EDO linéaire homogène du second ordre à coefficients constants
Selon le signe du discriminant de l'équation caractéristique, nous examinons la forme que prend la solution générale de l'EDO linéaire homogène à coefficients constants dans chaque cas.
TL;DR
- EDO linéaire homogène du second ordre à coefficients constants : $y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = 0$
- Équation caractéristique : $\lambda^2 + a\lambda + b = 0$
- Selon le signe du discriminant $a^2 - 4b$ de l’équation caractéristique, la forme de la solution générale peut être divisée en trois cas comme indiqué dans le tableau
Cas Solutions de l’équation caractéristique Base des solutions de l’EDO Solution générale de l’EDO I Racines réelles distinctes
$\lambda_1$, $\lambda_2$$e^{\lambda_1 x}$, $e^{\lambda_2 x}$ $y = c_1e^{\lambda_1 x} + c_2e^{\lambda_2 x}$ II Racine réelle double
$\lambda = -\cfrac{1}{2}a$$e^{-ax/2}$, $xe^{-ax/2}$ $y = (c_1 + c_2 x)e^{-ax/2}$ III Racines complexes conjuguées
$\lambda_1 = -\cfrac{1}{2}a + i\omega$,
$\lambda_2 = -\cfrac{1}{2}a - i\omega$$e^{-ax/2}\cos{\omega x}$,
$e^{-ax/2}\sin{\omega x}$$y = e^{-ax/2}(A\cos{\omega x} + B\sin{\omega x})$
Prérequis
Équation caractéristique
Considérons l’EDO linéaire homogène du second ordre où les coefficients $a$ et $b$ sont des constantes
\[y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = 0 \label{eqn:ode_with_constant_coefficients}\tag{1}\]Ce type d’équation trouve des applications importantes dans les vibrations mécaniques et électriques.
Nous avons précédemment trouvé la solution générale de l’équation logistique dans l’équation de Bernoulli, et selon cela, l’EDO linéaire du premier ordre avec coefficient constant $k$
\[y^\prime + ky = 0\]a pour solution la fonction exponentielle $y = ce^{-kx}$. (Dans l’équation (4) de cet article, cas où $A=-k$, $B=0$)
Par conséquent, pour l’équation ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$) de forme similaire, nous pouvons d’abord essayer une solution de la forme
\[y=e^{\lambda x}\label{eqn:general_sol}\tag{2}\]Bien sûr, ceci n’est qu’une conjecture, et il n’y a aucune garantie que la solution générale soit vraiment de cette forme. Cependant, tant que nous trouvons deux solutions linéairement indépendantes, nous pouvons obtenir la solution générale grâce au principe de superposition comme nous l’avons vu dans les EDOs linéaires homogènes du second ordre.
Comme nous le verrons bientôt, il y a des cas où nous devons trouver des solutions d’une forme différente.
En substituant l’équation ($\ref{eqn:general_sol}$) et ses dérivées
\[y^\prime = \lambda e^{\lambda x}, \quad y^{\prime\prime} = \lambda^2 e^{\lambda x}\]dans l’équation ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$), nous obtenons
\[(\lambda^2 + a\lambda + b)e^{\lambda x} = 0\]Par conséquent, si $\lambda$ est une solution de l’équation caractéristique
\[\lambda^2 + a\lambda + b = 0 \label{eqn:characteristic_eqn}\tag{3}\]alors la fonction exponentielle ($\ref{eqn:general_sol}$) est une solution de l’EDO ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$). En résolvant l’équation du second degré ($\ref{eqn:characteristic_eqn}$), nous obtenons
\[\begin{align*} \lambda_1 &= \frac{1}{2}\left(-a + \sqrt{a^2 - 4b}\right), \\ \lambda_2 &= \frac{1}{2}\left(-a - \sqrt{a^2 - 4b}\right) \end{align*}\label{eqn:lambdas}\tag{4}\]et de là, les deux fonctions
\[y_1 = e^{\lambda_1 x}, \quad y_2 = e^{\lambda_2 x} \tag{5}\]deviennent des solutions de l’équation ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$).
