Método dos Coeficientes Indeterminados

TL;DR

• O método dos coeficientes indeterminados se aplica a:
  • Equações diferenciais lineares com coeficientes constantes $a$ e $b$
  • Onde a entrada $r(x)$ consiste de funções exponenciais, potências de $x$, $\cos$ ou $\sin$, ou somas e produtos dessas funções
  • Equação da forma $y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = r(x)$
• Regras de seleção para o método dos coeficientes indeterminados
  • (a) Regra básica: Se $r(x)$ na equação ($\ref{eqn:linear_ode_with_constant_coefficients}$) for uma das funções na primeira coluna da tabela, escolha $y_p$ da mesma linha na segunda coluna e determine os coeficientes indeterminados substituindo $y_p$ e suas derivadas na equação ($\ref{eqn:linear_ode_with_constant_coefficients}$).
  • (b) Regra de modificação: Se o termo escolhido para $y_p$ for uma solução da equação diferencial homogênea correspondente $y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = 0$, multiplique este termo por $x$ (ou por $x^2$ se esta solução corresponder a uma raiz dupla da equação característica da equação homogênea).
  • (c) Regra da soma: Se $r(x)$ for uma soma de funções da primeira coluna da tabela, escolha para $y_p$ a soma das funções correspondentes na segunda coluna.

Termo em $r(x)$	Escolha para $y_p(x)$
$ke^{\gamma x}$	$Ce^{\gamma x}$
$kx^n\ (n=0,1,\cdots)$	$K_nx^n + K_{n-1}x^{n-1} + \cdots + K_1x + K_0$
$k\cos{\omega x}$ $k\sin{\omega x}$	$K\cos{\omega x} + M\sin{\omega x}$
$ke^{\alpha x}\cos{\omega x}$ $ke^{\alpha x}\sin{\omega x}$	$e^{\alpha x}(K\cos{\omega x} + M\sin{\omega x})$

Pré-requisitos

• Equações Diferenciais Ordinárias Lineares Homogêneas de Segunda Ordem
• Equações Diferenciais Ordinárias Lineares Homogêneas de Segunda Ordem com Coeficientes Constantes
• Equação de Euler-Cauchy
• Wronskiano, Existência e Unicidade de Soluções
• Equações Diferenciais Ordinárias Lineares Não Homogêneas de Segunda Ordem
• Espaços vetoriais, geração linear (álgebra linear)

Método dos Coeficientes Indeterminados

Consideremos uma equação diferencial ordinária linear não homogênea de segunda ordem

\[y^{\prime\prime} + p(x)y^{\prime} + q(x)y = r(x) \label{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}\tag{1}\]

onde $r(x) \not\equiv 0$, e a equação diferencial homogênea correspondente

\[y^{\prime\prime} + p(x)y^{\prime} + q(x)y = 0 \label{eqn:homogeneous_linear_ode}\tag{2}\]

De acordo com o que vimos em Equações Diferenciais Ordinárias Lineares Não Homogêneas de Segunda Ordem, para resolver um problema de valor inicial para a equação diferencial não homogênea ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$), precisamos encontrar $y_h$ resolvendo a equação homogênea ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) e depois encontrar uma solução particular $y_p$ da equação ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) para obter a solução geral

\[y(x) = y_h(x) + y_p(x) \label{eqn:general_sol}\tag{3}\]

Então, como encontramos $y_p$? O método geral para encontrar $y_p$ é o método da variação de parâmetros, mas em certos casos podemos aplicar o método dos coeficientes indeterminados, que é muito mais simples. Este método é particularmente útil na engenharia para sistemas vibratórios e modelos de circuitos RLC.

