待定係數法

TL;DR

• 待定係數法的適用對象：
  • 具有常數係數 $a$ 和 $b$
  • 且輸入項 $r(x)$ 由指數函數、$x$ 的冪次、$\cos$ 或 $\sin$，或這些函數的和與積所組成
  • 的線性常微分方程式 $y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = r(x)$
• 待定係數法的選擇規則
  • (a) 基本規則(basic rule)：若方程式 ($\ref{eqn:linear_ode_with_constant_coefficients}$) 中的 $r(x)$ 是下表第一欄中的任一函數，則選擇同一列的 $y_p$。將 $y_p$ 及其導數代入方程式 ($\ref{eqn:linear_ode_with_constant_coefficients}$) 以確定待定係數。
  • (b) 修正規則(modification rule)：若所選的 $y_p$ 項是方程式 ($\ref{eqn:linear_ode_with_constant_coefficients}$) 對應的齊次常微分方程式 $y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = 0$ 的解，則將該項乘以 $x$（若該解對應於齊次常微分方程式特徵方程式的重根，則乘以 $x^2$）。
  • (c) 疊加規則(sum rule)：若 $r(x)$ 是下表第一欄中函數的和，則選擇第二欄對應列中函數的和作為 $y_p$。

$r(x)$ 的項	$y_p(x)$ 的選擇
$ke^{\gamma x}$	$Ce^{\gamma x}$
$kx^n\ (n=0,1,\cdots)$	$K_nx^n + K_{n-1}x^{n-1} + \cdots + K_1x + K_0$
$k\cos{\omega x}$ $k\sin{\omega x}$	$K\cos{\omega x} + M\sin{\omega x}$
$ke^{\alpha x}\cos{\omega x}$ $ke^{\alpha x}\sin{\omega x}$	$e^{\alpha x}(K\cos{\omega x} + M\sin{\omega x})$

先備知識

• 二階齊次線性常微分方程式 (Homogeneous Linear ODEs of Second Order)
• 常係數二階齊次線性常微分方程式
• 歐拉-柯西方程式
• 朗斯基行列式(Wronskian)，解的存在性與唯一性
• 二階非齊次線性常微分方程式 (Nonhomogeneous Linear ODEs of Second Order)
• 向量空間、線性生成 (線性代數)

待定係數法

考慮 $r(x) \not\equiv 0$ 的二階非齊次線性常微分方程式

\[y^{\prime\prime} + p(x)y^{\prime} + q(x)y = r(x) \label{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}\tag{1}\]

以及與此非齊次常微分方程式對應的齊次常微分方程式

\[y^{\prime\prime} + p(x)y^{\prime} + q(x)y = 0 \label{eqn:homogeneous_linear_ode}\tag{2}\]

。

根據先前在 二階非齊次線性常微分方程式 (Nonhomogeneous Linear ODEs of Second Order) 中的探討，為了解決非齊次線性常微分方程式 ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) 的初值問題，我們需要先解齊次常微分方程式 ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) 求得 $y_h$，然後找到方程式 ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) 的一個特解 $y_p$，從而得到通解

\[y(x) = y_h(x) + y_p(x) \label{eqn:general_sol}\tag{3}\]

。那麼，$y_p$ 該如何尋找呢？尋找 $y_p$ 的一般方法是參數變異法(method of variation of parameters)，但在某些情況下，可以應用更為簡單的待定係數法(method of undetermined coefficients)。此方法特別適用於振動系統和 RLC 電路模型，因此在工程學中被頻繁使用。

待定係數法適用於具有常數係數 $a$ 和 $b$，且輸入項 $r(x)$ 由指數函數、$x$ 的冪次、$\cos$ 或 $\sin$，或這些函數的和與積所組成的線性常微分方程式

\[y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = r(x) \label{eqn:linear_ode_with_constant_coefficients}\tag{4}\]

