核反應與結合能

核反應 (Nuclear Reaction)

核反應中的基本法則

核反應(nuclear reaction)：兩個不同原子核之間或原子核與核子碰撞，產生兩個以上新的核粒子或伽馬射線的反應

當兩個原子核 $a$、$b$ 反應產生原子核或伽馬射線 $c$、$d$ 時，這個反應可以表示如下：

\[a + b \rightarrow c + d \tag{1} \label{nuclear_reaction}\]

在核反應中，以下四個基本法則成立：

• 核子數守恆定律(conservation of nucleon)：總核子數在反應前後相同。核子的種類可以改變，因此質子和中子各自不一定守恆。
• 電荷量守恆定律(conservation of charge)：粒子電荷量的總和在反應前後相同。
• 動量守恆定律(conservation of momentum)：粒子動量的總和在反應前後相同。
• 能量守恆定律(conservation of energy)：包括靜止質量能量的總能量在反應前後相同。

放熱反應(exothermic reaction) & 吸熱反應(endothermic reaction)

在式 ($\ref{nuclear_reaction}$) 的核反應中，反應前的總能量是 $a$ 和 $b$ 的靜止質量能量與動能的總和，反應後的總能量是 $c$ 和 $d$ 的靜止質量能量與動能的總和。因此，根據能量守恆定律，以下等式成立：

\[E_a + E_b + M_a c^2 + M_b c^2 = E_c + E_d + M_c c^2 + M_d c^2.\]

整理上式得：

\[(E_c + E_d) - (E_a + E_b) = [(M_a + M_b) - (M_c + M_d)]c^2.\]

也就是說，核反應前後動能的差異等於核反應前後靜止質量的差異。 最後等式右邊被稱為核反應的 Q值(Q-value)，定義如下：

\[Q = [(M_a + M_b) - (M_c + M_d)]c^2 \ \text{MeV}.\tag{2} \label{Q_value}\]

Q值通常以MeV為單位表示，由於1 amu質量的靜止質量能量約為931MeV，Q值也可以寫成：

\[Q = [(M_a + M_b) - (M_c + M_d)]\cdot 931 \ \text{MeV}.\tag{3}\]

• 放熱反應(exothermic reaction)：$Q>0$ 的核反應，部分質量轉換為動能，反應後動能增加
• 吸熱反應(endothermic reaction)：$Q<0$ 的核反應，部分動能轉換為質量，反應後動能減少

核反應類型	Q值	反應前後質量變化	反應前後動能變化
放熱反應	$Q>0$	$\Delta m<0$ (減少)	$\Delta E>0$ (增加)
吸熱反應	$Q<0$	$\Delta m>0$ (增加)	$\Delta E<0$ (減少)

核反應的簡略表示

式 ($\ref{nuclear_reaction}$) 的核反應可以簡略表示如下：

\[a(b, c)d\]

這表示 $a$ 被 $b$ 入射，放出 $c$ 並轉變為 $d$ 的核反應。

例如：

• $^{16} \text{O}(n,p)^{16}\text{N}$
• $^{14} \text{N}(n,p)^{14}\text{C}$
• $^{3} \text{H}(d,n)^{4}\text{He}$
• $p(n,\gamma)d$

結合能 (Binding Energy)

質量虧損 (Mass Defect)

所有原子核的質量都略小於組成該核的中子和質子質量之和。這個差異被稱為質量虧損(mass defect)。

若原子核質量為 $M_A$，則任意原子核的質量虧損 $\Delta$ 可以計算如下：

\[\Delta = ZM_p + NM_n - M_A.\]

將質量虧損 $\Delta$ 轉換為能量單位，就是將該原子核分解為其組成核子所需的能量。因為這是將核子束縛在一起的能量，所以稱為結合能(binding energy)。反過來說，當A個核子形成原子核時，能量水平會降低 $\Delta$，因此在核反應過程中會釋放相應的能量。

