Reacciones nucleares y energía de enlace
Exploramos las expresiones de reacciones nucleares, la definición del valor Q (Q-value), y los conceptos de defecto de masa (mass defect) y energía de enlace (binding energy).
Reacción Nuclear (Nuclear Reaction)
Leyes fundamentales en las reacciones nucleares
Reacción nuclear (nuclear reaction): Reacción en la que dos núcleos atómicos diferentes, o un núcleo atómico y un nucleón, colisionan para producir dos o más nuevas partículas nucleares o rayos gamma
Cuando dos núcleos atómicos $a$ y $b$ reaccionan para producir núcleos atómicos o rayos gamma $c$ y $d$, esta reacción se expresa de la siguiente manera:
\[a + b \rightarrow c + d \tag{1} \label{nuclear_reaction}\]En las reacciones nucleares se cumplen las siguientes cuatro leyes fundamentales:
- Ley de conservación de nucleones (conservation of nucleon): El número total de nucleones es el mismo antes y después de la reacción. El tipo de nucleón puede cambiar, por lo que los protones y neutrones no se conservan individualmente.
- Ley de conservación de la carga (conservation of charge): La suma total de las cargas de las partículas es la misma antes y después de la reacción.
- Ley de conservación del momento (conservation of momentum): La suma total del momento de las partículas es la misma antes y después de la reacción.
- Ley de conservación de la energía (conservation of energy): La energía total, incluyendo la energía de masa en reposo, es la misma antes y después de la reacción.
Reacción exotérmica (exothermic reaction) y reacción endotérmica (endothermic reaction)
En la reacción nuclear de la ecuación ($\ref{nuclear_reaction}$), la energía total antes de la reacción es la suma de las energías de masa en reposo y las energías cinéticas de $a$ y $b$, y la energía total después de la reacción es la suma de las energías de masa en reposo y las energías cinéticas de $c$ y $d$. Por lo tanto, según la ley de conservación de la energía, se cumple lo siguiente:
\[E_a + E_b + M_a c^2 + M_b c^2 = E_c + E_d + M_c c^2 + M_d c^2.\]Reorganizando esta ecuación, obtenemos:
\[(E_c + E_d) - (E_a + E_b) = [(M_a + M_b) - (M_c + M_d)]c^2.\]Es decir, la diferencia en la energía cinética antes y después de la reacción nuclear es igual a la diferencia en la masa en reposo. El lado derecho de la última ecuación se denomina valor Q (Q-value) de la reacción nuclear y se define como:
\[Q = [(M_a + M_b) - (M_c + M_d)]c^2 \ \text{MeV}.\tag{2} \label{Q_value}\]El valor Q siempre se expresa en unidades de MeV, y dado que la energía de masa en reposo para 1 amu es aproximadamente 931 MeV, el valor Q también puede escribirse como:
\[Q = [(M_a + M_b) - (M_c + M_d)]\cdot 931 \ \text{MeV}.\tag{3}\]- Reacción exotérmica (exothermic reaction): Reacción nuclear con $Q>0$, parte de la masa se convierte en energía cinética, aumentando la energía cinética después de la reacción
- Reacción endotérmica (endothermic reaction): Reacción nuclear con $Q<0$, parte de la energía cinética se convierte en masa, disminuyendo la energía cinética después de la reacción
| Tipo de reacción nuclear | Valor Q | Cambio de masa antes y después | Cambio de energía cinética antes y después |
|---|---|---|---|
| Reacción exotérmica | $Q>0$ | $\Delta m<0$ (disminución) | $\Delta E>0$ (aumento) |
| Reacción endotérmica | $Q<0$ | $\Delta m>0$ (aumento) | $\Delta E<0$ (disminución) |
Notación abreviada de reacciones nucleares
La reacción nuclear de la ecuación ($\ref{nuclear_reaction}$) puede expresarse de forma abreviada como:
\[a(b, c)d\]Esto significa que $b$ incide sobre $a$, emitiendo $c$ y transformándose en $d$.
Ejemplos:
- $^{16} \text{O}(n,p)^{16}\text{N}$
- $^{14} \text{N}(n,p)^{14}\text{C}$
- $^{3} \text{H}(d,n)^{4}\text{He}$
- $p(n,\gamma)d$
Energía de Enlace (Binding Energy)
Defecto de Masa (Mass Defect)
La masa de cualquier núcleo es ligeramente menor que la suma de las masas de los neutrones y protones que lo componen. Esta diferencia se denomina defecto de masa (mass defect).
Si la masa del núcleo es $M_A$, el defecto de masa $\Delta$ de cualquier núcleo puede calcularse como:
\[\Delta = ZM_p + NM_n - M_A.\]El defecto de masa $\Delta$ expresado en unidades de energía representa la energía necesaria para dividir un núcleo en sus nucleones constituyentes. Esta energía se denomina energía de enlace (binding energy) porque es la energía que mantiene unidos a los nucleones. A la inversa, cuando se forma un núcleo atómico a partir de A nucleones, el nivel de energía disminuye en la cantidad de energía de enlace $\Delta$, por lo que se libera esa cantidad de energía al entorno durante el proceso de reacción nuclear.