。這類 $r(x)$ 的導數形式與其自身相似，這是待定係數法的核心思想。應用此方法時，我們選擇一個與 $r(x)$ 形式相似的 $y_p$，但其係數是待定的，這些係數可以通過將 $y_p$ 及其導數代入給定的常微分方程式來確定。對於在工程學中具有實際重要性的 $r(x)$ 形式，選擇適當 $y_p$ 的規則如下。

待定係數法的選擇規則
(a) 基本規則(basic rule)：若方程式 ($\ref{eqn:linear_ode_with_constant_coefficients}$) 中的 $r(x)$ 是下表第一欄中的任一函數，則選擇同一列的 $y_p$。將 $y_p$ 及其導數代入方程式 ($\ref{eqn:linear_ode_with_constant_coefficients}$) 以確定待定係數。
(b) 修正規則(modification rule)：若所選的 $y_p$ 項是方程式 ($\ref{eqn:linear_ode_with_constant_coefficients}$) 對應的齊次常微分方程式 $y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = 0$ 的解，則將該項乘以 $x$（若該解對應於齊次常微分方程式特徵方程式的重根，則乘以 $x^2$）。
(c) 疊加規則(sum rule)：若 $r(x)$ 是下表第一欄中函數的和，則選擇第二欄對應列中函數的和作為 $y_p$。

$r(x)$ 的項	$y_p(x)$ 的選擇
$ke^{\gamma x}$	$Ce^{\gamma x}$
$kx^n\ (n=0,1,\cdots)$	$K_nx^n + K_{n-1}x^{n-1} + \cdots + K_1x + K_0$
$k\cos{\omega x}$ $k\sin{\omega x}$	$K\cos{\omega x} + M\sin{\omega x}$
$ke^{\alpha x}\cos{\omega x}$ $ke^{\alpha x}\sin{\omega x}$	$e^{\alpha x}(K\cos{\omega x} + M\sin{\omega x})$

此方法不僅簡便，還具有自我校正的優點。如果錯誤地選擇了 $y_p$ 或選擇了過少的項，將會導致矛盾；如果選擇了過多的項，不必要的項的係數將變為 $0$，最終仍能得到正確的結果。即使在應用待定係數法時出現錯誤，也能在解題過程中自然地發現，因此只要根據上述選擇規則選擇一個大致適當的 $y_p$，便可以放心地嘗試。

疊加規則的證明

考慮 $r(x) = r_1(x) + r_2(x)$ 形式的非齊次線性常微分方程式

\[y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = r_1(x) + r_2(x)\]

。現在，考慮以下兩個具有相同左側但輸入項分別為 $r_1$ 和 $r_2$ 的方程式

\[\begin{gather*} y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = r_1(x) \\ y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = r_2(x) \end{gather*}\]

，並假設它們的解分別為 ${y_p}_1$ 和 ${y_p}_2$。若將給定方程式的左側記為 $L[y]$，根據 $L[y]$ 的線性性質，對於 $y_p = {y_p}_1 + {y_p}_2$，滿足以下關係，因此疊加規則成立。

\[L[y_p] = L[{y_p}_1 + {y_p}_2] = L[{y_p}_1] + L[{y_p}_2] = r_1 + r_2 = r. \ \blacksquare\]

範例：$y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = ke^{\gamma x}$

根據基本規則 (a)，設 $y_p = Ce^{\gamma x}$ 並代入給定方程式 $y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = ke^{\gamma x}$：

\[\gamma^2 Ce^{\gamma x} + \gamma aCe^{\gamma x} + bCe^{\gamma x} = ke^{\gamma x}\] \[C(\gamma^2 + a\gamma + b)e^{\gamma x} = ke^{\gamma x}\] \[C(\gamma^2 + a\gamma + b) = k.\]

$\gamma^2 + a\gamma + b \neq 0$ 的情況

可以如下確定待定係數 $C$ 並求得 $y_p$。

\[C = \frac{k}{\gamma^2 + a\gamma + b}\] \[y_p = Ce^{\gamma x} = \frac{k}{\gamma^2 + a\gamma + b} e^{\gamma x}.\]

