseteq \mathrm{span}({T(\mathbf{v}_i): \mathbf{v}_i \in \beta })$，得 $\mathrm{R}(T) = \mathrm{span}({T(\mathbf{v}): \mathbf{v} \in \beta })$。$\blacksquare$

此定理在基底 $\beta$ 為無限集時亦成立。

維度定理

零空間與像是非常重要的子空間，因此也特別為其維度命名。

對向量空間 $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ 與線性變換 $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$，若 $\mathrm{N}(T), \mathrm{R}(T)$ 為有限維，則

• 零空間的維度（nullity）：$\mathrm{N}(T)$ 的維度，記作 $\mathrm{nullity}(T)$
• 秩（rank）：$\mathrm{R}(T)$ 的維度，記作 $\mathrm{rank}(T)$

在線性變換中，零空間的維度越大，秩越小；反之亦然。

定理 3：維度定理（dimension theorem）
對向量空間 $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ 與線性變換 $T: \mathbb{V}\to \mathbb{W}$，若 $\mathbb{V}$ 為有限維，則

\[\mathrm{nullity}(T) + \mathrm{rank}(T) = \dim(\mathbb{V})\]

證明

設 $\dim(\mathbb{V}) = n$, $\mathrm{nullity}(T) = \dim(\mathrm{N}(T)) = k$，並令 $\mathrm{N}(T)$ 的基底為 $\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_k \}$。

依「線性相依與線性獨立、基底與維度」的推論 6-1，可將 $\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_k \}$ 擴張為 $\mathbb{V}$ 的基底 $\beta = \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n \}$。

以下將證明 $S = \{T(\mathbf{v}_{k+1}), T(\mathbf{v}_{k+2}), \dots, T(\mathbf{v}_n) \}$ 是 $\mathrm{R}(T)$ 的基底。首先，當 $1 \leq i \leq k$ 時有 $T(\mathbf{v}_i) = 0$，故依定理 2

\[\begin{align*} \mathrm{R}(T) &= \mathrm{span}(\{T(\mathbf{v}_1), T(\mathbf{v}_2), \dots, T(\mathbf{v}_n) \}) \\ &= \mathrm{span}(\{T(\mathbf{v}_{k+1}), T(\mathbf{v}_{k+2}), \dots, T(\mathbf{v}_n) \}) \\ &= \mathrm{span}(S). \end{align*}\]

亦即 $S$ 為 $\mathrm{R}(T)$ 的生成集。現依替換定理的推論 5-2，只要證明 $S$ 線性獨立，即可得 $S$ 為 $\mathrm{R}(T)$ 的基底。

若 $\sum_{i=k+1}^n b_i T(\mathbf{v}_i) = 0$（其中 $b_{k+1}, b_{k+2}, \dots, b_n \in F$），因 $T$ 線性，有

\[\sum_{i=k+1}^n b_i T(\mathbf{v}_i) = 0 \Leftrightarrow T\left(\sum_{i=k+1}^n b_i \mathbf{v}_i \right) = 0 \Leftrightarrow \sum_{i=k+1}^n b_i \mathbf{v}_i \in \mathrm{N}(T).\]

因此，

\[\begin{align*} &\exists c_1, c_2, \dots, c_k \in F, \\ &\sum_{i=k+1}^n b_i \mathbf{v}_i = \sum_{i=1}^k c_i \mathbf{v}_i \\ \Leftrightarrow &\sum_{i=1}^k (-c_i)\mathbf{v}_i + \sum_{i=k+1}^n b_i \mathbf{v}_i = 0. \end{align*}\]

由 $\beta$ 為 $\mathbb{V}$ 的基底，$\sum_{i=1}^k (-c_i)\mathbf{v}_i + \sum_{i=k+1}^n b_i \mathbf{v}_i = 0$ 的唯一解為

\[c_1 = c_2 = \cdots = c_k = b_{k+1} = b_{k+2} = \cdots = b_n = 0\]

據此可得

\[\sum_{i=k+1}^n b_i T(\mathbf{v}_i) = 0 \quad \Rightarrow \quad b_i = 0.\]