O método dos coeficientes indeterminados é adequado para equações diferenciais lineares com coeficientes constantes $a$ e $b$ e onde a entrada $r(x)$ consiste de funções exponenciais, potências de $x$, $\cos$ ou $\sin$, ou somas e produtos dessas funções:

\[y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = r(x) \label{eqn:linear_ode_with_constant_coefficients}\tag{4}\]

A ideia central do método dos coeficientes indeterminados é que essas formas de $r(x)$ têm derivadas que mantêm uma forma similar. Para aplicar o método, escolhemos um $y_p$ com forma similar a $r(x)$, mas com coeficientes indeterminados que serão determinados substituindo $y_p$ e suas derivadas na equação diferencial dada. As regras para escolher a forma apropriada de $y_p$ são as seguintes:

Regras de seleção para o método dos coeficientes indeterminados
(a) Regra básica: Se $r(x)$ na equação ($\ref{eqn:linear_ode_with_constant_coefficients}$) for uma das funções na primeira coluna da tabela, escolha $y_p$ da mesma linha na segunda coluna e determine os coeficientes indeterminados substituindo $y_p$ e suas derivadas na equação ($\ref{eqn:linear_ode_with_constant_coefficients}$).
(b) Regra de modificação: Se o termo escolhido para $y_p$ for uma solução da equação diferencial homogênea correspondente $y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = 0$, multiplique este termo por $x$ (ou por $x^2$ se esta solução corresponder a uma raiz dupla da equação característica da equação homogênea).
(c) Regra da soma: Se $r(x)$ for uma soma de funções da primeira coluna da tabela, escolha para $y_p$ a soma das funções correspondentes na segunda coluna.

Termo em $r(x)$	Escolha para $y_p(x)$
$ke^{\gamma x}$	$Ce^{\gamma x}$
$kx^n\ (n=0,1,\cdots)$	$K_nx^n + K_{n-1}x^{n-1} + \cdots + K_1x + K_0$
$k\cos{\omega x}$ $k\sin{\omega x}$	$K\cos{\omega x} + M\sin{\omega x}$
$ke^{\alpha x}\cos{\omega x}$ $ke^{\alpha x}\sin{\omega x}$	$e^{\alpha x}(K\cos{\omega x} + M\sin{\omega x})$

Este método tem a vantagem de ser não apenas simples, mas também autocorretivo. Se você escolher $y_p$ incorretamente ou com poucos termos, chegará a uma contradição; se escolher muitos termos, os coeficientes dos termos desnecessários serão zero, levando ao resultado correto. Mesmo que algo dê errado ao aplicar o método, você perceberá naturalmente durante o processo de resolução, então pode tentar com confiança seguindo as regras de seleção acima.

Prova da regra da soma

Considere uma equação diferencial linear não homogênea da forma

\[y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = r_1(x) + r_2(x)\]

Agora, considere as duas equações com o mesmo lado esquerdo, mas com entradas $r_1$ e $r_2$:

\[\begin{gather*} y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = r_1(x) \\ y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = r_2(x) \end{gather*}\]

Suponha que estas equações tenham soluções ${y_p}_1$ e ${y_p}_2$, respectivamente. Denotando o lado esquerdo da equação por $L[y]$, pela linearidade de $L[y]$, temos que $y_p = {y_p}_1 + {y_p}_2$ satisfaz:

\[L[y_p] = L[{y_p}_1 + {y_p}_2] = L[{y_p}_1] + L[{y_p}_2] = r_1 + r_2 = r. \ \blacksquare\]

Exemplo: $y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = ke^{\gamma x}$

De acordo com a regra básica (a), escolhemos $y_p = Ce^{\gamma x}$ e substituímos na equação dada $y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = ke^{\gamma x}$:

\[\gamma^2 Ce^{\gamma x} + \gamma aCe^{\gamma x} + bCe^{\gamma x} = ke^{\gamma x}\] \[C(\gamma^2 + a\gamma + b)e^{\gamma x} = ke^{\gamma x}\] \[C(\gamma^2 + a\gamma + b) = k.\]

Caso em que $\gamma^2 + a\gamma + b \neq 0$

Podemos determinar o coeficiente indeterminado $C$ e encontrar $y_p$ da seguinte forma:

\[C = \frac{k}{\gamma^2 + a\gamma + b}\] \[y_p = Ce^{\gamma x} = \frac{k}{\gamma^2 + a\gamma + b} e^{\gamma x}.\]

