미정계수법

TL;DR

• 미정계수법의 적용 대상:
  • 상수 계수 $a$와 $b$를 갖고
  • 입력 $r(x)$가 지수함수, $x$의 거듭제곱, $\cos$ 또는 $\sin$, 또는 이와 같은 함수들의 합과 곱으로 이루어진
  • 선형 상미분방정식 $y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = r(x)$
• 미정계수법에 대한 선택 규칙
  • (a) 기본규칙(basic rule): 식 ($\ref{eqn:linear_ode_with_constant_coefficients}$)에서 $r(x)$가 표의 첫 번째 열에 있는 함수들 중 하나라면 같은 행의 $y_p$를 선택하고, $y_p$와 그 도함수들을 식 ($\ref{eqn:linear_ode_with_constant_coefficients}$)에 대입함으로써 미정계수를 결정한다.
  • (b) 변형규칙(modification rule): $y_p$로 선택한 항이 식 ($\ref{eqn:linear_ode_with_constant_coefficients}$)에 대응하는 동차 상미분방정식 $y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = 0$의 해가 된다면, 이 항에 $x$(또는 만약 이 해가 동차 상미분방정식의 특성방정식의 이중근에 해당한다면 $x^2$)를 곱한다.
  • (c) 합규칙(sum rule): $r(x)$가 표의 첫 번째 열에 있는 함수들의 합이라면, 두 번째 열의 대응하는 행에 있는 함수들의 합을 $y_p$로 선택한다.

$r(x)$의 항	$y_p(x)$에 대한 선택
$ke^{\gamma x}$	$Ce^{\gamma x}$
$kx^n\ (n=0,1,\cdots)$	$K_nx^n + K_{n-1}x^{n-1} + \cdots + K_1x + K_0$
$k\cos{\omega x}$ $k\sin{\omega x}$	$K\cos{\omega x} + M\sin{\omega x}$
$ke^{\alpha x}\cos{\omega x}$ $ke^{\alpha x}\sin{\omega x}$	$e^{\alpha x}(K\cos{\omega x} + M\sin{\omega x})$

Prerequisites

• 2계 동차 선형 상미분방정식 (Homogeneous Linear ODEs of Second Order)
• 상수계수를 갖는 2계 동차 선형 상미분방정식
• 오일러-코시 방정식
• 브론스키언(Wronskian), 해의 존재와 유일성
• 2계 비동차 선형 상미분방정식 (Nonhomogeneous Linear ODEs of Second Order)
• 벡터공간, 선형생성(선형대수학)

미정계수법

$r(x) \not\equiv 0$인 2계 비동차 선형 상미분방정식

\[y^{\prime\prime} + p(x)y^{\prime} + q(x)y = r(x) \label{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}\tag{1}\]

와 이 비동차 상미분방정식에 대응하는 동차 상미분방정식

\[y^{\prime\prime} + p(x)y^{\prime} + q(x)y = 0 \label{eqn:homogeneous_linear_ode}\tag{2}\]

을 생각하자.

앞서 2계 비동차 선형 상미분방정식 (Nonhomogeneous Linear ODEs of Second Order)에서 살펴본 바에 따르면, 비동차 선형 상미분방정식 ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$)에 대한 초기값 문제를 풀기 위해서는 동차 상미분방정식 ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$)를 풀어 $y_h$를 구한 후 방정식 ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$)의 한 해 $y_p$를 찾아서 일반해

\[y(x) = y_h(x) + y_p(x) \label{eqn:general_sol}\tag{3}\]

를 얻어야 한다. 그렇다면 $y_p$는 어떻게 찾을 수 있는가? $y_p$를 찾는 일반적인 방법은 매개변수변환법(method of variation of parameters)이지만, 경우에 따라선 그보다 훨씬 간단한 미정계수법(method of undetermined coefficients)을 적용할 수 있다. 특히, 진동계와 RLC 전기회로 모델에 적용할 수 있어 공학에서 자주 사용하는 방법이다.

미정계수법은 상수 계수 $a$와 $b$를 갖고, 입력 $r(x)$가 지수함수, $x$의 거듭제곱, $\cos$ 또는 $\sin$, 또는 이와 같은 함수들의 합과 곱으로 이루어진 선형 상미분방정식

\[y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = r(x) \label{eqn:linear_ode_with_constant_coefficients}\tag{4}\]

에 적합하다. 이와 같은 형태의 $r(x)$는 자기 자신과 유사한 형태의 도함수들을 갖는다는 점이 미정계수법의 핵심이다. 미정계수법을 적용하기 위해서는 $r(x)$와 유사한 형태이되, 자기 자신과 그 도함수들을 주어진 상미분방정식에 대입함으로써 결정되는 미지의 계수를 갖는 $y_p$를 선택한다. 공학에서 실용적으로 중요한 형태의 $r(x)$에 대하여 적절한 $y_p$를 선택하기 위한 규칙은 다음과 같다.

