Die Euler-Cauchy-Gleichung
Untersuchung der allgemeinen Lösung der Euler-Cauchy-Gleichung basierend auf dem Vorzeichen der Diskriminante der charakteristischen Gleichung. Die drei Fälle werden behandelt.
TL;DR
- Euler-Cauchy-Gleichung: $x^2y^{\prime\prime} + axy^{\prime} + by = 0$
- Charakteristische Gleichung: $m^2 + (a-1)m + b = 0$
- Je nach Vorzeichen der Diskriminante der charakteristischen Gleichung, $(1-a)^2 - 4b$, kann die Form der allgemeinen Lösung wie in der Tabelle in drei Fälle unterteilt werden:
Fall Lösungen der charakteristischen Gleichung Basis der Lösungen der Euler-Cauchy-Gleichung Allgemeine Lösung der Euler-Cauchy-Gleichung I Zwei verschiedene reelle Wurzeln
$m_1$, $m_2$$x^{m_1}$, $x^{m_2}$ $y = c_1 x^{m_1} + c_2 x^{m_2}$ II Reelle doppelte Wurzel
$m = \cfrac{1-a}{2}$$x^{(1-a)/2}$, $x^{(1-a)/2}\ln{x}$ $y = (c_1 + c_2 \ln x)x^m$ III Konjugiert komplexe Wurzeln
$m_1 = \cfrac{1}{2}(1-a) + i\omega$,
$m_2 = \cfrac{1}{2}(1-a) - i\omega$$x^{(1-a)/2}\cos{(\omega \ln{x})}$,
$x^{(1-a)/2}\sin{(\omega \ln{x})}$$y = x^{(1-a)/2}[A\cos{(\omega \ln{x})} + B\sin{(\omega \ln{x})}]$
Voraussetzungen
- Homogene lineare DGL zweiter Ordnung
- Homogene lineare DGL zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten
- Eulersche Formel
Die charakteristische Gleichung
Die Euler-Cauchy-Gleichung ist eine gewöhnliche Differentialgleichung der Form
\[x^2y^{\prime\prime} + axy^{\prime} + by = 0 \label{eqn:euler_cauchy_eqn}\tag{1}\]mit gegebenen Konstanten $a$ und $b$ und einer unbekannten Funktion $y(x)$. Setzt man
\[y=x^m, \qquad y^{\prime}=mx^{m-1}, \qquad y^{\prime\prime}=m(m-1)x^{m-2}\]in die Gleichung ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$) ein, erhält man
\[x^2m(m-1)x^{m-2} + axmx^{m-1} + bx^m = 0,\]also
\[[m(m-1) + am + b]x^m = 0\]Daraus ergibt sich die charakteristische Gleichung
\[m^2 + (a-1)m + b = 0 \label{eqn:auxiliary_eqn}\tag{2}\]und die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass $y=x^m$ eine Lösung der Euler-Cauchy-Gleichung ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$) ist, ist, dass $m$ eine Lösung der charakteristischen Gleichung ($\ref{eqn:auxiliary_eqn}$) ist.
Die Lösungen der quadratischen Gleichung ($\ref{eqn:auxiliary_eqn}$) sind
\[\begin{align*} m_1 &= \frac{1}{2}\left[(1-a) + \sqrt{(1-a)^2 - 4b} \right], \\ m_2 &= \frac{1}{2}\left[(1-a) - \sqrt{(1-a)^2 - 4b} \right] \end{align*}\label{eqn:m1_and_m2}\tag{3}\]und daraus folgt, dass die beiden Funktionen
\[y_1 = x^{m_1}, \quad y_2 = x^{m_2}\]Lösungen der Gleichung ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$) sind.
Analog zum Fall der homogene lineare DGL zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten können wir je nach Vorzeichen der Diskriminante $(1-a)^2 - 4b$ der charakteristischen Gleichung ($\ref{eqn:auxiliary_eqn}$) drei Fälle unterscheiden.
- $(1-a)^2 - 4b > 0$: Zwei verschiedene reelle Wurzeln
- $(1-a)^2 - 4b = 0$: Reelle doppelte Wurzel
- $(1-a)^2 - 4b < 0$: Konjugiert komplexe Wurzeln
Form der allgemeinen Lösung je nach Vorzeichen der Diskriminante
I. Zwei verschiedene reelle Wurzeln $m_1$ und $m_2$
In diesem Fall ist die Basis der Lösungen der Gleichung ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$) auf einem beliebigen Intervall
\[y_1 = x^{m_1}, \quad y_2 = x^{m_2}\]und die entsprechende allgemeine Lösung ist
\[y = c_1 x^{m_1} + c_2 x^{m_2} \label{eqn:general_sol_1}\tag{4}\]II. Reelle doppelte Wurzel $m = \cfrac{1-a}{2}$
Im Fall, dass $(1-a)^2 - 4b = 0$, also $b=\cfrac{(1-a)^2}{4}$, hat die quadratische Gleichung ($\ref{eqn:auxiliary_eqn}$) nur eine einzige Lösung $m = m_1 = m_2 = \cfrac{1-a}{2}$, und somit ist eine Lösung der Form $y = x^m$, die wir daraus erhalten,
\[y_1 = x^{(1-a)/2}\]und die Euler-Cauchy-Gleichung ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$) nimmt die Form
\[y^{\prime\prime} + \frac{a}{x}y^{\prime} + \frac{(1-a)^2}{4x^2}y = 0 \label{eqn:standard_form}\tag{5}\]an. Nun finden wir eine weitere, linear unabhängige Lösung $y_2$ mit dem Reduktionsverfahren.
