A Partícula Livre (The Free Particle)

TL;DR

• Partícula livre: $V(x)=0$, sem condições de contorno (energia arbitrária)
• A solução separada por variáveis $\Psi_k(x,t) = Ae^{i\left(kx-\frac{\hbar k^2}{2m}t \right)}$ diverge para infinito quando integrada ao quadrado, portanto não pode ser normalizada, o que sugere:
  • A partícula livre não pode existir em estado estacionário
  • A partícula livre não pode ter energia definida como um único valor exato (existe incerteza na energia)
• Apesar disso, a solução geral da equação de Schrödinger dependente do tempo é uma combinação linear de soluções separadas por variáveis, então a solução separada ainda tem significado matemático importante. Porém, neste caso, como não há condições restritivas, a solução geral tem a forma de integral ($\int$) sobre a variável contínua $k$, não soma ($\sum$) sobre a variável discreta $n$.
• Solução geral da equação de Schrödinger:

\[\begin{gather*} \Psi(x,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} \phi(k)e^{i(kx-\frac{\hbar k^2}{2m}t)}dk, \\ \text{onde }\phi(k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\Psi(x,0)e^{-ikx}dx \end{gather*}\]

• Relação entre incerteza na posição e incerteza no momento:
  • Quando a incerteza na posição diminui, a incerteza no momento aumenta, e vice-versa
  • Ou seja, é impossível conhecer simultaneamente com precisão a posição e o momento de uma partícula livre na mecânica quântica
• Velocidade de fase e velocidade de grupo da função de onda $\Psi(x,t)$:
  • Velocidade de fase: $v_\text{phase} = \cfrac{\omega}{k} = \cfrac{\hbar k}{2m}$
  • Velocidade de grupo: $v_\text{group} = \cfrac{d\omega}{dk} = \cfrac{\hbar k}{m}$
• Significado físico da velocidade de grupo e comparação com a mecânica clássica:
  • Fisicamente, a velocidade de grupo representa a velocidade de movimento da partícula
  • Assumindo que $\phi(k)$ tem uma forma muito pontiaguda próxima a algum valor $k_0$ (quando a incerteza no momento é suficientemente pequena),

\[v_\text{group} = v_\text{classical} = \sqrt{\cfrac{2E}{m}}\]

Pré-requisitos

• Fórmula de Euler
• Transformada de Fourier & teorema de Plancherel
• Equação de Schrödinger e função de onda
• Equação de Schrödinger independente do tempo
• O poço quadrado infinito unidimensional

Configuração do modelo

Vamos examinar o caso mais simples de uma partícula livre ($V(x)=0$). Classicamente, isso é apenas movimento com velocidade constante, mas na mecânica quântica este problema é mais interessante.
A equação de Schrödinger independente do tempo para uma partícula livre é

\[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2}=E\psi \tag{1}\]

ou seja

\[\frac{d^2\psi}{dx^2} = -k^2\psi \text{, onde }k\equiv \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar} \label{eqn:t_independent_schrodinger_eqn}\tag{2}\]

Até aqui é igual ao interior de um poço quadrado infinito com potencial $0$. Porém, desta vez vamos escrever a solução geral na seguinte forma exponencial.

\[\psi(x) = Ae^{ikx} + Be^{-ikx}. \tag{3}\]

$Ae^{ikx} + Be^{-ikx}$ e $C\cos{kx}+D\sin{kx}$ são maneiras equivalentes de escrever a mesma função de $x$. Pela fórmula de Euler $e^{ix}=\cos{x}+i\sin{x}$,

\[\begin{align*} Ae^{ikx}+Be^{-ikx} &= A[\cos{kx}+i\sin{kx}] + B[\cos{(-kx)}+i\sin{(-kx)}] \\ &= A(\cos{kx}+i\sin{kx}) + B(\cos{kx}-i\sin{kx}) \\ &= (A+B)\cos{kx} + i(A-B)\sin{kx}. \end{align*}\]

Ou seja, definindo $C=A+B$, $D=i(A-B)$, temos

\[Ae^{ikx} + Be^{-ikx} = C\cos{kx}+D\sin{kx}. \blacksquare\]

Inversamente, expressando $A$ e $B$ em termos de $C$ e $D$: $A=\cfrac{C-iD}{2}$, $B=\cfrac{C+iD}{2}$.

