未定係數法

TL;DR

• 未定係數法的適用對象:
  • 具有常數係數 $a$ 和 $b$，且
  • 輸入 $r(x)$ 由指數函數、$x$ 的冪次、$\cos$ 或 $\sin$，或這些函數的和與積組成的
  • 線性常微分方程 $y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = r(x)$
• 未定係數法的選擇規則
  • (a) 基本規則(basic rule): 在式 ($\ref{eqn:linear_ode_with_constant_coefficients}$) 中，若 $r(x)$ 是表格第一列中的某個函數，則選擇同一行的 $y_p$，並通過將 $y_p$ 及其導數代入式 ($\ref{eqn:linear_ode_with_constant_coefficients}$) 來確定未定係數。
  • (b) 變形規則(modification rule): 如果選擇的 $y_p$ 項是式 ($\ref{eqn:linear_ode_with_constant_coefficients}$) 對應的齊次常微分方程 $y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = 0$ 的解，則在此項上乘以 $x$（或如果此解對應於齊次常微分方程特徵方程的重根，則乘以 $x^2$）。
  • (c) 和規則(sum rule): 如果 $r(x)$ 是表格第一列中函數的和，則選擇第二列中對應行的函數的和作為 $y_p$。

$r(x)$ 的項	$y_p(x)$ 的選擇
$ke^{\gamma x}$	$Ce^{\gamma x}$
$kx^n\ (n=0,1,\cdots)$	$K_nx^n + K_{n-1}x^{n-1} + \cdots + K_1x + K_0$
$k\cos{\omega x}$ $k\sin{\omega x}$	$K\cos{\omega x} + M\sin{\omega x}$
$ke^{\alpha x}\cos{\omega x}$ $ke^{\alpha x}\sin{\omega x}$	$e^{\alpha x}(K\cos{\omega x} + M\sin{\omega x})$

Prerequisites

• 二階齊次線性常微分方程式 (Homogeneous Linear ODEs of Second Order)
• 具有常係數的二階齊次線性常微分方程式
• 歐拉-柯西方程
• 布朗斯基行列式(Wronskian)、解的存在與唯一性
• 二階非齊次線性常微分方程式 (Nonhomogeneous Linear ODEs of Second Order)
• 向量空間、線性生成(線性代數)

未定係數法

考慮 $r(x) \not\equiv 0$ 的二階非齊次線性常微分方程

\[y^{\prime\prime} + p(x)y^{\prime} + q(x)y = r(x) \label{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}\tag{1}\]

以及與此非齊次常微分方程對應的齊次常微分方程

\[y^{\prime\prime} + p(x)y^{\prime} + q(x)y = 0 \label{eqn:homogeneous_linear_ode}\tag{2}\]

根據二階非齊次線性常微分方程式 (Nonhomogeneous Linear ODEs of Second Order)中所述，要解決非齊次線性常微分方程 ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) 的初值問題，我們需要先解齊次常微分方程 ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) 得到 $y_h$，然後找到方程 ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) 的一個解 $y_p$，從而得到通解

\[y(x) = y_h(x) + y_p(x) \label{eqn:general_sol}\tag{3}\]

那麼如何找到 $y_p$ 呢？找到 $y_p$ 的一般方法是參數變換法(method of variation of parameters)，但在某些情況下，可以應用更簡單的未定係數法(method of undetermined coefficients)。這種方法在工程中特別常用，因為它可以應用於振動系統和RLC電路模型。

未定係數法適用於具有常數係數 $a$ 和 $b$，且輸入 $r(x)$ 由指數函數、$x$ 的冪次、$\cos$ 或 $\sin$，或這些函數的和與積組成的線性常微分方程

\[y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = r(x) \label{eqn:linear_ode_with_constant_coefficients}\tag{4}\]

這種形式的 $r(x)$ 具有與自身相似形式的導數，這是未定係數法的核心。為了應用未定係數法，我們選擇一個與 $r(x)$ 形式相似但具有未知係數的 $y_p$，然後通過將 $y_p$ 及其導數代入給定的常微分方程來確定這些未知係數。工程上實用且重要的 $r(x)$ 形式的選擇規則如下：

未定係數法的選擇規則
(a) 基本規則(basic rule): 在式 ($\ref{eqn:linear_ode_with_constant_coefficients}$) 中，若 $r(x)$ 是表格第一列中的某個函數，則選擇同一行的 $y_p$，並通過將 $y_p$ 及其導數代入式 ($\ref{eqn:linear_ode_with_constant_coefficients}$) 來確定未定係數。
(b) 變形規則(modification rule): 如果選擇的 $y_p$ 項是式 ($\ref{eqn:linear_ode_with_constant_coefficients}$) 對應的齊次常微分方程 $y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = 0$ 的解，則在此項上乘以 $x$（或如果此解對應於齊次常微分方程特徵方程的重根，則乘以 $x^2$）。
(c) 和規則(sum rule): 如果 $r(x)$ 是表格第一列中函數的和，則選擇第二列中對應行的函數的和作為 $y_p$。

