Massa e energia, partículas e ondas

Princípio da equivalência massa-energia

Massa e energia são idênticas e podem ser convertidas uma na outra.

\[E=mc^2\]

Onde $c$ é a velocidade da luz $2.9979 \times 10^{10}\ \text{cm/sec}$.

Elétron-volt (Electron Volt, eV)

Elétron-volt (electron volt, eV): A energia cinética adquirida por um elétron ao passar por uma diferença de potencial de 1V

\[\begin{align*} 1 \text{eV} &= 1.60219 \times 10^{-19}\ \text{C}\cdot \text{V} \\ &= 1.60219 \times 10^{-19}\ \text{J} \end{align*}\]

Massa e energia de objetos em movimento

De acordo com a teoria da relatividade, a massa de um objeto em movimento, do ponto de vista do observador, aumenta relativamente, e a equação relacionando a velocidade e a massa de um objeto em movimento é definida como:

\[m=\frac {m_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \tag{1}\]

$m_0$: massa de repouso, $v$: velocidade

A energia total de uma partícula é a soma da energia de massa de repouso e da energia cinética, portanto:

\[E_{\text{total}} = E_{\text{repouso}}+E_{\text{cinética}} = mc^2\] \[\begin{align*} E_{\text{cinética}} &= E_{\text{total}}-E_{\text{repouso}} \\ &= mc^2 - m_0c^2 \\ &= m_0c^2\left[\frac {1}{\sqrt{1-v^2/c^2}} - 1\right] \tag{2} \end{align*}\]

Especialmente quando $v\ll c$, colocando $\cfrac{v^2}{c^2} = \epsilon$ e aproximando por expansão de Taylor em torno de $\epsilon = 0$ (ou seja, expansão de Maclaurin):

\[\begin{align*} E_{\text{cinética}} &= m_0c^2\left[\frac {1}{\sqrt{1-\epsilon}} - 1\right] \\ &= m_0c^2\left[ (1-\epsilon)^{-\frac{1}{2}} - 1 \right] \\ &= m_0c^2\left[ \left( 1 + \frac{1}{2}\epsilon + O(\epsilon^2) \right) - 1 \right] \\ &\approx m_0c^2\left[ \left( 1 + \frac{1}{2}\epsilon \right) - 1 \right] \\ &= \frac{1}{2}m_0c^2\epsilon \\ &= \frac {1}{2}m_0v^2 \tag{3} \end{align*}\]

que é igual à fórmula da energia cinética na mecânica clássica. Na prática, quando $v\leq 0.2c$ ou $E_{\text{cinética}} \leq 0.02E_{\text{repouso}}$, podemos considerar $v\ll c$ e usar esta aproximação (ou seja, ignorar os efeitos relativísticos) para obter valores suficientemente precisos.

Elétron

Como a energia de repouso do elétron é $E_{\text{repouso}}=m_ec^2=0.511 \text{MeV}$, quando a energia cinética do elétron excede $0.02\times 0.511 \text{MeV}=0.010 \text{MeV}=10 \text{keV}$, devemos aplicar a fórmula relativística da energia cinética. Na engenharia nuclear, a energia dos elétrons frequentemente excede 10keV, portanto na maioria dos casos devemos aplicar a equação (2).

Nêutron

A energia de repouso do nêutron é aproximadamente 1000MeV, então $0.02E_{repouso}=20\text{MeV}$. Na engenharia nuclear, raramente lidamos com situações onde a energia cinética do nêutron excede 20MeV, portanto geralmente calculamos a energia cinética do nêutron usando a equação (3).

Fóton

As equações (2) e (3) são válidas apenas quando a massa de repouso não é zero, portanto não podem ser aplicadas ao fóton, que tem massa de repouso zero. A energia total do fóton é calculada pela seguinte equação:

\[E = h\nu \tag{4}\]

$h$: constante de Planck ($4.316 \times 10^{-15} \text{eV}\cdot\text{s}$), $\nu$: frequência da onda eletromagnética

Onda de matéria

Toda matéria na natureza é simultaneamente partícula e onda. Ou seja, todas as partículas têm um comprimento de onda correspondente (comprimento de onda de de Broglie). O comprimento de onda $\lambda$ é uma função do momento $p$ e da constante de Planck $h$.

\[\lambda = \frac {h}{p} \tag{5}\]

Além disso, o momento $p$ é definido pela seguinte equação:

\[p = mv \tag{6}\]

Ignorando efeitos relativísticos (ex.: nêutron)

Como a energia cinética é $E=1/2 mv^2$, expressando a equação (6) em função da energia:

\[p=\sqrt{2mE} \tag{7}\]

Substituindo na equação (5), o comprimento de onda da partícula é:

\[\lambda = \frac {h}{\sqrt{2mE}} \tag{8}\]

Na engenharia nuclear, aplicamos esta equação para calcular o comprimento de onda de de Broglie do nêutron. Substituindo a massa de repouso do nêutron:

\[\lambda = \frac {2.860 \times 10^{-9}}{\sqrt{E}} \tag{9}\]

Onde $\lambda$ está em cm e $E$ é a energia cinética do nêutron em eV.

Considerando efeitos relativísticos (ex.: elétron)

Calculamos o momento $p$ diretamente a partir das equações relativísticas anteriores:

\[p=\frac {1}{c} \sqrt{E^2_{\text{total}}-E^2_{\text{repouso}}} \tag{10}\]

Então o comprimento de onda de de Broglie é:

\[\lambda = \frac {hc}{\sqrt{E_{\text{total}}-E_{\text{repouso}}}} \tag{11}\]

Partículas com massa de repouso zero (ex.: fóton)

Para partículas com massa de repouso zero, o momento não pode ser calculado pela equação (6), então usamos:

\[p=\frac {E}{c} \tag{12}\]

Substituindo a equação (12) na equação (5):

\[\lambda = \frac {hc}{E} \tag{13}\]

Substituindo os valores de $h$ e $c$, a equação final para o comprimento de onda é:

\[\lambda = \frac {1.240 \times 10^{-6}}{E} \tag{14}\]

Onde $\lambda$ está em m e $E$ em eV.