L’équation caractéristique et l’équation auxiliaire sont souvent utilisées de manière interchangeable, car elles ont exactement la même signification. Vous pouvez utiliser l’un ou l’autre terme.
Maintenant, nous pouvons diviser en trois cas selon le signe du discriminant $a^2 - 4b$ de l’équation caractéristique ($\ref{eqn:characteristic_eqn}$).
- $a^2 - 4b > 0$ : deux racines réelles distinctes
- $a^2 - 4b = 0$ : racine réelle double
- $a^2 - 4b < 0$ : racines complexes conjuguées
Forme de la solution générale selon le signe du discriminant de l’équation caractéristique
I. Deux racines réelles distinctes $\lambda_1$ et $\lambda_2$
Dans ce cas, la base des solutions de l’équation ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$) sur un intervalle arbitraire est
\[y_1 = e^{\lambda_1 x}, \quad y_2 = e^{\lambda_2 x}\]et la solution générale correspondante est
\[y = c_1 e^{\lambda_1 x} + c_2 e^{\lambda_2 x} \label{eqn:general_sol_1}\tag{6}\]II. Racine réelle double $\lambda = -\cfrac{a}{2}$
Lorsque $a^2 - 4b = 0$, l’équation du second degré ($\ref{eqn:characteristic_eqn}$) n’a qu’une seule solution $\lambda = \lambda_1 = \lambda_2 = -\cfrac{a}{2}$, et par conséquent, nous ne pouvons obtenir qu’une seule solution de la forme $y = e^{\lambda x}$
\[y_1 = e^{-(a/2)x}\]Pour obtenir une base, nous devons trouver une deuxième solution $y_2$ indépendante de $y_1$ et d’une forme différente.
Dans cette situation, nous pouvons utiliser la réduction d’ordre que nous avons étudiée précédemment. En posant la deuxième solution recherchée comme $y_2=uy_1$, et
\[\begin{align*} y_2 &= uy_1, \\ y_2^{\prime} &= u^{\prime}y_1 + uy_1^{\prime}, \\ y_2^{\prime\prime} &= u^{\prime\prime}y_1 + 2u^{\prime}y_1^{\prime} + uy_1^{\prime\prime} \end{align*}\]en substituant dans l’équation ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$), nous obtenons
\[(u^{\prime\prime}y_1 + 2u^\prime y_1^\prime + uy_1^{\prime\prime}) + a(u^\prime y_1 + uy_1^\prime) + buy_1 = 0\]En regroupant les termes en $u^{\prime\prime}$, $u^\prime$, $u$, nous obtenons
\[y_1u^{\prime\prime} + (2y_1^\prime + ay_1)u^\prime + (y_1^{\prime\prime} + ay_1^\prime + by_1)u = 0\]Ici, puisque $y_1$ est une solution de l’équation ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$), l’expression dans la dernière parenthèse est égale à $0$, et
\[2y_1^\prime = -ae^{-ax/2} = -ay_1\]donc l’expression dans la première parenthèse est également égale à $0$. Par conséquent, il ne reste que $u^{\prime\prime}y_1 = 0$, d’où $u^{\prime\prime}=0$. En intégrant deux fois, nous obtenons $u = c_1x + c_2$, et puisque les constantes d’intégration $c_1$ et $c_2$ peuvent prendre n’importe quelle valeur, nous pouvons simplement choisir $c_1=1$, $c_2=0$ pour poser $u=x$. Alors $y_2 = uy_1 = xy_1$, et puisque $y_1$ et $y_2$ sont linéairement indépendantes, elles forment une base. Par conséquent, lorsque l’équation caractéristique ($\ref{eqn:characteristic_eqn}$) a une racine double, la base des solutions de l’équation ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$) sur un intervalle arbitraire est
\[e^{-ax/2}, \quad xe^{-ax/2}\]et la solution générale correspondante est
\[y = (c_1 + c_2x)e^{-ax/2} \label{eqn:general_sol_2}\tag{7}\]III. Racines complexes conjuguées $-\cfrac{1}{2}a + i\omega$ et $-\cfrac{1}{2}a - i\omega$
Dans ce cas, $a^2 - 4b < 0$ et $\sqrt{-1} = i$, donc dans l’équation ($\ref{eqn:lambdas}$)
\[\cfrac{1}{2}\sqrt{a^2 - 4b} = \cfrac{1}{2}\sqrt{-(4b - a^2)} = \sqrt{-(b-\frac{1}{4}a^2)} = i\sqrt{b - \frac{1}{4}a^2}\]et définissons le nombre réel $\sqrt{b-\cfrac{1}{4}a^2} = \omega$.