故 $S$ 線性獨立，亦即為 $\mathrm{R}(T)$ 的基底。

\[\therefore \mathrm{rank}(T) = n - k = \dim{\mathbb{V}} - \mathrm{nullity}(T). \blacksquare\]

線性變換與單射、滿射

在線性變換中，單射（injection）與滿射（surjection）與秩、零空間的維度密切相關。

定理 4
對向量空間 $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ 與線性變換 $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$，

\[T\text{ 為單射} \quad \Leftrightarrow \quad \mathrm{N}(T) = \{\mathbf{0}\}.\]

定理 5
當有限維向量空間 $\mathbb{V}, \mathbb{W}$ 的維度相同，對線性變換 $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$，以下四命題互為同值。

1. $T$ 為單射。
2. $\mathrm{nullity}(T) = 0$
3. $\mathrm{rank}(T) = \dim(\mathbb{V})$
4. $T$ 為滿射。

可利用維度定理、線性變換的性質 1、3、以及「線性相依與線性獨立、基底與維度」的定理 6證明定理 4與定理 5。

此二定理有助於判斷給定的線性變換是否為單射或滿射。

對無限維向量空間 $\mathbb{V}$ 與線性變換 $T: \mathbb{V} \to \mathbb{V}$ 而言，單射與滿射並不等價。

當某線性變換為單射時，有時下述定理可用來判斷給定向量空間的子集是否線性獨立。

定理 6
對向量空間 $\mathbb{V}, \mathbb{W}$、單射的線性變換 $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ 與 $\mathbb{V}$ 的子集 $S$，有

\[S\text{ 線性獨立} \quad \Leftrightarrow \quad \{T(\mathbf{v}): \mathbf{v} \in S \}\text{ 線性獨立。}\]

線性變換與基底

線性變換的一項關鍵特徵是：其在基底上的作用決定了變換的全部行為。

定理 7
對 $F$-向量空間 $\mathbb{V}, \mathbb{W}$、$\mathbb{V}$ 的基底 $\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n \}$，以及向量 $\mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2, \dots, \mathbf{w}_n \in \mathbb{W}$，存在且僅存在一個線性變換 $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ 滿足

\[i = 1, 2, \dots, n \text{ 時 } T(\mathbf{v}_i) = \mathbf{w}_i\]

證明
對 $\mathbf{x} \in \mathbb{V}$，其線性組合表示唯一：

\[\mathbf{x} = \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{v}_i \text{ （}a_1, a_2, \dots, a_n \in F \text{）}\]

定義線性變換 $T: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ 為

\[T(\mathbf{x}) = T\left( \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{v}_i \right) = \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{w}_i\]

則有

i) 對 $i = 1, 2, \dots, n$，$T(\mathbf{v}_i) = \mathbf{w}_i$。

ii)

若另一線性變換 $U: \mathbb{V} \to \mathbb{W}$ 亦滿足對 $i = 1, 2, \dots, n$ 有 $U(\mathbf{v}_i) = \mathbf{w}_i$，則對 $\mathbf{x} = \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{v}_i \in \mathbb{V}$，

\[U(\mathbf{x}) = \sum_{i=1}^n a_i U(\mathbf{v}_i) = \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{w}_i = T(\mathbf{x}_i)\] \[\therefore U = T.\]

由 i)、ii) 得知，滿足 $i = 1, 2, \dots, n$ 且 $T(\mathbf{v}_i) = \mathbf{w}_i$ 的線性變換唯一定義為

\[T(\mathbf{x}) = T\left( \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{v}_i \right) = \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{w}_i 。\ \blacksquare\]

推論 7-1
對兩向量空間 $\mathbb{V}, \mathbb{W}$，若 $\mathbb{V}$ 含有限基底 $\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n \}$，且兩線性變換 $U, T: \mathbb{V} \to \mathbf{W}$ 對 $i = 1, 2, \dots, n$ 皆滿足 $U(\mathbf{v}_i) = T(\mathbf{v}_i)$，則 $U = T$。
亦即，在基底上的函數值相同，則為同一個線性變換。