미정계수법에 대한 선택 규칙
(a) 기본규칙(basic rule): 식 ($\ref{eqn:linear_ode_with_constant_coefficients}$)에서 $r(x)$가 표의 첫 번째 열에 있는 함수들 중 하나라면 같은 행의 $y_p$를 선택하고, $y_p$와 그 도함수들을 식 ($\ref{eqn:linear_ode_with_constant_coefficients}$)에 대입함으로써 미정계수를 결정한다.
(b) 변형규칙(modification rule): $y_p$로 선택한 항이 식 ($\ref{eqn:linear_ode_with_constant_coefficients}$)에 대응하는 동차 상미분방정식 $y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = 0$의 해가 된다면, 이 항에 $x$(또는 만약 이 해가 동차 상미분방정식의 특성방정식의 이중근에 해당한다면 $x^2$)를 곱한다.
(c) 합규칙(sum rule): $r(x)$가 표의 첫 번째 열에 있는 함수들의 합이라면, 두 번째 열의 대응하는 행에 있는 함수들의 합을 $y_p$로 선택한다.

$r(x)$의 항	$y_p(x)$에 대한 선택
$ke^{\gamma x}$	$Ce^{\gamma x}$
$kx^n\ (n=0,1,\cdots)$	$K_nx^n + K_{n-1}x^{n-1} + \cdots + K_1x + K_0$
$k\cos{\omega x}$ $k\sin{\omega x}$	$K\cos{\omega x} + M\sin{\omega x}$
$ke^{\alpha x}\cos{\omega x}$ $ke^{\alpha x}\sin{\omega x}$	$e^{\alpha x}(K\cos{\omega x} + M\sin{\omega x})$

이 방법은 간편할 뿐만 아니라 자기교정성을 지닌다는 장점이 있다. $y_p$를 잘못 선택하거나 너무 적은 수의 항들을 선택하면 모순에 이르게 되며, 너무 많은 항을 선택할 경우 불필요한 항들의 계수는 $0$이 되어 옳은 결과를 얻는다. 미정계수법을 적용했다가 뭔가가 잘못되더라도 풀이 과정에서 자연스럽게 알아차리게 되므로, 위의 선택 규칙에 따라 어느 정도 적당한 $y_p$를 선택했다면 부담 없이 시도해 볼 수 있다.

합규칙의 증명

$r(x) = r_1(x) + r_2(x)$ 꼴인 비동차 선형 상미분방정식

\[y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = r_1(x) + r_2(x)\]

를 생각하자. 이제 동일한 좌변에 입력으로는 $r_1$, $r_2$를 갖는 다음의 두 방정식

\[\begin{gather*} y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = r_1(x) \\ y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = r_2(x) \end{gather*}\]

가 각각 ${y_p}_1$, ${y_p}_2$를 해로 가진다고 하자. 주어진 방정식의 좌변을 $L[y]$로 표기하면, $L[y]$의 선형성에 의해 $y_p = {y_p}_1 + {y_p}_2$에 대해 다음을 만족하므로 합규칙이 성립한다.

\[L[y_p] = L[{y_p}_1 + {y_p}_2] = L[{y_p}_1] + L[{y_p}_2] = r_1 + r_2 = r. \ \blacksquare\]

예제: $y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = ke^{\gamma x}$

기본규칙 (a)에 따라 $y_p = Ce^{\gamma x}$으로 놓고 주어진 방정식 $y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = ke^{\gamma x}$에 대입하면

\[\gamma^2 Ce^{\gamma x} + \gamma aCe^{\gamma x} + bCe^{\gamma x} = ke^{\gamma x}\] \[C(\gamma^2 + a\gamma + b)e^{\gamma x} = ke^{\gamma x}\] \[C(\gamma^2 + a\gamma + b) = k.\]

$\gamma^2 + a\gamma + b \neq 0$인 경우

다음과 같이 미정계수 $C$를 결정하고 $y_p$를 구할 수 있다.

\[C = \frac{k}{\gamma^2 + a\gamma + b}\] \[y_p = Ce^{\gamma x} = \frac{k}{\gamma^2 + a\gamma + b} e^{\gamma x}.\]