Caso em que $\gamma^2 + a\gamma + b = 0$

Neste caso, precisamos aplicar a regra de modificação (b). Primeiro, usando $b = -\gamma^2 - a\gamma = -\gamma(a + \gamma)$, encontramos as raízes da equação característica da equação homogênea $y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = 0$:

\[y^{\prime\prime} + ay^{\prime} - \gamma(a + \gamma)y = 0\] \[\lambda^2 + a\lambda - \gamma(a + \gamma) = 0\] \[(\lambda + (a + \gamma))(\lambda - \gamma) = 0\] \[\lambda = \gamma, -a -\gamma.\]

Isso nos dá a base da equação homogênea:

\[y_1 = e^{\gamma x}, \quad y_2 = e^{(-a - \gamma)x}\]

Caso em que $\gamma \neq -a-\gamma$

Como $Ce^{\gamma x}$ é uma solução da equação homogênea correspondente (mas não corresponde a uma raiz dupla), pela regra de modificação (b), multiplicamos por $x$ e escolhemos $y_p = Cxe^{\gamma x}$.

Substituindo esta nova forma de $y_p$ na equação original $y^{\prime\prime} + ay^{\prime} - \gamma(a + \gamma)y = ke^{\gamma x}$:

\[C(2\gamma + \gamma^2 x)e^{\gamma x} + aC(1 + \gamma x)e^{\gamma x} - \gamma(a + \gamma)Cxe^{\gamma x} = ke^{\gamma x}\] \[C \left[\left\{\gamma^2 + a\gamma -\gamma(a + \gamma)\right\}x + 2\gamma + a \right]e^{\gamma x} = ke^{\gamma x}\] \[C(2\gamma + a)e^{\gamma x} = ke^{\gamma x}\] \[C(2\gamma + a) = k\] \[\therefore C = \frac{k}{2\gamma + a}, \quad y_p = Cxe^{\gamma x} = \frac{k}{2\gamma + a}xe^{\gamma x}.\]

Caso em que $\gamma = -a-\gamma$

Neste caso, $Ce^{\gamma x}$ corresponde a uma raiz dupla da equação característica da equação homogênea, então pela regra de modificação (b), multiplicamos por $x^2$ e escolhemos $y_p = Cx^2 e^{\gamma x}$.

Substituindo na equação original $y^{\prime\prime} - 2\gamma y^{\prime} + \gamma^2 y = ke^{\gamma x}$:

\[C(2 + 4\gamma x + \gamma^2 x^2)e^{\gamma x} + C(-4\gamma x - 2\gamma^2 x^2)e^{\gamma x} + C(\gamma^2 x^2)e^{\gamma x} = ke^{\gamma x}\] \[2Ce^{\gamma x} = ke^{\gamma x}\] \[2C = k\] \[\therefore C = \frac{k}{2}, \quad y_p = Cx^2 e^{\gamma x} = \frac{k}{2}x^2 e^{\gamma x}.\]

Extensão do método dos coeficientes indeterminados: $r(x)$ na forma de produtos de funções

Considere uma equação diferencial linear não homogênea com $r(x) = k x^n e^{\alpha x}\cos(\omega x)$:

\[y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = C x^n e^{\alpha x}\cos(\omega x)\]

Se $r(x)$ puder ser expresso como produtos de funções exponenciais $e^{\alpha x}$, potências de $x$ como $x^m$, e funções trigonométricas como $\cos{\omega x}$ ou $\sin{\omega x}$ (aqui assumimos $\cos$ sem perda de generalidade), ou somas e produtos dessas funções (ou seja, se puder ser expresso como somas e produtos das funções na primeira coluna da tabela anterior), então existe uma solução particular $y_p$ que é uma soma e produto das funções na segunda coluna da tabela.

Para uma prova rigorosa, usamos álgebra linear em algumas partes, que estão marcadas com *. Você pode pular essas partes e ainda compreender a ideia geral.

