Ecuación de Euler-Cauchy

TL;DR

• Ecuación de Euler-Cauchy: $x^2y^{\prime\prime} + axy^{\prime} + by = 0$
• Ecuación auxiliar: $m^2 + (a-1)m + b = 0$
• Según el signo del discriminante $(1-a)^2 - 4b$ de la ecuación auxiliar, la forma de la solución general se puede dividir en tres casos como se muestra en la tabla

Caso	Raíces de la ecuación auxiliar	Base de soluciones de la ecuación de Euler-Cauchy	Solución general de la ecuación de Euler-Cauchy
I	Raíces reales distintas $m_1$, $m_2$	$x^{m_1}$, $x^{m_2}$	$y = c_1 x^{m_1} + c_2 x^{m_2}$
II	Raíz real doble $m = \cfrac{1-a}{2}$	$x^{(1-a)/2}$, $x^{(1-a)/2}\ln{x}$	$y = (c_1 + c_2 \ln x)x^m$
III	Raíces complejas conjugadas $m_1 = \cfrac{1}{2}(1-a) + i\omega$, $m_2 = \cfrac{1}{2}(1-a) - i\omega$	$x^{(1-a)/2}\cos{(\omega \ln{x})}$, $x^{(1-a)/2}\sin{(\omega \ln{x})}$	$y = x^{(1-a)/2}[A\cos{(\omega \ln{x})} + B\sin{(\omega \ln{x})}]$

Prerrequisitos

• EDOs Lineales Homogéneas de Segundo Orden
• EDOs lineales homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes
• Fórmula de Euler

Ecuación auxiliar

La ecuación de Euler-Cauchy es una ecuación diferencial ordinaria de la forma

\[x^2y^{\prime\prime} + axy^{\prime} + by = 0 \label{eqn:euler_cauchy_eqn}\tag{1}\]

con constantes dadas $a$ y $b$, y función incógnita $y(x)$. Sustituyendo en la ecuación ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$)

\[y=x^m, \qquad y^{\prime}=mx^{m-1}, \qquad y^{\prime\prime}=m(m-1)x^{m-2}\]

obtenemos

\[x^2m(m-1)x^{m-2} + axmx^{m-1} + bx^m = 0,\]

es decir

\[[m(m-1) + am + b]x^m = 0\]

De esto obtenemos la ecuación auxiliar

\[m^2 + (a-1)m + b = 0 \label{eqn:auxiliary_eqn}\tag{2}\]

y la condición necesaria y suficiente para que $y=x^m$ sea solución de la ecuación de Euler-Cauchy ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$) es que $m$ sea solución de la ecuación auxiliar ($\ref{eqn:auxiliary_eqn}$).

Resolviendo la ecuación cuadrática ($\ref{eqn:auxiliary_eqn}$) obtenemos

\[\begin{align*} m_1 &= \frac{1}{2}\left[(1-a) + \sqrt{(1-a)^2 - 4b} \right], \\ m_2 &= \frac{1}{2}\left[(1-a) - \sqrt{(1-a)^2 - 4b} \right] \end{align*}\label{eqn:m1_and_m2}\tag{3}\]

y de esto, las dos funciones

\[y_1 = x^{m_1}, \quad y_2 = x^{m_2}\]

son soluciones de la ecuación ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$).

Al igual que en las EDOs lineales homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes, podemos dividir en tres casos según el signo del discriminante $(1-a)^2 - 4b$ de la ecuación auxiliar ($\ref{eqn:auxiliary_eqn}$).

• $(1-a)^2 - 4b > 0$: dos raíces reales distintas
• $(1-a)^2 - 4b = 0$: raíz real doble
• $(1-a)^2 - 4b < 0$: raíces complejas conjugadas

Forma de la solución general según el signo del discriminante de la ecuación auxiliar

I. Dos raíces reales distintas $m_1$ y $m_2$

En este caso, la base de soluciones de la ecuación ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$) en cualquier intervalo es

\[y_1 = x^{m_1}, \quad y_2 = x^{m_2}\]

y la solución general correspondiente es

\[y = c_1 x^{m_1} + c_2 x^{m_2} \label{eqn:general_sol_1}\tag{4}\]

II. Raíz real doble $m = \cfrac{1-a}{2}$

Cuando $(1-a)^2 - 4b = 0$, es decir, $b=\cfrac{(1-a)^2}{4}$, la ecuación cuadrática ($\ref{eqn:auxiliary_eqn}$) tiene una sola solución $m = m_1 = m_2 = \cfrac{1-a}{2}$, por lo que la única solución de la forma $y = x^m$ que podemos obtener es

\[y_1 = x^{(1-a)/2}\]

y la ecuación de Euler-Cauchy ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$) toma la forma

\[y^{\prime\prime} + \frac{a}{x}y^{\prime} + \frac{(1-a)^2}{4x^2}y = 0 \label{eqn:standard_form}\tag{5}\]

Ahora encontremos otra solución $y_2$ linealmente independiente usando reducción de orden.

