歐拉-柯西方程
根據輔助方程式的判別式符號，探討歐拉-柯西方程式的一般解在各種情況下呈現的形式。
TL;DR
- 歐拉-柯西方程：$x^2y^{\prime\prime} + axy^{\prime} + by = 0$
- 輔助方程式(auxiliary equation)：$m^2 + (a-1)m + b = 0$
- 根據輔助方程式的判別式 $(1-a)^2 - 4b$ 的符號，一般解的形式可分為以下三種情況
情況 輔助方程式的解 歐拉-柯西方程的解的基底 歐拉-柯西方程的一般解 I 不同實根
$m_1$, $m_2$$x^{m_1}$, $x^{m_2}$ $y = c_1 x^{m_1} + c_2 x^{m_2}$ II 實重根
$m = \cfrac{1-a}{2}$$x^{(1-a)/2}$, $x^{(1-a)/2}\ln{x}$ $y = (c_1 + c_2 \ln x)x^m$ III 共軛複根
$m_1 = \cfrac{1}{2}(1-a) + i\omega$,
$m_2 = \cfrac{1}{2}(1-a) - i\omega$$x^{(1-a)/2}\cos{(\omega \ln{x})}$,
$x^{(1-a)/2}\sin{(\omega \ln{x})}$$y = x^{(1-a)/2}[A\cos{(\omega \ln{x})} + B\sin{(\omega \ln{x})}]$
Prerequisites
輔助方程 (auxiliary equation)
歐拉-柯西方程(Euler-Cauchy equation)是具有常數 $a$ 和 $b$，以及未知函數 $y(x)$ 的形式為
\[x^2y^{\prime\prime} + axy^{\prime} + by = 0 \label{eqn:euler_cauchy_eqn}\tag{1}\]的常微分方程。將
\[y=x^m, \qquad y^{\prime}=mx^{m-1}, \qquad y^{\prime\prime}=m(m-1)x^{m-2}\]代入式 ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$)，得到
\[x^2m(m-1)x^{m-2} + axmx^{m-1} + bx^m = 0,\]即
\[[m(m-1) + am + b]x^m = 0\]由此得到輔助方程
\[m^2 + (a-1)m + b = 0 \label{eqn:auxiliary_eqn}\tag{2}\]$y=x^m$ 成為歐拉-柯西方程 ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$) 解的充分必要條件是 $m$ 為輔助方程 ($\ref{eqn:auxiliary_eqn}$) 的解。
求解二次方程 ($\ref{eqn:auxiliary_eqn}$)，得到
\[\begin{align*} m_1 &= \frac{1}{2}\left[(1-a) + \sqrt{(1-a)^2 - 4b} \right], \\ m_2 &= \frac{1}{2}\left[(1-a) - \sqrt{(1-a)^2 - 4b} \right] \end{align*}\label{eqn:m1_and_m2}\tag{3}\]因此，兩個函數
\[y_1 = x^{m_1}, \quad y_2 = x^{m_2}\]是方程 ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$) 的解。
與具有常係數的二階齊次線性常微分方程類似，根據輔助方程 ($\ref{eqn:auxiliary_eqn}$) 的判別式 $(1-a)^2 - 4b$ 的符號，可分為三種情況：
- $(1-a)^2 - 4b > 0$：兩個不同的實根
- $(1-a)^2 - 4b = 0$：實重根
- $(1-a)^2 - 4b < 0$：共軛複根
根據輔助方程的判別式符號的一般解形式
I. 兩個不同的實根 $m_1$ 和 $m_2$
在這種情況下，方程 ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$) 在任意區間上的解的基底為
\[y_1 = x^{m_1}, \quad y_2 = x^{m_2}\]相應的一般解為
\[y = c_1 x^{m_1} + c_2 x^{m_2} \label{eqn:general_sol_1}\tag{4}\]II. 實重根 $m = \cfrac{1-a}{2}$
當 $(1-a)^2 - 4b = 0$，即 $b=\cfrac{(1-a)^2}{4}$ 時，二次方程 ($\ref{eqn:auxiliary_eqn}$) 只有一個解 $m = m_1 = m_2 = \cfrac{1-a}{2}$，因此得到的 $y = x^m$ 形式的一個解為
\[y_1 = x^{(1-a)/2}\]而歐拉-柯西方程 ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$) 變為
\[y^{\prime\prime} + \frac{a}{x}y^{\prime} + \frac{(1-a)^2}{4x^2}y = 0 \label{eqn:standard_form}\tag{5}\]現在使用降階法來找出線性獨立的另一個解 $y_2$。
設第二個解為 $y_2=uy_1$，則
\[u = \int U, \qquad U = \frac{1}{y_1^2}\exp\left(-\int \frac{a}{x}\ dx \right)\]由於 $\exp \left(-\int \cfrac{a}{x}\ dx \right) = \exp (-a\ln x) = \exp(\ln{x^{-a}}) = x^{-a}$，所以