Na mecânica quântica, quando $V=0$, as funções exponenciais representam ondas em movimento e são mais convenientes ao tratar partículas livres. Por outro lado, as funções seno e cosseno são adequadas para representar ondas estacionárias e aparecem naturalmente no caso do poço quadrado infinito.

Diferentemente do poço quadrado infinito, desta vez não há condições de contorno que restrinjam $k$ e $E$. Ou seja, uma partícula livre pode ter qualquer energia positiva.

Solução separada por variáveis e velocidade de fase

Adicionando a dependência temporal $e^{-iEt/\hbar}$ a $\psi(x)$, obtemos

\[\Psi(x,t) = Ae^{ik\left(x-\frac{\hbar k}{2m}t \right)} + Be^{-ik\left(x+\frac{\hbar k}{2m}t \right)} \label{eqn:Psi_seperated_solution}\tag{4}\]

Qualquer função arbitrária de $x$ e $t$ que dependa desta forma especial $(x\pm vt)$ representa uma onda que se move na direção $\mp x$ com velocidade $v$ sem mudança de forma. Portanto, o primeiro termo da equação ($\ref{eqn:Psi_seperated_solution}$) representa uma onda se movendo para a direita, e o segundo termo representa uma onda com o mesmo comprimento de onda e velocidade de propagação, mas amplitude diferente, se movendo para a esquerda. Como eles diferem apenas no sinal na frente de $k$, podemos escrever

\[\Psi_k(x,t) = Ae^{i\left(kx-\frac{\hbar k^2}{2m}t \right)} \tag{5}\]

onde a direção de propagação da onda depende do sinal de $k$ da seguinte forma:

\[k \equiv \pm\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar},\quad \begin{cases} k>0 \Rightarrow & \text{movimento para a direita}, \\ k<0 \Rightarrow & \text{movimento para a esquerda}. \end{cases} \tag{6}\]

O ‘estado estacionário’ de uma partícula livre é claramente uma onda progressiva*, com comprimento de onda $\lambda = 2\pi/|k|$ e, pela fórmula de de Broglie,

\[p = \frac{2\pi\hbar}{\lambda} = \hbar k \label{eqn:de_broglie_formula}\tag{7}\]

possui momento.

*É fisicamente contraditório que seja um ‘estado estacionário’ mas uma onda progressiva. A razão será explicada em breve.

Além disso, a velocidade desta onda é:

\[v_{\text{phase}} = \left|\frac{\omega}{k}\right| = \frac{\hbar|k|}{2m} = \sqrt{\frac{E}{2m}}. \label{eqn:phase_velocity}\tag{8}\]

(Aqui $\omega$ é o coeficiente $\cfrac{\hbar k^2}{2m}$ na frente de $t$.)

Porém, esta função de onda diverge para infinito quando integrada ao quadrado, portanto não pode ser normalizada.

\[\int_{-\infty}^{\infty}\Psi_k^*\Psi_k dx = |A|^2\int_{-\infty}^{\infty}dx = \infty. \tag{9}\]

Ou seja, no caso de uma partícula livre, a solução separada por variáveis não é um estado fisicamente possível. Uma partícula livre não pode existir como estado estacionário, nem pode ter um valor específico de energia. Na verdade, intuitivamente, seria mais estranho se ondas estacionárias se formassem quando não há condições de contorno nas extremidades.