$\gamma^2 + a\gamma + b = 0$인 경우

이 경우 변형규칙 (b)를 적용해야 한다. 우선 $b = -\gamma^2 - a\gamma = -\gamma(a + \gamma)$임을 이용하여 동차 상미분방정식 $y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = 0$의 특성방정식의 근을 구하자.

\[y^{\prime\prime} + ay^{\prime} - \gamma(a + \gamma)y = 0\] \[\lambda^2 + a\lambda - \gamma(a + \gamma) = 0\] \[(\lambda + (a + \gamma))(\lambda - \gamma) = 0\] \[\lambda = \gamma, -a -\gamma.\]

이로부터 동차 상미분방정식의 기저

\[y_1 = e^{\gamma x}, \quad y_2 = e^{(-a - \gamma)x}\]

을 얻는다.

$\gamma \neq -a-\gamma$인 경우

$y_p$로 선택했던 $Ce^{\gamma x}$이 주어진 방정식에 대응하는 동차 상미분방정식의 이중근이 아닌 해이므로, 변형규칙 (b)에 따라 이 항에 $x$를 곱하여 $y_p = Cxe^{\gamma x}$으로 놓는다.

이제 변형한 $y_p$를 다시 주어진 방정식 $y^{\prime\prime} + ay^{\prime} - \gamma(a + \gamma)y = ke^{\gamma x}$에 대입하면

\[C(2\gamma + \gamma^2 x)e^{\gamma x} + aC(1 + \gamma x)e^{\gamma x} - \gamma(a + \gamma)Cxe^{\gamma x} = ke^{\gamma x}\] \[C \left[\left\{\gamma^2 + a\gamma -\gamma(a + \gamma)\right\}x + 2\gamma + a \right]e^{\gamma x} = ke^{\gamma x}\] \[C(2\gamma + a)e^{\gamma x} = ke^{\gamma x}\] \[C(2\gamma + a) = k\] \[\therefore C = \frac{k}{2\gamma + a}, \quad y_p = Cxe^{\gamma x} = \frac{k}{2\gamma + a}xe^{\gamma x}.\]

$\gamma = -a-\gamma$인 경우

이 경우 $y_p$로 선택했던 $Ce^{\gamma x}$이 주어진 방정식에 대응하는 동차 상미분방정식의 이중근이므로, 변형규칙 (b)에 따라 이 항에 $x^2$을 곱하여 $y_p = Cx^2 e^{\gamma x}$으로 놓는다.

이제 변형한 $y_p$를 다시 주어진 방정식 $y^{\prime\prime} - 2\gamma y^{\prime} + \gamma^2 y = ke^{\gamma x}$에 대입하면

\[C(2 + 4\gamma x + \gamma^2 x^2)e^{\gamma x} + C(-4\gamma x - 2\gamma^2 x^2)e^{\gamma x} + C(\gamma^2 x^2)e^{\gamma x} = ke^{\gamma x}\] \[2Ce^{\gamma x} = ke^{\gamma x}\] \[2C = k\] \[\therefore C = \frac{k}{2}, \quad y_p = Cx^2 e^{\gamma x} = \frac{k}{2}x^2 e^{\gamma x}.\]

미정계수법의 확장: 함수들의 곱 형태인 $r(x)$

$r(x) = k x^n e^{\alpha x}\cos(\omega x)$ 꼴인 비동차 선형 상미분방정식

\[y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = C x^n e^{\alpha x}\cos(\omega x)\]

를 생각하자. $r(x)$를 이와 같이 지수함수 $e^{\alpha x}$, $x$의 거듭제곱 $x^m$, $\cos{\omega x}$ 또는 $\sin{\omega x}$(여기서는 $\cos$이라 가정하며, 이렇게 해도 일반성을 잃지 않는다), 또는 이와 같은 함수들의 합과 곱이라고 하면(즉, 앞선 표의 첫 번째 열에 있는 함수들의 합과 곱으로 표현할 수 있다고 하면), 동일한 표의 두 번째 열에 있는 함수들의 합과 곱인 방정식의 해 $y_p$가 존재함을 보일 것이다.

엄밀한 증명을 위해 선형대수학을 사용하여 기술한 부분이 있는데, 그러한 부분은 *로 표시하였다. 해당 부분을 건너뛰고 나머지 부분만 읽어도 개략적인 이해에는 문제가 없다.

