Inhomogene lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung

TL;DR

• Die allgemeine Lösung einer inhomogenen linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung $y^{\prime\prime} + p(x)y^{\prime} + q(x)y = r(x)$:
  • $y(x) = y_h(x) + y_p(x)$
  • $y_h$: allgemeine Lösung der homogenen Differentialgleichung $y^{\prime\prime} + p(x)y^{\prime} + q(x)y = 0$ in der Form $y_h = c_1y_1 + c_2y_2$
  • $y_p$: partikuläre Lösung der inhomogenen Differentialgleichung
• Der Antwortterm $y_p$ wird nur durch die Eingabe $r(x)$ bestimmt und ändert sich nicht bei unterschiedlichen Anfangsbedingungen für dieselbe inhomogene Differentialgleichung. Die Differenz zweier partikulärer Lösungen der inhomogenen Differentialgleichung ist eine Lösung der entsprechenden homogenen Differentialgleichung.
• Existenz der allgemeinen Lösung: Wenn die Koeffizienten $p(x)$, $q(x)$ und die Eingabefunktion $r(x)$ stetig sind, existiert immer eine allgemeine Lösung
• Nichtexistenz singulärer Lösungen: Die allgemeine Lösung umfasst alle Lösungen der Differentialgleichung (d.h., es gibt keine singulären Lösungen)

Voraussetzungen

• Homogene lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung
• Wronskian, Existenz und Eindeutigkeit der Lösungen

Allgemeine Lösung und partikuläre Lösung inhomogener linearer Differentialgleichungen zweiter Ordnung

Betrachten wir die inhomogene lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung

\[y^{\prime\prime} + p(x)y^{\prime} + q(x)y = r(x) \label{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}\tag{1}\]

wobei $r(x) \not\equiv 0$. Die allgemeine Lösung dieser inhomogenen Differentialgleichung ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) auf einem offenen Intervall $I$ hat die Form

\[y(x) = y_h(x) + y_p(x) \label{eqn:general_sol}\tag{3}\]

wobei $y_h = c_1y_1 + c_2y_2$ die allgemeine Lösung der entsprechenden homogenen Differentialgleichung

\[y^{\prime\prime} + p(x)y^{\prime} + q(x)y = 0 \label{eqn:homogeneous_linear_ode}\tag{2}\]

ist und $y_p$ eine partikuläre Lösung der inhomogenen Differentialgleichung ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) darstellt. Eine partikuläre Lösung der Differentialgleichung ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) auf dem Intervall $I$ erhält man, indem man den Konstanten $c_1$ und $c_2$ in $y_h$ bestimmte Werte zuweist und diese in Gleichung ($\ref{eqn:general_sol}$) einsetzt.

Das bedeutet, wenn wir zur homogenen Differentialgleichung ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) eine nur von der unabhängigen Variable $x$ abhängige Eingabe $r(x)$ hinzufügen, wird ein entsprechender Term $y_p$ zur Antwort hinzugefügt. Dieser zusätzliche Antwortterm $y_p$ wird unabhängig von den Anfangsbedingungen ausschließlich durch die Eingabe $r(x)$ bestimmt. Wie wir später sehen werden, ergibt die Differenz zweier beliebiger Lösungen $y_1$ und $y_2$ der Gleichung ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) (d.h. die Differenz zweier partikulärer Lösungen mit unterschiedlichen Anfangsbedingungen) nach Eliminierung des von den Anfangsbedingungen unabhängigen Terms $y_p$ die Differenz zwischen ${y_h}_1$ und ${y_h}_2$, die gemäß dem Superpositionsprinzip eine Lösung der Gleichung ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) ist.

Beziehung zwischen den Lösungen der inhomogenen Differentialgleichung und der entsprechenden homogenen Differentialgleichung

Satz 1: Beziehung zwischen den Lösungen der inhomogenen Differentialgleichung ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) und der homogenen Differentialgleichung ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$)
(a) Wenn $y$ eine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) und $\tilde{y}$ eine Lösung der homogenen Differentialgleichung ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) auf einem offenen Intervall $I$ ist, dann ist die Summe $y + \tilde{y}$ eine Lösung der Differentialgleichung ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) auf dem Intervall $I$. Insbesondere ist die Funktion ($\ref{eqn:general_sol}$) eine Lösung der Differentialgleichung ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) auf dem Intervall $I$.
(b) Die Differenz zweier Lösungen der inhomogenen Differentialgleichung ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) auf dem Intervall $I$ ist eine Lösung der homogenen Differentialgleichung ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) auf dem Intervall $I$.

Beweis

(a)

Bezeichnen wir die linke Seite der Gleichungen ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) und ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) mit $L[y]$. Dann gilt für jede Lösung $y$ der Gleichung ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) und jede Lösung $\tilde{y}$ der Gleichung ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) auf dem Intervall $I$:

\[L[y + \tilde{y}] = L[y] + L[\tilde{y}] = r + 0 = r.\]

(b)

Für zwei beliebige Lösungen $y$ und $y^*$ der Gleichung ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) auf dem Intervall $I$ gilt:

\[L[y - y^*] = L[y] - L[y^*] = r - r = 0.\ \blacksquare\]

Die allgemeine Lösung umfasst alle Lösungen

Für homogene lineare Differentialgleichungen ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) wissen wir bereits, dass die allgemeine Lösung alle Lösungen umfasst. Wir zeigen nun, dass dies auch für inhomogene lineare Differentialgleichungen ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) gilt.

Satz 2: Die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung umfasst alle Lösungen
Wenn die Koeffizienten $p(x)$, $q(x)$ und die Eingabefunktion $r(x)$ auf einem offenen Intervall $I$ stetig sind, dann kann jede Lösung der Differentialgleichung ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) auf dem Intervall $I$ durch geeignete Wahl der Konstanten $c_1$ und $c_2$ in der allgemeinen Lösung ($\ref{eqn:general_sol}$) dargestellt werden.

Beweis

Sei $y^*$ eine beliebige Lösung der Differentialgleichung ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) auf dem Intervall $I$ und $x_0$ ein Punkt in diesem Intervall. Nach dem Existenzsatz für die allgemeine Lösung homogener linearer Differentialgleichungen existiert die allgemeine Lösung $y_h = c_1y_1 + c_2y_2$, und durch die später zu behandelnde Methode der Variation der Parameter existiert auch $y_p$, sodass die allgemeine Lösung ($\ref{eqn:general_sol}$) der Differentialgleichung ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) auf dem Intervall $I$ existiert. Nach dem zuvor bewiesenen Satz 1(b) ist $Y = y^* - y_p$ eine Lösung der homogenen Differentialgleichung ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) auf dem Intervall $I$ mit

\[\begin{gather*} Y(x_0) = y^*(x_0) - y_p(x_0) \\ Y^{\prime}(x_0) = {y^*}^{\prime}(x_0) - y_p^{\prime}(x_0) \end{gather*}\]

Nach dem Existenz- und Eindeutigkeitssatz für Anfangswertprobleme existiert auf dem Intervall $I$ eine eindeutige Lösung $Y$ der homogenen Differentialgleichung ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) mit diesen Anfangsbedingungen, die durch geeignete Wahl der Konstanten $c_1$ und $c_2$ in $y_h$ dargestellt werden kann. Da $y^* = Y + y_p$ gilt, kann jede partikuläre Lösung $y^*$ der inhomogenen Differentialgleichung ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) aus der allgemeinen Lösung ($\ref{eqn:general_sol}$) abgeleitet werden. $\blacksquare$