Definição do espaço vetorial $V$*

Para $r(x)$ da forma \(\begin{align*} r(x) &= C_1x^{n_1}e^{\alpha_1 x} \times C_2x^{n_2}e^{\alpha_2 x}\cos(\omega x) \times \cdots \\ &= C x^n e^{\alpha x}\cos(\omega x) \end{align*}\)

podemos definir um espaço vetorial $V$ tal que $r(x) \in V$:

\[V = \mathrm{span}\left\{x^k e^{\alpha x}\cos(\omega x), \; x^k e^{\alpha x}\sin(\omega x) \bigm| k=0,1,\dots,n \right\}\]

Forma das derivadas de funções exponenciais, polinomiais e trigonométricas

As derivadas das funções básicas apresentadas na primeira coluna da tabela têm as seguintes formas:

• Função exponencial: $\cfrac{d}{dx}e^{\alpha x} = \alpha e^{\alpha x}$
• Função polinomial: $\cfrac{d}{dx}x^m = mx^{m-1}$
• Funções trigonométricas: $\cfrac{d}{dx}\cos\omega x = -\omega\sin\omega x, \quad \cfrac{d}{dx}\sin\omega x = \omega\cos\omega x$

Observe que as derivadas dessas funções também podem ser expressas como somas de funções do mesmo tipo.

Portanto, se $f$ e $g$ são funções do tipo acima ou somas delas, e $r(x) = f(x)g(x)$, aplicando a regra do produto para derivadas:

\[\begin{align*} (fg)^{\prime} &= f^{\prime}g + fg^{\prime}, \\ (fg)^{\prime\prime} &= f^{\prime\prime}g + 2f^{\prime}g^{\prime} + fg^{\prime\prime} \end{align*}\]

onde $f$, $f^{\prime}$, $f^{\prime\prime}$ e $g$, $g^{\prime}$, $g^{\prime\prime}$ podem todos ser escritos como somas ou múltiplos constantes de funções exponenciais, polinomiais e trigonométricas. Portanto, $r^{\prime}(x) = (fg)^{\prime}$ e $r^{\prime\prime}(x) = (fg)^{\prime\prime}$ também podem ser expressos como somas e produtos dessas funções, assim como $r(x)$.

Invariância de $V$ sob o operador de diferenciação $D$ e a transformação linear $L$*

Ou seja, não apenas $r(x)$, mas também $r^{\prime}(x)$ e $r^{\prime\prime}(x)$ são combinações lineares de termos da forma $x^k e^{\alpha x}\cos(\omega x)$ e $x^k e^{\alpha x}\sin(\omega x)$, então:

\[r(x) \in V \implies r^{\prime}(x) \in V,\ r^{\prime\prime}(x) \in V.\]

Generalizando para todos os elementos do espaço vetorial $V$ definido anteriormente e introduzindo o operador de diferenciação $D$, podemos dizer que o espaço vetorial $V$ é fechado sob a operação de diferenciação $D$. Portanto, se denotarmos o lado esquerdo da equação $y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by$ como $L[y]$, então $V$ é invariante sob $L$.

\[D^2(V)\subseteq V,\quad aD(V)\subseteq V,\quad b\,V\subseteq V \implies L(V)\subseteq V.\]

Como $r(x) \in V$ e $V$ é invariante sob $L$, existe outro elemento $y_p \in V$ tal que $L[y_p] = r$.

\[\exists y_p \in V: L[y_p] = r\]

Ansatz

Portanto, podemos escolher um $y_p$ apropriado usando coeficientes indeterminados $A_0, A_1, \dots, A_n$ e $K$, $M$ da seguinte forma, que inclui a soma de todos os possíveis termos produto:

\[y_p = e^{\alpha x}(A_nx^n + A_{n-1}x^{n-1} + \cdots + A_1x + A_0)(K\cos{\omega x} + M \sin{\omega x}).\]

Aqui, $n$ é determinado pelo grau de $x$ em $r(x)$. Seguindo as regras básica (a) e de modificação (b), podemos determinar os coeficientes indeterminados substituindo $y_p$ (ou $xy_p$, $x^2y_p$ conforme necessário) e suas derivadas na equação dada.