$\gamma^2 + a\gamma + b = 0$ 的情況

在這種情況下，必須應用修正規則 (b)。首先，利用 $b = -\gamma^2 - a\gamma = -\gamma(a + \gamma)$ 來求齊次常微分方程式 $y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = 0$ 的特徵方程式的根。

\[y^{\prime\prime} + ay^{\prime} - \gamma(a + \gamma)y = 0\] \[\lambda^2 + a\lambda - \gamma(a + \gamma) = 0\] \[(\lambda + (a + \gamma))(\lambda - \gamma) = 0\] \[\lambda = \gamma, -a -\gamma.\]

由此得到齊次常微分方程式的基底

\[y_1 = e^{\gamma x}, \quad y_2 = e^{(-a - \gamma)x}\]

。

$\gamma \neq -a-\gamma$ 的情況

所選的 $y_p = Ce^{\gamma x}$ 是對應齊次常微分方程式的非重根解，因此根據修正規則 (b)，將此項乘以 $x$，設 $y_p = Cxe^{\gamma x}$。

現在，將修正後的 $y_p$ 重新代入給定方程式 $y^{\prime\prime} + ay^{\prime} - \gamma(a + \gamma)y = ke^{\gamma x}$：

\[C(2\gamma + \gamma^2 x)e^{\gamma x} + aC(1 + \gamma x)e^{\gamma x} - \gamma(a + \gamma)Cxe^{\gamma x} = ke^{\gamma x}\] \[C \left[\left\{\gamma^2 + a\gamma -\gamma(a + \gamma)\right\}x + 2\gamma + a \right]e^{\gamma x} = ke^{\gamma x}\] \[C(2\gamma + a)e^{\gamma x} = ke^{\gamma x}\] \[C(2\gamma + a) = k\] \[\therefore C = \frac{k}{2\gamma + a}, \quad y_p = Cxe^{\gamma x} = \frac{k}{2\gamma + a}xe^{\gamma x}.\]

$\gamma = -a-\gamma$ 的情況

在這種情況下，所選的 $y_p = Ce^{\gamma x}$ 是對應齊次常微分方程式的重根解，因此根據修正規則 (b)，將此項乘以 $x^2$，設 $y_p = Cx^2 e^{\gamma x}$。

現在，將修正後的 $y_p$ 重新代入給定方程式 $y^{\prime\prime} - 2\gamma y^{\prime} + \gamma^2 y = ke^{\gamma x}$：

\[C(2 + 4\gamma x + \gamma^2 x^2)e^{\gamma x} + C(-4\gamma x - 2\gamma^2 x^2)e^{\gamma x} + C(\gamma^2 x^2)e^{\gamma x} = ke^{\gamma x}\] \[2Ce^{\gamma x} = ke^{\gamma x}\] \[2C = k\] \[\therefore C = \frac{k}{2}, \quad y_p = Cx^2 e^{\gamma x} = \frac{k}{2}x^2 e^{\gamma x}.\]

待定係數法的擴展：$r(x)$ 為函數乘積形式

考慮 $r(x) = k x^n e^{\alpha x}\cos(\omega x)$ 形式的非齊次線性常微分方程式

\[y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = C x^n e^{\alpha x}\cos(\omega x)\]

。若 $r(x)$ 是指數函數 $e^{\alpha x}$、$x$ 的冪次 $x^m$、$\cos{\omega x}$ 或 $\sin{\omega x}$（此處假設為 $\cos$，不失一般性），或這些函數的和與積（即，可以用前述表格第一欄中函數的和與積來表示），我們將證明存在一個方程式的解 $y_p$，它也是同一表格第二欄中函數的和與積。

為求嚴謹證明，部分內容使用線性代數進行描述，並以 * 標示。跳過這些部分，只閱讀其餘內容，亦不影響對大致概念的理解。

定義向量空間 $V$*

對於 $r(x)$

\[\begin{align*} r(x) &= C_1x^{n_1}e^{\alpha_1 x} \times C_2x^{n_2}e^{\alpha_2 x}\cos(\omega x) \times \cdots \\ &= C x^n e^{\alpha x}\cos(\omega x) \end{align*}\]