Obtendo a solução geral $\Psi(x,t)$ da equação de Schrödinger dependente do tempo

Apesar disso, esta solução separada por variáveis ainda tem significado importante, pois independentemente da interpretação física, a solução geral da equação de Schrödinger dependente do tempo é uma combinação linear de soluções separadas por variáveis, o que tem significado matemático. Porém, neste caso, como não há condições restritivas, a solução geral tem a forma de integral ($\int$) sobre a variável contínua $k$, em vez de soma ($\sum$) sobre a variável discreta $n$.

\[\Psi(x,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} \phi(k)e^{i(kx-\frac{\hbar k^2}{2m}t)}dk. \label{eqn:Psi_general_solution}\tag{10}\]

Aqui, $\cfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\phi(k)dk$ desempenha o mesmo papel que $c_n$ na equação (21) do post ‘Equação de Schrödinger independente do tempo’.

Esta função de onda pode ser normalizada para $\phi(k)$ apropriado, mas deve necessariamente ter um intervalo de $k$ e, portanto, um intervalo de energia e velocidade. Isso é chamado de pacote de ondas (wave packet).

As funções seno são espacialmente infinitamente espalhadas, portanto não podem ser normalizadas. Porém, quando várias dessas ondas são sobrepostas, elas se localizam por interferência e podem ser normalizadas.

Determinando $\phi(k)$ usando o teorema de Plancherel

Agora que conhecemos a forma de $\Psi(x,t)$ (equação [$\ref{eqn:Psi_general_solution}$]), só precisamos determinar $\phi(k)$ que satisfaça a função de onda inicial

\[\Psi(x,0) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} \phi(k)e^{ikx}dk \label{eqn:Psi_at_t_0}\tag{11}\]

Este é um problema típico da análise de Fourier, e podemos obter a resposta com o teorema de Plancherel.

\[f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} F(k)e^{ikx}dk \Longleftrightarrow F(k)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-ikx}dx. \label{eqn:plancherel_theorem}\tag{12}\]

$F(k)$ é chamada de transformada de Fourier de $f(x)$, e $f(x)$ é chamada de transformada inversa de Fourier de $F(k)$. Como pode ser facilmente verificado na equação ($\ref{eqn:plancherel_theorem}$), a diferença entre elas é apenas o sinal do expoente. Claro, existe a condição restritiva de que a integral deve existir.

A condição necessária e suficiente para a existência de $f(x)$ é que $\int_{-\infty}^{\infty}|f(x)|^2dx$ seja finito. Neste caso, $\int_{-\infty}^{\infty}|F(k)|^2dk$ também é finito, e

\[\int_{-\infty}^{\infty}|f(x)|^2 dx = \int_{-\infty}^{\infty}|F(k)|^2 dk\]

Algumas pessoas chamam a equação acima, não a equação ($\ref{eqn:plancherel_theorem}$), de teorema de Plancherel (a Wikipédia também descreve assim).

Neste caso, a condição física de que $\Psi(x,0)$ deve ser normalizada garante que a integral existe. Portanto, a solução quântica para uma partícula livre é a equação ($\ref{eqn:Psi_general_solution}$), onde

\[\phi(k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\Psi(x,0)e^{-ikx}dx \label{eqn:phi}\tag{13}\]

Na prática, raramente é possível resolver analiticamente a integral da equação ($\ref{eqn:Psi_general_solution}$). Geralmente, os valores são obtidos usando análise numérica por computador.

Cálculo da velocidade de grupo do pacote de ondas e interpretação física

Essencialmente, um pacote de ondas é uma sobreposição de inúmeras funções seno cujas amplitudes são determinadas por $\phi$. Ou seja, há ‘ondulações (ripples)’ dentro do ‘envelope’ que forma o pacote de ondas.

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Fisicamente, o que corresponde à velocidade da partícula não é a velocidade das ondulações individuais (velocidade de fase) calculada anteriormente na equação ($\ref{eqn:phase_velocity}$), mas a velocidade do envelope externo (velocidade de grupo).

