二階齊次線性常微分方程式 (Homogeneous Linear ODEs of Second Order)

TL;DR

• 二階線性常微分方程式的標準型(standard form): $y^{\prime\prime} + p(x)y^{\prime} + q(x)y = r(x)$
  • 係數(coefficients): 函數 $p$, $q$
  • 輸入(input): $r(x)$
  • 輸出(output) 或 響應(response): $y(x)$
• 齊次與非齊次
  • 齊次(homogeneous): 以標準型表示時，$r(x)\equiv0$ 的情況
  • 非齊次(nonhomogeneous): 以標準型表示時，$r(x)\not\equiv 0$ 的情況
• 疊加原理(superposition principle): 對於齊次線性常微分方程式 $y^{\prime\prime} + p(x)y^{\prime} + q(x)y = 0$，在開放區間 $I$ 上的任意兩個解的線性組合，同樣也是該方程式的解。也就是說，給定齊次線性常微分方程式的任意解之和與常數倍，也同樣是該方程式的解。
• 基底(basis) 或 基礎系統(fundamental system): 在區間 $I$ 上，線性獨立的齊次線性常微分方程式的一對解 $(y_1, y_2)$
• 降階法(reduction of order): 對於二階齊次常微分方程式，若能找到其中一個解，便可透過解一階常微分方程式，找出與此解線性獨立的第二個解，即基底。此方法稱為降階法。
• 降階法的應用: 一般的二階常微分方程式 $F(x, y, y^\prime, y^{\prime\prime})=0$，無論是線性或非線性，在下列情況下皆可利用降階法降為一階：
  • 方程式中未明確出現 $y$ 的情況
  • 方程式中未明確出現 $x$ 的情況
  • 方程式為齊次線性，且已知一個解的情況

先備知識

• 模型化（Modeling）的基本概念
• 變數分離法 (Separation of Variables)
• 一階線性常微分方程式的解法

二階線性常微分方程式

若一個二階常微分方程式可寫成

\[y^{\prime\prime} + p(x)y^{\prime} + q(x)y = r(x) \label{eqn:standard_form}\tag{1}\]

的形式，則稱其為線性(linear)，否則稱為非線性(nonlinear)。

當 $p$、$q$、$r$ 為關於 $x$ 的任意函數時，此方程式對 $y$ 及其導數是線性的。

像方程式 ($\ref{eqn:standard_form}$) 這樣的形式稱為二階線性常微分方程式的標準型(standard form)。若給定的二階線性常微分方程式首項為 $f(x)y^{\prime\prime}$，可將方程式兩邊同除以 $f(x)$ 來得到標準型。

函數 $p$、$q$ 稱為係數(coefficients)，$r(x)$ 稱為輸入(input)，$y(x)$ 則稱為輸出(output) 或對輸入與初始條件的響應(response)。

齊次二階線性常微分方程式

假設我們要求解方程式 ($\ref{eqn:standard_form}$) 的區間為 $a<x<b$，記為 $J$。若在區間 $J$ 上 $r(x)\equiv 0$，則方程式為

\[y^{\prime\prime} + p(x)y^{\prime} + q(x)y = 0 \label{eqn:homogeneous_linear_ode}\tag{2}\]

此種情況稱為齊次(homogeneous)。

非齊次線性常微分方程式

在區間 $J$ 上 $r(x)\not\equiv 0$ 的情況，稱為非齊次(nonhomogeneous)。

疊加原理

\[y = c_1y_1 + c_2y_2 \quad \text{(}c_1, c_2\text{為任意常數)}\tag{3}\]

此形式的函數稱為 $y_1$ 與 $y_2$ 的線性組合(linear combination)。

此時，下列定理成立：

疊加原理(superposition principle)
對於齊次線性常微分方程式 ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$)，在開放區間 $I$ 上的任意兩個解的線性組合，同樣也是方程式 ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) 的解。也就是說，給定齊次線性常微分方程式的任意解之和與常數倍，也同樣是該方程式的解。

