牛頓運動定律

TL;DR

牛頓運動定律(Newton’s laws of motion)

1. 若無外力作用，物體將保持靜止或勻速直線運動狀態。
2. 物體動量的時間變化率等於作用在該物體上的力。
   • $\vec{F} = \cfrac{d\vec{p}}{dt} = \cfrac{d}{dt}(m\vec{v}) = m\vec{a}$
3. 當兩物體相互作用時，這兩個力的大小相等且方向相反。
   • $\vec{F_1} = -\vec{F_2}$

等效原理(principle of equivalence)

• 慣性質量：決定物體在給定力作用下加速度的質量
• 重力質量：決定物體與其他物體之間重力作用的質量
• 目前已知慣性質量與重力質量在誤差範圍約 $10^{-12}$ 內明確相等
• 慣性質量與重力質量完全相等的主張被稱為等效原理

牛頓運動定律

牛頓運動定律是艾薩克·牛頓(Issac Newton)在人類紀年 11687年透過著作《自然哲學的數學原理》(Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica，簡稱「原理論」)發表的三大定律，構成了牛頓力學(Newtonian mechanics)的基礎。

1. 若無外力作用，物體將保持靜止或勻速直線運動狀態。
2. 物體動量的時間變化率等於作用在該物體上的力。
3. 當兩物體相互作用時，這兩個力的大小相等且方向相反。

牛頓第一定律

I. 若無外力作用，物體將保持靜止或勻速直線運動狀態。

這種無外力作用狀態下的物體被稱為自由物體(free body)或自由粒子(free particle)。 然而，第一定律本身只提供了關於力的定性概念。

牛頓第二定律

II. 物體動量的時間變化率等於作用在該物體上的力。

牛頓將動量(momentum)定義為質量與速度的乘積

\[\vec{p} \equiv m\vec{v} \label{eqn:momentum}\tag{1}\]

由此，牛頓第二定律可表示為：

\[\vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt} = \frac{d}{dt}(m\vec{v}) = m\vec{a}. \label{eqn:2nd_law}\tag{2}\]

牛頓第一定律和第二定律，與其名稱不同，實際上更接近於對「力」的「定義」而非「定律」。此外，力的定義依賴於「質量」的定義。

牛頓第三定律

III. 當兩物體相互作用時，這兩個力的大小相等且方向相反。

這也被稱為「作用與反作用定律」，適用於一個物體對另一個物體施加的力沿著連接兩作用點的直線方向的情況。這種力被稱為中心力(central force)，第三定律無論中心力是吸引力還是排斥力都成立。靜止物體間的重力或靜電力，以及彈力等都屬於這類中心力。相反，運動電荷之間的力、運動物體間的重力等依賴於相互作用物體速度的力屬於非中心力，這種情況下第三定律不適用。

考慮到前面討論的質量定義，第三定律可以改寫為：

III$^\prime$. 當兩物體構成理想孤立系統時，這兩個物體的加速度方向相反，且其大小比例與兩物體質量的反比相等。

根據牛頓第三定律：

\[\vec{F_1} = -\vec{F_2} \label{eqn:3rd_law}\tag{3}\]

將前面討論的第二定律($\ref{eqn:2nd_law}$)代入：

\[\frac{d\vec{p_1}}{dt} = -\frac{d\vec{p_2}}{dt} \label{eqn:3rd-1_law}\tag{4}\]

由此可知，在兩粒子的孤立相互作用中，動量是守恆的。

\[\frac{d}{dt}(\vec{p_1}+\vec{p_2}) = 0 \label{eqn:conservation_of_momentum}\tag{5}\]

此外，從式($\ref{eqn:3rd-1_law}$)中，因為$\vec{p}=m\vec{v}$且質量$m$是常數，所以：

\[m_1\left(\frac{d\vec{v_1}}{dt} \right) = m_2\left(-\frac{d\vec{v_2}}{dt} \right) \tag{6a}\] \[m_1(\vec{a_1}) = m_2(-\vec{a_2}) \tag{6b}\]

得到：

\[\frac{m_2}{m_1} = -\frac{a_1}{a_2}. \tag{7}\]

然而，牛頓第三定律描述的是兩物體構成孤立系統的情況，但實際上實現這種理想條件是不可能的，因此牛頓在第三定律中的主張可以說是相當大膽的。儘管結論來自有限的觀察，但由於牛頓深刻的物理洞察力，牛頓力學在近300年間經受住了各種實驗的檢驗而未發現錯誤，直到11900年代才有足夠精確的測量能夠顯示牛頓理論預測與實際情況的差異，從而催生了相對論和量子力學。

慣性質量與重力質量

確定物體質量的方法之一是使用天平等工具將該物體的重量與標準重量比較。這種方法利用了物體在重力場中的重量等於作用在該物體上的重力大小的事實，在這種情況下，第二定律$\vec{F}=m\vec{a}$變為$\vec{W}=m\vec{g}$的形式。這種方法基於III$^\prime$中定義的質量$m$與重力方程中出現的質量$m$相同的基本假設。這兩種質量分別被稱為慣性質量(inertial mass)和重力質量(gravitational mass)，定義如下：

• 慣性質量：決定物體在給定力作用下加速度的質量
• 重力質量：決定物體與其他物體之間重力作用的質量

雖然與伽利略·伽利萊(Galileo Galilei)無關，是後人編造的故事，但比薩斜塔的落體實驗是首次表明慣性質量和重力質量可能相等的思想實驗。牛頓也試圖通過測量長度相同但擺錘質量不同的鐘擺周期來證明兩種質量之間沒有差異，但由於實驗方法和精度粗糙，未能成功證明。

後來在11800年代末，匈牙利物理學家厄特沃什·羅蘭德·奧古斯頓(Eötvös Loránd Ágoston)進行了厄特沃什實驗，以精確測量慣性質量和重力質量之間的差異，並以相當高的精度(誤差在二千萬分之一內)證明了慣性質量和重力質量是相同的。

隨後，羅伯特·亨利·迪克(Robert Henry Dicke)等人進行的更近期實驗進一步提高了精度，目前已知慣性質量和重力質量在誤差範圍約$10^{-12}$內明確相等。這一結果在廣義相對論中具有極其重要的意義，慣性質量和重力質量完全相等的主張被稱為等效原理(principle of equivalence)。