，我們可以定義一個向量空間 $V$，使得 $r(x) \in V$：

\[V = \mathrm{span}\left\{x^k e^{\alpha x}\cos(\omega x), \; x^k e^{\alpha x}\sin(\omega x) \bigm| k=0,1,\dots,n \right\}\]

指數函數、多項式函數、三角函數的導數形式

前述表格第一欄中基本函數的導數形式如下：

• 指數函數：$\cfrac{d}{dx}e^{\alpha x} = \alpha e^{\alpha x}$
• 多項式函數：$\cfrac{d}{dx}x^m = mx^{m-1}$
• 三角函數：$\cfrac{d}{dx}\cos\omega x = -\omega\sin\omega x, \quad \cfrac{d}{dx}\sin\omega x = \omega\cos\omega x$

對這些函數求導得到的導數，同樣可以表示為同類函數的和。

因此，若函數 $f$ 和 $g$ 是上述函數或其和，對 $r(x) = f(x)g(x)$ 應用乘法法則：

\[\begin{align*} (fg)^{\prime} &= f^{\prime}g + fg^{\prime}, \\ (fg)^{\prime\prime} &= f^{\prime\prime}g + 2f^{\prime}g^{\prime} + fg^{\prime\prime} \end{align*}\]

其中 $f$, $f^{\prime}$, $f^{\prime\prime}$ 和 $g$, $g^{\prime}$, $g^{\prime\prime}$ 都可以寫成指數函數、多項式函數、三角函數的和或常數倍的形式。因此，$r^{\prime}(x) = (fg)^{\prime}$ 和 $r^{\prime\prime}(x) = (fg)^{\prime\prime}$ 也與 $r(x)$ 一樣，可以表示為這些函數的和與積。

$V$ 對於微分運算 $D$ 與線性變換 $L$ 的不變性*

也就是說，不僅 $r(x)$ 本身，其導數 $r^{\prime}(x)$ 和 $r^{\prime\prime}(x)$ 也都是 $x^k e^{\alpha x}\cos(\omega x)$ 形式項和 $x^k e^{\alpha x}\sin(\omega x)$ 形式項的線性組合，因此

\[r(x) \in V \implies r^{\prime}(x) \in V,\ r^{\prime\prime}(x) \in V.\]

不限於 $r(x)$，若對先前定義的向量空間 $V$ 的所有元素引入微分算子 $D$，可以更一般地表示為，向量空間 $V$ 在微分運算 $D$ 下是封閉的。因此，若將給定方程式的左側 $y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by$ 記為 $L[y]$，則 $V$ 在 $L$ 下是不變的(invariant)。

\[D^2(V)\subseteq V,\quad aD(V)\subseteq V,\quad b\,V\subseteq V \implies L(V)\subseteq V.\]

因為 $r(x) \in V$ 且 $V$ 在 $L$ 下不變，所以存在 $V$ 的另一個元素 $y_p$ 滿足 $L[y_p] = r$。

\[\exists y_p \in V: L[y_p] = r\]

Ansatz

因此，若使用待定係數 $A_0, A_1, \dots, A_n$ 和 $K, M$ 選擇一個適當的 $y_p$，使其成為所有可能的乘積項之和，如下所示，便可根據基本規則 (a) 和修正規則 (b)，將 $y_p$（或 $xy_p$, $x^2y_p$）及其導數代入給定方程式以確定待定係數。此處的 $n$ 根據 $r(x)$ 中 $x$ 的次數來決定。

\[y_p = e^{\alpha x}(A_nx^n + A_{n-1}x^{n-1} + \cdots + A_1x + A_0)(K\cos{\omega x} + M \sin{\omega x}).\]