證明

令 $y_1$ 與 $y_2$ 為在區間 $I$ 上方程式 ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) 的解。將 $y=c_1y_1+c_2y_2$ 代入方程式 ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) 中：

\[\begin{align*} y^{\prime\prime} + py^{\prime} + qy &= (c_1y_1+c_2y_2)^{\prime\prime} + p(c_1y_1+c_2y_2)^{\prime} + q(c_1y_1+c_2y_2) \\ &= c_1y_1^{\prime\prime} + c_2y_2^{\prime\prime} + p(c_1y_1^{\prime} + c_2y_2^{\prime}) + q(c_1y_1+c_2y_2) \\ &= c_1(y_1^{\prime\prime} + py_1^{\prime} + qy_1) + c_2(y_2^{\prime\prime} + py_2^{\prime} + qy_2) \\ &= 0 \end{align*}\]

結果為恆等式。因此，$y$ 在區間 $I$ 上是方程式 ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) 的解。 $\blacksquare$

請注意，疊加原理僅適用於齊次線性常微分方程式，對於非齊次線性常微分方程式或非線性常微分方程式則不成立。

基底與通解

回顧一階常微分方程式的主要概念

如同先前在 模型化（Modeling）的基本概念 中所探討的，一階常微分方程式的初始值問題 (Initial Value Problem) 由一個常微分方程式和一個初始條件 (initial condition) $y(x_0)=y_0$ 組成。初始條件是用來決定給定常微分方程式通解中的任意常數 $c$，如此決定的解稱為特解。現在，我們將這些概念擴展到二階常微分方程式。

初始值問題與初始條件

對於二階齊次常微分方程式 ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) 的初始值問題(initial value problem)，是由給定的常微分方程式 ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) 和兩個初始條件(initial conditions)

\[y(x_0) = K_0, \quad y^{\prime}(x_0)=K_1 \label{eqn:init_conditions}\tag{4}\]

所組成。這些條件是用來決定常微分方程式的通解(general solution)

\[y = c_1y_1 + c_2y_2 \label{eqn:general_sol}\tag{5}\]

中的兩個任意常數 $c_1$ 和 $c_2$。

線性獨立與線性相依

在此，我們先來了解線性獨立與線性相依的概念。為了在後面定義基底，有必要先理解這個概念。 若兩個函數 $y_1$ 和 $y_2$ 在其定義區間 $I$ 的所有點上滿足

\[k_1y_1(x) + k_2y_2(x) = 0 \Leftrightarrow k_1=0\text{且 }k_2=0 \label{eqn:linearly_independent}\tag{6}\]

則稱這兩個函數 $y_1$ 和 $y_2$ 在區間 $I$ 上為線性獨立(linearly independent)。反之，則稱 $y_1$ 和 $y_2$ 為線性相依(linearly dependent)。

如果 $y_1$ 和 $y_2$ 是線性相依（即命題 ($\ref{eqn:linearly_independent}$) 不成立），則因為 $k_1 \neq 0$ 或 $k_2 \neq 0$，可以將方程式 ($\ref{eqn:linearly_independent}$) 的兩邊同除，寫成

\[y_1 = - \frac{k_2}{k_1}y_2 \quad \text{或} \quad y_2 = - \frac{k_1}{k_2}y_2\]

的形式，由此可知 $y_1$ 和 $y_2$ 成比例。

基底、通解與特解

回到正題，要使方程式 ($\ref{eqn:general_sol}$) 成為通解，$y_1$ 和 $y_2$ 必須是方程式 ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) 的解，同時在區間 $I$ 上不成比例且線性獨立 (linearly independent)。滿足這些條件，在區間 $I$ 上線性獨立的方程式 ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) 的一對解 (pair) $(y_1, y_2)$，稱為方程式 ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) 在區間 $I$ 上的解的基底(basis) 或 基礎系統(fundamental system)。

利用初始條件來決定通解 ($\ref{eqn:general_sol}$) 的兩個常數 $c_1$ 和 $c_2$，可以得到一個通過點 $(x_0, K_0)$ 且在該點的切線斜率為 $K_1$ 的唯一解。此解稱為常微分方程式 ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) 的特解(particular solution)。