En définissant $\omega$ comme ci-dessus, les solutions de l’équation caractéristique ($\ref{eqn:characteristic_eqn}$) deviennent les racines complexes conjuguées $\lambda = -\cfrac{1}{2}a \pm i\omega$, et les deux solutions complexes correspondantes de l’équation ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$)
\[\begin{align*} e^{\lambda_1 x} &= e^{-(a/2)x + i\omega x}, \\ e^{\lambda_2 x} &= e^{-(a/2)x - i\omega x} \end{align*}\]sont obtenues. Cependant, dans ce cas aussi, nous pouvons obtenir une base de solutions réelles (non imaginaires) comme suit.
La formule d’Euler
\[e^{it} = \cos t + i\sin t \label{eqn:euler_formula}\tag{8}\]et en substituant $-t$ à la place de $t$ dans l’équation ci-dessus
\[e^{-it} = \cos t - i\sin t\]en additionnant et soustrayant ces deux équations membre à membre, nous obtenons
\[\begin{align*} \cos t &= \frac{1}{2}(e^{it} + e^{-it}), \\ \sin t &= \frac{1}{2i}(e^{it} - e^{-it}). \end{align*} \label{eqn:cos_and_sin}\tag{9}\]La fonction exponentielle complexe $e^z$ d’une variable complexe $z = r + it$ avec partie réelle $r$ et partie imaginaire $it$ peut être définie en utilisant les fonctions réelles $e^r$, $\cos t$ et $\sin t$ comme suit.
\[e^z = e^{r + it} = e^r e^{it} = e^r(\cos t + i\sin t) \label{eqn:complex_exp}\tag{10}\]En posant $r=-\cfrac{1}{2}ax$, $t=\omega x$, nous pouvons écrire
\[\begin{align*} e^{\lambda_1 x} &= e^{-(a/2)x + i\omega x} = e^{-(a/2)x}(\cos{\omega x} + i\sin{\omega x}) \\ e^{\lambda_2 x} &= e^{-(a/2)x - i\omega x} = e^{-(a/2)x}(\cos{\omega x} - i\sin{\omega x}) \end{align*}\]Par le principe de superposition, les sommes et produits par des constantes des solutions complexes ci-dessus sont également des solutions. Par conséquent, en additionnant les deux équations membre à membre et en multipliant les deux côtés par $\cfrac{1}{2}$, nous pouvons obtenir la première solution réelle $y_1$ comme suit.
\[y_1 = e^{-(a/2)x} \cos{\omega x}. \label{eqn:basis_1}\tag{11}\]De même, en soustrayant la deuxième équation de la première membre à membre et en multipliant les deux côtés par $\cfrac{1}{2i}$, nous pouvons obtenir la deuxième solution réelle $y_2$.
\[y_2 = e^{-(a/2)x} \sin{\omega x}. \label{eqn:basis_2}\tag{12}\]Puisque $\cfrac{y_1}{y_2} = \cot{\omega x}$ et que ce n’est pas une constante, $y_1$ et $y_2$ sont linéairement indépendantes sur tout intervalle et forment donc une base des solutions réelles de l’équation ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$). De là, nous obtenons la solution générale
\[y = e^{-ax/2}(A\cos{\omega x} + B\sin{\omega x}) \quad \text{(}A,\, B\text{ sont des constantes arbitraires)} \label{eqn:general_sol_3}\tag{13}\]