\[U = \frac{x^{-a}}{y_1^2} = \frac{x^{-a}}{x^{(1-a)}} = \frac{1}{x}\]積分後得到 $u = \ln x$。
因此 $y_2 = uy_1 = y_1 \ln x$，且 $y_1$ 和 $y_2$ 線性獨立。基底 $y_1$ 和 $y_2$ 對應的一般解為
\[y = (c_1 + c_2 \ln x)x^m \label{eqn:general_sol_2}\tag{6}\]III. 共軛複根
在這種情況下，輔助方程 ($\ref{eqn:auxiliary_eqn}$) 的解為 $m = \cfrac{1}{2}(1-a) \pm i\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}$，對應的方程 ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$) 的兩個複數解可以利用 $x=e^{\ln x}$ 寫為：
\[\begin{align*} x^{m_1} &= x^{(1-a)/2 + i\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}} \\ &= x^{(1-a)/2}(e^{\ln x})^{i\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}} \\ &= x^{(1-a)/2}e^{i(\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}\ln x)}, \\ x^{m_2} &= x^{(1-a)/2 - i\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}} \\ &= x^{(1-a)/2}(e^{\ln x})^{-i\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}} \\ &= x^{(1-a)/2}e^{i(-\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}\ln x)}. \end{align*} \tag{7}\]令 $t=\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}\ln x$ 並使用歐拉公式 $e^{it} = \cos{t} + i\sin{t}$，得到
\[\begin{align*} x^{m_1} &= x^{(1-a)/2}\left[\cos\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right) + i\sin\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right) \right], \\ x^{m_2} &= x^{(1-a)/2}\left[\cos\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right) - i\sin\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right) \right] \end{align*} \tag{8}\]由此得到兩個實數解
\[\begin{align*} \frac{x^{m_1} + x^{m_2}}{2} &= x^{(1-a)/2}\cos\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right), \\ \frac{x^{m_1} - x^{m_2}}{2i} &= x^{(1-a)/2}\sin\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right) \end{align*} \tag{9}\]這兩個解線性獨立，因此根據疊加原理，歐拉-柯西方程 ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$) 的實數一般解為
\[y = x^{(1-a)/2} \left[ A\cos\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right) + B\sin\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right) \right]. \label{eqn:general_sol_3}\tag{10}\]不過，歐拉-柯西方程中輔助方程具有共軛複根的情況在實際應用中重要性較小。
轉換為具有常係數的二階齊次線性常微分方程
歐拉-柯西方程可以通過變數替換轉換為具有常係數的二階齊次線性常微分方程。
令 $x = e^t$，則
\[\frac{d}{dx} = \frac{1}{x}\frac{d}{dt}, \quad \frac{d^2}{dx^2} = \frac{1}{x^2}\left(\frac{d^2}{dt^2} - \frac{d}{dt} \right)\]歐拉-柯西方程 ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$) 轉換為關於 $t$ 的常係數齊次線性常微分方程：
\[y^{\prime\prime}(t) + (a-1)y^{\prime}(t) + by(t) = 0. \label{eqn:substituted}\tag{11}\]使用具有常係數的二階齊次線性常微分方程的解法求解方程 ($\ref{eqn:substituted}$)，然後利用 $t = \ln{x}$ 將解轉換回關於 $x$ 的形式，可以得到與前面討論的結果相同的結果。