$r(x)$ 的項	$y_p(x)$ 的選擇
$ke^{\gamma x}$	$Ce^{\gamma x}$
$kx^n\ (n=0,1,\cdots)$	$K_nx^n + K_{n-1}x^{n-1} + \cdots + K_1x + K_0$
$k\cos{\omega x}$ $k\sin{\omega x}$	$K\cos{\omega x} + M\sin{\omega x}$
$ke^{\alpha x}\cos{\omega x}$ $ke^{\alpha x}\sin{\omega x}$	$e^{\alpha x}(K\cos{\omega x} + M\sin{\omega x})$

這種方法不僅簡便，還具有自我校正性。如果選擇了錯誤的 $y_p$ 或選擇了太少的項，會導致矛盾；如果選擇了太多的項，不必要項的係數會變為 $0$，仍能得到正確結果。即使在應用未定係數法時出現問題，也能在解題過程中自然發現，因此只要按照上述選擇規則選擇了合適的 $y_p$，就可以放心嘗試。

和規則的證明

考慮形如 $r(x) = r_1(x) + r_2(x)$ 的非齊次線性常微分方程

\[y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = r_1(x) + r_2(x)\]

現在考慮具有相同左側但輸入分別為 $r_1$ 和 $r_2$ 的兩個方程

\[\begin{gather*} y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = r_1(x) \\ y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = r_2(x) \end{gather*}\]

假設這兩個方程分別有解 ${y_p}_1$ 和 ${y_p}_2$。將給定方程的左側表示為 $L[y]$，則由於 $L[y]$ 的線性性質，對於 $y_p = {y_p}_1 + {y_p}_2$，我們有

\[L[y_p] = L[{y_p}_1 + {y_p}_2] = L[{y_p}_1] + L[{y_p}_2] = r_1 + r_2 = r. \ \blacksquare\]

因此和規則成立。

例題：$y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = ke^{\gamma x}$

根據基本規則 (a)，我們設 $y_p = Ce^{\gamma x}$ 並代入給定方程 $y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = ke^{\gamma x}$，得到

\[\gamma^2 Ce^{\gamma x} + \gamma aCe^{\gamma x} + bCe^{\gamma x} = ke^{\gamma x}\] \[C(\gamma^2 + a\gamma + b)e^{\gamma x} = ke^{\gamma x}\] \[C(\gamma^2 + a\gamma + b) = k.\]

當 $\gamma^2 + a\gamma + b \neq 0$ 時

我們可以確定未定係數 $C$ 並求解 $y_p$ 如下：

\[C = \frac{k}{\gamma^2 + a\gamma + b}\] \[y_p = Ce^{\gamma x} = \frac{k}{\gamma^2 + a\gamma + b} e^{\gamma x}.\]

當 $\gamma^2 + a\gamma + b = 0$ 時

在這種情況下，我們需要應用變形規則 (b)。首先，利用 $b = -\gamma^2 - a\gamma = -\gamma(a + \gamma)$，求解對應的齊次常微分方程 $y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = 0$ 的特徵方程的根。

\[y^{\prime\prime} + ay^{\prime} - \gamma(a + \gamma)y = 0\] \[\lambda^2 + a\lambda - \gamma(a + \gamma) = 0\] \[(\lambda + (a + \gamma))(\lambda - \gamma) = 0\] \[\lambda = \gamma, -a -\gamma.\]

由此得到齊次常微分方程的基底

\[y_1 = e^{\gamma x}, \quad y_2 = e^{(-a - \gamma)x}\]

當 $\gamma \neq -a-\gamma$ 時

由於我們選擇的 $y_p = Ce^{\gamma x}$ 是對應齊次常微分方程的非重根解，根據變形規則 (b)，我們在此項上乘以 $x$，得到 $y_p = Cxe^{\gamma x}$。

將修改後的 $y_p$ 代入給定方程 $y^{\prime\prime} + ay^{\prime} - \gamma(a + \gamma)y = ke^{\gamma x}$，得到

\[C(2\gamma + \gamma^2 x)e^{\gamma x} + aC(1 + \gamma x)e^{\gamma x} - \gamma(a + \gamma)Cxe^{\gamma x} = ke^{\gamma x}\] \[C \left[\left\{\gamma^2 + a\gamma -\gamma(a + \gamma)\right\}x + 2\gamma + a \right]e^{\gamma x} = ke^{\gamma x}\] \[C(2\gamma + a)e^{\gamma x} = ke^{\gamma x}\] \[C(2\gamma + a) = k\] \[\therefore C = \frac{k}{2\gamma + a}, \quad y_p = Cxe^{\gamma x} = \frac{k}{2\gamma + a}xe^{\gamma x}.\]