Relação entre incerteza na posição e incerteza no momento

Vamos examinar a relação entre incerteza na posição e incerteza no momento, considerando separadamente apenas as partes integrais $\int\phi(k)e^{ikx}dk$ da equação ($\ref{eqn:Psi_at_t_0}$) e $\int\Psi(x,0)e^{-ikx}dx$ da equação ($\ref{eqn:phi}$).

Quando a incerteza na posição é pequena

Quando $\Psi$ no espaço de posição está distribuído em uma região muito estreita $[x_0-\delta, x_0+\delta]$ ao redor de algum valor $x_0$ e é próximo de 0 fora dessa região (quando a incerteza na posição é pequena), $e^{-ikx} \approx e^{-ikx_0}$ é quase constante em relação a $x$, então

\[\begin{align*} \int_{-\infty}^{\infty} \Psi(x,0)e^{-ikx}dx &\approx \int_{x_0-\delta}^{x_0+\delta} \Psi(x,0)e^{-ikx_0}dx \\ &= e^{-ikx_0}\int_{x_0-\delta}^{x_0+\delta} \Psi(x,0)dx \\ &= e^{-ipx_0/\hbar}\int_{x_0-\delta}^{x_0+\delta} \Psi(x,0)dx \quad (\because \text{eqn. }\ref{eqn:de_broglie_formula}) \end{align*}\tag{14}\]

O termo da integral definida é constante em relação a $p$, então pelo termo $e^{-ipx_0/\hbar}$ na frente, $\phi$ tem a forma de uma onda senoidal em relação a $p$ no espaço de momento, ou seja, está distribuído em um amplo intervalo de momento (a incerteza no momento é grande).

Quando a incerteza no momento é pequena

Da mesma forma, quando $\phi$ no espaço de momento está distribuído em uma região muito estreita $[p_0-\delta, p_0+\delta]$ ao redor de algum valor $p_0$ e é próximo de 0 fora dessa região (quando a incerteza no momento é pequena), pela equação ($\ref{eqn:de_broglie_formula}$), $e^{ikx}=e^{ipx/\hbar} \approx e^{ip_0x/\hbar}$ é quase constante em relação a $p$ e $dk=\frac{1}{\hbar}dp$, então

\[\begin{align*} \int_{-\infty}^{\infty} \phi(k)e^{ikx}dk &= \frac{1}{\hbar}\int_{p_0-\delta}^{p_0+\delta} \phi(p)e^{ip_0x/\hbar}dp \\ &= \frac{1}{\hbar}e^{ip_0x/\hbar}\int_{p_0-\delta}^{p_0+\delta} \phi(p)dp \end{align*}\tag{15}\]

Pelo termo $e^{ip_0x/\hbar}$ na frente, $\Psi$ tem a forma de uma onda senoidal em relação a $x$ no espaço de posição, ou seja, está distribuído em um amplo intervalo de posição (a incerteza na posição é grande).

Conclusão

Quando a incerteza na posição diminui, a incerteza no momento aumenta, e vice-versa. Portanto, é impossível conhecer simultaneamente com precisão a posição e o momento de uma partícula livre na mecânica quântica.

Fonte da imagem

• Autor: Usuário da Wikipédia em inglês Maschen
• Licença: domínio público

Na verdade, pelo princípio da incerteza, isso se aplica não apenas a partículas livres, mas a todos os casos. O princípio da incerteza será tratado em um post separado posteriormente.

Velocidade de grupo do pacote de ondas

Reescrevendo a solução geral da equação ($\ref{eqn:Psi_general_solution}$) com $\omega \equiv \cfrac{\hbar k^2}{2m}$ como na equação ($\ref{eqn:phase_velocity}$):

\[\Psi(x,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} \phi(k)e^{i(kx-\omega t)}dk \tag{16}\]

A equação que expressa $\omega$ como uma função de $k$, como $\omega = \cfrac{\hbar k^2}{2m}$, é chamada de relação de dispersão. O conteúdo a seguir se aplica geralmente a todos os pacotes de ondas, independentemente da relação de dispersão.

