Équation d'Euler-Cauchy

TL;DR

• Équation d’Euler-Cauchy : $x^2y^{\prime\prime} + axy^{\prime} + by = 0$
• Équation auxiliaire : $m^2 + (a-1)m + b = 0$
• Selon le signe du discriminant $(1-a)^2 - 4b$ de l’équation auxiliaire, la forme de la solution générale peut être divisée en trois cas comme indiqué dans le tableau

Cas	Solutions de l’équation auxiliaire	Base des solutions de l’équation d’Euler-Cauchy	Solution générale de l’équation d’Euler-Cauchy
I	Racines réelles distinctes $m_1$, $m_2$	$x^{m_1}$, $x^{m_2}$	$y = c_1 x^{m_1} + c_2 x^{m_2}$
II	Racine réelle double $m = \cfrac{1-a}{2}$	$x^{(1-a)/2}$, $x^{(1-a)/2}\ln{x}$	$y = (c_1 + c_2 \ln x)x^m$
III	Racines complexes conjuguées $m_1 = \cfrac{1}{2}(1-a) + i\omega$, $m_2 = \cfrac{1}{2}(1-a) - i\omega$	$x^{(1-a)/2}\cos{(\omega \ln{x})}$, $x^{(1-a)/2}\sin{(\omega \ln{x})}$	$y = x^{(1-a)/2}[A\cos{(\omega \ln{x})} + B\sin{(\omega \ln{x})}]$

Prérequis

• EDOs linéaires homogènes du second ordre
• EDOs linéaires homogènes du second ordre à coefficients constants
• Formule d’Euler

Équation auxiliaire

L’équation d’Euler-Cauchy est une équation différentielle ordinaire de la forme

\[x^2y^{\prime\prime} + axy^{\prime} + by = 0 \label{eqn:euler_cauchy_eqn}\tag{1}\]

avec des constantes données $a$ et $b$, et une fonction inconnue $y(x)$. En substituant dans l’équation ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$)

\[y=x^m, \qquad y^{\prime}=mx^{m-1}, \qquad y^{\prime\prime}=m(m-1)x^{m-2}\]

on obtient

\[x^2m(m-1)x^{m-2} + axmx^{m-1} + bx^m = 0,\]

c’est-à-dire

\[[m(m-1) + am + b]x^m = 0\]

D’où l’équation auxiliaire

\[m^2 + (a-1)m + b = 0 \label{eqn:auxiliary_eqn}\tag{2}\]

La condition nécessaire et suffisante pour que $y=x^m$ soit une solution de l’équation d’Euler-Cauchy ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$) est que $m$ soit une solution de l’équation auxiliaire ($\ref{eqn:auxiliary_eqn}$).

En résolvant l’équation du second degré ($\ref{eqn:auxiliary_eqn}$), on obtient

\[\begin{align*} m_1 &= \frac{1}{2}\left[(1-a) + \sqrt{(1-a)^2 - 4b} \right], \\ m_2 &= \frac{1}{2}\left[(1-a) - \sqrt{(1-a)^2 - 4b} \right] \end{align*}\label{eqn:m1_and_m2}\tag{3}\]

et les deux fonctions

\[y_1 = x^{m_1}, \quad y_2 = x^{m_2}\]

deviennent des solutions de l’équation ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$).

Comme pour les EDOs linéaires homogènes du second ordre à coefficients constants, on peut diviser en trois cas selon le signe du discriminant $(1-a)^2 - 4b$ de l’équation auxiliaire ($\ref{eqn:auxiliary_eqn}$).

• $(1-a)^2 - 4b > 0$: deux racines réelles distinctes
• $(1-a)^2 - 4b = 0$: racine réelle double
• $(1-a)^2 - 4b < 0$: racines complexes conjuguées

Forme de la solution générale selon le signe du discriminant de l’équation auxiliaire

I. Deux racines réelles distinctes $m_1$ et $m_2$

Dans ce cas, la base des solutions de l’équation ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$) sur un intervalle quelconque est

\[y_1 = x^{m_1}, \quad y_2 = x^{m_2}\]

et la solution générale correspondante est

\[y = c_1 x^{m_1} + c_2 x^{m_2} \label{eqn:general_sol_1}\tag{4}\]

II. Racine réelle double $m = \cfrac{1-a}{2}$

Lorsque $(1-a)^2 - 4b = 0$, c’est-à-dire $b=\cfrac{(1-a)^2}{4}$, l’équation du second degré ($\ref{eqn:auxiliary_eqn}$) n’a qu’une seule solution $m = m_1 = m_2 = \cfrac{1-a}{2}$, donc la seule solution de la forme $y = x^m$ qu’on peut obtenir est

\[y_1 = x^{(1-a)/2}\]

et l’équation d’Euler-Cauchy ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$) prend la forme

\[y^{\prime\prime} + \frac{a}{x}y^{\prime} + \frac{(1-a)^2}{4x^2}y = 0 \label{eqn:standard_form}\tag{5}\]

Trouvons maintenant une autre solution $y_2$ linéairement indépendante en utilisant la réduction d’ordre.