每核子平均結合能

原子核的總結合能隨質量數 $A$ 增加而增加，但其斜率並不恆定。

從上圖可以看出，每核子平均結合能 $\Delta/A$ 在低質量數時急劇增加，但在 $A\geq56$ 的重原子核中則緩慢下降。

核反應Q值與結合能的關係

在式 ($\ref{nuclear_reaction}$) 的核反應中，$a$ 核的結合能是：

\[\text{BE}(a) = Z_a M_p + N_a M_n - M_a\]

而 $a$ 的質量是：

\[M_a = Z_a M_p + N_a M_n - \text{BE}(a)\]

同樣地，對於 $b$、$c$、$d$ 核：

\[\begin{align*} M_b &= Z_b M_p + N_b M_n - \text{BE}(b) \\ M_c &= Z_c M_p + N_c M_n - \text{BE}(c) \\ M_d &= Z_d M_p + N_d M_n - \text{BE}(d) \\ \end{align*}\]

假設：

\[\begin{align*} Z_a + Z_b &= Z_c + Z_d\, , \\ N_a + N_b &= N_c + N_d \end{align*}\]

將上述式子代入式 ($\ref{Q_value}$)，得：

\[Q = [\text{BE}(c) + \text{BE}(d)] - [\text{BE}(a) + \text{BE}(b)]\]

這表明當兩個較不穩定的核通過某種核反應過程結合形成更穩定的核時，總會釋放能量。

核融合(Nuclear Fusion)與核分裂(Nuclear Fission)

在結合能為 $2.23\text{MeV}$ 的氘與結合能為 $8.48\text{MeV}$ 的氚結合形成結合能為 $28.3\text{MeV}$ 的 $^4\text{He}$ 並釋放一個中子的核反應中：

\[^2\text{H} + {^3\text{H}} \rightarrow {^4\text{He}} + n \tag{4} \label{nuclear_fusion}\]

反應前後結合能差異相當於 $28.3-(2.23+8.48)=17.6\text{MeV}$ 的能量（每核子 $3.52\text{MeV}$）以氦原子核和中子的動能形式釋放。

像式 ($\ref{nuclear_fusion}$) 這樣，質量數較小的兩個輕原子核結合形成比反應前質量數更大的重原子核的反應稱為核融合(nuclear fusion)。這是太陽和所有恆星的能量來源，未來人類有望直接利用它作為動力源。

另一方面，在結合能約為 $1780\text{MeV}$ 的 $^{235}\text{U}$ 吸收中子後分裂為結合能為 $783\text{MeV}$ 的 $^{92}\text{Kr}$ 和約 $1170\text{MeV}$ 的 $^{141}\text{Ba}$，並釋放3個中子的核反應中：

\[{^{235}\text{U}} + n \rightarrow {^{92}\text{Kr}} + {^{141}\text{Ba}} + 3n \tag{5} \label{nuclear_fission}\]

反應前後結合能差異相當於 $783+1170-1780=173\text{MeV}$ 的能量（每核子 $0.733\text{MeV}$）被釋放。

像式 ($\ref{nuclear_fission}$) 這樣，重原子核分裂成輕原子核的反應稱為核分裂(nuclear fission)。自艾森豪威爾第34任美國總統的「原子能和平利用(Atoms for Peace)」演說和蘇聯的奧布寧斯克核電站以來，核分裂已被廣泛用作電力來源。

魔數

當某些原子核中的中子數或質子數為2、6、8、14、20、28、50、82、126個時，這些原子核特別穩定。這些特定的核子數被稱為魔數(magic number)。這些數字對應於填滿核內核子殼層所需的中子和質子數，類似於原子外層電子殼層的填充方式。

具有魔數的核種在核工程中有實際應用。一個典型例子是擁有50個中子的鋯-90($^{90}_{40} \mathrm{Zr}$)，由於其穩定性，不易吸收中子，因此被廣泛用作反應堆爐心內燃料棒的包覆材料。