Energía de enlace promedio por nucleón
La energía de enlace total de un núcleo atómico aumenta con el número másico $A$, pero la pendiente no es constante.
Como se puede ver en la imagen anterior, la energía de enlace promedio por nucleón $\Delta/A$ aumenta rápidamente para números másicos bajos, pero disminuye con una pendiente suave para núcleos atómicos pesados con $A\geq56$.
Relación entre el valor Q de la reacción nuclear y la energía de enlace
En la reacción nuclear de la ecuación ($\ref{nuclear_reaction}$), la energía de enlace del núcleo $a$ es:
\[\text{BE}(a) = Z_a M_p + N_a M_n - M_a\]y la masa de $a$ es:
\[M_a = Z_a M_p + N_a M_n - \text{BE}(a)\]De manera similar, para los núcleos $b$, $c$ y $d$:
\[\begin{align*} M_b &= Z_b M_p + N_b M_n - \text{BE}(b) \\ M_c &= Z_c M_p + N_c M_n - \text{BE}(c) \\ M_d &= Z_d M_p + N_d M_n - \text{BE}(d) \\ \end{align*}\]Considerando que:
\[\begin{align*} Z_a + Z_b &= Z_c + Z_d\, , \\ N_a + N_b &= N_c + N_d \end{align*}\]y sustituyendo estas ecuaciones en la ecuación ($\ref{Q_value}$), obtenemos:
\[Q = [\text{BE}(c) + \text{BE}(d)] - [\text{BE}(a) + \text{BE}(b)]\]Esto significa que siempre se libera energía cuando dos núcleos menos estables se combinan para formar un núcleo más estable mediante un proceso de reacción nuclear.
Fusión Nuclear (Nuclear Fusion) y Fisión Nuclear (Nuclear Fission)
En el caso de la reacción nuclear donde el deuterio, con una energía de enlace de $2.23\text{MeV}$, y el tritio, con una energía de enlace de $8.48\text{MeV}$, se combinan para producir $^4\text{He}$ con una energía de enlace de $28.3\text{MeV}$ y emitir un neutrón:
\[^2\text{H} + {^3\text{H}} \rightarrow {^4\text{He}} + n \tag{4} \label{nuclear_fusion}\]Se libera una energía de $28.3-(2.23+8.48)=17.6\text{MeV}$ (equivalente a $3.52\text{MeV}$ por nucleón) en forma de energía cinética del núcleo de helio y el neutrón.
La reacción como la de la ecuación ($\ref{nuclear_fusion}$), donde dos núcleos atómicos ligeros con números másicos pequeños se combinan para formar un núcleo atómico más pesado con un número másico mayor que antes de la reacción, se denomina fusión nuclear (nuclear fusion). Esta es la fuente de energía del Sol y todas las estrellas, y algún día la humanidad podrá utilizarla directamente como fuente de energía.
Por otro lado, en el caso de la reacción nuclear donde el $^{235}\text{U}$, con una energía de enlace de aproximadamente $1780\text{MeV}$, absorbe un neutrón y luego se divide en $^{92}\text{Kr}$ con una energía de enlace de $783\text{MeV}$ y $^{141}\text{Ba}$ con aproximadamente $1170\text{MeV}$, emitiendo tres neutrones:
\[{^{235}\text{U}} + n \rightarrow {^{92}\text{Kr}} + {^{141}\text{Ba}} + 3n \tag{5} \label{nuclear_fission}\]Se libera una energía de $783+1170-1780=173\text{MeV}$ (equivalente a $0.733\text{MeV}$ por nucleón).
La reacción como la de la ecuación ($\ref{nuclear_fission}$), donde un núcleo atómico pesado se divide en núcleos atómicos más ligeros, se denomina fisión nuclear (nuclear fission). Desde el discurso “Átomos para la Paz” (Atoms for Peace) del 34º presidente de Estados Unidos, Eisenhower, y la central nuclear de Obninsk en la Unión Soviética, se ha utilizado ampliamente como fuente de energía eléctrica.
Números Mágicos
Cuando el número de neutrones o protones que forman un núcleo es 2, 6, 8, 14, 20, 28, 50, 82 o 126, ese núcleo tiende a ser particularmente estable. Estos números de nucleones se denominan números mágicos (magic numbers). Estos números corresponden al número de neutrones y protones necesarios para llenar las capas nucleares dentro del núcleo, similar a cómo se llenan las capas electrónicas externas del átomo.
Los isótopos que corresponden a números mágicos también se utilizan de manera práctica en la ingeniería nuclear. Un ejemplo representativo es el circonio-90 ($^{90}_{40} \mathrm{Zr}$), que tiene 50 neutrones. Debido a su estabilidad y baja capacidad para absorber neutrones, se utiliza ampliamente como material de revestimiento para las barras de combustible en el núcleo del reactor.