Poniendo la segunda solución que buscamos como $y_2=uy_1$, obtenemos

\[u = \int U, \qquad U = \frac{1}{y_1^2}\exp\left(-\int \frac{a}{x}\ dx \right)\]

Como $\exp \left(-\int \cfrac{a}{x}\ dx \right) = \exp (-a\ln x) = \exp(\ln{x^{-a}}) = x^{-a}$,

\[U = \frac{x^{-a}}{y_1^2} = \frac{x^{-a}}{x^{(1-a)}} = \frac{1}{x}\]

e integrando obtenemos $u = \ln x$.

Por lo tanto, $y_2 = uy_1 = y_1 \ln x$, y como $y_1$ y $y_2$ tienen un cociente que no es constante, son linealmente independientes. La solución general correspondiente a la base $y_1$ y $y_2$ es

\[y = (c_1 + c_2 \ln x)x^m \label{eqn:general_sol_2}\tag{6}\]

III. Raíces complejas conjugadas

En este caso, las soluciones de la ecuación auxiliar ($\ref{eqn:auxiliary_eqn}$) son $m = \cfrac{1}{2}(1-a) \pm i\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}$, y las dos soluciones complejas correspondientes de la ecuación ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$) se pueden escribir usando $x=e^{\ln x}$ como sigue:

\[\begin{align*} x^{m_1} &= x^{(1-a)/2 + i\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}} \\ &= x^{(1-a)/2}(e^{\ln x})^{i\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}} \\ &= x^{(1-a)/2}e^{i(\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}\ln x)}, \\ x^{m_2} &= x^{(1-a)/2 - i\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}} \\ &= x^{(1-a)/2}(e^{\ln x})^{-i\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}} \\ &= x^{(1-a)/2}e^{i(-\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}\ln x)}. \end{align*} \tag{7}\]

Poniendo $t=\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}\ln x$ y usando la fórmula de Euler $e^{it} = \cos{t} + i\sin{t}$, obtenemos

\[\begin{align*} x^{m_1} &= x^{(1-a)/2}\left[\cos\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right) + i\sin\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right) \right], \\ x^{m_2} &= x^{(1-a)/2}\left[\cos\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right) - i\sin\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right) \right] \end{align*} \tag{8}\]

y de esto obtenemos las siguientes dos soluciones reales

\[\begin{align*} \frac{x^{m_1} + x^{m_2}}{2} &= x^{(1-a)/2}\cos\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right), \\ \frac{x^{m_1} - x^{m_2}}{2i} &= x^{(1-a)/2}\sin\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right) \end{align*} \tag{9}\]

Como el cociente de estas soluciones, $\cos\left(\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right)$, no es constante, las dos soluciones anteriores son linealmente independientes y por tanto forman una base de la ecuación de Euler-Cauchy ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$) por el principio de superposición. De esto obtenemos la siguiente solución general real:

\[y = x^{(1-a)/2} \left[ A\cos\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right) + B\sin\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right) \right]. \label{eqn:general_sol_3}\tag{10}\]

Sin embargo, el caso en que la ecuación auxiliar de la ecuación de Euler-Cauchy tiene raíces complejas conjugadas no tiene gran importancia práctica.

Transformación a EDO lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes

La ecuación de Euler-Cauchy se puede transformar en una EDO lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes mediante sustitución de variables.

Sustituyendo $x = e^t$, obtenemos

\[\frac{d}{dx} = \frac{1}{x}\frac{d}{dt}, \quad \frac{d^2}{dx^2} = \frac{1}{x^2}\left(\frac{d^2}{dt^2} - \frac{d}{dt} \right)\]

por lo que la ecuación de Euler-Cauchy ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$) se convierte en la siguiente EDO lineal homogénea con coeficientes constantes en $t$:

\[y^{\prime\prime}(t) + (a-1)y^{\prime}(t) + by(t) = 0. \label{eqn:substituted}\tag{11}\]

Resolviendo la ecuación ($\ref{eqn:substituted}$) con respecto a $t$ aplicando el método de EDOs lineales homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes, y luego transformando la solución obtenida de nuevo a una solución con respecto a $x$ usando $t = \ln{x}$, obtenemos el mismo resultado que examinamos anteriormente.