$\blacksquare$

Se a entrada dada $r(x)$ contiver diferentes valores de $\alpha_i$ e $\omega_j$, você deve incluir todos os possíveis termos da forma $x^{k}e^{\alpha_i x}\cos(\omega_j x)$ e $x^{k}e^{\alpha_i x}\sin(\omega_j x)$ para cada valor de $\alpha_i$ e $\omega_j$ ao escolher $y_p$.
A vantagem do método dos coeficientes indeterminados é sua simplicidade, mas se o ansatz se tornar muito complicado, perdendo essa vantagem, pode ser melhor aplicar o método da variação de parâmetros, que discutiremos posteriormente.

Extensão do método dos coeficientes indeterminados: equação de Euler-Cauchy

O método dos coeficientes indeterminados pode ser aplicado não apenas a Equações Diferenciais Ordinárias Lineares Homogêneas de Segunda Ordem com Coeficientes Constantes, mas também à Equação de Euler-Cauchy:

\[x^2y^{\prime\prime} + axy^{\prime} + by = r(x) \label{eqn:euler_cauchy}\tag{5}\]

Substituição de variável

Como vimos em transformação para uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes, fazendo a substituição $x = e^t$, temos:

\[\frac{d}{dx} = \frac{1}{x}\frac{d}{dt}, \quad \frac{d^2}{dx^2} = \frac{1}{x^2}\left(\frac{d^2}{dt^2} - \frac{d}{dt} \right)\]

e a equação de Euler-Cauchy pode ser transformada em uma equação diferencial ordinária linear homogênea com coeficientes constantes em termos de $t$:

\[y^{\prime\prime} + (a-1)y^{\prime} + by = r(e^t). \label{eqn:substituted}\tag{6}\]

Podemos então aplicar o método dos coeficientes indeterminados à equação ($\ref{eqn:substituted}$) em termos de $t$ e, finalmente, substituir $t = \ln x$ para obter a solução em termos de $x$.

Caso em que $r(x)$ é uma potência de $x$, logaritmo natural, ou somas e produtos dessas funções

Especialmente quando a entrada $r(x)$ consiste de potências de $x$, logaritmos naturais, ou somas e produtos dessas funções, podemos selecionar diretamente um $y_p$ apropriado seguindo as regras de seleção para a equação de Euler-Cauchy:

Regras de seleção para o método dos coeficientes indeterminados: versão para a equação de Euler-Cauchy
(a) Regra básica: Se $r(x)$ na equação ($\ref{eqn:euler_cauchy}$) for uma das funções na primeira coluna da tabela, escolha $y_p$ da mesma linha na segunda coluna e determine os coeficientes indeterminados substituindo $y_p$ e suas derivadas na equação ($\ref{eqn:euler_cauchy}$).
(b) Regra de modificação: Se o termo escolhido para $y_p$ for uma solução da equação diferencial homogênea correspondente $x^2y^{\prime\prime} + axy^{\prime} + by = 0$, multiplique este termo por $\ln{x}$ (ou por $(\ln{x})^2$ se esta solução corresponder a uma raiz dupla da equação característica da equação homogênea).
(c) Regra da soma: Se $r(x)$ for uma soma de funções da primeira coluna da tabela, escolha para $y_p$ a soma das funções correspondentes na segunda coluna.

Termo em $r(x)$	Escolha para $y_p(x)$
$kx^m\ (m=0,1,\cdots)$	$Ax^m$
$kx^m \ln{x}\ (m=0,1,\cdots)$	$x^m(B\ln x + C)$
$k(\ln{x})^s\ (s=0,1,\cdots)$	$D_0 + D_1\ln{x} + \cdots + D_{s-1}(\ln{x})^{s-1} + D_s(\ln{x})^s$
$kx^m (\ln{x})^s$ $(m=0,1,\cdots ;\; s=0,1,\cdots)$	$x^m \left( D_0 + D_1\ln{x} + \cdots + D_{s-1}(\ln{x})^{s-1} + D_s(\ln{x})^s \right)$

Isso nos permite encontrar $y_p$ de forma mais rápida e simples para formas práticas importantes de entrada $r(x)$, sem precisar fazer a substituição de variável. Estas regras de seleção para a equação de Euler-Cauchy podem ser derivadas das regras de seleção originais substituindo $x$ por $\ln{x}$.