$\blacksquare$

若給定的輸入項 $r(x)$ 包含多個不同的 $\alpha_i$ 和 $\omega_j$ 值，則選擇 $y_p$ 時必須確保涵蓋所有可能的 $x^{k}e^{\alpha_i x}\cos(\omega_j x)$ 和 $x^{k}e^{\alpha_i x}\sin(\omega_j x)$ 形式的項。
待定係數法的優點在於簡便，因此若假設解(ansatz)變得過於複雜，使其優點黯然失色，那麼採用之後將會介紹的參數變異法可能會是更好的選擇。

待定係數法的擴展：歐拉-柯西方程式

不僅是常係數二階齊次線性常微分方程式，待定係數法也可以應用於歐拉-柯西方程式

\[x^2y^{\prime\prime} + axy^{\prime} + by = r(x) \label{eqn:euler_cauchy}\tag{5}\]

。

變數變換

透過以 $x = e^t$ 進行變換，轉換為常係數二階齊次線性常微分方程式，可得

\[\frac{d}{dx} = \frac{1}{x}\frac{d}{dt}, \quad \frac{d^2}{dx^2} = \frac{1}{x^2}\left(\frac{d^2}{dt^2} - \frac{d}{dt} \right)\]

，我們之前已經知道，歐拉-柯西方程式可以轉換為以下關於 $t$ 的常係數齊次線性常微分方程式。

\[y^{\prime\prime} + (a-1)y^{\prime} + by = r(e^t). \label{eqn:substituted}\tag{6}\]

現在，對方程式 ($\ref{eqn:substituted}$) 同樣應用前面探討的待定係數法對 $t$ 求解，最後利用 $t = \ln x$ 將解轉換回關於 $x$ 的解即可。

$r(x)$ 為 $x$ 的冪次、自然對數或這些函數的和與積的情況

特別是當輸入項 $r(x)$ 由 $x$ 的冪次、自然對數或這些函數的和與積組成時，可以根據以下歐拉-柯西方程式專用的選擇規則，直接選擇適當的 $y_p$。

待定係數法的選擇規則：歐拉-柯西方程式專用
(a) 基本規則(basic rule)：若方程式 ($\ref{eqn:euler_cauchy}$) 中的 $r(x)$ 是下表第一欄中的任一函數，則選擇同一列的 $y_p$。將 $y_p$ 及其導數代入方程式 ($\ref{eqn:euler_cauchy}$) 以確定待定係數。
(b) 修正規則(modification rule)：若所選的 $y_p$ 項是方程式 ($\ref{eqn:euler_cauchy}$) 對應的齊次常微分方程式 $x^2y^{\prime\prime} + axy^{\prime} + by = 0$ 的解，則將該項乘以 $\ln{x}$（若該解對應於齊次常微分方程式特徵方程式的重根，則乘以 $(\ln{x})^2$）。
(c) 疊加規則(sum rule)：若 $r(x)$ 是下表第一欄中函數的和，則選擇第二欄對應列中函數的和作為 $y_p$。

$r(x)$ 的項	$y_p(x)$ 的選擇
$kx^m\ (m=0,1,\cdots)$	$Ax^m$
$kx^m \ln{x}\ (m=0,1,\cdots)$	$x^m(B\ln x + C)$
$k(\ln{x})^s\ (s=0,1,\cdots)$	$D_0 + D_1\ln{x} + \cdots + D_{s-1}(\ln{x})^{s-1} + D_s(\ln{x})^s$
$kx^m (\ln{x})^s$ $(m=0,1,\cdots ;\; s=0,1,\cdots)$	$x^m \left( D_0 + D_1\ln{x} + \cdots + D_{s-1}(\ln{x})^{s-1} + D_s(\ln{x})^s \right)$

這樣，對於具有實際重要性的輸入項 $r(x)$，可以比透過變數變換更快、更簡便地找到與之相同的 $y_p$。將先前探討的原始選擇規則中的 $x$ 替換為 $\ln{x}$，即可推導出此歐拉-柯西方程式專用的選擇規則。