Wenn wir die gesuchte zweite Lösung als $y_2=uy_1$ ansetzen, erhalten wir
\[u = \int U, \qquad U = \frac{1}{y_1^2}\exp\left(-\int \frac{a}{x}\ dx \right)\]Da $\exp \left(-\int \cfrac{a}{x}\ dx \right) = \exp (-a\ln x) = \exp(\ln{x^{-a}}) = x^{-a}$ ist,
\[U = \frac{x^{-a}}{y_1^2} = \frac{x^{-a}}{x^{(1-a)}} = \frac{1}{x}\]und durch Integration erhält man $u = \ln x$.
Daher ist $y_2 = uy_1 = y_1 \ln x$, und da ihr Quotient keine Konstante ist, sind $y_1$ und $y_2$ linear unabhängig. Die der Basis $y_1$ und $y_2$ entsprechende allgemeine Lösung ist
\[y = (c_1 + c_2 \ln x)x^m \label{eqn:general_sol_2}\tag{6}\]III. Konjugiert komplexe Wurzeln
In diesem Fall sind die Lösungen der charakteristischen Gleichung ($\ref{eqn:auxiliary_eqn}$) $m = \cfrac{1}{2}(1-a) \pm i\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}$, und die entsprechenden beiden komplexen Lösungen der Gleichung ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$) können unter Verwendung von $x=e^{\ln x}$ wie folgt geschrieben werden.
\[\begin{align*} x^{m_1} &= x^{(1-a)/2 + i\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}} \\ &= x^{(1-a)/2}(e^{\ln x})^{i\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}} \\ &= x^{(1-a)/2}e^{i(\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}\ln x)}, \\ x^{m_2} &= x^{(1-a)/2 - i\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}} \\ &= x^{(1-a)/2}(e^{\ln x})^{-i\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}} \\ &= x^{(1-a)/2}e^{i(-\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}\ln x)}. \end{align*} \tag{7}\]Setzt man $t=\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}\ln x$ und verwendet die Eulersche Formel $e^{it} = \cos{t} + i\sin{t}$, so sieht man, dass
\[\begin{align*} x^{m_1} &= x^{(1-a)/2}\left[\cos\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right) + i\sin\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right) \right], \\ x^{m_2} &= x^{(1-a)/2}\left[\cos\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right) - i\sin\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right) \right] \end{align*} \tag{8}\]und daraus erhält man die folgenden beiden reellen Lösungen
\[\begin{align*} \frac{x^{m_1} + x^{m_2}}{2} &= x^{(1-a)/2}\cos\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right), \\ \frac{x^{m_1} - x^{m_2}}{2i} &= x^{(1-a)/2}\sin\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right) \end{align*} \tag{9}\]Da ihr Quotient $\cos\left(\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right)$ keine Konstante ist, sind die beiden obigen Lösungen linear unabhängig und bilden daher nach dem Superpositionsprinzip eine Basis für die Euler-Cauchy-Gleichung ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$). Daraus erhalten wir die folgende reelle allgemeine Lösung.
\[y = x^{(1-a)/2} \left[ A\cos\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right) + B\sin\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right) \right]. \label{eqn:general_sol_3}\tag{10}\]Allerdings ist der Fall, dass die charakteristische Gleichung der Euler-Cauchy-Gleichung konjugiert komplexe Wurzeln hat, von geringerer praktischer Bedeutung.
Transformation in eine homogene lineare GDGL mit konstanten Koeffizienten
Die Euler-Cauchy-Gleichung kann durch eine Variablensubstitution in eine homogene lineare DGL zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten umgewandelt werden.
Durch die Substitution $x = e^t$ erhält man
\[\frac{d}{dx} = \frac{1}{x}\frac{d}{dt}, \quad \frac{d^2}{dx^2} = \frac{1}{x^2}\left(\frac{d^2}{dt^2} - \frac{d}{dt} \right)\]wodurch die Euler-Cauchy-Gleichung ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$) in die folgende homogene lineare GDGL mit konstanten Koeffizienten bezüglich $t$ umgewandelt wird.
\[y^{\prime\prime}(t) + (a-1)y^{\prime}(t) + by(t) = 0. \label{eqn:substituted}\tag{11}\]Löst man die Gleichung ($\ref{eqn:substituted}$) für $t$ mit der Methode für homogene lineare DGL zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten und transformiert die so erhaltene Lösung unter Verwendung von $t = \ln{x}$ zurück in eine Lösung für $x$, erhält man die gleichen Ergebnisse wie zuvor.