Agora, vamos assumir que $\phi(k)$ tem uma forma muito pontiaguda próxima a algum valor apropriado $k_0$. (Não há problema se estiver amplamente espalhado em relação a $k$, mas a forma de tal pacote de ondas se deforma muito rapidamente e muda para outra forma. Como componentes para diferentes $k$ se movem com velocidades diferentes, perde-se o significado de um ‘grupo’ inteiro com velocidade bem definida. Ou seja, a incerteza no momento aumenta.)
A função a ser integrada pode ser ignorada exceto próximo a $k_0$, então podemos expandir a função $\omega(k)$ em série de Taylor próximo a este ponto, e mantendo apenas até o termo de primeira ordem:

\[\omega(k) \approx \omega_0 + \omega_0^\prime(k-k_0)\]

Agora, substituindo $s=k-k_0$ e integrando centrado em $k_0$:

\[\begin{align*} \Psi(x,t) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\phi(k_0+s)e^{i[(k_0+s)x-(\omega_0+\omega_0^\prime s)t]}ds \\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{i(k_0x-\omega_0t)}\int_{-\infty}^{\infty}\phi(k_0+s)e^{is(x-\omega_0^\prime t)}ds. \end{align*}\tag{17}\]

O termo na frente $e^{i(k_0x-\omega_0t)}$ representa uma onda senoidal (‘ondulações’) se movendo com velocidade $\omega_0/k_0$, e o termo integral que determina a amplitude desta onda senoidal (‘envelope’) se move com velocidade $\omega_0^\prime$ devido à parte $e^{is(x-\omega_0^\prime t)}$. Portanto, a velocidade de fase em $k=k_0$ é

\[v_\text{phase} = \frac{\omega_0}{k_0} = \frac{\omega}{k} = \frac{\hbar k}{2m} \tag{18}\]

confirmando novamente que é igual ao valor da equação ($\ref{eqn:phase_velocity}$), e a velocidade de grupo é

\[v_\text{group} = \omega_0^\prime = \frac{d\omega}{dk} = \frac{\hbar k}{m} \label{eqn:group_velocity}\tag{19}\]

que é o dobro da velocidade de fase.

Comparação com a mecânica clássica

Como sabemos que a mecânica clássica é válida em escala macroscópica, os resultados obtidos através da mecânica quântica devem poder ser aproximados pelos resultados de cálculo da mecânica clássica quando a incerteza quântica é suficientemente pequena. No caso da partícula livre que estamos tratando, quando $\phi(k)$ tem uma forma muito pontiaguda próxima a algum valor apropriado $k_0$ como assumimos anteriormente (ou seja, quando a incerteza no momento é suficientemente pequena), a velocidade de grupo $v_\text{group}$ que corresponde à velocidade da partícula na mecânica quântica deve ser igual à velocidade da partícula $v_\text{classical}$ obtida na mecânica clássica para o mesmo $k$ e o valor de energia $E$ correspondente.

Substituindo $k\equiv \cfrac{\sqrt{2mE}}{\hbar}$ da equação ($\ref{eqn:t_independent_schrodinger_eqn}$) na velocidade de grupo (equação [$\ref{eqn:group_velocity}$]) que acabamos de obter:

\[v_\text{quantum} = \sqrt{\frac{2E}{m}} \tag{20}\]

e na mecânica clássica, a velocidade de uma partícula livre com energia cinética $E$ é igualmente

\[v_\text{classical} = \sqrt{\frac{2E}{m}} \tag{21}\]

Portanto, como $v_\text{quantum}=v_\text{classical}$, podemos confirmar que o resultado obtido aplicando a mecânica quântica é uma solução fisicamente válida.