En posant la deuxième solution recherchée comme $y_2=uy_1$, on obtient

\[u = \int U, \qquad U = \frac{1}{y_1^2}\exp\left(-\int \frac{a}{x}\ dx \right)\]

Comme $\exp \left(-\int \cfrac{a}{x}\ dx \right) = \exp (-a\ln x) = \exp(\ln{x^{-a}}) = x^{-a}$,

\[U = \frac{x^{-a}}{y_1^2} = \frac{x^{-a}}{x^{(1-a)}} = \frac{1}{x}\]

et en intégrant, on obtient $u = \ln x$.

Par conséquent, $y_2 = uy_1 = y_1 \ln x$, et comme le quotient de $y_1$ et $y_2$ n’est pas constant, ils sont linéairement indépendants. La solution générale correspondant à la base $y_1$ et $y_2$ est

\[y = (c_1 + c_2 \ln x)x^m \label{eqn:general_sol_2}\tag{6}\]

III. Racines complexes conjuguées

Dans ce cas, les solutions de l’équation auxiliaire ($\ref{eqn:auxiliary_eqn}$) sont $m = \cfrac{1}{2}(1-a) \pm i\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}$, et les deux solutions complexes correspondantes de l’équation ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$) peuvent s’écrire en utilisant $x=e^{\ln x}$ comme suit :

\[\begin{align*} x^{m_1} &= x^{(1-a)/2 + i\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}} \\ &= x^{(1-a)/2}(e^{\ln x})^{i\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}} \\ &= x^{(1-a)/2}e^{i(\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}\ln x)}, \\ x^{m_2} &= x^{(1-a)/2 - i\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}} \\ &= x^{(1-a)/2}(e^{\ln x})^{-i\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}} \\ &= x^{(1-a)/2}e^{i(-\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}\ln x)}. \end{align*} \tag{7}\]

En posant $t=\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}\ln x$ et en utilisant la formule d’Euler $e^{it} = \cos{t} + i\sin{t}$, on obtient

\[\begin{align*} x^{m_1} &= x^{(1-a)/2}\left[\cos\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right) + i\sin\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right) \right], \\ x^{m_2} &= x^{(1-a)/2}\left[\cos\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right) - i\sin\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right) \right] \end{align*} \tag{8}\]

D’où les deux solutions réelles suivantes

\[\begin{align*} \frac{x^{m_1} + x^{m_2}}{2} &= x^{(1-a)/2}\cos\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right), \\ \frac{x^{m_1} - x^{m_2}}{2i} &= x^{(1-a)/2}\sin\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right) \end{align*} \tag{9}\]

Comme leur quotient $\cos\left(\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right)$ n’est pas constant, ces deux solutions sont linéairement indépendantes et forment donc une base de l’équation d’Euler-Cauchy ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$) par le principe de superposition. On obtient ainsi la solution générale réelle suivante :

\[y = x^{(1-a)/2} \left[ A\cos\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right) + B\sin\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right) \right]. \label{eqn:general_sol_3}\tag{10}\]

Cependant, le cas où l’équation auxiliaire de l’équation d’Euler-Cauchy a des racines complexes conjuguées n’a pas une grande importance pratique.

Transformation en EDO linéaire homogène du second ordre à coefficients constants

L’équation d’Euler-Cauchy peut être transformée en EDO linéaire homogène du second ordre à coefficients constants par substitution de variable.

En substituant $x = e^t$, on obtient

\[\frac{d}{dx} = \frac{1}{x}\frac{d}{dt}, \quad \frac{d^2}{dx^2} = \frac{1}{x^2}\left(\frac{d^2}{dt^2} - \frac{d}{dt} \right)\]

et l’équation d’Euler-Cauchy ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$) devient l’EDO linéaire homogène à coefficients constants suivante en $t$ :

\[y^{\prime\prime}(t) + (a-1)y^{\prime}(t) + by(t) = 0. \label{eqn:substituted}\tag{11}\]

En résolvant l’équation ($\ref{eqn:substituted}$) par rapport à $t$ en appliquant la méthode des EDOs linéaires homogènes du second ordre à coefficients constants, puis en transformant la solution obtenue en solution par rapport à $x$ en utilisant $t = \ln{x}$, on obtient le même résultat que celui examiné précédemment.