벡터공간 $V$ 정의*

\(\begin{align*} r(x) &= C_1x^{n_1}e^{\alpha_1 x} \times C_2x^{n_2}e^{\alpha_2 x}\cos(\omega x) \times \cdots \\ &= C x^n e^{\alpha x}\cos(\omega x) \end{align*}\)

인 $r(x)$에 대하여, $r(x) \in V$인 벡터공간 $V$를 다음과 같이 잡을 수 있다.

\[V = \mathrm{span}\left\{x^k e^{\alpha x}\cos(\omega x), \; x^k e^{\alpha x}\sin(\omega x) \bigm| k=0,1,\dots,n \right\}\]

지수함수, 다항함수, 삼각함수의 도함수 형태

앞선 표의 첫 열로 제시된 기본 함수들의 도함수 형태는 다음과 같다.

• 지수함수: $\cfrac{d}{dx}e^{\alpha x} = \alpha e^{\alpha x}$
• 다항함수: $\cfrac{d}{dx}x^m = mx^{m-1}$
• 삼각함수: $\cfrac{d}{dx}\cos\omega x = -\omega\sin\omega x, \quad \cfrac{d}{dx}\sin\omega x = \omega\cos\omega x$

이들 함수들을 미분하여 얻는 도함수 역시 같은 종류의 함수들의 합으로 표현된다.

따라서, 함수 $f$와 $g$가 위의 함수들 또는 이들의 합이라고 할 때, $r(x) = f(x)g(x)$에 대해 곱의 미분법을 적용하면

\[\begin{align*} (fg)^{\prime} &= f^{\prime}g + fg^{\prime}, \\ (fg)^{\prime\prime} &= f^{\prime\prime}g + 2f^{\prime}g^{\prime} + fg^{\prime\prime} \end{align*}\]

이고 여기서 $f$, $f^{\prime}$, $f^{\prime\prime}$과 $g$, $g^{\prime}$, $g^{\prime\prime}$은 모두 지수함수, 다항함수, 삼각함수의 합 또는 상수배 형태로 쓸 수 있다. 따라서 $r^{\prime}(x) = (fg)^{\prime}$, $r^{\prime\prime}(x) = (fg)^{\prime\prime}$ 역시 $r(x)$와 마찬가지로 이들 함수의 합과 곱으로 표현할 수 있다.

$V$의 미분 연산 $D$, 선형 변환 $L$에 대한 불변*

즉, $r(x)$ 자기 자신뿐만 아니라 $r^{\prime}(x)$, $r^{\prime\prime}(x)$ 역시 $x^k e^{\alpha x}\cos(\omega x)$꼴 항들과 $x^k e^{\alpha x}\sin(\omega x)$꼴 항들의 선형 결합이므로

\[r(x) \in V \implies r^{\prime}(x) \in V,\ r^{\prime\prime}(x) \in V.\]

$r(x)$로 한정하지 않고 앞서 정의한 벡터공간 $V$의 모든 원소에 대해 미분 연산자 $D$를 도입하여 보다 일반적으로 표현하면, 벡터공간 $V$는 미분 연산 $D$에 대해 닫혀 있다. 따라서 주어진 방정식의 좌변 $y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by$를 $L[y]$로 표기하면, $V$는 $L$에 대해 불변(invariant)이다.

\[D^2(V)\subseteq V,\quad aD(V)\subseteq V,\quad b\,V\subseteq V \implies L(V)\subseteq V.\]

$r(x) \in V$이고 $V$가 $L$에 대해 불변이므로, $L[y_p] = r$을 만족하는 $V$의 또다른 원소 $y_p$가 존재한다.

\[\exists y_p \in V: L[y_p] = r\]

Ansatz

따라서, 모든 가능한 곱꼴 항들의 합이 되도록 적절한 $y_p$를 미정계수 $A_0, A_1, \dots, A_n$과 $K$, $M$을 이용하여 다음과 같이 선택하면, 기본규칙 (a)와 변형규칙 (b)에 따라 $y_p$(또는 $xy_p$, $x^2y_p$)와 그 도함수들을 주어진 방정식에 대입함으로써 미정계수를 결정할 수 있다. 이때 $n$은 $r(x)$의 $x$에 대한 차수에 따라 결정하면 된다.

\[y_p = e^{\alpha x}(A_nx^n + A_{n-1}x^{n-1} + \cdots + A_1x + A_0)(K\cos{\omega x} + M \sin{\omega x}).\]

$\blacksquare$

만약 주어진 입력 $r(x)$가 서로 다른 여러 $\alpha_i$, $\omega_j$ 값들을 포함한다면, 각 $\alpha_i$와 $\omega_j$ 값에 대해서도 가능한 모든 $x^{k}e^{\alpha_i x}\cos(\omega_j x)$, $x^{k}e^{\alpha_i x}\sin(\omega_j x)$꼴 항들을 빠짐없이 포함할 수 있게 $y_p$를 선택해야 한다.
미정계수법의 장점은 간편하다는 것이므로, 가설 풀이(ansatz)가 너무 복잡해져서 이러한 장점이 퇴색되는 경우라면 차라리 추후 다룰 매개변수변환법을 적용하는 게 더 나을 수 있다.

