EDOs Lineales No Homogéneas de Segundo Orden (Nonhomogeneous Linear ODEs of Second Order)

TL;DR

• Solución general de la EDO lineal no homogénea de segundo orden $y^{\prime\prime} + p(x)y^{\prime} + q(x)y = r(x)$:
  • $y(x) = y_h(x) + y_p(x)$
  • $y_h$: solución general de la EDO homogénea $y^{\prime\prime} + p(x)y^{\prime} + q(x)y = 0$ → $y_h = c_1y_1 + c_2y_2$
  • $y_p$: solución particular de la EDO no homogénea correspondiente
• El término de respuesta $y_p$ está determinado únicamente por la entrada $r(x)$, y para la misma EDO no homogénea, $y_p$ no cambia aunque cambien las condiciones iniciales. La diferencia entre dos soluciones particulares de la EDO no homogénea se convierte en una solución de la EDO homogénea correspondiente.
• Existencia de la solución general: Si los coeficientes $p(x)$, $q(x)$ de la EDO no homogénea y la función de entrada $r(x)$ son continuas, siempre existe una solución general
• No existencia de soluciones singulares: La solución general incluye todas las soluciones de la ecuación (es decir, no existen soluciones singulares)

Prerrequisitos

• EDOs lineales homogéneas de segundo orden
• Wronskiano, existencia y unicidad de soluciones

Solución general y solución particular de EDOs lineales no homogéneas de segundo orden

Consideremos la EDO lineal no homogénea de segundo orden

\[y^{\prime\prime} + p(x)y^{\prime} + q(x)y = r(x) \label{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}\tag{1}\]

donde $r(x) \not\equiv 0$. La solución general de la ecuación ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) en un intervalo abierto $I$ tiene la forma de la suma de la solución general $y_h = c_1y_1 + c_2y_2$ de la EDO homogénea correspondiente

\[y^{\prime\prime} + p(x)y^{\prime} + q(x)y = 0 \label{eqn:homogeneous_linear_ode}\tag{2}\]

y una solución particular $y_p$ de la ecuación ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$)

\[y(x) = y_h(x) + y_p(x) \label{eqn:general_sol}\tag{3}\]

Además, una solución particular de la ecuación ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) en el intervalo $I$ es una solución obtenida de la ecuación ($\ref{eqn:general_sol}$) asignando valores específicos a las constantes arbitrarias $c_1$ y $c_2$ de $y_h$.

Es decir, cuando se añade una entrada $r(x)$ que depende únicamente de la variable independiente $x$ a la EDO homogénea ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$), se añade un término correspondiente $y_p$ a la respuesta, y este término de respuesta añadido $y_p$ está determinado únicamente por la entrada $r(x)$, independientemente de las condiciones iniciales. Como veremos más adelante, si calculamos la diferencia entre dos soluciones arbitrarias $y_1$ e $y_2$ de la ecuación ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) (es decir, la diferencia entre las soluciones particulares respectivas para dos condiciones iniciales diferentes), la parte $y_p$ independiente de las condiciones iniciales se cancela, quedando solo la diferencia entre ${y_h}_1$ e ${y_h}_2$, que por el principio de superposición se convierte en una solución de la ecuación ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$).

Relación entre las soluciones de la EDO no homogénea y las soluciones de la EDO homogénea correspondiente

Teorema 1: Relación entre las soluciones de la EDO no homogénea ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) y las soluciones de la EDO homogénea ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$)
(a) La suma de una solución $y$ de la EDO no homogénea ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) y una solución $\tilde{y}$ de la EDO homogénea ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) en algún intervalo abierto $I$ es una solución de la ecuación ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) en el intervalo $I$. En particular, la ecuación ($\ref{eqn:general_sol}$) es una solución de la ecuación ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) en el intervalo $I$.
(b) La diferencia entre dos soluciones de la EDO no homogénea ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) en el intervalo $I$ es una solución de la EDO homogénea ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) en el intervalo $I$.

Demostración

(a)

Denotemos el lado izquierdo de las ecuaciones ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) y ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) como $L[y]$. Entonces, para cualquier solución $y$ de la ecuación ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) y cualquier solución $\tilde{y}$ de la ecuación ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) en el intervalo $I$, se satisface lo siguiente:

\[L[y + \tilde{y}] = L[y] + L[\tilde{y}] = r + 0 = r.\]

(b)

Para dos soluciones arbitrarias $y$ e $y^*$ de la ecuación ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) en el intervalo $I$, se satisface lo siguiente:

\[L[y - y^*] = L[y] - L[y^*] = r - r = 0.\ \blacksquare\]

La solución general de la EDO no homogénea incluye todas las soluciones

Sabemos que la solución general de la EDO homogénea ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) incluye todas las soluciones. Demostremos que lo mismo se cumple para la EDO no homogénea ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$).

Teorema 2: La solución general de la EDO no homogénea incluye todas las soluciones
Si los coeficientes $p(x)$, $q(x)$ de la ecuación ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) y la función de entrada $r(x)$ son continuas en algún intervalo abierto $I$, entonces todas las soluciones de la ecuación ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) en el intervalo $I$ se pueden obtener asignando valores apropiados a las constantes arbitrarias $c_1$ y $c_2$ de $y_h$ en la solución general ($\ref{eqn:general_sol}$) de la ecuación ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) en el intervalo $I$.

Demostración

Sea $y^*$ alguna solución de la ecuación ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) en $I$, y sea $x_0$ algún $x$ dentro del intervalo $I$. Por el teorema de existencia de la solución general para EDOs homogéneas con coeficientes variables continuos, existe $y_h = c_1y_1 + c_2y_2$, y por el método de variación de parámetros que estudiaremos más adelante, también existe $y_p$, por lo que existe la solución general ($\ref{eqn:general_sol}$) de la ecuación ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) en el intervalo $I$. Ahora, por el teorema 1(b) demostrado anteriormente, $Y = y^* - y_p$ es una solución de la EDO homogénea ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) en el intervalo $I$, y en $x_0$

\[\begin{gather*} Y(x_0) = y^*(x_0) - y_p(x_0) \\ Y^{\prime}(x_0) = {y^*}^{\prime}(x_0) - y_p^{\prime}(x_0) \end{gather*}\]

Por el teorema de existencia y unicidad de soluciones del problema de valor inicial, existe de manera única una solución particular $Y$ de la EDO homogénea ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) que se puede obtener asignando valores apropiados a $c_1$, $c_2$ de $y_h$ para las condiciones iniciales anteriores en el intervalo $I$. Como $y^* = Y + y_p$, hemos demostrado que cualquier solución particular $y^*$ de la EDO no homogénea ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) se puede obtener de la solución general ($\ref{eqn:general_sol}$). $\blacksquare$