當 $\gamma = -a-\gamma$ 時

在這種情況下，由於 $y_p = Ce^{\gamma x}$ 是對應齊次常微分方程的重根解，根據變形規則 (b)，我們在此項上乘以 $x^2$，得到 $y_p = Cx^2 e^{\gamma x}$。

將修改後的 $y_p$ 代入給定方程 $y^{\prime\prime} - 2\gamma y^{\prime} + \gamma^2 y = ke^{\gamma x}$，得到

\[C(2 + 4\gamma x + \gamma^2 x^2)e^{\gamma x} + C(-4\gamma x - 2\gamma^2 x^2)e^{\gamma x} + C(\gamma^2 x^2)e^{\gamma x} = ke^{\gamma x}\] \[2Ce^{\gamma x} = ke^{\gamma x}\] \[2C = k\] \[\therefore C = \frac{k}{2}, \quad y_p = Cx^2 e^{\gamma x} = \frac{k}{2}x^2 e^{\gamma x}.\]

未定係數法的擴展：函數乘積形式的 $r(x)$

考慮 $r(x) = k x^n e^{\alpha x}\cos(\omega x)$ 形式的非齊次線性常微分方程

\[y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = C x^n e^{\alpha x}\cos(\omega x)\]

如果 $r(x)$ 可以表示為指數函數 $e^{\alpha x}$、$x$ 的冪次 $x^m$、$\cos{\omega x}$ 或 $\sin{\omega x}$（這裡假設為 $\cos$，不失一般性），或這些函數的和與積，那麼我們將證明存在一個解 $y_p$，它也是表格第二列中函數的和與積。

為了嚴謹的證明，我使用了線性代數，這些部分用 * 標記。跳過這些部分仍能大致理解。

向量空間 $V$ 的定義*

對於形如 \(\begin{align*} r(x) &= C_1x^{n_1}e^{\alpha_1 x} \times C_2x^{n_2}e^{\alpha_2 x}\cos(\omega x) \times \cdots \\ &= C x^n e^{\alpha x}\cos(\omega x) \end{align*}\)

的 $r(x)$，我們可以定義一個向量空間 $V$，使得 $r(x) \in V$：

\[V = \mathrm{span}\left\{x^k e^{\alpha x}\cos(\omega x), \; x^k e^{\alpha x}\sin(\omega x) \bigm| k=0,1,\dots,n \right\}\]

指數函數、多項式函數、三角函數的導數形式

表格第一列中基本函數的導數形式如下：

• 指數函數：$\cfrac{d}{dx}e^{\alpha x} = \alpha e^{\alpha x}$
• 多項式函數：$\cfrac{d}{dx}x^m = mx^{m-1}$
• 三角函數：$\cfrac{d}{dx}\cos\omega x = -\omega\sin\omega x, \quad \cfrac{d}{dx}\sin\omega x = \omega\cos\omega x$

這些函數的導數仍然可以表示為相同類型函數的和。

因此，若函數 $f$ 和 $g$ 是上述函數或它們的和，則對於 $r(x) = f(x)g(x)$，應用乘積求導法則得到

\[\begin{align*} (fg)^{\prime} &= f^{\prime}g + fg^{\prime}, \\ (fg)^{\prime\prime} &= f^{\prime\prime}g + 2f^{\prime}g^{\prime} + fg^{\prime\prime} \end{align*}\]

其中 $f$、$f^{\prime}$、$f^{\prime\prime}$ 和 $g$、$g^{\prime}$、$g^{\prime\prime}$ 都可以表示為指數函數、多項式函數、三角函數的和或常數倍。因此 $r^{\prime}(x) = (fg)^{\prime}$ 和 $r^{\prime\prime}(x) = (fg)^{\prime\prime}$ 也可以表示為這些函數的和與積。

$V$ 對微分算子 $D$ 和線性變換 $L$ 的不變性*

即，不僅 $r(x)$ 本身，而且 $r^{\prime}(x)$ 和 $r^{\prime\prime}(x)$ 也是 $x^k e^{\alpha x}\cos(\omega x)$ 形式項和 $x^k e^{\alpha x}\sin(\omega x)$ 形式項的線性組合，因此

\[r(x) \in V \implies r^{\prime}(x) \in V,\ r^{\prime\prime}(x) \in V.\]

不限於 $r(x)$，對於前面定義的向量空間 $V$ 中的所有元素，引入微分算子 $D$，更一般地表示為向量空間 $V$ 對微分算子 $D$ 是封閉的。因此，如果將給定方程的左側表示為 $y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = L[y]$，則$V$ 對 $L$ 是不變的。

\[D^2(V)\subseteq V,\quad aD(V)\subseteq V,\quad b\,V\subseteq V \implies L(V)\subseteq V.\]

