Equações Diferenciais Ordinárias Lineares Não-Homogêneas de Segunda Ordem

TL;DR

• A solução geral de uma EDO linear não-homogênea de segunda ordem $y^{\prime\prime} + p(x)y^{\prime} + q(x)y = r(x)$:
  • $y(x) = y_h(x) + y_p(x)$
  • $y_h$: solução geral da EDO homogênea $y^{\prime\prime} + p(x)y^{\prime} + q(x)y = 0$, onde $y_h = c_1y_1 + c_2y_2$
  • $y_p$: solução particular da EDO não-homogênea
• O termo de resposta $y_p$ é determinado apenas pela entrada $r(x)$, e não muda mesmo que as condições iniciais sejam alteradas para a mesma EDO não-homogênea. A diferença entre duas soluções particulares de uma EDO não-homogênea é uma solução da EDO homogênea correspondente.
• Existência da solução geral: Se os coeficientes $p(x)$, $q(x)$ e a função de entrada $r(x)$ são contínuos, a solução geral sempre existe
• Inexistência de soluções singulares: A solução geral inclui todas as soluções possíveis (ou seja, não existem soluções singulares)

Pré-requisitos

• Equações Diferenciais Ordinárias Lineares Homogêneas de Segunda Ordem
• Wronskiano, Existência e Unicidade de Soluções

Solução Geral e Solução Particular de EDOs Lineares Não-Homogêneas de Segunda Ordem

Consideremos a EDO linear não-homogênea de segunda ordem

\[y^{\prime\prime} + p(x)y^{\prime} + q(x)y = r(x) \label{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}\tag{1}\]

onde $r(x) \not\equiv 0$. A solução geral da equação ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) em um intervalo aberto $I$ é a soma da solução geral $y_h = c_1y_1 + c_2y_2$ da EDO homogênea correspondente

\[y^{\prime\prime} + p(x)y^{\prime} + q(x)y = 0 \label{eqn:homogeneous_linear_ode}\tag{2}\]

e uma solução particular $y_p$ da equação ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$):

\[y(x) = y_h(x) + y_p(x) \label{eqn:general_sol}\tag{3}\]

Uma solução particular da equação ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) no intervalo $I$ é obtida atribuindo valores específicos às constantes arbitrárias $c_1$ e $c_2$ em $y_h$.

Em outras palavras, quando adicionamos uma entrada $r(x)$ que depende apenas da variável independente $x$ à EDO homogênea ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$), um termo de resposta correspondente $y_p$ é adicionado à solução, e este termo adicional $y_p$ é determinado apenas pela entrada $r(x)$, independentemente das condições iniciais. Como veremos adiante, se calcularmos a diferença entre duas soluções particulares $y_1$ e $y_2$ da equação ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) (ou seja, a diferença entre soluções para diferentes condições iniciais), o termo $y_p$ independente das condições iniciais é eliminado, restando apenas a diferença entre ${y_h}_1$ e ${y_h}_2$, que pelo princípio da superposição é uma solução da equação ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$).

Relação entre Soluções de EDOs Não-Homogêneas e suas EDOs Homogêneas Correspondentes

Teorema 1: Relação entre soluções de EDOs não-homogêneas e suas EDOs homogêneas correspondentes
(a) Em um intervalo aberto $I$, a soma de uma solução $y$ da EDO não-homogênea ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) e uma solução $\tilde{y}$ da EDO homogênea ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) é uma solução da equação ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) no intervalo $I$. Em particular, a expressão ($\ref{eqn:general_sol}$) é uma solução da equação ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) no intervalo $I$.
(b) A diferença entre duas soluções da EDO não-homogênea ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) no intervalo $I$ é uma solução da EDO homogênea ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) no intervalo $I$.

Demonstração

(a)

Denotemos o lado esquerdo das equações ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) e ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) como $L[y]$. Então, para qualquer solução $y$ da equação ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) e qualquer solução $\tilde{y}$ da equação ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) no intervalo $I$, temos:

\[L[y + \tilde{y}] = L[y] + L[\tilde{y}] = r + 0 = r.\]

(b)

Para quaisquer duas soluções $y$ e $y^*$ da equação ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) no intervalo $I$, temos:

\[L[y - y^*] = L[y] - L[y^*] = r - r = 0.\ \blacksquare\]

A Solução Geral Inclui Todas as Soluções

Sabemos que para EDOs homogêneas ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$), a solução geral inclui todas as soluções possíveis. Vamos mostrar que o mesmo é válido para EDOs não-homogêneas ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$).

Teorema 2: A solução geral de uma EDO não-homogênea inclui todas as soluções
Se os coeficientes $p(x)$, $q(x)$ e a função de entrada $r(x)$ da equação ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) são contínuos em um intervalo aberto $I$, então todas as soluções da equação ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) no intervalo $I$ podem ser obtidas da solução geral ($\ref{eqn:general_sol}$) atribuindo valores apropriados às constantes arbitrárias $c_1$ e $c_2$ em $y_h$.

Demonstração

Seja $y^*$ uma solução qualquer da equação ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) no intervalo $I$, e seja $x_0$ um ponto qualquer nesse intervalo. Pelo teorema de existência da solução geral para EDOs homogêneas com coeficientes contínuos, sabemos que $y_h = c_1y_1 + c_2y_2$ existe, e pelo método de variação de parâmetros (que veremos posteriormente), $y_p$ também existe. Portanto, a solução geral ($\ref{eqn:general_sol}$) da equação ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) existe no intervalo $I$. Pelo teorema 1(b) demonstrado anteriormente, $Y = y^* - y_p$ é uma solução da EDO homogênea ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) no intervalo $I$, e no ponto $x_0$:

\[\begin{gather*} Y(x_0) = y^*(x_0) - y_p(x_0) \\ Y^{\prime}(x_0) = {y^*}^{\prime}(x_0) - y_p^{\prime}(x_0) \end{gather*}\]

Pelo teorema de existência e unicidade para problemas de valor inicial, existe uma única solução particular $Y$ da EDO homogênea ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) no intervalo $I$ que satisfaz as condições iniciais acima, e esta solução pode ser obtida atribuindo valores apropriados às constantes $c_1$ e $c_2$ em $y_h$. Como $y^* = Y + y_p$, demonstramos que qualquer solução particular $y^*$ da EDO não-homogênea ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) pode ser obtida da solução geral ($\ref{eqn:general_sol}$). $\blacksquare$