미정계수법의 확장: 오일러-코시 방정식

상수계수를 갖는 2계 동차 선형 상미분방정식뿐만 아니라, 오일러-코시 방정식

\[x^2y^{\prime\prime} + axy^{\prime} + by = r(x) \label{eqn:euler_cauchy}\tag{5}\]

에 대해서도 미정계수법을 활용할 수 있다.

변수 치환

$x = e^t$로 치환하여 상수계수를 갖는 2계 동차 선형 상미분방정식으로 변환하면

\[\frac{d}{dx} = \frac{1}{x}\frac{d}{dt}, \quad \frac{d^2}{dx^2} = \frac{1}{x^2}\left(\frac{d^2}{dt^2} - \frac{d}{dt} \right)\]

이 되어, 오일러-코시 방정식을 다음과 같이 $t$에 대한 상수계수 동차 선형 상미분방정식으로 바꿀 수 있음을 앞서 알아본 바 있다.

\[y^{\prime\prime} + (a-1)y^{\prime} + by = r(e^t). \label{eqn:substituted}\tag{6}\]

이제 식 ($\ref{eqn:substituted}$)에 대해 앞서 살펴본 미정계수법을 동일하게 적용하여 $t$에 대해 풀고, 마지막에 $t = \ln x$임을 이용하여 $x$에 대한 해를 구하면 된다.

$r(x)$가 $x$의 거듭제곱, 자연로그, 또는 이와 같은 함수들의 합과 곱인 경우

특히 입력 $r(x)$가 $x$의 거듭제곱, 자연로그, 또는 이와 같은 함수들의 합과 곱으로 이루어진 경우, 다음의 오일러-코시 방정식용 선택 규칙에 따라 적절한 $y_p$를 곧바로 선택할 수 있다.

미정계수법에 대한 선택 규칙: 오일러-코시 방정식용
(a) 기본규칙(basic rule): 식 ($\ref{eqn:euler_cauchy}$)에서 $r(x)$가 표의 첫 번째 열에 있는 함수들 중 하나라면 같은 행의 $y_p$를 선택하고, $y_p$와 그 도함수들을 식 ($\ref{eqn:euler_cauchy}$)에 대입함으로써 미정계수를 결정한다.
(b) 변형규칙(modification rule): $y_p$로 선택한 항이 식 ($\ref{eqn:euler_cauchy}$)에 대응하는 동차 상미분방정식 $x^2y^{\prime\prime} + axy^{\prime} + by = 0$의 해가 된다면, 이 항에 $\ln{x}$(또는 만약 이 해가 동차 상미분방정식의 특성방정식의 이중근에 해당한다면 $(\ln{x})^2$)를 곱한다.
(c) 합규칙(sum rule): $r(x)$가 표의 첫 번째 열에 있는 함수들의 합이라면, 두 번째 열의 대응하는 행에 있는 함수들의 합을 $y_p$로 선택한다.

$r(x)$의 항	$y_p(x)$에 대한 선택
$kx^m\ (m=0,1,\cdots)$	$Ax^m$
$kx^m \ln{x}\ (m=0,1,\cdots)$	$x^m(B\ln x + C)$
$k(\ln{x})^s\ (s=0,1,\cdots)$	$D_0 + D_1\ln{x} + \cdots + D_{s-1}(\ln{x})^{s-1} + D_s(\ln{x})^s$
$kx^m (\ln{x})^s$ $(m=0,1,\cdots ;\; s=0,1,\cdots)$	$x^m \left( D_0 + D_1\ln{x} + \cdots + D_{s-1}(\ln{x})^{s-1} + D_s(\ln{x})^s \right)$

이렇게 하면 실용적으로 중요한 형태의 입력 $r(x)$에 대하여 변수 치환으로 얻는 것과 동일한 $y_p$를 보다 빠르고 간편하게 찾을 수 있다. 앞서 살펴본 원래의 선택 규칙에서 $x$ 자리에 $\ln{x}$를 대신 넣으면 이 오일러-코시 방정식용 선택 규칙을 유도할 수 있다.