若方程式 ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) 在開放區間 $I$ 上連續，則其必有通解，且此通解包含所有可能的特解。也就是說，在這種情況下，方程式 ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) 不會存在無法從通解中得到的奇異解 (singular solution)。

降階法 (reduction of order)

對於二階齊次常微分方程式，若能找到其中一個解，便可透過解一階常微分方程式，找出與此解線性獨立的第二個解，即基底。此方法稱為降階法(reduction of order)。

對於首項為 $y^{\prime\prime}$ 而非 $f(x)y^{\prime\prime}$ 的標準型二階齊次常微分方程式

\[y^{\prime\prime} + p(x)y^\prime + q(x)y = 0\]

，假設我們已知在開放區間 $I$ 上此方程式的一個解 $y_1$。

現在，我們設定欲求的第二個解為 $y_2 = uy_1$，並將

\[\begin{align*} y &= y_2 = uy_1, \\ y^{\prime} &= y_2^{\prime} = u^{\prime}y_1 + uy_1^{\prime}, \\ y^{\prime\prime} &= y_2^{\prime\prime} = u^{\prime\prime}y_1 + 2u^{\prime}y_1^{\prime} + uy_1^{\prime\prime} \end{align*}\]

代入方程式中，可得

\[(u^{\prime\prime}y_1 + 2u^{\prime}y_1^{\prime} + uy_1^{\prime\prime}) + p(u^{\prime}y_1 + uy_1^{\prime}) + quy_1 = 0 \tag{7}\]

將 $u^{\prime\prime}$、$u^{\prime}$、$u$ 的各項分別整理後，可得

\[y_1u^{\prime\prime} + (py_1+2y_1^{\prime})u^{\prime} + (y_1^{\prime\prime} + py_1^{\prime} + qy_1)u = 0\]

。然而，因為 $y_1$ 是給定方程式的解，最後一個括號內的式子等於 $0$，所以 $u$ 項消失，只剩下一個關於 $u^{\prime}$ 和 $u^{\prime\prime}$ 的常微分方程式。將此剩餘的常微分方程式兩邊同除以 $y_1$，並令 $u^{\prime}=U$、$u^{\prime\prime}=U^{\prime}$，即可得到以下的一階常微分方程式。

\[U^{\prime} + \left(\frac{2y_1^{\prime}}{y_1} + p \right) U = 0.\]

使用變數分離法並積分可得

\[\begin{align*} \frac{dU}{U} &= - \left(\frac{2y_1^{\prime}}{y_1} + p \right) dx \\ \ln|U| &= -2\ln|y_1| - \int p dx \end{align*}\]

，兩邊取指數函數，最終可得

\[U = \frac{1}{y_1^2}e^{-\int p dx} \tag{8}\]

。前面我們設定 $U=u^{\prime}$，因此 $u=\int U dx$，故欲求的第二個解 $y_2$ 為

\[y_2 = uy_1 = y_1 \int U dx\]

。因為 $\cfrac{y_2}{y_1} = u = \int U dx$ 在 $U>0$ 的情況下不為常數，所以 $y_1$ 和 $y_2$ 構成了解的基底。

降階法的應用

一般的二階常微分方程式 $F(x, y, y^\prime, y^{\prime\prime})=0$，無論是線性或非線性，只要滿足以下任一條件：$y$ 未明確出現、$x$ 未明確出現，或如前述為齊次線性且已知一解，即可利用降階法將其降為一階。

方程式中未明確出現 $y$ 的情況

在 $F(x, y^\prime, y^{\prime\prime})=0$ 中，令 $z=y^{\prime}$，即可將其降為關於 $z$ 的一階常微分方程式 $F(x, z, z^{\prime})$。

方程式中未明確出現 $x$ 的情況

在 $F(y, y^\prime, y^{\prime\prime})=0$ 中，令 $z=y^{\prime}$，則 $y^{\prime\prime} = \cfrac{d y^{\prime}}{dx} = \cfrac{d y^{\prime}}{dy}\cfrac{dy}{dx} = \cfrac{dz}{dy}z$。因此，可將其降為一個以 $y$ 取代自變數 $x$、關於 $z$ 的一階常微分方程式 $F(y,z,z^\prime)$。