EDOs linéaires non homogènes du second ordre

TL;DR

• Solution générale de l’EDO linéaire non homogène du second ordre $y^{\prime\prime} + p(x)y^{\prime} + q(x)y = r(x)$ :
  • $y(x) = y_h(x) + y_p(x)$
  • $y_h$ : solution générale de l’EDO homogène $y^{\prime\prime} + p(x)y^{\prime} + q(x)y = 0$, soit $y_h = c_1y_1 + c_2y_2$
  • $y_p$ : solution particulière de l’EDO non homogène correspondante
• Le terme de réponse $y_p$ est déterminé uniquement par l’entrée $r(x)$, et pour la même EDO non homogène, $y_p$ ne change pas même si les conditions initiales changent. La différence entre deux solutions particulières de l’EDO non homogène devient une solution de l’EDO homogène correspondante.
• Existence de la solution générale : Si les coefficients $p(x)$, $q(x)$ de l’EDO non homogène et la fonction d’entrée $r(x)$ sont continues, alors la solution générale existe toujours
• Absence de solutions singulières : La solution générale inclut toutes les solutions de l’équation (c’est-à-dire qu’il n’existe pas de solutions singulières)

Prérequis

• EDOs linéaires homogènes du second ordre
• Wronskien, existence et unicité des solutions

Solution générale et solution particulière des EDOs linéaires non homogènes du second ordre

Considérons l’EDO linéaire non homogène du second ordre

\[y^{\prime\prime} + p(x)y^{\prime} + q(x)y = r(x) \label{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}\tag{1}\]

où $r(x) \not\equiv 0$. La solution générale de l’équation ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) sur un intervalle ouvert $I$ est de la forme

\[y(x) = y_h(x) + y_p(x) \label{eqn:general_sol}\tag{3}\]

qui est la somme de la solution générale $y_h = c_1y_1 + c_2y_2$ de l’EDO homogène correspondante

\[y^{\prime\prime} + p(x)y^{\prime} + q(x)y = 0 \label{eqn:homogeneous_linear_ode}\tag{2}\]

et d’une solution particulière $y_p$ de l’équation ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$). De plus, une solution particulière de l’équation ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) sur l’intervalle $I$ est une solution obtenue à partir de l’équation ($\ref{eqn:general_sol}$) en attribuant des valeurs spécifiques aux constantes arbitraires $c_1$ et $c_2$ dans $y_h$.

En d’autres termes, lorsqu’on ajoute une entrée $r(x)$ qui ne dépend que de la variable indépendante $x$ à l’EDO homogène ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$), un terme correspondant $y_p$ est ajouté à la réponse, et ce terme de réponse ajouté $y_p$ est déterminé uniquement par l’entrée $r(x)$, indépendamment des conditions initiales. Comme nous le verrons plus tard, si on calcule la différence entre deux solutions arbitraires $y_1$ et $y_2$ de l’équation ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) (c’est-à-dire la différence entre les solutions particulières respectives pour deux conditions initiales différentes), la partie $y_p$ indépendante des conditions initiales s’annule, ne laissant que la différence entre ${y_h}_1$ et ${y_h}_2$, qui devient une solution de l’équation ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) par le principe de superposition.

Relation entre les solutions de l’EDO non homogène et les solutions de l’EDO homogène correspondante

Théorème 1 : Relation entre les solutions de l’EDO non homogène ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) et les solutions de l’EDO homogène ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$)
(a) Sur un intervalle ouvert $I$, la somme d’une solution $y$ de l’EDO non homogène ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) et d’une solution $\tilde{y}$ de l’EDO homogène ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) est une solution de l’équation ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) sur l’intervalle $I$. En particulier, l’équation ($\ref{eqn:general_sol}$) est une solution de l’équation ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) sur l’intervalle $I$.
(b) Sur un intervalle $I$, la différence entre deux solutions de l’EDO non homogène ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) est une solution de l’EDO homogène ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) sur l’intervalle $I$.

Démonstration

(a)

Notons $L[y]$ le membre de gauche des équations ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) et ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$). Alors, pour toute solution $y$ de l’équation ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) sur l’intervalle $I$ et toute solution $\tilde{y}$ de l’équation ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$), nous avons :

\[L[y + \tilde{y}] = L[y] + L[\tilde{y}] = r + 0 = r.\]

(b)

Pour deux solutions arbitraires $y$ et $y^*$ de l’équation ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) sur l’intervalle $I$, nous avons :

\[L[y - y^*] = L[y] - L[y^*] = r - r = 0.\ \blacksquare\]

La solution générale de l’EDO non homogène inclut toutes les solutions

Nous savons que pour l’EDO homogène ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$), la solution générale inclut toutes les solutions. Montrons que la même propriété est valide pour l’EDO non homogène ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$).

Théorème 2 : La solution générale de l’EDO non homogène inclut toutes les solutions
Si les coefficients $p(x)$, $q(x)$ de l’équation ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) et la fonction d’entrée $r(x)$ sont continues sur un intervalle ouvert $I$, alors toute solution de l’équation ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) sur l’intervalle $I$ peut être obtenue en attribuant des valeurs appropriées aux constantes arbitraires $c_1$ et $c_2$ dans $y_h$ de la solution générale ($\ref{eqn:general_sol}$) de l’équation ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) sur l’intervalle $I$.

Démonstration

Soit $y^*$ une solution quelconque de l’équation ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) sur $I$, et soit $x_0$ un $x$ quelconque dans l’intervalle $I$. Par le théorème d’existence de la solution générale pour les EDOs homogènes à coefficients variables continus, $y_h = c_1y_1 + c_2y_2$ existe, et par la méthode de variation des paramètres que nous étudierons plus tard, $y_p$ existe également, donc la solution générale ($\ref{eqn:general_sol}$) de l’équation ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) existe sur l’intervalle $I$. Maintenant, par le théorème 1(b) démontré précédemment, $Y = y^* - y_p$ est une solution de l’EDO homogène ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) sur l’intervalle $I$, et en $x_0$ :

\[\begin{gather*} Y(x_0) = y^*(x_0) - y_p(x_0) \\ Y^{\prime}(x_0) = {y^*}^{\prime}(x_0) - y_p^{\prime}(x_0) \end{gather*}\]

Par le théorème d’existence et d’unicité des solutions du problème à valeur initiale, il existe une solution particulière unique $Y$ de l’EDO homogène ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) sur l’intervalle $I$ pour les conditions initiales ci-dessus, qui peut être obtenue en attribuant des valeurs appropriées à $c_1$, $c_2$ dans $y_h$. Puisque $y^* = Y + y_p$, nous avons montré que toute solution particulière $y^*$ de l’EDO non homogène ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) peut être obtenue à partir de la solution générale ($\ref{eqn:general_sol}$). $\blacksquare$