由於 $r(x) \in V$ 且 $V$ 對 $L$ 不變，因此存在 $V$ 中的另一個元素 $y_p$ 滿足 $L[y_p] = r$。

\[\exists y_p \in V: L[y_p] = r\]

Ansatz

因此，我們可以選擇一個包含所有可能乘積項的和的 $y_p$，使用未定係數 $A_0, A_1, \dots, A_n$ 和 $K$、$M$ 如下：

\[y_p = e^{\alpha x}(A_nx^n + A_{n-1}x^{n-1} + \cdots + A_1x + A_0)(K\cos{\omega x} + M \sin{\omega x}).\]

其中 $n$ 根據 $r(x)$ 中 $x$ 的次數確定。然後，根據基本規則 (a) 和變形規則 (b)，將 $y_p$（或 $xy_p$、$x^2y_p$）及其導數代入給定方程來確定未定係數。

$\blacksquare$

如果給定的輸入 $r(x)$ 包含不同的 $\alpha_i$ 和 $\omega_j$ 值，則需要為每個 $\alpha_i$ 和 $\omega_j$ 值選擇包含所有可能的 $x^{k}e^{\alpha_i x}\cos(\omega_j x)$ 和 $x^{k}e^{\alpha_i x}\sin(\omega_j x)$ 形式項的 $y_p$。
未定係數法的優點是簡便，如果假設解（ansatz）變得過於複雜而失去這一優勢，可能更適合使用後續將討論的參數變換法。

未定係數法的擴展：歐拉-柯西方程

除了具有常係數的二階齊次線性常微分方程式外，未定係數法也可用於歐拉-柯西方程

\[x^2y^{\prime\prime} + axy^{\prime} + by = r(x) \label{eqn:euler_cauchy}\tag{5}\]

變數替換

通過將 $x = e^t$ 替換為具有常係數的二階齊次線性常微分方程，我們有

\[\frac{d}{dx} = \frac{1}{x}\frac{d}{dt}, \quad \frac{d^2}{dx^2} = \frac{1}{x^2}\left(\frac{d^2}{dt^2} - \frac{d}{dt} \right)\]

這樣可以將歐拉-柯西方程轉換為關於 $t$ 的常係數齊次線性常微分方程：

\[y^{\prime\prime} + (a-1)y^{\prime} + by = r(e^t). \label{eqn:substituted}\tag{6}\]

現在可以對方程 ($\ref{eqn:substituted}$) 應用前面討論的未定係數法，然後利用 $t = \ln x$ 將解轉換回關於 $x$ 的形式。

當 $r(x)$ 是 $x$ 的冪次、自然對數或這些函數的和與積時

特別是當輸入 $r(x)$ 是 $x$ 的冪次、自然對數或這些函數的和與積時，可以按照以下歐拉-柯西方程用選擇規則直接選擇適當的 $y_p$：

未定係數法的選擇規則：歐拉-柯西方程用
(a) 基本規則(basic rule): 在式 ($\ref{eqn:euler_cauchy}$) 中，若 $r(x)$ 是表格第一列中的某個函數，則選擇同一行的 $y_p$，並通過將 $y_p$ 及其導數代入式 ($\ref{eqn:euler_cauchy}$) 來確定未定係數。
(b) 變形規則(modification rule): 如果選擇的 $y_p$ 項是式 ($\ref{eqn:euler_cauchy}$) 對應的齊次常微分方程 $x^2y^{\prime\prime} + axy^{\prime} + by = 0$ 的解，則在此項上乘以 $\ln{x}$（或如果此解對應於齊次常微分方程的特徵方程的重根，則乘以 $(\ln{x})^2$）。
(c) 和規則(sum rule): 如果 $r(x)$ 是表格第一列中函數的和，則選擇第二列中對應行的函數的和作為 $y_p$。

$r(x)$ 的項	$y_p(x)$ 的選擇
$kx^m\ (m=0,1,\cdots)$	$Ax^m$
$kx^m \ln{x}\ (m=0,1,\cdots)$	$x^m(B\ln x + C)$
$k(\ln{x})^s\ (s=0,1,\cdots)$	$D_0 + D_1\ln{x} + \cdots + D_{s-1}(\ln{x})^{s-1} + D_s(\ln{x})^s$
$kx^m (\ln{x})^s$ $(m=0,1,\cdots ;\; s=0,1,\cdots)$	$x^m \left( D_0 + D_1\ln{x} + \cdots + D_{s-1}(\ln{x})^{s-1} + D_s(\ln{x})^s \right)$

這樣可以更快更簡便地找到與變數替換方法相同的 $y_p$。將原始選擇規則中的 $x$ 替換為 $\ln{x}$ 可以導出這個歐拉-柯西方程用選擇規則。